Etude des champs de température et de déformation dans les matériaux métalliques sollicités à grande vitesse de déformation

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de déformation

Nicolas Ranc

To cite this version:

Nicolas Ranc. Etude des champs de température et de déformation dans les matériaux métalliques

sollicités à grande vitesse de déformation. Energie électrique. Université de Nanterre - Paris X, 2004.

Français. �tel-00010301�

Université Paris X - Nanterre

Spé ialité : Energétique

Présentée par

Ni olas RANC

Etude des hamps de température

et de déformation dans les matériaux

métalliques solli ités à grande

vitesse de déformation

Soutenue le 20Dé embre 2004 devant lejury omposé de :

A.Molinari Président dujury Université deMetz

A.Chryso hoos Rapporteur Université Montpellier II

C.Ron hi Rapporteur ITUKarlsruhe

P. Hervé Dire teur s ientique Université Paris X

M. Reynier Examinateur Université Paris X - Dire tionENSAM

"les hoses essentielles ne doivent pas être multipliées sans né essité"

Prin ipede par imonie,Guillaumed'O am, moinefran is ain et

philo-sophe du XIVème siè le.

Selon e prin ipe, ens ien es physiques quand deuxthéories en

ompéti-tion permettent de prédire exa tement les mêmes hoses, la plus simple

Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Laboratoire d'Energétique et

d'E o-nomie d'Energie (LEEE) de l'Université Paris X Nanterre en ollaboration ave le

Centre Te hnique d'Ar ueil de la Délégation Générale pour l'Armement (Ministère

de la Défense).

En premier lieu,je tiens à remer ier MonsieurPhilippeHervé, mondire teurde

thèseet égalementdire teurdu LEEEdem'avoira ueilliauseinde sonlaboratoire

et d'avoir a epté d'en adrer es travauxde re her he.

Je souhaiteégalementexprimertoutema re onnaissan eàMonsieurAlain

Moli-nariquim'afaitl'honneurdeprésidermonjurydethèseainsiqu'àMessieursAndré

Chryso hoos et Claudio Ron hi qui onta eptés la lourde tâ he de rapporteur de e

mémoire. Je les remer ie également pour les nombreuses et fru tueuses dis ussions

que nous avons eues.

Jeremer ieégalementMadameMarieReynieretMonsieurHervéCouqued'avoir

a epté de juger e travail. Mes remer iements vont également à Monsieur Thierry

Thomas poursa parti ipation au jury dethèse et pour sona ueil au seindu

dépar-tement Matériaux Surfa es Prote tion du CTA dont il était responsable.

Plus parti ulièrement,jetiens àremer ierVin entPinade sonaidesurla partie

expérimentale de e travail et Lauren e Beylat, Ja ques Clisson, Pierre François

Louvigné et Laurent Taravella d'avoir grandement fa ilité toutes mes démar hes

s ientiques et administratives au Centre Te hnique d'Ar ueil.

Enn, les personnes ayant ontribuées à e travail sont nombreuses, je tiens à

Glossaire v

Nomen lature vii

Introdu tion 1

I Etude bibliographiqu e du isaillement adiabatique 7

1 Historique du isaillement adiabatique 11

1.1 Dé ouve rte des bandes de isaillement adiabatique . . . 11

1.2 Expérien e de Mar hand etDuy . . . 11

1.3 Mesures de température . . . 13

1.4 Con lusion . . . 16

2 Amorçage et formation d'une BCA 17 2.1 Miseen équationdu problème de isaillementadiabatique . . . 17

2.2 Critères de lo alisation . . . 18

2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement . . . 19

2.2.2 Critèrede stabilité: méthode des perturbations linéarisées . . 20

2.2.3 Critèrede lo alisation: méthode des perturbations relatives . 22 2.2.4 Méthodes non linéaires . . . 22

2.2.5 Con lusion. . . 25

2.3 Propagationdes BCA. . . 26

2.3.1 Miseen éviden e de lapropagation des BCA . . . 26

2.3.2 Vitesse de propagation des BCA . . . 27

2.4 Stru tures bidimensionnellesdans les BCA . . . 29

3 Comportement oll e tif des BCA 31 3.1 Etudes expérimentales : auto-organisationdes BCA . . . 31

II Mesure de la température par pyrométrie 35

4 Rayonnement des solides 39

4.1 Origine physique du rayonnement . . . 39

4.1.1 Phénomène d'émission d'un photon . . . 39

4.1.2 Cara tère aléatoirede l'émission . . . 40

4.2 Rayonnement d'un orps idéal : le" orps noir" . . . 41

4.2.1 Dénition du " orps noir" . . . 41

4.2.2 Energie rayonnée par un orps noir . . . 42

4.2.3 Maximum d'énergie . . . 43

4.2.4 Lesu tuations . . . 44

4.2.5 Maximum de sensibilité . . . 47

4.3 Rayonnement des orps réels . . . 48

4.3.1 Dénition du fa teur d'émission . . . 48

4.3.2 Relationentre lefa teur d'émission et lefa teur de réexion . 49 4.3.3 Relationsde Fresnel . . . 49

4.3.4 Propriétés optiques des matériaux ondu teurs . . . 50

4.3.5 Paramètres inuençant lefa teur d'émission d'une surfa e . . 55

5 Prin ipe de la pyrométrie 59 5.1 Généralités sur lapyrométrie. . . 59

5.1.1 Dispositif optique . . . 60

5.1.2 Lesdéte teurs . . . 60

5.1.3 Ampli ation eta quisition . . . 65

5.2 Expressiondu signal délivré par un déte teur . . . 66

5.2.1 Puissan e rayonnée sur un déte teur . . . 66

5.2.2 Signal en sortie de déte teur . . . 69

5.2.3 Etalonnage du système . . . 70

5.3 Con eptionet optimisationde la haînepyrométrique . . . 72

5.3.1 Optimisationde latailledu déte teur et du système optique . 74 5.3.2 Comparaisondes déte teurs . . . 75

5.3.3 Con lusion. . . 77

6 Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiaba-tiques 79 6.1 Présentation du montage mé anique . . . 79

6.1.1 Barres d'Hopkinson en torsion . . . 79

6.1.2 Eprouvette . . . 79

6.1.3 Méthode de dépouillement . . . 82

6.2 Présentation du montage expérimental . . . 85

6.2.2 Le pyromètre . . . 87

6.3 Test de la haînede mesure . . . 92

III Analyse des résultats - Dis ussion 97 7 Modélisation numérique du isaillement adiabatique 101 7.1 Présentation du modèle . . . 101

7.1.1 Miseen équation du problème . . . 101

7.1.2 Géométrie du problème et onditions limites . . . 103

7.1.3 Modélisationdes défauts . . . 104

7.2 Loide omportement . . . 105

7.2.1 Loide Johnson-Cook . . . 105

7.2.2 Identi ationdes paramètres - Essais de omportement . . . . 108

7.3 Le al ul par élémentsnis . . . 114

7.3.1 Maillage . . . 114

7.3.2 Cara téristiques du al ul . . . 115

7.4 Résultatsdu modèle . . . 115

7.4.1 Historique de la formationde labande . . . 115

7.4.2 Champs de vitesse etde ontrainte . . . 117

7.4.3 Inuen e du défaut sur la BCA . . . 119

7.4.4 Con lusion. . . 125

8 Analyse et dis ussion des résultats 127 8.1 Amorçagede bandesde isaillement adiabatique . . . 127

8.1.1 Prédi tion de la déformationà lalo alisation. . . 127

8.1.2 Mé anismes de nu léation des BCA . . . 132

8.2 Températures maximalesdans les BCA . . . 137

Con lusions et Perspe tives 141

Bibliographie 145

Liste des gures 151

BCA Bande de isaillement adiabatique

CTA Centre Te hnique d'Ar ueil

LEEE Laboratoired'Energétique etd'E onomie d'Energie

LOT Laser Optique etThermo-optique

A

onstanted'appareillage

c

éléritéde lalumière dans levide,

2, 998.10

8

_ms

−1

C

apa ité alorique

C

raideur

C

b

vitesse de propagation d'une bandede isaillementadiabatique

C

t

vitesse des ondes de isaillement

D

déte tivité

D

∗

déte tivité spé ique

e

épaisseur de la toilede l'éprouvette ou hargede l'éle tron,

1, 602177.10

−16

_C

f

fon tion seuil

E

module d'Young

h

onstantede Plan k,

6, 626176.10

−34

_Js

J

moment d'inertiequadratique

k

onstantede Bolzmann,

1, 380662.10

−23

_JK

−1

K

oe ient d'appareillage

l

e

longueur de la barre entrante

l

s

longueur de la barre sortante

ℓ

0

λ

luminan e instantanée du orps noir

L

luminan e

L

λ

luminan e mono hromatique

L

0

λ

luminan e mono hromatique du orps noir

m

masse de l'éle tron,

9, 10939.10

−31

_kg

n

indi eréel

˜

n

indi ede réfra tion omplexe

p

variable d'é rouisssage

P

puissan e déte tée par un apteur

Q

rendement quantique

R

é rouissage

R

b

rayonde la barre

R

e

rayonintérieur de l'éprouvette

Ra

rugositémoyenne arithmétique

Rm

rugositémaximale

Si

0

tensiond'oset

S

e

se tionde lapartie utile de l'éprouvette

S

λ

sensibilitéspe trale

T

température

T

0

température ambiante

V

vitesse de solli itation

v

φ

vitesse de phase

α

λ

fa teur d'absorption

β

oe ient de Taylor-Quinney

γ

déformationde isaillement

δ

profondeur de pénétration

ε

0

permittivitédu vide,

8, 854188.10

−12

_{F m}

−1

ε

eq

déformationplastiqueéquivalente umulée

ε

InSb

fa teur d'émission intégré sur le spe tre du déte teur InSb

ε

r

permittivitérelative omplexe

ε

tot

fa teur d'émission total

ε

λ

fa teur d'émission mono hromatique

ε

tenseur des déformations totales

ε

e

tenseur des déformations élastiques

ε

p

tenseur des déformations plastiques

η

tauxde roissan e ourendement

θ

diéren ede température

λ

longueur d'ondeou ondu tivité thermique

λ

c

longueur d'ondede oupure

µ

module de isaillement

ν

oe ient de Poisson

ξ

nombre d'onde

ρ

masse volumique

ρ

λ

fa teur de réexion

σ

tenseur des ontraintes

σ

e

limited'élasti ité

σ

eq

ontrainte équivalente de VonMises

τ

ontrainte de isaillementou tempsde vol

τ

λ

fa teur de transmission

χ

fa teur d'extin tion

ω

pulsation

ω

0

pulsationd'os illation

ω

p

pulsationplasma

ω

τ

pulsationde relaxation

Ω

angle solide

Lesmé anismes d'endommagementetde rupture liésauxsolli itationsàgrande

vitessededéformation(supérieureà

100 s

−1

)sontbienmoins onnusque euxmisen

jeuenstatique.Pourtantlesdomainesd'appli ationsontnombreuxeten

développe-ment( rash,miseenformedesmatériaux,impa tbalistique).Unedes onséquen es

ultimesd'unesolli itationdynamiqueestle isaillementadiabatiquequenousallons

étudier plus parti ulièrement dans e mémoire.

Présentation et appli ations du isaillement adiabatique

Le isaillement adiabatique est un mé anisme de ruine intervenant le plus

sou-vent dans les matériaux du tiles (par exemple les métaux) lors de solli itations

dynamiques mettant en jeu de grandes vitesses de déformation.Ce phénomène est

ara térisé par une lo alisation de la déformation plastique de isaillement sous

forme de bandes de faibles épaisseurs (quelques dizaines à quelques entaines de

mi romètres).Cette lo alisation s'a ompagne d'une dissipation de l'énergiede

dé-formation plastique sous forme de haleur. Lors d'une solli itation dynamique, le

temps de déformation est si ourt que la haleur ne peut s'éva uer par ondu tion.

C'estpour etteraisonque e phénomèneestqualiéd'adiabatique.Ilenrésulteune

augmentation importantede la température lo alementdans es bandes (plusieurs

entaines de degrés). Cependant à l'é helle de dimension des bandes, la

ondu -tion n'est pas négligeable. Ce sont les propriétés thermiques et plus pré isément la

diusivité thermique qui déterminentl'épaisseur de labande. Le isaillement

adia-batique onduit à des déformations intenses très lo alisées qui sont les pré urseurs

dela réationdemi ro avitésetdon dessures.Enphaseterminale,le isaillement

adiabatiqueest don le siège de la propagationd'une ssure.

De nombreux pro essus de mise en formerapide des matériaux métalliques

gé-nèrent des bandes de isaillement adiabatique (BCA). En 1966, Pomey [53℄

souli-gnait déjà l'intérêt de e phénomène, qu'il appelait "plasti ité adiabatique", dans

les appli ations industrielles de formage et de dé oupe des matériaux métalliques.

Aujourd'hui,l'exempleleplus ara téristiqueest l'usinagegrandevitesse. Ses

avan-tages par rapport aux te hniques d'usinage onventionnelles sont multiples. Il

Fig. 1- Observation mi ros opique de bandes de isaillement dans un opeau segmenté

d'après Lesourd [31℄.

piè esusinées. Cepro édéautoriseégalementl'usinagedes matériauxpossédantdes

performan es mé aniques de plus en plus élevées omme par exemple les alliages

de titane très utilisés dans l'industrie aéronautique. Les grandes vitesses de oupes

donnent une morphologie de opeau segmenté (en dent de s ie) ave présen e de

BCA (gure 1) et s'a ompagnent d'une rédu tion des eorts de oupe. Une

op-timisation du pro édé d'usinage grande vitesse passe don obligatoirement par un

approfondissementdes onnaissan es sur le isaillementadiabatique.

Uneentreprisesuédoise HydropulsorAB

1

autilisé e phénomènepour on evoir

une ma hine hydraulique permettant de dé ouper des barreaux ou des tubes ave

des aden es très grandes. Le deuxièmeintérêt de e prin ipe est d'obtenirune très

bonnequalitéde oupeetdefaiblesamplitudesde poinçon.Lama hinehydraulique

permetde isaillerdesbarreauxdontlediamètrepeutatteindre40ou60millimètres.

Les aden es de produ tion varient entre 200 et 700 piè es par minute suivant le

diamètre à dé ouper. Le mé anisme de rupture peut sans doute être attribué aux

bandes de isaillement.

Dans le domaine militaire, l'étude de la résistan e d'un blindage de har

vis-à-vis d'une solli itationd'impa t met en jeu des vitesses de solli itation élevées. Les

BCAapparaissent ommeunmé anismed'endommagementimportantauniveaudu

omportementdynamiquedesmatériauxpourblindagesetperforants,enparti ulier

auniveaude l'intera tionproje tile- ible.Lagure2montre unemi rographied'un

blindageena ieraprèsperforationparun obusè he. On onstateunemultitudede

bandes de isaillement ara térisées par de nes lignes blan hes. Ce mé anisme de

ruineaégalementétéévoquépourexpliquerlepouvoirperforanta rudesproje tiles

inétiques de matériaux parti ulièrement sensibles au isaillement adiabatique. Il

1

Fig. 2- Bandes de isaillement dans un a ier de blindage après perforation par un obus

