DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № 6 LA HOUILLE BLANCHE 903
Perméabilité des digues en enrochements aux ondes de gravité périodiques *
The perviousness of rock fill breakwaters to periodic gravity waves *
FAR B . L E M É H A U T É
I N G É N I E U R E . N . S . E . H . T . I N G E N I E U R A L A S O G R E A I I
(Actuellement Professeur Adjoint à l'Ecole Polytechnique de Montréal)
AVANT-PROPOS et NOTATIONS.
P R E M I È R E PARTIE. — E T U D E DES LOIS DE L'ÉCOU
LEMENT PÉRIODIQUE DANS UN MASSIF PERMÉABLE.
Chap. I. Equations du mouvement.
Chap. II. Intégration de l'équation générale du mouvement.
Chap. III. Perméabilité d'un massif long sou
mis à une onde incidente.
Chap. IV. Massif de largeur faible par rapport à la longueur d'onde.
DEUXIÈME PARTIE. — E T U D E DES LOIS DE SIMILI
TUDE DE LA PERMÉABILITÉ D'UN MASSIF EN E N R O CHEMENTS.
p roblèm e. Difficultés Chap. I. Position du
d'une semblable étude.
Chap. II. Etablissement des règles de simili
tude de l'écoulement à travers un massif per
méable.
Chap. I l l , Similitude des écoulements dans un massif en enrochements en régime permanent.
Chap. IV. Possibilité d'application des règles de similitude.
Chap. V. Applications pratiques aux digues en enrochements.
Remarques,
TROISIÈME PARTIE. — RECHERCHES EXPÉRIMEN
TALES.
Chap. I. Appareillage expérimental : 1) Ca
naux à houle. 2) Appareillage de mesure. 3) Les mesures des caractéristiques du massif.
Chap. II. Résultats expérimentaux obtenus avec des massifs de largeur constante.
Chap. III. Description physique des phénomè
nes et examen des résultats expérimentaux.
Chap. IV. Vérification des lois de similitude.
Chap. V. Calculs de profils de digues en enro
chements et résultats d'essais.
Chap. VI. Précision des résultats : 1) Erreur sur la connaissance des lois de Vécoulement.
2) Erreurs expérimentales. 3) Erreurs sur la connaissance des conditions naturelles.
CONCLUSION.
P R E F A C E a n d HEADINGS.
P A R T 1 . STUDY OF THE PERIODIC FLOW LAWS IN A PERMEABLE STRUCTURE.
Chapter I. Equations of movement.
C h a p t e r II. Integration of the general equation of movement.
Chapter III. Permeability of an extended struc
ture subjected to an incident wave.
Chapter IV. Small width structure in relation to wave length.
P A R T 2. STUDY OF THE SIMILITUDE LAWS F O R P E R MEABILITY IN A ROCK FILLED STRUCTURE.
Chapter I. Posing the problem. Difficulties of a similarity study.
Chapter II. Establishing the rules for flow similarity through a permeable structure.
Chapter I I I . Flow similitude in a rock filled structure in permanent regime.
Chapter IV. Possible application of similitude laws.
Chapter V. Practical application to rock fill dykes.
COMMENTS.
P A R T 3. EXPERIMENTAL RESEARCH.
Chapter I. Experimental equipment : a) Wave flumes, b) Instrument equipment, c) Measuring the characteristics of the structure.
Chapter II. Results obtained from tests on constant width structures.
Chapter III. Physical description of the pheno
mena and analysis of test results.
Chapter IV. Verification of the similitude laws.
Chapter V. Calculation of rock fill dyke pro
files and test results.
Chapter VI. Accuracy of results : a) Error asso
ciated with the flow laws, b) Experimenal er
rors, c) Error from uncertain knowledge of the true life conditions.
CONCLUSION.
* Thèse présentée devant la Faculté des Sciences de -l'Université dTngénieur-Docteur.
de Grenoble pour l'obtention du t i t r e
5
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957063
90-1 № G - DÉCEMBRE 1957
A V A N T - P R O P O S
Après les études déjà approfondies de la sta
bilité des ouvrages à la houle, se pose le pro
blème de leur perméabilité aux différents mou
vements de la mer :
Lorsqu'une onde de gravité venant du large aborde une digue en enrochements et en blocs artificiels, une partie de son énergie est détruite sur la paroi par déferlement, frottement, empri
sonnement d'air et projections verticales... Une autre partie est réfléchie vers le large. Enfin, une fraction d'énergie passe dans le massif et y pro
voque des mouvements. Cette énergie se dissipe partiellement par frottement à travers les enro
chements et l'énergie restante se transmet à l'in
térieur du port.
Les paramètres essentiels qui définissent ces phénomènes sont :
1) Ceux qui caractérisent l'onde incidente (ou les ondes incidentes si celles-ci sont su
perposées) : les amplitudes, les périodes, la profondeur;
2) Ceux qui caractérisent le massif : la granu- lométrie des matériaux, leur indice de vide, la configuration générale et la lar
geur du massif.
En fait, le massif se présente toujours suivant une forme complexe, de largeur variant avec la profondeur, dans lequel les couches granulome-
triques se superposent, défiant toute analyse exacte.
L'étude suivante est un premier pas dans la recherche de la solution de ce problème com
plexe, qui s'apparente à la fois aux problèmes des écoulements en milieu perméable et à celui des ondes de gravité périodiques.
Or, les éludes semi empiriques et expérimenta
les sur les écoulements continus en milieu per- méable, en charge ou à surface libre, sont nom
breuses, et les lois en sont connues avec une précision souvent suffisantes pour les problèmes pratiques.
Les lois des écoulements périodiques ou tran
sitoires dans le temps et les lois de frottement correspondantes sont moins connues. Citons seu
lement : oscillation de Veau dans un tube en 11, oscillation d'un pendule dans l'eau, mouvement alternatif au voisinage d'une plaque... Par con
tre, nous ne connaissons pas d'études sur les écoulements périodiques en milieu perméable.
Nous nous efforcerons d'établir des analogies en
tre ces différents phénomènes en vue de leur application au problème traité dans ces pages.
Sur le plan théorique, les études sur écoule
ments en milieu perméable (écoulements con
tinus ou variables dans le temps) sont générale
ment basées sur la loi de Darcy, car la plupart ont pour objet l'application aux milieux poreux.
Or, ici, la loi de Darcy n'est plus valable,, car les forces de frottement seront le plus souvent de forme quadratique et les forces d'inertie ne sont pas négligeables.
L'introduction des forces d'inertie nous con
duit à considérer avec attention les théories des ondes de gravité du type houle.
De plus, le milieu perméable provoquant une force de frottement interne, c'est la théorie du filtre à houle établie par M. Biesel qui nous gui
dera le plus dans notre étude. Cependant, nous devrons considérer le cas d'un indice de vide quelconque et analyser les conditions aux limi
tes du massif. Ces conditions aux limites pré
sentent, au point de vue mathématique, de gran
des analogies avec les théories du batteur à houle établies par MM. Biesel et Kravtchenko.
Dans une première partie, nous dégagerons l'influence respective des différents paramètres sur des cas schématisés pouvant être résolus par la théorie. Nous établirons l'équation, générale du mouvement d'un fluide pesant dans un milieu perméable, en tenant compte de l'inertie dans le temps. Bien que la force de frottement à tra
vers une digue en enrochements soit parfois de forme quadratique, nous linéariserons le terme de frottement par un ajustement de constante, explicité en fonction des caractéristiques du milieu.
Puis nous donnerons une solution particulière de l'équation du mouvement moyen, représen
tant le mouvement d'une onde périodique amortie à travers le milieu considéré.
Après avoir écrit les conditions aux limites du milieu perméable., nous mettrons en évidence les phénomènes provoqués dans un massif tra
versé par une onde de gravité périodique inci
dente, dans le cas particulier où l'indice de vide est voisin de 1 (cas pratique des filtres à houle).
Puis, nous analyserons le cas d'un massif, d'indice de vide quelconque, lorsque la largeur de celui-ci est faible par rapport à la longueur d'onde. Ce cas se prête en eflet à de grandes simplifications et conduit à des formules très maniables.
Ici, nous arrêterons la théorie basée sur des phénomènes linéaires Car si nous dégageons, dans la première partie, l'effet d'un certain nom
bre de paramètres, pour résoudre le cas pratique
L A H O U I L L E B L A N C H E
DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № 6 B. LE MÉHAUTÉ 0 0 5
des digues en enrochements oit les phénomènes quadratiques ne sont pas négligeables (inertie, frottement turbulent et la paroi...), nous devrons faire appel aux ressources de la technique du modèle réduit.
Ceci nous conduit donc à déterminer les Ims de similitude applicables aux milieux perméa
bles : similitude de Fronde à Vextèrieur du mas- sif, similitude de Reynolds à Vintérieur. Or, on sait que ces deux similitudes sont généralement incompatibles. Une « distorsion » du matériau constituant le modèle réduit nous apportera la solution à ce problème pour un écoulement per
manent; cette distorsion est généralement fonc
tion du gradient de charge dans le massif. Nous généraliserons la méthode à un écoulement pé
riodique, la distorsion étant cette fois fonction de Vamplitude de Fonde incidente.
Dans une troisième partie, après avoir décrit nos installations expérimentales, nous donnerons tout d'abord les résultats obtenus sur les massifs de largeur constante. Nous avons mesuré sur ces massifs la réflexion et la transmission de Ponde incidente en faisant varier systématiquement la longueur du massif, la dimension des enroche
ments et les caractéristiques (amplitude, pé
riode) de Fonde incidente. Ces résultats nous permettent de vérifier les théories exposées dans la première partie de notre ouvrage et de tirer an certain nombre de conclusions pratiques sur la valeur des coefficients de transmission et de réflexion d'un massif en enrochements.
Quelques essais effectués sur des massifs ana
logues, mais à F échelle 1/10 des précédents^ nous permettront de vérifier la validité des lois de similitude basées sur la distorsion du matériau et sur Vapplication des lois de Vécoulement per
manent à l'écoulement périodique.
Enfin, nous appliquerons ces notions à quel
ques cas pratiques. Une étude préalable nous donnera, pour chaque digue étudiée, les coef
ficients de distorsion calculés pour Vamplitude de Fonde incidente considérée.
Les résultats numériques obtenus sur les mo
dèles construits suivant ces principes nous per
mettront de tirer un certain nombre de règles générales valables pour toutes les digues de type cou ran f.
N O T A T I O N S
u : vitesse réelle de l'eau dans le massif;
- >
[u] : vitesse moyenne réelle de l'eau dans le massif;
U : vitesse spécifique;
/>* : p+ogz;
p : pression;
o : masse spécifique de l'eau;
Oz : axe vertical ascendant, .f de référence. Le point 1 O étant à la surface li- O.X : axe horizontal J bre au repos. Système
( sinestrosum ;
O'z' .* axe vertical ascendant. , ( le point 0/ étant au
< fond côté large du O'x' : axe horizontal ( massif ;
O^x" : axe vertical ascendant.. ( le point 0/ y étant au j fond côté port du Cy'z" l axe horizontal ( massif.
v : indice cinématique de viscosité;
xl\ (U) : fonction caractérisant les forces d'inertie en fonction de la vitesse spécifique;
W2 (U) : fonction caractérisant les forces de frottement en fonction de la vi
tesse spécifique;
T : période du mouvement;
<D : pulsation du m o u v e m e n t = 2 TC/T;
5 : section de passage de l'eau dans le massif perpendiculaire au mouve
ment moyen ;
S : section totale du massif perpendicu
laire au mouvement moyen;
s : indice de vide : rapport du volume des vides au volume total;
d : diamètre moyen des enrochements;
61 : nombre de Reynolds: Ud/v;
o : rfVTv;
D : fonction caractérisant l'augmenta
tion des forces d'inertie (exprimée en fonction de U) par suite des dé
tours des trajectoires fluides p a r rapport au mouvement moyen;
R : coefficient de frottement défini par la force de frottement :
Ff= — R U
G : fonction de tM/v caractérisant la perte de charge à travers un mas
sif en enrochements;
/ : fonction de l'indice de vide & ca
ractérisant la perte de charge à travers un massif en enrochements;
AH/AZ : gradient de perte de charge à travers un massif en enrochements;
o : fonction polentielle des vitesses;
indice c : se rapportant au milieu de l'onde in
cidente (milieu 1 ) ;
indice m : se rapportant au massif en enroche
ments (milieu 2);
9 0 6 L A H O U I L L E B L A N C H E № 6 - DÉCEMBRE 1957
indice h h m m'
C G
2 a 2a(
2ar
i r
E
se r a p p o r t a n t au milieu de Fonde transmise (milieu 3) ;
profondeur d'eau;
2 TT/L ( L longueur d'onde en milieu libre) ;
2 %/U ( L7 longueur d'onde dans le massif) ;
coefficient d'amortissement de l'am
plitude de l'onde à travers le mas
sif;
déphasage introduit par présence du massif dans la transmission de la digue;
célérité de l'onde à travers le massif;
vitesse de groupe de Tonde à travers le massif;
amplitude de l'onde incidente;
amplitude de l'onde transmise;
amplitude de l'onde réfléchie;
coefficient de transmission==2 aJ2 a\
coefficient de réflexion = 2 a,y2 a;
échelle du modèle réduit;
\ : échelle horizontale du modèle réduit distordu;
u. : échelle verticale du modèle réduit distordu;
i n d i c e ' : relatif au modèle réduit;
K : coefficient de grossissement du ma
tériau;
$ : potentiel complexe dont la partie réelle est le potentitel des vites
ses cp;
2J=x,Jr\zf : variable complexe;
C et Hc : charge « efficace » : charge continue donnant la même perte d'énergie que la charge alternative d'ampli
tude HH,;
dc : diamètre caractéristique d'enroche
ments de granulométrie hétéro
gène;
/, et d}, : épaisseur de la couche granulomé- trique « i » d'enrochements de dia
mètre caractéristique d,\
lj et dj : épaisseur des couches granulométri- ques « j » (adjacentes de la cou
che i) d'enrochements de diamètre caractéristique d}.
