A 373. Les nombres en or. ****
On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.
Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe deux entiers relatifs , tels que
Les coefficients ne prenant que les valeurs 0 ou 1.
Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ-2 + φ-1 avec
Q1 Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.
Q2 Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.
Q3 Démontrer que tous les entiers naturels admettent une représentation en or.
Solution proposée par Michel Lafond:
Q1. Observons les puissances de φ ci-dessous :
Il semble que ce qu’on vérifie : Pour 3, il suffit de rajouter 1 = :
Q2. L’algorithme dit algorithme "GLOUTON" consiste à prendre à chaque étape le maximum.
Par exemple pour montrer que 13 est un nombre d’or, on se reporte au tableau des puissances ci-dessus : La plus grande puissance de inférieure ou égale à 13 est
Il reste
La plus grande puissance de inférieure ou égale à est Il reste
La plus grande puissance de inférieure ou égale à est Il reste
Et là, miracle ! Ce reste ressemble beaucoup à Il reste à vérifier :
Pour 2018, on applique l’algorithme GLOUTON, et ça marche :
La plus grande puissance de inférieure ou égale à 2018 est Il reste
On continue ainsi pour arriver à
Ce qu’on vérifie :
2018
Pour 2019, il suffit d’ajouter 1 à 2018 :
Q3. L’algorithme GLOUTON fonctionne avec tous les exemples que j’ai testés.
Je n’ai pas la démonstration du fonctionnement de l’algorithme GLOUTON, mais un algorithme voisin fonctionne, avec une démonstration cette fois :
Considérons la suite :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 7 18 47 123 322 843 2206
On a :
Donc d’où
Puisque sont entiers, il s’ensuit que est entier pout tout n.
On applique encore l’algorithme glouton, mais avec la variante suivante que je nomme GLOUTON 2 : À chaque étape, on prend le maximum possible parmi les ou leurs doubles.
Voyons sur l’exemple de 2018 :
La plus grosse contribution des (ou de leurs doubles) à 2018 est Il reste 332
La plus grosse contribution des (ou de leurs doubles) à 332 est Il reste = 7 + 3 =
Finalement :
Hélas ! On n’a droit qu’aux coefficients 0 ou 1.
Mais de pour tout entier relatif k (2) Cela permet de se débarrasser des coefficients 2 indésirables :
Donc
Il y a encore un coefficient 2 qu’on élimine de la même manière :
On arrive à
Remarque : En utilisant encore (2) pour regrouper certains termes, la solution (3) redonne la solution (1).
Il reste à démontrer la validité de l’algorithme GLOUTON 2 dans le sens où les coefficients 2 éventuels peuvent être éliminés par l’usage répété de (2).
C’est loin d’être évident car si on avait à l’issue de l’algorithme GLOUTON 2 par exemple …
Alors on peut avec (2) éliminer le coefficient 2 de :
On peut aussi éliminer le coefficient 2 de :
Mais on se retrouve avec un coefficient 3 et on peut craindre de ne jamais aboutir à une décomposition en or. Il faut donc démontrer que cette situation n’arrive jamais.
L’idée est la suivante :
L’application à l’entier N de GLOUTON 2 donne
Expression dans laquelle on suppose les exposants décroissants.
Cette forme sera appelée forme primaire de N.
Par construction, les coefficients sont symétriques par rapport au centre et sont tous égaux à 0, 1, ou 2.
[En effet, on n’a jamais de coefficient supérieur à 2 car si au cours de l’exécution de GLOUTON 2, le reste R vérifie alors la récurrence montre que
. Donc Ainsi, ou bien ] À la fin :
Si le reste est égal à 1 on a le terme central
Exemple : la forme primaire de 4 est 4 = 3 + 1 = Si le reste est égal à 2 on a le terme central
Exemple : la forme primaire de 5 est 5 = 3 + 2 = Dernier exemple, la forme primaire de 2019 est
Voyons comment passer de la forme primaire à la représentation en or :
Si dans
tous les coefficients sont égaux à 0 ou 1, c’est terminé.
Sinon, soit le premier coefficient égal à 2.
Considérons le début de la forme primaire dans laquelle les exposants sont positifs ou nuls :
Si m = 0 on a Expression dans laquelle tous les coefficients sont égaux à 0 ou 1.
Mais 2 = donc
Dans ce cas la partie de la forme primaire en or.
On aura éventuellement un coefficient 2 avec pour la partie "négative" de la forme primaire, mais ce coefficient s’éliminera par des applications itérées de (2) comme on l’a déjà vu.
Si et si dans (5) l’un des coefficients après 2 est nul, soit le premier coefficient nul
L’application de (2) permet d’écrire :
Cela a eu pour effet d’introduire le terme et de décaler le coefficient 2 vers la droite.
En itérant, on "butera" sur le 0 pour obtenir
Résultat : on s’est débarrassé du premier coefficient 2.
On se débarrasserait des éventuels coefficients 2 suivants tant qu’il existe un coefficient nul derrière.
Reste le cas :
et dans (5) aucun des coefficients après 2 n’est nul. On a alors
Expression dans laquelle tous les coefficients après 2 sont égaux à 1 ou 2.
On va montrer que ceci est impossible.
Démontrons d’abord par récurrence la propriété
, alors
D’après (6) :
On aurait donc
Ce qui est en contradiction avec le principe de l’algorithme GLOUTON 2 qui aurait permis une contribution supplémentaire pour [le coefficient étant égal à 0 ou 1]
a donc une représentation en or.
Reste à considérer dans la forme primaire (4) la partie avec les exposants négatifs :
L’élimination des coefficients 2 éventuels se fait comme pour .