è he (métallographies réalisées auCTA).

pourraiteneetjouerunrleenbalistiqueterminaleenmodiantlaformedelatête

duproje tile[35℄.L'étudedesBCAviseàaméliorerla onnaissan edesphénomènes

misen jeuan de développer par exemple des ritères de ruine intégrables dans un

odede al ul,envuedelimiterle oûtinhérentauxessaisbalistiques.Unemeilleure

ompréhension des mé anismes physiquespeut égalementpermettre d'optimiser ou

de développer de nouveaux matériaux[60℄.

Problématique

Depuis sadé ouverte par Tres aen 1878 [64℄,le isaillementadiabatiquesus ite

toujoursungrandintérêtauseinde la ommunautés ientique.Cependant,malgré

denombreuxtravauxsurlesujet,touslesmé anismesd'initiationetd'évolutiondes

bandesde isaillementnesontpas aujourd'hui omplètement onnusetleur

modéli-sationprésentetoujoursdes di ultés.D'abordsur leplanexpérimental,lamiseen

pla e d'un système de mesure en dire t adaptéà l'é helle de temps du isaillement

adiabatiqueet plus généralement aux solli itationsdynamiques reste un travail

dé-li at.La duréede formationd'unebandede isaillementest en eetde l'ordrede la

dizaine de mi rose ondes. Ladi ulté supplémentaire liée auxBCA provient aussi

de la faible largeur de es bandes (quelques dizaines de mi romètres) qui né essite

d'utiliser des moyens de mesureayant une très bonne résolution spatiale.La

modé-lisationde e phénomèneest égalementun problème omplexe ar elledoit prendre

en omptedes phénomènesàdes é hellesdiérentes (l'é hellemi ros opiquepourla

BCA et ma ros opique pour la piè e solli itée dynamiquement) et oupler des

métallurgie).Deplus,le isaillementadiabatiqueesttrèssensibleauxparamètresdu

matériauetsurtoutaux onditions initiales. Lesmodèlesquiessayent de simulerles

BCA sont très fortement non linéaires. Il est don né essaire de prendre en ompte

dans les modèles, des grandeurs ara térisant l'hétérogénéité de omportement du

matériauoules défauts de surfa e des piè es solli itées. De plus, pour être robuste,

un modèlené essiteraquelaloide omportementdu matériausoitvalabledansdes

onditions très diérentes : de l'ambianteà des températures pro hes de la

tempé-raturedefusiondu matériau,àbasseetgrandevitesse dedéformation(supérieureà

1000 s

−1

) etpour des grandes déformations plastiques(jusqu'à plus de 1000% dans

lesbandes). On omprendalors ladi ultéd'identier ette loide omportementà

partir d'essais simples. L'é helle des bandes est parfois plus petite que la tailledes

grains du matériau e qui entraîne des problèmes d'hétérogénéité du matériau et

don de représentativité de laloi de omportement.

Obje tifs de l'étude

L'obje tif général de e travail est de mieux omprendre les mé anismes de

dé-formationetderupture misenjeulorsd'unesolli itationdynamiqueen isaillement

simple d'un matériau métallique. Nous avons hoisi d'étudier parti ulièrement

l'al-liagedetitaneTA6V arilprésenteunefortesensibilitéau isaillementadiabatique.

Cet alliagea aussi un intérêt industriel ar ilest de plus en plus utilisédans les

do-mainesde l'aéronautiqueetde l'aérospatial.La premièrepartie de e travail

orres-pond àune analyse expérimentale de la formation des bandes de isaillement

adia-batique.Dansune deuxièmepartie,lesrésultatsobtenusseront interprétés.Comme

Zener et Hollomon l'ont mentionné en 1944 [71℄, en pré isant le mé anisme de

for-mationd'uneBCA,latempératureestun paramètreimportantdans ephénomène.

Aumomentde lalo alisationde ladéformation,latempératureaugmentetrès

rapi-dement dansla bande.Ellesemble don être un paramètreintéressant pour étudier

lesBCA.Nousavons hoiside on evoirun systèmedemesurepermettantde

quan-tier pré isémentles hampsde températureàlasurfa e d'uneéprouvette au ours

d'une solli itation dynamique. Notre système de mesure a été adapté au dispositif

des barresd'Hopkinsonentorsion lassiquementutilisépour formerdes BCA.Dans

lalittérature,denombreuxtravauxontportésurladéterminationdelatempérature

dans lesbandesde isaillement.Une originalitéde e travailest l'optimisationde la

mesure de température par rayonnement (pyrométrie) an de limiter les erreurs à

basseethautetempérature, d'augmenter lesrésolutionsspatialesetdepermettrela

déte tion de basses températures, de l'ordre de la entaine de degrés Celsius. Nous

nous sommes don plus parti ulièrement intéressés à deux plages de températures

diérentes : la première, que nous appellerons "basses températures" on erne le

domainedes températures omprises entre 50Cet300C. Elle orrespond audébut

hétéro-généité de température juste avant la lo alisation qui serait sus ep tible de générer

une bandede isaillementadiabatique. Ladeuxièmeplage,appelée i i"hautes

tem-pératures" (800C à 1600C) permettra de quantier les températures maximales

atteintes dans les bandes. Des travaux déjàmenés au Laboratoired'Energétique et

d'E onomied'Energiede Villed'Avray [51℄[55℄ onduisenteneetàpenserquel'on

peut atteindre des températures pro hes de la température de fusion. Très peu de

mesures ontjusqu'i i onrmé e fait.

Organisation du mémoire

Ces obje tifs ont déterminé le travail présenté dans e mémoire. Une première

partieseradédiéeàl'étudebibliographiqueexpérimentaleetthéoriquesurle

isaille-mentadiabatique. Noustenterons de retra er les dé ouvertes marquantes parmiles

nombreux travauxsur lesujet etnousprésenterons plus parti ulièrementlesétudes

ré entes sur l'hétérogénéité de température au sein même d'une bande, sur la

pro-pagationdes BCAetleur omportement olle tif.Nousdétailleronsentreautres,les

diérentes te hniques qui ont été utilisées pour mesurer les températures dans les

bandes.

Ladeuxième partiede e travail on ernerala on eption du systèmede mesure

des températures par pyrométrie visible et infrarouge. Pour mieux omprendre les

hoix que nous avons fait, nous ferons un rappel sur les propriétés radiatives des

matériaux et sur le prin ipe de la pyrométrie. Nous terminerons ette partie en

présentant en détail ledispositif de mesure etlesrésultats quenous avons obtenus.

Enn,dansunedernièrepartie,nousanalyseronslesrésultatsobtenus

pré édem-ment et nous les interpréterons en utilisant une modélisation thermomé anique du

Etude bibliographique du

Dé ouvert en1878,le isaillement adiabatiquea fait l'objetdetrèsnombreux travauxà

lafoisauniveau expérimental etenmodélisation.Depuis quelquesannées, le

développe-mentdes te hniques demesure endire tdeladéformationet surtoutdelatempérature

a permis de pré iser les mé anismes mis en jeu lors de la formation d'une BCA. D'un

autre té, es dé ouvertes ont également permis de développer de nouveaux modèles

et don de dé rire deplus enplus pré iséme n t laformationd'unebande de isaillement

adiabatique. Après avoir retra é l'historique des dé ouvertes marquantes, nous

détaille-rons les diérentes expérien es qui ont été réalisées pour mesurer la température dans

adiabatique

1.1 Dé ouverte des bandes de isaillement adiaba

-tique

La première observation des bandes de isaillement adiabatique a été menée

par Tres a en 1878 [64℄. Il a remarqué que lorsqu'une barre métallique hauée au

"rouge" est frappée par le marteau pilon, il apparaît une roix rouge plus intense

résultant d'un ré hauementtrès lo aldu matériau.