P R E M I È R E P A R T I E
É T U D E DES LOIS D E L'ÉCOULEMENT P É R I O D I Q U E D A N S U N M A S S I F P E R M É A B L E
C H A P I T R E I
É Q U A T I O N S D U M O U V E M E N T
Les équations générales du mouvement de (notations habituelles, les axes de références l'eau à travers un massif en enrochements étant précisés dans la nomenclature),
s'écrivent :
et comme conditions aux limiLes I)n t 1 -->
ITT + ~ T 8r a d / ^ +v -* / dn
div. u = 0
avec : à la surface des enrochements constituant le
massif.
Du gj7 ï/îi L'écoulement se présente d'une façon excessi-
"¡57" = + « A r o t H + g r a d - y - vement complexe et obéit aux l o i s ' d u hasard consécutif à la répartition des pleins et des vides.
p*—p — ogz C'est ainsi que la nullité des vitesses sur les pa-
DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № G B. L E M É H A U T É _ _ 907
rois des enrochements introduit des conditions aux limites dont les conséquences ne peuvent être soumises à l'analyse exacte.
Le mouvement obéit alors aux lois statistiques et nous sommes amené à ne prendre en compte que les valeurs moyennes.
Ceci revient à considérer que le cube élémen
taire AV, pour lequel nous écrivons les équations fondamentales du mouvement moyen, a des di
mensions suffisamment importantes pour que la notion de moyenne puisse s'y appliquer, c'est- à-dire qu'il ait un volume d'un ordre de gran
deur supérieur aux enrochements du massif.
D'un autre côté, pour que Ton puisse appliquer au mouvement moyen les principes du calcul différentiel, en posant par exemple :
ii faut que le gradient de vitesse spécifique |U|
soit faible devant le gradient des vitesses réel
les u, ou plus simplement que le mouvement moyen ait une certaine ampleur par rapport aux dimensions des enrochements.
AV est, en somme, un cube élémentaire suf
fisamment grand pour que l'on puisse y définir des moyennes et suffisamment petit pour qu'il puisse être considéré dans l'équation du mou
vement moyen comme un infiniment petit.
Quelles sont m a i n t e n a n t les équations du mouvement moyen?
1) L'équation de continuité conserve la même forme :
div U = 0
2) Dans l'équation dynamique, le terme :
1 - »
grad ip + ogz)
G
reste inchangé;
3) Aux conditions aux limites données à la sur
face des enrochements, se superposent les conditions aux limites de l'ensemble du massif qui sont beaucoup plus simples (nous les expliciterons par la suite) ; 4) Par contre, les termes où interviennent les
vitesses (termes d'inertie Bu/Dt et terme de frottement vAu) sont profondément modifiés.
Nous poserons alors, en négligeant le terme d'inertie q u a d r a t i q u e (*) (premier ordre d'ap
proximation) :
(*) En lait, n o u s v e r r o n s que p r a t i q u e m e n t ce t e r m e est i m p l i c i t e m e n t inclus d a n s la fonction ^'a(U).
1 jYy Du 7 1 /77* du ,
Nous allons tâcher de préciser la forme des fonctions et W2 par analogie avec d'autres phénomènes de même type et par analyse di- mensionnelle :
1) Tout d'abord, nous savons que dans un tube, lorsque nous écrivons l'équation de Ber- noulli, nous devons tenir compte de l'inégale répartition des vitesses en modifiant le terme d'inertie V2/ 2 g où V est la vitesse moyenne de l'écoulement, par un facteur a > l . Le ternie de perte de charge, donc de frottement, dépend aussi implicitement de cette répartition des vi
tesses réelles. Il en est de même dans un écou
lement en milieu perméable : les fonctions xï\
et W2 dépendent de la répartition des vitesses réelles, donc de la structure intime du mou
vement.
2) De plus, nous devons aussi tenir compte du changement de section intervenant lorsque Ton passe de la vitesse moyenne réelle à la vitesse spécifique définie indépendamment des pleins et des vides dans le volume total AV.
Nous devons donc passer successivement de la -*
vitesse réelle u à la vitesse moyenne réelle [u]
définie par l'équation :
où AVV est le volume des vides du cube élémen
taire, puis passer de la vitesse moyenne réelle [u] à Ja vitesse spécifique définie par l'équation :
A) Examinons donc tout d'abord comment u
—>
est lié à [ « ] .
Notons pour cela que les composantes perpen
diculaires à l'écoulement moyen ont une somme vectorielle nulle dans le volume AV, mais leur grandeur absolue n'est pas nulle. Ce qui se tra
duit mathématiquement par les expressions sui- -»
vantes, dans lesquelles vn désigne la composante
-*
de la vitesse ponctuelle u perpendiculaire à la vitesse spécifique U :
jjj^ vn dv=0 fjj^ \7>H\ du # 0
Il s'ensuit que la moyenne des valeurs abso-
9 0 8 LA H O U I L L E BLANCHE NU G - DÉCEMBRE 1 9 5 7
lues des vecteurs vitesses est plus grande que la valeur absolue du vecteur vitesse moyenne (il existe u n e certaine analogie avec les écoule
ments turbulents où la somme des fluctuations de vitesses est nulle, mais en fait ces fluctuations augmentent la moyenne des valeurs absolues des vitesses réelles).
Pour connaître le facteur de proportionnalité qui lie à cette vitesse moyenne la valeur absolue du vecteur vitesse moyenne, il faudrait connaî
tre la loi de probabilité répartissant les parti
cules d'eau dans les différentes directions, p a r
->
rapport à la direction de la vitesse moyenne [ u ] . A notre connaissance, cette loi est encore in
connue.
On peut seulement dire que ce facteur est fonction de l'indice de vide et du régime de turbulence.
1. L ' I N D I C E D E V I D E :
Considérons en effet deux milieux perméables en parfaite similitude géométrique (donc de même indice de vide) (fig. 1). Si le régime de
F I G . 1
Influence clu d i a m è t r e des e n r o c h e m e n t s s u r les t r a j e c t o i r e s fluides.
turbulence est le même et si la différence des effets d'inertie q u a d r a t i q u e est négligeable, les trajectoires du mouvement sont sensiblement semblables.
Considérons m a i n t e n a n t l'un de ces milieux et u n milieu constitué des mêmes enrochements disposés d'une façon identique mais plus resser
rés (donc d'indice de vide différent) (fig. 2).
