A510. Les puissants se laissent manipuler
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants?
Solution (partielle) proposée par Claudio Baiocchi
Un petit aperçu historique d'abord.
Les nombres puissants ont été introduits par P.Erdos et G.Szekeres.Leur nom (traduction du nom anglais powerful) a été suggéré par S.W.Golomb, père des polyominos, qui en a trouvé des nombreuses propriétés et qui soupçonnait l'existence de nombres n'admettant pas une telle décomposition; en particulier le nombre 6, malgré sa petitesse, a longuement résisté à tout effort (aujourd'hui on sait que sa représentation la plus petite est …) Les nombres puissants ont été objet de bien de recherches mais de nombreux problèmes restent encore ouverts.Pour ce qui concerne le résultat proposé par Diophante comme
"problème pour les plus courageux", on a des résultats exhaustifs dans deux sous-familles: les décompositions propres, qui demandent une représentation où les deux nombres puissants n'ont pas de facteurs communs; et les décompositions où l'on n'utilise pas les carrés.
En 1982 W.L.McDaniels a montré que, pour tout entier , il existe une infinité de
décompositions propres; peu après encore McDaniels et séparément R.A.Mollin & P.G.Walsh ont montré que tout entier admet une infinité de représentations propres qui n'utilisent pas de nombres carrés.
La possibilité de se passer des carrés rend le problème bien plus difficile car les différences de carrés permettent aisément de décomposer deux grandes familles de nombres:
Les nombres impairs: pour tout k on a naturellement la formule est propre et, pour , au lieu que on fera appel à .
Les multiples de 4: pour tout on a ; la formule est propre si et seulement si est pair.
Remarques. Grâce au fait que le produit de nombres puissants est puissant, tout nombre puissant admet la décomposition (non-propre) . De façon analogue, à partir de la décomposition , on déduit la décomposition non-propre pour le double d'un nombre puissant .
Dans le traitement de McDaniels la recherche de décompositions propres est basée sur l'étude de l'équation de Pell-Fermat:
qui, si résolue avec diviseur de , fournit une décomposition de en termes de nombres puissants. Par ailleurs cette idée, essentielle pour la décomposition propre des nombres du
type (nombres que nous avons déjà décomposés en utilisant les différences de carrés),dans le cas qui nous manque ( ) utilise les équations de Pell-Fermat de façon instrumentale: pour représenter le nombre , on cherche tel que les nombres sont puissants et on utilise ensuite comme décomposition effective la formule:
Pour la recherche de on remarque que le produit des deux termes de la décomposition vaut
et donc satisfait une équation de Pell-Fermat qu'on écrit dans la forme . McDaniels montre alors que un bon choix de entraine d'un côté l'existence d'une suite de solutions de l'équation de Pell-Fermat et que pour une infinité de valeurs de l'indice , les nombres sont puissants et sans facteurs communs.D'où les décompositions propres de la forme où l'on choisit .
Malheureusement la théorie n'est pas toujours satisfaisante du point de vue pratique. On va montrer l'implémentation de la méthode sur les valeurs et , ce qui nous redonnera aisément les décompositions déjà indiquées et sur les valeurs et où l'on va tomber sur des valeurs hors portée (malgré l'existence, pour , d'une décomposition
"petite" telle que
Suivant McDaniels, lorsque on doit choisir si ; et si ; ensuite, pour ce qui concerne la résolution effective des équations de Pell-Fermat on peut faire appel à la calculette de de D.Alpern.Une fois fixé , celle-ci donne les "solutions de départ" et les coefficients à partir desquels on trouve les autres solutions grâce aux formules:
Notre point de départ sera donc le tableau suivant, où naturellement chaque peut être remplacé par :
2 3 2 3 1 2
6 7 8 21 3 8 et
10 119 120 1309 11 120 et
14 517 590968985399 13437236496420 25990786260 590968985399
Dans le cas on a et on s'arrête car les nombres sont puissants; on a retrouvé la formule .
Dans le cas , on a et on s'arrête car les nombres 214372 sont puissants; on a retrouvé la formule .
Dans le cas , quel que soit le choix de , jusqu'à un au moins parmi les nombre n'est pas puissant; et déjà a plus que 10 chiffres!
Dans le cas la grandeur des coefficients et ne laisse aucun espoir.
Naturellement rien n'empêche que, comme pour , aussi le nombre puisse admettre une décomposition raisonnable; mieux, une telle décomposition doit exister, vu que
Diophante nous a invité à la chercher! Par ailleurs, le nombre ayant été décomposé en tant que double d'un carré, la valeur est l'unique, dans la famille des nombres de 1 à 21, qui manque à l'appel…
Remarque Puisqu'on n'est pas intéressé au valeurs des on peut remplacer le système par une seule équation qui, compte tenu de , s'écrirait:
mais les calculs restent en tout cas épouvantables.
On va donc faire appel à une remarque due à C.VanDenEyden suivant laquelle on a parfois des choix des paramètres qui amènent à des calculs avec nombres plus petits.Dans le cas de on peut se borner à chercher une décomposition de la forme:
sous la restriction que le terme soit un multiple de ; puisque le membre de droite dans se simplifie en on est ramené à une équation de Pell-Fermat à coefficients bien plus simples, soit .
Par rapport aux notations en , la calculette de D.Alpern nous donne maintenant les valeurs pour les coefficients; et comme point de départ. Un calcul immédiat montre que le terme est multiple de déjà pour ; et on aboutit à:
