Exercices d’algèbre des schémas-blocs - Corrigé

Exercices d’algèbre des schémas-blocs - Corrigé

+ -

- + E(p)

A(p) B(p)

C(p)

S(p) D(p)

E(p)

Déplacement du point de prélèvement

+ -

- + E(p)

A(p) B(p)

C(p)

S(p) D(p)

E(p).D(p) Boucle 1

Calcul de la FBTF de la boucle 1 :

) p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( B )

p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( E ).

p ( D ).

p ( . B ) p ( D ).

p ( E ) 1 p ( H₁

= +

= +

+ - E(p)

A(p)

C(p)

S(p) D(p)

Boucle 2

H1(p)

Calcul de la FBTF de la boucle 2 :

) p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( ). B

p ( C ).

p ( A 1

) p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( ). B

p ( A )

p ( H ).

p ( C ).

p ( A 1

) p ( H ).

p ( C ).

p ( . A ) p ( C ) 1 p ( H

1 1 2

+ +

= +

= + ) p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( B ).

p ( ) A

p ( H₂

+

= +

E(p) S(p)

D(p) H2(p)

Calcul de la FT finale :

) p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( E ).

p ( D ).

p ( B 1

) p ( D ).

p ( B ).

p ( ) A

p ( D ).

p ( ) H p ( E

) p ( ) S p (

H ₂

+

= +

=

=

+ -

- + E(p)

A(p) B(p)

S(p) C(p)

-

D(p)

Dégroupement du point de sommation

+

- + E(p)

A(p) B(p)

S(p) C(p)

-

D(p)

+ -

Boucle 1 Boucle 2

Calcul de la FBTF de la boucle 1 :

) p ( D ).

p ( A 1

) p ( A )

p ( D ).

p ( A 1

) p ( D ).

p ( . A ) p ( D ) 1 p ( H₁

= +

= + Calcul de la FBTF de la boucle 2 :

) p ( C ).

p ( B 1

) p ( B )

p ( C ).

p ( B 1

) p ( C ).

p ( . B ) p ( C ) 1 p ( H₂

= +

= +

E(p)

H1(p) H2(p) S(p)

+ -

Boucle 3

Calcul de la FBTF de la boucle 3 :

) p ( C ).

p ( B 1

) p ( . B ) p ( D ).

p ( A 1

) p ( 1 A

) p ( C ).

p ( B 1

) p ( . B ) p ( D ).

p ( A 1

) p ( A )

p ( H ).

p ( H 1

) p ( H ).

p ( ) H p ( H

2 1

2 1 3

+ + +

+

= +

= +

(

)(

)

) p ( H₃

+ +

= +

) p ( D ).

p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( B ).

p ( A ) p ( C ).

p ( B ) p ( D ).

p ( A 1

) p ( B ).

p ( ) A

p ( H₃

+ +

+

= +

+ -

- + E(p)

D1(p) D2(p)

R1(p)

S(p) D1(p)

+ -

R1(p)

D2(p) Déplacement du point de prélèvement Déplacement du sommateur

- -

+ E(p)

D1(p) D2(p)

R1(p)

S(p) D1(p)

+ -

R1(p)

D2(p) )

p ( D

1

2

+

) p ( D

1

1

Boucle 1 Boucle 2

Calcul de la FBTF de la boucle 1 :

) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( D )

p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( D ).

p ( . R ) p ( R ) 1 p ( H

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1 1 1

1 = +

= + Calcul de la FBTF de la boucle 2 :

) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( D )

p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( D ).

p ( . R ) p ( R ) 1 p ( H

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1 1 1

2 = +

= +

- E(p)

H1(p)

S(p) H2(p)

) p ( D

1

4

+

) p ( D

1

1

Boucle 3

Calcul de la FBTF de la boucle 3 :

) p ( H ).

p ( H ) p ( D ).

p ( D

) p ( H ).

p ( ). H

p ( D ).

p ( D ) p ( D ).

p ( D

) p ( H ).

p ( 1 H

) p ( D ).

p ( D

) p ( H ).

p ( H ).

p ( D ).

p ( D ) p ( H

2 1 2 1

2 1 2

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

3 = +

= +

) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( . D ) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( ) D

p ( D ).

p ( D

) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( . D ) p ( D ).

p ( D ).

p ( R 1

) p ( D ).

p ( D ).

p ( D ).

p ( D ) p ( H

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

2 1 3

+ + +

+

= +

( )

(

)

) p ( H

2 1 2 2 1 1

2 2 1

3 = + +

-

-

A(p) B(p) + S(p)

E2(p)

+ E1(p)

-

+ C(p)

On utilise le théorème de superposition : on calcule les fonctions de transfert du système ) p ( E

) p ( S

1

pour E2(p)=0 et

) p ( E

) p ( S

2

pour E1(p)=0.

Cas E₂(p)=0 :

-

A(p) B(p) S(p)

+ E1(p)

-

+ C(p)

Boucle 1

Calcul de la FBTF de la boucle 1 :

) p ( B 1

) p ( ) B p ( H₁

= +

-

A(p) H1(p) S(p)

+ E1(p)

C(p)

Boucle 2

Calcul de la FBTF de la boucle 2 :

) p ( C ). p ( B 1

) p ( ). B p ( A 1

) p ( C ). p ( B 1

) p ( ). B p ( A ) p ( C ).

p ( H ).

p ( A 1

) p ( C ).

p ( H ).

p ( ) A p ( H

1 1 2

+ +

= +

= +

) p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( B 1

) p ( C ).

p ( B ).

p ( ) A

p ( H₂

+

= +

Cas E₁(p)=0 :

-

-

A(p) B(p) + S(p)

E2(p)

+

-

+ C(p)

Déplacement du sommateur

-

- A(p) B(p) S(p)

E2(p)

+

-

+ C(p)

) p ( B ).

p ( A

1

En utilisant les résultats du cas E2(p)=0, on retrouve :

- _H

2(p) S(p) E2(p)

) p ( B ).

p ( A

1

Avec 1 B(p) A(p).B(p).C(p) ) p ( C ).

p ( B ).

p ( ) A

p ( H₂

+

= +

D’où : .E (p)

) p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( B 1

) p ( ) C

p ( E ). p ( C ).

p ( B ).

p ( A ) p ( B 1

) p ( C ).

p ( B ).

p ( ) A

p (

S _{1 2}

+

− + +

= +

Modélisation d’une servocommande d’avion - Corrigé

Q1.1. uc(t) = Ka

) t (

i + us(t) → Uc(p) = Ka

) p (

I + Us(p)

q(t) = dt

) t ( x .d

S → Q(p) = S.p.X(p)

us(t) = Kc.x(t) → Us(p) = Kc.X(p)

Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel.

Uc(p) + -

Us(p)

Ka

I(p) ε(p)

Uc(p) = Ka

) p (

I + Us(p) →

Q(p) = S.p.X(p) →

p . S

1 X(p)

Q(p)

Us(p) = Kc.X(p) → X(p) Us(p) Kc

p . T 1

K ) p ( I

) p ( ) Q p (

F ^d

= +

= →

p . T 1

K_d +

Q(p) I(p)

Q1.3.

Uc(p) + -

Us(p)

Ka

I(p) ε(p)

p . T 1

K_d

+ Q(p)

p . S

1 X(p)

Kc

Q1.4. A1(p) =

p . S

1 ) p ( Q

) p (

X = Classe 1, ordre 1.

C(p) =

p . S ).

p . T 1 (

K . K ) p (

) p (

X _{a d}

= +

ε Classe 1, ordre 2.

G(p) =

p . S ).

p . T 1 (

K . K . K ) p (

) p (

U_{s a d c}

= +

ε Classe 1, ordre 2.

c d a c d a c c

d a

c d a

c

c (1 T.p).S.p K .K .K

K . K . . K

K 1 p . S ).

p . T 1 (

K . K . 1 K

p . S ).

p . T 1 (

K . K . K K .

1 ) p ( U

) p ( ) X p (

H = + +

+ +

= +

=

2 c d a c d a c

c .p

K . K . K

T . p S K . . K . K 1 S . 1 K

1 ) p ( U

) p ( ) X p ( H

+ +

=

= Classe 0, ordre 2.

Q2.1. q(t) =

dt ) t ( p .d B . 2

V dt

) t ( x .d

S + ∆ → Q(p) = .p. P(p)

B . 2 ) V p ( X . p .

S + ∆

Fm(t) = S.∆p(t) → Fm(p) = S.∆P(p) Fm(t) – Fr(t) ₂

2

dt ) t ( x .d dt m

) t ( x .d

f =

− → Fm(p) – Fr(p)−f.p.X(p)=m.p².X(p)

Q2.2.

Q(p)

+ - ε(p) Δ(p)

) p ( P . p B. . 2 ) V p ( X . p . S ) p (

Q − = ∆ →

p . V

B . 2

X(p) S.p

Fm(p) = S.∆P(p) → Δ(p) S Fm(p)

Fm(p) -

+ X(p)

Fm(p) – Fr(p)⁼

(

)

Fr(p)

Q2.3.

Q(p)

+ - ε(p) Δ(p)

p . V

B . 2

S.p

S

Fm(p) -

+ X(p)

p2

. m . p . f

1 + Fr(p)

Q2.4. A2(p) = ) p ( Q

) p ( X

V / S . B . 2 p . m p . f

V / S . B . . 2 p . S

1 ) p . m p . f (

V / S . B . 1 2

) p . m p . f (

V / S . B . 2 p. . S

1 ) p . m p . f ( p . V

p . S . S . B . 1 2

) p . m p . f .(

p . V

p . S . S . B . 2 p. . S

1

2 2

2

2 2

2 2

2 2

+

= + + +

= +

+ +

= +

A2(p) =

2 2

2 .p

S . B . 2

m . p V S . . B . 2

f . 1 V . 1 p . S

1

+ +

Classe 1, ordre 3.

Q2.5. A1(p) =

p . S

1 ) p ( Q

) p (

X = Classe 1, ordre 1.

A2(p) =

2 2

2 .p

S . B . 2

m . p V S . . B . 2

f . 1 V . 1 p . S

1

+ +

Classe 1, ordre 3.

L’hypothèse fluide incompressible améliore le modèle mais augmente l’ordre du système et ainsi complexifie les calculs.

Remarque : si B→+∞ (fluide incompressible)

2 2

2 .p

S . B . 2

m . p V S . . B . 2

f . 1 V . 1 p . S

1

+

+ →

p . S

1

Etude d’une roue autonome de fauteuil roulant : ez Wheel - Corrigé

Q.1.

L’équation mécanique du moteur : ) t .(

C ) t .(

dt C ) t ( .d

J ω^m = _m − _r J.p.Ω_m(p)=C_m.(p)−C_r.(p) Cm(p) - +

Cr(p)

p . J

1 Ωm(p)

L’équation électrique au niveau de l’induit :

) t .(

dt e ) t ( .di L ) t .(

i.

R ) t .(

U_m = _{m m} + _m ^m + _m U_m.(p)=R_mI._m.(p)+L_m.pI._m.(p)+E_m.(p)

Im(p) p

. L R

1

m m+ -

+

Em(p) Um(p)

Couple moteur dans la bobine : )

t .(

i.