F I G . 2
Influence de Pindice de vidé s u r les trajectoires lïuides.
Les trajectoires sont alors différentes et en général leurs longueurs augmentent quand l'in
dice de vide diminue.
-> ~»
[u] est donc lié à u p a r u n facteur D fonction de l'indice de vide s et exprimant l'augmenta
tion de parcours causée p a r les détours des trajectoires fluides, lorsque l'on passe au mou
vement moyen.
Notons que pour u n milieu tel que celui de la figure 3, D = l ; dans tous les cas : D ^ l .
FIG. 3
Cas de p l a q u e s p a r a l l è l e s a u sens du m o u v e m e n t m o y e n .
Si m a i n t e n a n t on suppose que toutes les di
rections 8 telles que 0<6<TC/2 sont également probables (c'est-à-dire que la probabilité, pour
-» —> —>
que l'angle de [ u ] avec [a] (ou U) soit compris entre deux valeurs ô et 0 + ^ 8 , est proportionnelle à l'angle solide compris entre deux cônes de demi-angle au sommet 6 et 6+d6), D = 2 . Cette hypothèse donne évidemment matière à dis
cussion.
2. L E R É G I M E D E T U R R U L E N C E :
Le facteur D est aussi fonction de la répar
tition des vitesses à travers les enrochements, qui dépendent du régime de turbulence.
Or, en régime permanent, nous savons que les lois de perte de charge en milieu perméable (caractérisant u n mode de répartition des vites
ses) ont la forme (obtenue p a r l'analyse dimen- sionnelle) : [cf. (1) (2) (3) (4) et (5)] :
AH =C U2
AL dans laquelle :
AH/AL est le gradient de perte de charge;
Ü d
le rapport du débit à la section totale (ce qui représente donc la vitesse spécifique) ; la granulometrie des enrochements consti
t u a n t le massif;
e : l'indice de vide;
v ; le coefficient cinématique de viscosité.
C(Ud/v) et / ( s ) sont des fonctions universel
les pour lesquelles diverses formes ont été p r o posées [Cf. (1), (2), (3), (4) et ( 5 ) ] .
Rappelons que lorsque le régime est laminaire, la fonction C(Ud/v) est proportionnelle à 1/Ud, de telle sorte que le gradient de perte de charge est linéaire p a r rapport à la vitesse U. Si le ré
gime est pleinement turbulent, la fonction C est
DÉCEMBRE 1957 - N" 6 B. L E M É H A U T É 909 une constante et la partie de charge varie alors
avec le carré de la vitesse.
On a souvent démontré l'analogie qui exis
tait entre le coefficient de perte de charge C ainsi défini et le coefficient de perle de charge X à travers un tube ou le Cj. d'une sphère rugueuse, le critère de turbulence étant alors le nombre de Reynolds Ud/v [Cf. (6), ( 7 ) ] .
Dans un écoulement périodique, on peut de môme penser à l'analogie qui existe entre le mouvement de l'eau en massif perméable d'une part, et le mouvement d'oscillation de l'eau dans un tube en U, ou le mouvement d'oscillation d'une sphère dans l'eau, mouvements pour les
quels on a mis en évidence un autre critère de turbulence auquel est lié une certaine réparti- lion des vitesses.
Ce critère repose sur l'emploi du nombre o = ( d2/ T v ) où T est la période du mouvement et d une dimension caractéristique (diamètre du lube en U ou de la sphère) [Cf. (8), ( 9 ) ] .
Mais avant d'exposer plus en détail ces ré
sultats, faisons quelques remarques préalables : Le mouvement p e r m a n e n t n'existe j a m a i s au sens rigoureux du terme, étant donné qu'il y a toujours u n début et une fin. Cependant, il est hors de doute que le critère de turbulence s'ex
prime à p a r t i r d'un certain état de régime au moyen du nombre de Reynolds : Ud/v seul.
Il est permis de penser que ce nombre devra être pris en considération à p a r t i r du moment où les couches limites turbulentes, se développant à partir de chaque enrochement, se joignent pour établir dans le massif une turbulence homogène.
Donc, dans le cas d'un mouvement périodique, le régime de turbulence serait caractérisé par le nombre de Reynolds à partir du moment où, pratiquement :
•T/2 -»
udt>d
(l'interstice étant du même ordre de grandeur que le diamètre du m a t é r i a u ) .
Si, au contraire, l'amplitude locale est infé
rieure à d, au nombre de Reynolds se superpose l'autre nombre :
et par analogie, ce critère peut s'appliquer au massif perméable, d désignant alors, par exem
ple, le diamètre de l'enrochement.
Le régime d'écoulement est alors complexe. Si le nombre de Reynolds est toujours suffisam
ment faible pour que le régime reste laminaire, et lorsque u est faible, l'écoulement présente à chaque i n s t a n t les mêmes caractéristiques que l'écoulement p e r m a n e n t correspondant. Mais lorsque u est grand, l'écoulement se présente très différemment.
C'est ainsi que l'écoulement laminaire dans un tube en U, soumis à une charge périodique sinusoïdale [Cf. (10), (11)] :
1 dp n
—, _ X _ = C C O S Lût 0 ox
et régi par l'équation :
dt o dx ^ V 3 r2 ^ r dr )
conduit aux équations :
1" Dans le cas où u est petit ( u< 1 0 ) : c
U = (d'2 ;'2)CQS c of
4 V
2° Dans le cas où u est grand ( u> 1 0 ) :
H = ( C / O > ) sinwf — - ( c/co) ^/d/r e- V ^7 <<'-'•>
sin[o)f— ^ / < d/ 2 v (d — r ) ] C'est ce que l'on appelle l'anneau Richardson.
R e m a r q u o n s que dans ce dernier cas se pré
sente un paradoxe : le terme d'inertie est indé
pendant de la période.
Notons encore que Boltze a déterminé, par des calculs basés plutôt sur les lois des écoulements permanents, le temps nécessaire au décollement d'une couche limite laminaire au point arrière d'une sphère à laquelle on c o m m u n i q u e b r u s quement une vitesse de translation. Dans ces calculs, la couche limite se trouverait décollée au bout d'un temps égal à 1/1 (T de seconde. Or, les expériences de Valensi contredisent de tels résultats qui ne rendent pas compte de la n a t u r e transitoire de l'écoulement et négligent l'in
fluence du p a r a m è t r e o défini ci-dessus.
En résumé, lorsque l'amplitude locale du mou
vement est d'un ordre de grandeur supérieur aux dimensions des enrochements, le régime de turbulence est caractérisé par le nombre de Reynolds Ud/v seul.
Dans le cas contraire, le régime de l'écoule
ment dépend du nombre d2/ T v II y a u r a donc une limite dans l'application des règles de simi
litude basée sur l'application de la notion de nombre de Reynolds. Nous reviendrons ultérieu
rement sur ces considérations. Remarquons ce
pendant, dès maintenant, que les régimes d'écou
lement sont définis pratiquement p a r des iné
galités.
11 faut ajouter que l'inertie (terme quadrati
que) intervient dans l'écoulement (dans les cou
des, dans les rétrécissements) pour modifier la répartition des vitesses. Cet effet se t r a d u i t par des pertes non linéaires, même lorsque le régime est strictement laminaire. Mais cet effet est im
plicitement inclus dans la fonction C(Ud/v) ob
tenue expérimentalement.
910 L A H O U I L L E B L A N C H E № (> - DÉCEMBRE 1 9 5 7
B) Examinons m a i n t e n a n t comment la vitesse
~>
moyenne réelle [u] est liée à la vitesse spéci- -»
fique U.
P a r continuité, on a : [u] s—U S
s et S étant respectivement dans u n plan per
pendiculaire à Técoulement moyen, la section de vide et la section totale.
D'où :
U= s S [«]
Intégré au volume AV, s/S n'est autre que l'indice de vide & du massif; en conséquence :
[ u ] =
£
E n définitive, on peut écrire que lorsque l'on passe de la vitesse réelle u à la vitesse spécifi
que U, il faut tenir compte de la répartition des vitesses p a r un coefficient D fonction de
( U d / v , d2/ T v , e) et du volume des vides par le rapport 1/s. En conséquence :
thode est, on le conçoit, excessivement délicate car il faudrait alors connaître la répartition exacte des vitesses à travers les enrochements.
La deuxième méthode consiste à appliquer di
rectement les résultats expérimentaux obtenus pour les écoulements continus. Ceci ne saurait être valable que dans le cas où le critère de tur
bulence est Urf/v et non d2/ T v .
Les écoulements en régime p e r m a n e n t à tra
vers les massifs perméables ont en effet donné lieu à de nombreuses études théoriques et expé
rimentales. A notre connaissance, l'étude expé
rimentale la plus étendue sur la perméabilité de massifs en enrochements a été effectuée au Laboratoire Dauphinois d'Hydraulique par M. Cohen de Lara. Cette étude présente l'avan
tage, pour le cas qui nous intéresse, d'apporter des précisions sur les écoulements à travers des massifs constitués d'enrochements de très fortes granulométries ( d = 2 0 c m ) .
Les résultats obtenus se résument dans la formule :
AH M
C ( U r f / v ) U2
2gd
tfi (U) = D (Urf/v, rfVTv, s) du
e 3 f
Pour déterminer la fonction W2 caractérisant les pertes par frottement, il existe plusieurs méthodes ;
La première consiste à faire le bilan énergéti
que du phénomène, c'est-à-dire à évaluer la fonc- tion v Az* dans le mouvement moyen. Cette mé-
dans laquelle AH/A? est le gradient de pression caractérisant la perte de charge à travers le massif. C est fonction du nombre de Reynolds (et accessoirement de la rugosité des grains).
Sans doute, en s'appuyant sur des considéra
tions théoriques, a-t-on proposé de nombreuses fonctions pour caractériser l'influence de l'indice de vide e.
Dans u n but essentiellement pratique, et peut- être au détriment d'une p u r e logique, nous utili
sons dans ce qui suit la fonction proposée par M. Cohen de Lara qui présente le grand avantage
10 10* 1 0J
F I G . 4
Fonction C (Ud/v) c a r a c t é r i s a n t les pertes de charge d a n s un massif d'enrochements.
DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № G B. L E M É H A U T É 9 1 1
d'une simplicité compatible avec les résultats connus à ce j o u r .
Pour une a u t r e raison de simplicité, compati
ble comme nous le verrons avec les approxi
mations de l'étude, nous ne tiendrons pas compte de l'influence de la rugosité et du coefficient de forme des enrochements, qui d'ailleurs sont le plus souvent inconnus lors d'une étude de di
gues en enrochements. Nous prendrons donc la fonction C (Urf/o) correspondant aux valeurs les plup courantes, pour les enrochements b r u t s de carrière (fig. 4).
Cette méthode laisse évidemment imprécis le mécanisme interne de l'amortissement résultant des forces de frottement, mais elle donne des indications convenables sur le taux d'amortisse
ment et finalement, on peut écrire (U), di
mension équivalant à : 9 A H -
AZ
W2 (U) = C (Urf/v) U 2rf U
Les fonctions Wx et *r2 se présentent donc sous une forme relativement complexe et l'équation du mouvement moven devient finalement :
D (Urf/v, rfVTv, s) dV , 1 - > — ( _ — gr a (J p*
+
C (Ud/vï Ues 2 d U= 0 Cette équation est difficilement integrable, bien que nous ayons négligé les termes d'inertie quadratique (premier ordre d'approximation).
Tout d'abord, on peut considérer D dans l'en
semble du massif comme une constante, car
comme nous l'avons déjà r e m a r q u é , D varie très peu. P a r contre, pour linéariser l'équation, nous sommes obligés de p r e n d r e la valeur moyenne, dans le temps et dans l'espace, du coefficient de frottement et d'écrire :
R = -
T V Jy I « « 2 d dT dY Ce mode de raisonnement, évidemment gros
sier, est couramment utilisé en hydraulique où les phénomènes non linéaires sont fréquents (la théorie des oscillations d'amplitude non négli
geable dans les cheminées d'équilibre est établie sur une semblable approximation). Nous obser-
—»
verons pour appuyer cette théorie que U n'inter
vient dans l'expression de R que p a r son mo
dule. Il est donc n a t u r e l de s'attendre à ce que ce module demeure plus ou moins constant en moyenne. Au contraire, U varie en direction : nous verrons qu'à chaque période la direction
->
de U fait u n tour complet.
Ceci revient à admettre, dans tous les cas, l'existence d'un frottement proportionnel à la vi-
—>
tesse spécifique U et l'équation du mouvement devient plus simplement :
1) 3U , 1 —>
— ^ r + ~ g r a d ^ + R U = 0
Nous verrons par la suite comment il est pos
sible de déterminer p r a t i q u e m e n t R en fonction des caractéristiques du milieu. R e m a r q u o n s toutefois que le coefficient R obtenu expérimen
talement contient implicitement le terme d'iner
tie quadratique et c'est ce qui donne à la fonc
tion C (Urf/v) une valeur complexe dès que Urf/v dépasse une certaine valeur, même lorsque l'écoulement reste laminaire.
C H A P I T R E II
I N T É G R A T I O N D E L ' É Q U A T I O N G É N É R A L E D U M O U V E M E N T
L'équation du mouvement moyen s'écrit donc, Oz étant u n axe vertical ascendant:
4 #
+ gS d ( f
+ 9 z ) + R U = » Le mouvement moyen étant supposé irrotationnel, on a :
-» —>
U = g r a d 9 (x, y, zy î)
et au fond :
h étant la profondeur.
= 0 pour z— — h oz
Le potentiel des vitesses <p étant harmonique, l'équation du mouvement devient successive
ment ;
912 LA H O U I L L E BLANCHE № (> - DÉCEMBRE 1 9 5 7
D d -»
— wgrzd9-
9
\
arad £ Sí ^
5r a d + Í F
— + Í / - + R ?
R grad 9= 0
= 0 Soil l'équation équivalente (H étant une cons
tante) :
D - S * + R 9= H
Cette équation est une généralisation de Féqua
tion de Bernoulli pour les mouvements non per
manents en milieu perméable, d'indice de vide quelconque, et dans laquelle sont négligés les carrés des vitesses.
A la surface libre (où z=0 au repos) : p=Cte pour z=f Or, y, t)
et la condition à la surface libre s'écrit, en déri
vant par r a p p o r t à t :
e 3f2 -9 dz dt
Or, le terme o gz représentant la pression due à la force de gravité indépendante de l'indice de vide, dz/dt désigne la composante verticale de la vitesse moyenne réelle az, qui est liée à la composante verticale de la vitesse spécifique dé
finie p a r dy/dz par le r a p p o r t des sections
^ w0= S U2, c'est-à-dire suivant u n raisonnement analogue à celui du premier chapitre, par l'in
dice de vide :
dz 1 9 9
dt e dz
et la condition à la surface libre devient : D 329 , g 3cp , ^ 3©
dp s dz ^ dt =0
Cette loi diffère de la loi de Darcy par la pré
sence du seul terme d'inertie : D d2o
dP
Remarquons que lorsque D = ï , s= l et R = 0 , on retrouve bien la condition de Poisson à la surface libre.
M. Biesel a donné une solution particulière de cette équation pour des mouvements bidi- mensionnels périodiques en vue de son appli
cation au filtre à houle, pour lesquels on peut considérer que D et s sont égaux à l'unité
[Cf. (12)].
Dans le cas présent considéré (D et s quel
conques), en nous limitant au problème à deux dimensions et aux ondes périodiques en pro
fondeur constante, Ox étant supposé confondu avec la surface libre au repos et compte tenu de l'équation de continuité :
A9= 0 et de la condition aux limites :
39/ 3 z = 0 ,
pour z= — h (profondeur) le problème est ré
solu rigoureusement par la solution particu
lière 9 ci-dessous qui permet d'interpréter les phénomènes qui nous intéressent :
= ^ ± r î cos p nï ( z + / i ) ch nï (z + h) sin (co/ — m'x) m' sh nïh
~f sin p nï ( z + /ï) sh nï (z-\~h) cos (cof — m'x)} {h avec:
, < , 1 n 1 — P (sin 2 P nïh/sh 2 nïh)
o)J= / 7 i/ (o/D) th nïh — - — , , » ~— , , , i o—ttt-1-
J 1 — (sin2 p / n ' / i / e h2 m7/?) et :
R (£/ D) = ß c o 1 + ( s i n 2 ß nïh /p sh /n'A) 1 — (sin2 ß m ' A / c h2 m'h) expressions dans lesquelles :
(2) (3)
T L'
T étant la période et L' la « longueur d'onde ».
Si p est petit, les expressions (2) et (3) de
viennent :
o>2=m' (g/D) th m'A 2 m'A R (S/D)==p<û 1 +
sh 2 m'h
Les erreurs introduites p a r cette simplification sont inférieures à p2 même en profondeur infinie.
De la formule (1) on déduit que la longueur d'onde à travers le massif est donnée par la fonc
tion implicite :
i ' = l . ¿EL
D 2%
et la célérité
2 z th
t h L'
2%h
C T
On voit que la célérité et la longueur d'onde ne dépendent pratiquement pas de Ja loi de frottement.
On déduit de cette formule que la longueur d'onde d a n s le massif est liée à la longueur d'onde extérieure par la relation ;
L V D = L pour les ondes longues;
DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № 6 B. LE MÉHAUTÉ 913
1/ D = L pour les ondes en profondeur infinie.
Bien entendu, toute la géométrie de l'écoule
ment (entr'autres la variation de l'amplitude en fonction de la profondeur) se trouve modifiée dans le même rapport.
C'est ainsi qu'en profondeur infinie l'ampli
tude décroit comme :
e-(2'iTZ/W) .e - (2 7 T 3/ D L )
Ces formules méritent quelques remarques : La longueur d'onde dans un milieu perméable est directement liée à la longueur d'onde en mi
lieu libre par une fonction simple du rapport des parcours respectifs q u e fait l'eau en ces deux milieux. Le mouvement est en somme « replié » sur lui-même p a r suite des détours des trajec
toires liquides. On voit de suite le moyen expé
rimental de déterminer la valeur de D p a r m e sure des longueurs d'onde.
Un milieu perméable constitué de plaques ver
ticales parallèles au sens de l'écoulement ne di
minue pas la valeur de la longueur d'onde et de la célérité. (C'est le cas du filtre à houle consti
tué de plaques verticales.)
Par contre, le filtre en grillage introduit u n déphasage q u i est fonction de D, c'est-à-dire de l'épaisseur des mailles et du tassement du filtre.
Si l'on prend comme base de référence la phase de la houle incidente au point x=0, le déphasage de la houle au point a*=Z sera, par r a p port au point x=Q :
L'introduction d ' u n massif perméable se tra
duit donc p a r u n retard de phase dans la houle transmise p a r suite de la modification de la lon
gueur d'onde.
P a r suite, le déphasage entre la houle qui se
rait transmise sans le massif et la houle t r a n s mise à travers le massif au point x=l est égal à :
v v L ;
Soit, dans les deux, cas précédemment consi
dérés :
—- profondeur relative faible;
? = 2 *l (—— 1
V Y D J
— profondeur relative infinie :
CHAPITRE III
P E R M É A B I L I T É D ' U N M A S S I F L O N G S O U M I S A U N E O N D E I N C I D E N T E
Considérons dans u n canal les milieux ( 1 ) , (2) et (3) d'indices de vide respectivement égaux à 1, e et 1 séparés p a r des plans verticaux d'abscis
ses respectives x^O et x=l (fig. 5 ) .
\
A l l ) ^ A (III) A(IV) A ( V I ) ^ AMI1)
Ar(VII) ^ Ar(V)
®
AMI1)
A r2 ^
®
AMI1)
®
o' x'
1 ^ Fie. 5
Massif long s o u m i s à u n e onde incidente : axes de référence.
Désignons par les indices c (clapotis), m (mas
sif) et h (houle) les caractéristiques des trois milieux considérés. Dans chacun des domaines Dc, DI H, D/ (, te mouvement du liquide dérive d'un potentiel de vitesse or, <?„. On sait que, quand
les fonctions q sont sinusoïdales en t, chacun de ces potentiels 9 se présente sous la forme :
9 i = $ i Or, z) s m — —
où &i(x,z) est une fonction h a r m o n i q u e que l'on peut développer en série de fonctions h a r m o n i ques propres correspondant c h a c u n e au do
maine D considéré et aux conditions aux limites appropriées. La question revient à calculer <I>m et <I>7i connaissant la forme de $a. Pour cela, il est nécessaire d'écrire les conditions aux limites qui vérifient $m et <i>A le long des frontières de leur domaine.