En 1944, Zener et Hollomon [71℄ ont également observé des bandes de

isaille-mentadiabatiquelorsd'unessai depoinçonnagedynamique.Ilsontmisen éviden e

lorsd'observationsmétallographiquespost mortemdenesbandesblan hesqui

tra-duisent de grandes déformationsde isaillementtrès lo alisées etde fortes

augmen-tationsde température. Pourexpliquer ephénomène,ilsontproposé unmé anisme

de formation de bandes de isaillement mettant en jeu une dissipation de l'énergie

mé anique en haleur entraînant une augmentation de température qui elle-même

rée un adou issement thermique du matériau : pendant la déformation plastique,

une grandepartiede l'énergiemé aniqueest transformée en haleur.Dansle as où

lavitesse de déformation est grande,la haleurne peut pratiquement pas s'éva uer

par diusion etla déformation plastique génèredes augmentations de température

importantes et don un adou issement thermique du matériau. Si la diminutionde

ontraintedue à l'adou issement thermiquedevient plus importanteque

l'augmen-tation de ontraintedue àl'é rouissage, l'é oulement plastiquedevient instable.La

déformation homogène laisse pla e à un mode de déformation lo alisée sous forme

de bandes.

1.2 Expérien e de Mar hand et Duy

Après la dé ouverte du isaillement adiabatique par Tres a et son expli ation

e phénomène par observations métallographiques post mortem [41℄. Le prin ipal

in onvénient de es te hniques est qu'elles ne donnent que très peu d'information

sur lesmé anismes de formationetd'évolutiondes BCA.Une des premières études

expérimentales par observation en dire t de labande de isaillementa été ee tuée

en 1988 par Mar handet Duy [36℄.

A etteo asion,ilsutilisentledispositifdes barresd'Hopkinsonde torsionpour

observer la formation des bandes de isaillement adiabatique dans une éprouvette

tubulaire en a ier HY100.Des jauges pla ées sur les barres permettent de mesurer

leur déformation et d'en déduire la ontrainte de torsion et la déformation

nomi-naledel'éprouvette.Undispositifdephotographieultra-rapide(tempsd'ouverture:

2 µs

)disposé autourdes barressuivanttrois dire tions permet d'observer une grille

déposée sur l'éprouvette et d'en déduire la distribution de la déformation pendant

la formation de la bande. L'analyse des résultats leur a permis de distinguer trois

phases(gures1.1 et1.2) :laphase1 orrespond àunedistributionhomogènede la

déformationplastique.Lan de etteétape oïn ideave lemaximumde ontrainte

de isaillement.Pendantlaphase 2,ladéformationdevienthétérogènesuivantl'axe

de torsion mais reste homogène le long de la ir onféren e de l'éprouvette. Plus

la déformation augmente, plus la taille de bande diminue et plus la déformation

plastiquedans labandeaugmente. Laphase3est ara tériséepar une hute

impor-tantedela ontrainteetune fortelo alisationde ladéformation.Desphotographies

simultanées révèlent une hétérogénéité de la taille de bande et des diéren es de

déformationimportantes en trois pointsde la ir onféren e de l'éprouvette. Dansle

as de l'a ierHY100, lesdéformationsvarient entre 130% et1900%.

Fig. 1.1 - Visualisation des phases de formation de BCA sur la ourbe ontrainte

Fig. 1.2 - Photographie des grilles déposées sur l'éprouvette torsion pour les inq

défor-mations présentées sur la gure 1.1 (extraitde Mar hand et Duy[36℄).

