Conduction électrique

BLAISE PASCAL PT 2020-2021

DM 9 – à rendre lundi 30 novembre Correction

Conduction électrique

Théorie des tubes à vide

. PT A 2018 .

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VI.1.a Considérons un point matériel de massemen mouvement par rapport à un référentiel Rgaliléen. On le suppose soumis à N forces #”

Fn, 1 ≤ n≤ N. Alors, sur une trajectoireAB, ses variations d’énergie cinétique sontd égales à la somme des travaux des forces qu’il subit :

∆E_c =E_c(B)−E_c(A) =

N

X

n=1

WAB(F#”n)

avecE_c l’énergie cinétique etWAB(F#”n) le travail sur la trajectoireABddeF#”_n.

On peut aussi proposer une formulation instantanée, parfois nommée « théorème de la puissance ciné- tique » :

dE_c dt =

N

X

n=1

P(#”

Fn).

VI.1.b Un électron n’est soumis qu’à la force de Lorentz électrique due à la différence de potentiel entre les deux électrodes,

F#”_L=−eE#”= +e# ” gradV . Son travail entre la cathode et l’anode s’écrit donc

WL =e ˆ

KAc

# ” gradV ·# ”

dM =e ˆ V(A)

V(K)

dV =e(UA− UK)

D’après le théorème de l’énergie cinétique, comme l’électron est sans vitesse au niveau de la cathode E_c(A)−E_c(K) = eU_A donc E_c(A) =eU_A.

L’ordre des questions laisse entendre qu’il faudrait utiliser ici le théorème de l’énergie cinétique ... mais la conservation de l’énergie mécanique donne le résultat beaucoup plus rapidement !

VI.1.c CommeE_c≥0, alors l’égalité ci-dessus n’a de sens que si UA>0, sans quoi les électrons seraient repoussés par l’anode.

VI.1.d Les électrons vont de K vers A, le sens conventionnel du courant est opposé et donc dirigé de l’anode vers la cathode.

Par conséquent, cela signifie que pour calculer une intensité comme le flux du vecteur densité de courant il faudra orienter la surface par le vecteur normal−#”ex.

1/4 Étienne Thibierge, 1^erdécembre 2020,www.etienne- thibierge.fr

Correction DM 9 : Conduction électrique Blaise Pascal, PT 2020-2021 VI.1.e Si la tensionU =UA aux bornes du tube à vide est positive, alors il est traversée par un courant positif en convention récepteur. Réciproquement, si la tensionU est négative alors il n’est traversé par aucun courant. On retrouve donc bien un caractère passant ou bloqué en fonction du signe deU.

VI.2 L’équation de Poisson s’écrit avec la densité volumique de chargeρ=−en(x)

∆V =−ρ ε0

= e n(x) ε0

= j

ε0v(x) d’où d²V dx² = j

ε0v(x).

car #”j =−e n(x)v(x)#”ex=−j#”ex

VI.3 La conservation de l’énergie mécanique d’un électron s’écrit pour toutx

E_m(0) =E_m(x) soit eV₀=1

2mv(x)²−eV(x) donc v(x) =

r2e(V(x) +V0)

m .

Bien que clairement introduite, la notation « simplificatrice » proposée par l’énoncé me semble plutôt être source de confusion ! En effet,V(x= 0) = 06=V0 et même si v0 6= 0 elle n’apparaît pas dans le résultat car, par définition deV0,

1

2mv₀²=eV₀ soit V₀=mv₀² 2e .

Un planx=an’est atteint par les électrons que si la vitessev(a) y est définie, c’est-à-dire seulement si V(a) +V₀>0.

VI.4.a L’énergie potentielle vautE_p(x) =−eV(x), d’où le tracé figure 1.

x Ep(x)

xm

eVm

E_m< eV_m E_m> eV_m

Figure 1–Énergie potentielle d’un électron dans le tube à vide.

VI.4.b Par définition, E_c > 0 donc les seules positions accessibles sont celles pour lesquelles E_p(x) < E_m. Si V₀ < V_m, alors E_m =eV₀ < eV_m qui est la valeur maximale d’énergie potentielle. Tout le domaine oùE > E_m (courbe rouge au dessus de la droite bleue sur la figure 1) est inaccessible aux électrons, qui ne peuvent donc pas traverser le tube à vide.

VI.4.c Dans ce cas, la vitesse des électrons est strictement positive en tout point du tube et tous les électrons passent au travers. Cependant, leur nombre est borné, en raison de l’émission constante de la cathode, ce qui explique la saturation. Comme tous les électrons traversent, alors la densité de courantjtraversant est égale à celle émise par la cathodejmax. L’intensité étant égale au flux de #”

j au travers du tube à vide, on en déduit Imax=

¨

tube

(−jmax#”ex)·(−dS#”ex) soit Imax=jmaxS .