K ) t .(

C_m = _{i m} C_m.(p)=K_ii._m.(p)

Im(p) Cm(p) Ki

Force contre-électromotrice : )

t ( K ) t .(

e_m = _eω_m E_m.(t)=K_eΩ_m(p)

Ωm(p) Em(p) Ke

Capteur à effet hall : ) t ( . K ) t (

u_mes = _captω_m U_mes(p)=K_capt.Ω_m(p)

Umes(p) Ωm(p)

Kcapt

Amplificateur : u_cons(t)=K_a.ω_cons(t) U_cons(p)=K_a.Ω_cons(p) Ωcons(p) Ucons(p) Ka

Régulateur comparateur : ) t ( u ) t ( u ) t

( = _cons − _mes ε

) t ( . K ) t (

u_m = _pε

) p ( U ) p ( U ) p

( = _cons − _mes ε

) p ( . K ) p (

U_m = _pε

Im(p) Kp

+ -

Umes(p) Ucons(p)

Réducteur : ) t ( . r ) t

( _m

r = ω

ω Ω_r(p)=r.Ω_m(p)

Ωm(p) Ωm(p)

r

Q.2. Variables d’entrée de l’asservissement du système : ω_cons(t) Cr(p) (perturbation) Variable d’entrée de l’asservissement du système : ω_r(t)

Q.3.

+ -

ε(p) Ucons(p)

AMPLI

Ka

Correcteur

Kp

Capteur

Kcapt

Umes(p)

Um(p) ^Moteur Im(p)

r

Ωr(p) Cm(p)

p . L R

1

m m+

Réducteur

Ki

- +

C_r(p)

p . J 1

Ωm(p)

+ -

K_e Ωcons(p)

Em(p)

Q.4. On veut ε(p) = 0 pour Ωr(p) = Ωcons(p) → . (p)

r ) K p ( . K ) p ( U ) p ( U ) p

( = _cons − _mes = _aΩ_cons − ^capt Ω_cons ε

→ r

K_a=K^capt

Q.5. Calcul de la FTBF de la boucle 1 :

) p ( D ).

p ( C ).

p ( B ).

p ( A 1

) p ( C ).

p ( B ).

p ( A )

p ( U

) p ) (

p ( H

0 ) p ( m C

m m

r = +

=Ω

=

1 p K . . K

J . p R K . . K

J . L

K 1 K

. K p . J . R p . J . L

K K

. K p . J ).

p . L R (

K p

. J .K p . L R 1 K

p . J . 1 p . L R

K )

p ( U

) p ) (

p ( H

e i 2 m e i m

e e

i m 2 m

i e

i m

m

i e

m m

i m m

i

0 ) p ( m C

m m

r = + +

+

= + +

= + + +

= +

=Ω

=

Q.6. Fonction de transfert boucle ouverte :

1 p K . . K

J . p R K . . K

J . L

K 1 .

r . K . ) K

p (

) p ) ( p ( H

e i 2 m e i m

e p

a 0 ) p ( C r BO

r = + +

δ

=Ω

=

Fonction de transfert de classe 0 et d’ordre 2.

Q.7.

i p a e i m 2 m

i p a

e i m 2 m

i p a

e i m 2 m

i p a

0 ) p ( cons C

r

1 L .J.p R .J.p K.K K .K .r.K

K . r . K . K K

. K p . J . R p . J . L

K . r . K . 1 K

K . K p . J . R p . J . L

K . r . K . K )

p (

) p ) (

p ( H

r = + + +

+ + +

+

= + Ω

= Ω

=

1 p K . . r . K . K K . K

J . p R

K . . r . K . K K . K

J . L

K . r . K . K K . K

K . r . K . K )

p (

) p ) (

p ( H

i p a e i 2 m i p a e i

m

i p a e i

i p a

0 ) p ( cons C

r 1

r +

+ + +

= + Ω

= Ω

=

Q.8.

Vitesse angulaire (rad/s)

ωcons(t)

Temps (s) 0

0 2

0,1

Erreur statique = 2 rad/s > 10%×8 =0,8 → critère non vérifié

ω_r(t)

t5% ≈ 0,23 s < 0,3 s → critère validé Présence d’oscillations avec 3 dépassements → critère non validé

Pour t=+∞la réponse est bornée

→ le système est stable → critère validé

10,5

9,5

2 critères sur 4 ne sont pas vérifiés → ce réglage de correcteur ne convient pas.