G266 : Les cure-dents
Problème proposé par Jean Louis Legrand
Vous jouez avec 2011 cure-dents identiques, assimilés à des segments, que vous devez placer, à la verticale ou à l'horizontale, sur un plan (infini).
Au tour 0, avant de jouer, il n'y a aucun cure-dent sur le plan.
Au tour 1, vous placez un cure-dent à la verticale, n'importe où sur le plan.
Ensuite, à chaque tour, vous devez placer le nombre maximum de cure-dents sur le plan, de façon que:
- le milieu de chaque cure-dent soit situé à l'extrémité d'un cure-dent, et d'un seul, placé avant ce tour;
- chaque cure-dent qui en touche un autre ne le fasse qu'à une extrémité (deux cure-dents ne doivent jamais se recouvrir sur une moitié).
Par exemple, au tour 7, vous placez 12 cure-dents sur le plan pour obtenir la figure de 35 cure-dents suivante:
Q1 ***: Existe-t-il un tour qui donne une figure contenant exactement 2011 cure-dents? Si oui, déterminer le numéro de ce tour. Si non, préciser le numéro du tour qui donne le résultat le plus proche de 2011.
Q2 *****: Combien y a-t-il de cure-dents à l’issue du tour n°2011?
Soit u(n) le nombre de cure-dents après le tour n, et v(n) le nombre de cure-dents posé au tour n, soit v(n)=u(n)-u(n-1). On prend comme origine le centre du premier cure-dent, et comme unité sa demi-longueur ; v(1)=1, v(2)=2, et à partir du troisième coup, la progression s’effectue de façon symétrique dans les 4 quadrants, donc v(n) est divisible par 4. Les points utilisables, extrémités atteintes au tour précédent dans le premier quadrant, ont pour coordonnées: (1,1) v(3) =4; (1,2) v(4) =4; (2,2) v(5)=4;
(2,1)(2,3) v(6)=8; (1,3)(3,1)(3,3) v(7)=12; (1,4)(3,4) v(8)=8; (4,4) v(9)=4; (4,3)(4,5) v(10) =8; (5,3)(3,5)(5,5) v(11)=12; (5,2)(3,6)(5,6) v(12)=12; (4,2)(6,2)(2,6)(6,6) v(13)=16; (4,1)(6,1)(6,3)(2,5)(2,7)(6,5)(6,7) v(14)=28; (7,1)(7,3)(1,5)(1,7)(3,7)(7,5) (5,7)(7,7) v(15)=32; (1,8)(3,8)(5,8)(7,8) v(16)=16; (8,8) v(17)=4;...
On observe sur ces premières valeurs que v(4)=4, v(8)=8, v(16)=16, et
v(5)=v(9)=v(17)=4; après le tour 4 (resp. 8, 16) , on ne peut plus pénétrer dans le rectangle x≤1 (resp. 3, 7), y≤2(resp. 4, 8). Repartant de ce point, on progresse vers la droite, en haut et en bas comme au tour 1 à partir de l’origine, et vers la gauche, en haut comme à partir du tour 2, jusqu’à la puissance de 2 suivante : on a donc v(2k+i)=2v(i)+v(i+1) pour 0<i<2k et v(2k)=2k.
Ces relations permettent, à l’aide d’un tableur, de calculer v(n) et u(n) pour tout n. En particulier, u(60)=2011, et u(2011)=2247339.
