Solution de la question 415

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E RNEST M ALINVAUD Solution de la question 415

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 17 (1858), p. 123-124

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SOLUTION DE LA QUESTION Al5

(von , p 81),

PAR M. ERNEST MALINVAUD, hlève de rinstitution Bourdeau , a Limoges.

On suppose que dans les deux triangles ABC, abc , les angles A et a sont égaux ; de plus les cotés BC, bc oppo- sés à ces angles sont entre eux dans le idppnit des péri-

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mètres des triangles. Démontrer que ces triangles sont semblables.

Appelons a, 4, c et a', b', c' les côtés des deux triangles, 2p et ip' les périmètres. Les conditioos de la question nous fournissent les relations suivantes :

a p p — a b -\- c

K J a'~ p ' ~ ~ p ' — a'~ b1' + r'

La formule fondamentale de la trigonométrie rectiligne donne

i-hcosA = - f = - rr-7 > car A = A ' ;

ibc -ib' c

d'où l'on tire

bc p (p — # ) à1

Ainsi

(b' + c')i — V c' "" rt'2 - - 4 £' <r'

11 en résulte ( )

E n c o m p a r a n t l e s r e l a t i o n s ( i ) e t ( 2 ) , o n o b t i e n t a b -+- c b — c

cl o ù

a ^ r

C. Q. F . D .

MM. Emile Daruty (de Pile Maurice), Laquières et Fénéon (élèves du lycée Saint-Louis) ont donné des solu- tions trigonométriques semblables ; mais MM. Laquières i*t Fénéon ont aussi donné une démonstration géomé- trique fondée sur la considération des cercles ex-inscrits.