Si, p a r exemple, u n onde incidente d'ampli
tude 2 a se propage dans le milieu (1) venant de la gauche, elle mettra en mouvement le m i lieu (2), et pour déterminer les mouvements dans les domaines (1) et (2), nous devrons utiliser les conditions aux limites le long du plan vertical Oz, en plus des conditions a u x limites de fond
914 — — LA H O U I L L E BLANCHE N" (i - DÉCEMBRE 1957
et de surface qui se trouvent vérifiées p a r les potentiels ®. Rappelons enfin que dans les do
maines donnés D6: et D7 j, l'allure des fonctions o à l'infini est une donnée a priori.
En ce qui concerne les conditions à la paroi de séparation, nous admettons que les vitesses hori
zontales d'une part, et les pressions d'autre part, doivent être égaies le long de Oz. Le problème étudié est analogue à celui du mouvement d'un fluide pesant dans u n canal sous l'action d'un batteur.
Ce problème a été étudié p a r MM. Havelock [Cf. (13)], Biesel [Cf. (14)], Kravtchenko et Santon [Cf. (15)]. Nous renvoyons donc le lec
teur a u x publications de ces auteurs. On y trou
vera entre autres la justification des conditions aux frontières ci-dessus.
Signalons aussi la parenté du sujet traité ici avec les travaux de M. Macagno sur le passage d'une houle sous u n obstacle [Cf. (25)].
Nous rappelons seulement les grandes lignes de la méthode employée ici et les principaux ré
sultats : dans le domaine infini Dc p a r exemple, où le mouvement se réduit par hypothèse à u n e simple houle pour x= — ce (ou à u n e superposi
tion de telles houles), ®c se présente sous forme d'une combinaison linéaire à coefficients cons
tants (qui sont les constantes généralisées de Fourier) de fonctions :
eh m0z sin m0x et cos m,! em{* constituant u n e famille complète dans Dc de fonctions harmoniques. Les constantes mt (i—0, 1, 2, 3 . . . oc) sont les racines réelles de l'équa
tion transcendante.
On développera ensuite des conditions fron
tières utiles le long de x=0, —h ^ z ^ Q , en série de Fourier de cos m^z et ch m0z qui forment en
core u n e famille complète sur l'intervalle con
sidéré.
Le développement de $m en série de fonctions propres analogues soulèvera peu de difficulté, le domaine de définition étant borné. On pourra donc aisément écrire les conditions aux frontiè
res le long de x=0, — h^z^O et trouver les relations entre les constantes généralisées de Fourier de <t>c et $m.
Dans le domaine Dc, les fonctions du type cos mtz e+mix représentent des mouvements transitoires qui s'amortissent à faible distance du plan vertical Oz et qui n'ont pas d'intérêt pour notre problème dans la mesure où les di
vers mouvements peuvent se superposer sans s'influencer (ce qui correspond à nos hypothè
ses de linéarisation et d'homogénéité des équa
tions que nous avons décrites précédemment).
Les fonctions du type ch m0z sin m0x repré
sentent au contraire des mouvements ondulatoi
res dont on peut théoriquement déterminer l'amplitude en employant une méthode qui s'ins
pire de celle indiquée ci-dessus.
Formons les conditions frontières que véri
fient les fonctions c?; celles-ci doivent exprimer la continuité et l'égalité des pressions aux deux extrémités du massif de longueur L
1) L'ÉQUATION D E C O N T I N U I T É exprimant l'éga
lité des vitesses horizontales sur les frontières verticales x = 0 , x=l s'écrit, compte tenu de la réduction de section dans le massif :
et :
doc
e
1
~dom dx
dx
' doh dx.
2) EGALITÉ D E S P R E S S I O N S . — Nous savons que dans les milieux (1) et ( 3 ) la pression est expri
mée p a r l'équation (valable au premier ordre d'approximation) ;
- - i r
0 oí
(HL étant u n e constante) et dans le milieu (2) par l'équation :
» , . D do
-T + 9 Z + T Ht (H2 étant une constante).
+ R ç = H2
L'égalité des pressions décrites aux deux ex
trémités du massif s'écrit :
H,
_
D 3?,„'ài _ g; = 0 di
R 9»!
.
H2 etD r 9 tP » '
£ L _
R H a
" d oh '~
__~3f _ .i.- = i Ho
V>1
ou encore, en dérivant par rapport au temps :
~d^c dt*
et
JD^
S
e I 9 f2
+ R
+ R ' 3?„, 1 3f L= o
doilf do]t
dt _ dt
Les fonctions ® étant des fonctions sinusoïda
les en fonction du temps, on peut encore écrire ces égalités sous la forme suivante puisque la
DÉCEMBRE 1 9 5 7 - № 6 B. LE M É H A U T É 9 1 5
dérivée par rapport au temps s'accompagne de part et d'autre de l'introduction d'un terme constant a) (ce qui revient à écrire) :
+ R | 9».
"dt 39,"" _ J D
<c = 0 S 3f D Sep,,,
3/ + R
Ces égalités sont malaisées à manier, car les valeurs de la longueur d'onde dans le massif et à l'extérieur sont différentes. Aussi nous traite
rons seulement ici u n cas plus simple, mais ri
che d'enseignement, où D = l et e = l , égalités qui entraînent m—m'. Ceci permet de faire un grand nombre de simplifications et correspond pratiquement au cas des filtres à houle.
Pour alléger nos calculs, nous prendrons l'axe Ox sur le fond, ce qui revient à faire des translations d'axes z'—z-\-h. Nous utiliserons les potentiels complexes $ dont les parties réelles sont égales aux potentiels <p. La variable com
plexe Z sera égale à Z = X ' - | - Ï Z ' .
De plus, pour simplifier l'écriture, on posera : A = m sh mh
Dans les milieux (1) et (3), la fonction com
plexe potentielle <ï> prend alors la forme : (I)=A sin (m Z~(zbit)
et dans le massif (2), on peut vérifier que la fonction < pH l (1), donnée au précédent chapitre, est rigoureusement égaie à la partie réelle de (avec m'=m) :
<ï>M=A e-fi»17-' sin (m Z+<*t)
Nous avons pris 7?î'=n;, car en développant la relation (3) donnée au chapitre précédent et en négligeant devant [i et avec D = l , e = l , -on obtient :
<ù3=mg th m/? [H-f^/'^)]
Appelons An l'amplitude de fonde incidente.
