D1855. Une affaire d'angles
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soient :
ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°, (O) le cercle circonscrit à ABC,
F le point de [AB] tel que ACF = 30°, (U) le cercle tangent à (O) en C, passant par F, E le second point d’intersection de (U) avec (CA).
Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.
Soit U le centre du cercle (U).
Les angles du triangle isocèle CEU sont : C= 90°-20° = 70°, E= 70° et U = 180°- 70°- 70° = 40°.
L'angle CFE inscrit dans (U) vaut la moitié de l'angle au centre CUE donc 20°.
L'angle EFA = CFA – CFE = 60°- 20° = 40°.
AC = AB tan 20°, AF = AC tan 30°, AE = AF tan 40°.
Donc AE = AB . (tan 20° tan 30° tan 40°) = AB tan 10°. (Cf annexe)
Donc angle ABE = 10° = ½ angle ABC : (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.
Annexe : étude de P(x) = tan(30°+x)tan(30° - x) en posant tan x = t.
Sous réserve d'existence on a : P(x) = (tan 30°+t)
(1−t.tan30°)
(tan 30°−t)
(1+t.tan30°) = (1/3−t2)
(1−t2/3) = (1−3t2)
(3−t2) = (1−3t2) (3t−t3) .t Or tan 3x = (3t−t3)
(1−3t2) , donc P(x) = (tanx) (tan(3x)) En particulier :
P(10°) = tan 40° tan 20° = (tan10°)
(tan30°) et finalement tan 20° tan 30° tan 40° = tan 10°