2/4 Étienne Thibierge, 1^erdécembre 2020,www.etienne- thibierge.fr

Correction DM 9 : Conduction électrique Blaise Pascal, PT 2020-2021 Le singe dans l’expression de # ”

dS vient de l’orientation conventionnelle du courant dans le sens desx décroissants mentionnée à la question VI.1.d.

VI.5.a La vitesse des électronss’annule en x0=xm : commeEp(xm) =eV0=Em, alorsEc(xm) = 0.

VI.5.b Le champ électrique vaut

E(x#” ₀) =−dV dx

#”e_x= #”0

car le potentiel est minimal enx=x0.

Attention, le champ est nul car le potentiel est minimal ... pas parce que le potentielV(xm) =cte ! Ne pas confondre la valeur et la dérivée d’une fonction : avec ce genre de raisonnement, vous montrerez que la dérivée de la fonctionx7→x² est nulle enx= 2parce que la fonction vaut 4, ce qui est constant ... ! !

VI.5.c Comme E_c > 0 pour tout x > x₀, alors tous les électrons ayant franchi le point de rebroussement éventuelx=x₀vont jusqu’à l’anode et contribuent au courant. On a donc

i=

¨

tube

(−j#”e_x)·(−dS#”e_x) d’où j(x > x₀) = i S.

VI.6 Les notations sont résumées figure 2 : les densités de courantj⁺ et j⁻ ne sont définies que pourx < x₀ et la densité de courantj que pourx > x0.

x0 x j# ”⁺

j# ”⁻

#”j

Figure 2 –Notation des courants dans le tube à vide.

VI.6.a Il n’y a pas d’accumulation de charge au voisinage dex=x₀, d’où j# ”⁺+# ”

j⁻=#”j soit j⁺−j⁻=j .

Attention à ne pas mélanger le raisonnement en normes, X||#”j_entrant||=X

||#”j_sortant|| soit j⁻+j=j⁺ et un raisonnement purement vectoriel,

X#”j(x=x⁻₀) =X#”j(x=x⁺₀) soit # ” j⁺+# ”

j⁻= #”j , qui redonne le résultat précédent en remplaçant les courants par leurs expressions.

VI.6.b Tous les électrons sortant de la cathode le font à la vitessev0et dans le modèle unidimensionnel utilisé ils vont tous dans le sens desxcroissants. Les électrons qui ont fait demi-tour enx0ne peuvent pas faire un deuxième demi-tour car leur énergie cinétique ne peut pas s’annuler en dehors de x= 0 : ils sont forcément accélérés vers la cathode, où ils sont réabsorbés. Ainsi, les seuls électrons contribuant àj⁺ sont ceux qui sortent de la cathode, d’où

j⁺=j_max=I_max S . De la loi des nœuds on déduit

j⁻=j⁺−j soit j⁻=Imax−i

S .

3/4 Étienne Thibierge, 1^erdécembre 2020,www.etienne- thibierge.fr

Correction DM 9 : Conduction électrique Blaise Pascal, PT 2020-2021 VI.6.c Pour une valeur dexdonnée, ni l’énergie potentielle ni l’énergie mécanique (de toute façon indépendante dex) ne dépendent du sens de déplacement. Il en est donc de même de l’énergie cinétique, et ce faisant de la norme de la vitessev(x).

VI.6.d Par définition,

j# ”⁺=−e n⁺(x)v(x)#”e_x=−j⁺#”e_x d’où n⁺(x) = j⁺

ev(x) = I_max Sev(x). De même, compte tenu de la direction dej⁻ dans le sens desxdécroissants,

j# ”⁻=−e n⁻(x) (−v(x)#”ex) =j⁻#”ex d’où n⁻(x) = j⁻

ev(x) =Imax−i Sev(x) . La densité volumique de charge totale vaut donc

ρ(x) =−e n⁺(x) +n⁻(x)

=−e2I_max−i

Sev(x) soit ρ(x) =−2I_max−i Sv(x) . L’équation de Poisson prend alors la forme

d²V

dx² =2Imax−i ε₀Sv(x) ,

ce qui est bien la forme établie question VI.2 en remplaçantj par (2Imax−i)/S.

L’énoncé oublie que ρ dépend de S! ... et demande un raisonnement assez bizarre sur l’équation de Poisson, à mon avis source de confusion avec la notationj.

VI.7 Prenons la relation donnée enx=d, soitV(x) =UA. Alors,

(V0+UA)^3/4= (d−x0) s

j ε0

rm 2e (V0+UA)^3/2= (d−x0)² i

Sε₀ rm

2e ce qui donne finalement

i= Sε0

(d−x₀)² r2e

m

| {z }

=p

(V0+UA)^3/2 ,

relation qui est bien de la forme attendue.

4/4 Étienne Thibierge, 1^erdécembre 2020,www.etienne- thibierge.fr