Nous r e m a r q u o n s que cette onde donnera lieu à une réflexion de même période mais d'ampli
tude différente. A priori, on ne connaît pas le déphasage de l'onde réfléchie par rapport à l'onde incidente lorsque cette dernière rencon
tre le massif. Aussi nous décomposerons arbi
trairement l'onde réfléchie en deux ondes d'am
plitude A1 2 et A1 ; î déphasées de rc/2. Cet arti
fice de calcul p e r m e t t r a de connaître non seule
ment l'amplitude de l'onde réfléchie, mais la
phase de celle-ci par rapport à l'onde incidente.
De même, nous procéderons d'une façon ana
logue pour Fonde transmise clans le massif.
Nous décomposerons celle-ci en deux ondes A2 1
et A2 2 déphasées de Nous a u r o n s donc le système d'ondes suivant :
Milieu (1) :
<be=An sin ( m Z ' — w r ) + A] 2 sin (mZ'+wf) + A] 3 cos (mZ'-f-wO
Milieu (2) :
[ A2 1 sin ( m Z ' — o)/)
+ A2 2 COS (77lZ/ *t)} e- Sm7/
Comme nous l'avons indiqué, ces potentiels satisfont à l'équation de continuité et aux con
ditions de surface et de fond. Pour qu'ils soient solution de notre problème, il suffira qu'ils sa
tisfassent aux conditions aux limites le long de Oz'.
Nous calculerons les valeurs de ces fonctions <î>
dont nous prendrons ensuite les parties réelles.
La décomposition en série de fonctions orthogo
nales du type ch mz' ou cos mz' donnera un terme en ch mz' représentant les mouvements ondulatoires. Si les potentiels <1>C et <I>m représen
tent complètement les mouvements ondulatoires, le terme devra être nul quel que soit le temps.
En annulant les coefficients de sin q>/ et cos o>f pour chacune des conditions de vitesses et de pressions, nous obtenons quatre équations qui nous permettront de calculer A1 2, Ai a, A2 1, A2 2 en fonction de An.
Pour obtenir la solution complète du pro
blème, il faudrait ajouter aux potentiels ainsi définis des potentiels h a r m o n i q u e s du type
— <o//n cos mz' emx dont les amplitudes s'obtien
draient en calculant les coefficients des termes en cos mz dans la décomposition des expres
sions :
dx [Ph
dx = 0
= 0
Nous ne ferons pas les calculs puisque nous ne nous intéressons pas aux régimes transi
toires.
CALCUL D E L A P E R T E R É E L L E D E
dç/t, do;,
dx dx =0
Le lecteur vérifiera aisément que cette expres
sion se ramène, tous calculs faits et en négli-
9 1 6 L A H O U I L L E B L A N C H E № 6 - DÉCEMBRE 1 9 5 7
I.,=
géant les termes en p2 m2 z'2 dans les dévelop
pements de :
p—fîmZ n p — ifims' .
c ' w-Q -—e a? = 0 •
[( — A1 2+ A2 1= p . A2 2 — A u ) ch mz'
— P A2 2 J n z ' sh ^iz'j eos ui/
+ [( A1 3+ p A2 1+ A2 2) ch mz'
+ P A2i mz' sh 7 7 7 Z ' ] sin o > / = 0
CALCUL D E L A P A R T I E R É E L L E D E [ / ?C— pm]œ=oz =0:
La condition de l'égalité des pressions revient, dans le cas où L > = 1 et s = l , à l'équation :
Pn
0
dor dom
dt
Le lecteur vérifiera, en développant les cal
culs comme ci-dessus, que cette expression se ramène à :
[(— A32+(R/<*>) A22 — A o i + A ^ ) ch mz'
-f-p A22 mz' sh /nz'] cos tôt + [ ( A1 3 — ( R / o O A o i — A2 2) ch mz'
- f - ( — p A2 1) mz' sh m z7] sin < û f= 0
CALCUL D U C O E F F I C I E N T D U D É V E L O P P E M E N T E N S É R I E S D E S F O N C T I O N S O R T H O G O N A L E S :
Les expressions ci-dessus, qui représentent au deuxième ordre près les lois de vitesses et cle pressions le long de l'axe Oz', sont de la forme E (z') cos ai/, 7] (z') sin «/. Pour calculer le coeffi
cient de terme en ch mz' dans le développement en série de l (z') et TJ ( Z ' ) , nous devrons former les intégrales
r
ç ( a ) ch 777 a d a el 7] ( a ) ch 777a docet les égaler à 0, pour exprimer les potentiels oc
et om représentant les termes ondulatoires des solutions précédemment données. Nous posons : I1= / c h2 my. doi~ 2 m / î-f- s h 2 mh
cients des cos &t et sin w/, nous trouvons le sys
tème de quatre équations à quatre inconnues :
A j2 + A2 1 — ß ü + Q ) A2 2= AU
AJ 8 + ß ( 1 + Q) A2 1 + =0
• A i o
777 a sh 777 a ch 777 a d a -
4 m
2 mh ch 2 mh — sh 2 mh 8 m
Donc :
i t ^
2 777/7 ch 2 777/? — sh 2 772/7 2( 2 i n / i + s h 2 m/ î )
E n multipliant les équations exprimant les éga
lités de vitesses et de pressions p a r ch mz\ en intégrant de 0 à /7 et en égalant à 0 les coeffi-
+ A2 1+ _ + ß Q AR 2 2= — A ,
A1 8— f ~ + ß Q J A 21 ~ A o o = : ( )
La résolution de ce système ne présente p a s de difficultés. E n négligeant dans la solution les ter
mes en p2 et R2 (ce q u i implique que p et R soient petits), on trouve à partir des équations (3) du précédent chapitre et de l'équation don
n a n t la valeur de l2/h ci-dessus : P ( l + Q ) =
ce qui donne finalement :
A12= 0 A2i = An
A18= P ( 1 + Q ) A „ A22= 0
Si 7' est le coefficient de réflexion du milieu ( 2 ) sur le milieu ( 1 ) :
r = p ( l + Q )
De même si V est le coefficient de t r a n s m i s sion du milieu ( 1 ) au milieu ( 2 ) :
¿ ' = 1
La solution du problème est donc représentée par le système d'ondes dont les potentiels com
plexes sont : Milieu ( 1 ) :
<IV=A sin (mZ' — <of)+Ar sin ( m Z' + a > / + w/ 2 )
Milieu ( 2 ) :
*m= A e~^z' sin (mZ' — Lot)
auxquels il conviendrait d'ajouter les termes transitoires n o n calculés et des termes supé
rieurs au premier ordre qui ont été négligés.
On voit que les résultats s'expriment simple
ment en disant que le potentiel complexe de l'onde réfléchie s'obtient en multipliant p a r ;*
l'amplitude de l'onde incidente et en avançant la phase de %/29 alors que le potentiel complexe de l'onde transmise se compose d'un terme de même amplitude et même phase que l'onde inci
dente. On remarquera, cependant, que le poten
tiel complexe se décompose en deux ondes sim-
