Agrégation des sciences mathématiques (concours de 1889). Solution de la question d'analyse

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. G ROSSETÊTE

Agrégation des sciences mathématiques (concours de 1889). Solution de la

question d’analyse

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 10 (1891), p. 208-212

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AGREGITKM DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (COACOUUS DE 1 8 8 9 ) .

SOLUTION DE LV QLESTIO\ D'ANALYSE;

PAU M. E. GROSSETÈTE, Professeur au lycée de Nevcrs.

Soient h et À les invariants de léquation aux déri- vées partielles

dz j dz

dx dy dx dy

dy

ethi, ki les invariants de l'équation (E,) obtenue en appliquant la méthode de Lap lace.

Trouver les formes que doivent avoir les invariant*

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// et k pour que Von ait les deux relations

hi — Ih, /rj = /??/i,

/ et m étant des constantes.

Déterminer les f ormes que prennent dans ces condi- tions les coefficients a, b, c de Véquation (E).

I. On sait () que, si Ton désigne par h*

{

et k

{

les in-

\ariants de l'équation (Ej), on a d

2

logh

dx dy

Or ici hi — lh) k

{

= mk; on conclut que l'équation donnant h est

, / , i \ d* loi»/?

h II A -2 ) = "

Si l'on pose l-\ 2 =/^, il faudra intégrer l'équa- lion

' dx dy

r

dans laquelle p est constant.

Pour cela, posons

(i) devient

-——- = ne2",

dx dy

l

C'est une équation de Liouville 5 pour l'intégrer, nous poserons

dz

0

(*) DARBOUX, Théorie générale des surfaces, t. II, p. 28. Paris,

riauthier-VilIars et fils.

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d'où

et, en prenant la dérivée par rapport a

dx dy dx ^ ' par suite

S o i t < i ( i ) = - j.,,

x

une solution particulière dr

iW

**/ * f (y)**

^{

cette équation.

Pour avoir la solution générale, posons

« étant une nouvelle variable; il viendra

du f"(y)

d

Y f (y)

d'où, après avoir multiplié par —• \ 7

nn+ ^ny) = ⁰

dy u J yj '

Intégrant par rapport à y, il vient

d'où

enfin

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donc

f (y) <*'(

1 /?

y -'im + i \Ay)-¥o(x)\*9

II. P o u r d é t e r m i n e r les formes q u e p r e n n e n t dans ces conditions les coefficients a, è , c de l'équation ( E ) , nous calculerons les coefficients a'', Z>'7 c' de l'équation réduite

d*z' ,dz' Jfdz'

v y dx dy dx dy

ijni a les mêmes invariants que la proposée et qui est telle que a!b'— c' = o. Dans ce cas, on peut déterminer a', //, c' par les formules

a'= I hdx, b'— j kdy, c'—a'b',

dx =

f(y)-Ayo)

, . mo'(x)f(y)

En faisant sur (E') une suÎ3Stitution de la forme

z' = Xs,

dans laquelle X désigne une fonction quelconque de x f t j , on obtiendra une équation (E) répondant à la

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question. Les valeurs de «, &, c sont alors données par les formules

dy

, r/loffX , c — c -\~ a — r5- -h b

dx

dx dy \ dx dy

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