Pendant les phases 2 et 3, Mar hand et Duy ont onstaté qu'à un même

ins-tant, les bandes ne se forment pas for ément toutes dans un même plan normal à

la dire tion de torsion. Pour expliquer les mé anismes de formation de la bande,

ils ont envisagé deux as diérents. Dans le premier, la formation des bandes se

dé omposeraiten une phasede nu léationde bandes àdiérents endroitsde la

par-tie utile au même moment puis ensuite une phase de roissan e et de oales en e

des nu léi pour former une seule bande tout autour de l'éprouvette (gure 1.3). Le

deuxième mé anisme serait ara térisé par la formation d'une bande en un point

de la ir onféren e suivie de sa propagation autour de l'éprouvette (gure 1.4). Le

fait que lors des phases 2 et 3 les bandes ne soient pas dans le même plan étaye

le deuxième mé anisme, alors que la grande disparité des déformations plastiques

autourde l'éprouvette onduiraitàpréférerlepremier.Aujourd'huien oredes

ques-tions demeurent on ernant l'existen e ounon de es deux mé anismes.

1.3 Mesures de température

Comme le soulignent Zener et Hollomon [71℄, la température est un paramètre

important dans le mé anisme de formation des BCA. Compte tenu de la faible

Nucléation

de bandes

Phase de

croissance

Coalescence

Fig. 1.3 - Mé anisme de formation

d'une BCA par nu léation,

roissan e et oales en e.

Amorçage

de la bande

Propagation

de la bande

Fig. 1.4 - Mé anisme de formation

d'une BCA amorçage et

propagation à partir d'un

défaut.

expérimentale parti ulièrement bien adaptée à la détermination de la température

dans les BCA. De plus, l'amélioration onstante des performan es des déte teurs

durant es dernières années, a permis d'augmenter la pré ision des mesures ainsi

que larésolution spatiale ettemporelle.

Lespremières mesurespyrométriquesontété réaliséesparMossetPond en 1975

[47℄ave unsemi- ondu teurengermaniumdopéau uivrepour évaluerlavariation

detempératurelorsde latra tiond'uneéprouvetteen uivre.C'estàpartirde1979,

que Costinet al. [13℄ ont mesurédes augmentationsde température de 100C dans

unebandede isaillementenutilisantunmonodéte teurInSbde

1 mm

de diamètre.

En 1987, Hartley et al. [23℄ mesurent le prol de température le long de la

partie utile d'une éprouvette de torsion ave une barrette de 10 déte teurs InSb

photovoltaïques. Pour limiterles aberrations hromatiques, le montage optique est

onstitué d'un miroir sphérique. Il leur permet d'avoir deux résolutions spatiales

diérentes de

20 µm

et

250 µm

.Lesmatériauxtestéssont lesa iers1018CRS(taille

de bande

250 µm

) et 1020HRS (taillede bande

150 µm

). Les variations maximales

de températuremesurées sontde l'ordrede 450C.

En1988,Mar handetDuy[36℄utilisentunebarrettede12déte teursInSbave

unmontageoptiquede typeCassegrain pourlimiterlesaberrations hromatiqueset

sphériques. Ce dispositifpermet devisualisersur l'éprouvettedouzezones de

35 µm

par

35 µm

et espa ées de

11 µm

. La température maximale atteinte dans un a ier

HY100estde590C.Cettemêmeexpérien eseraégalementmenéeplustarden1998

par LiaoetDuy [33℄sur leTA6V ave néanmoins unemeilleurerésolutionspatiale

(

17 µm

) etrévèlera des températures maximalesde l'ordrede 440C à 550C.

En 1996, Zhou et al. [74℄ ont mesuréla température dans lesbandes de

(gures 1.5 et 1.6). Les matériaux étudiés sont l'alliage de titane TA6V et l'a ier

C300. Ils utilisent une barrette de 16 déte teurs InSb de

80 µm

par

80 µm

. Dans le

as del'a ier C300,ilsobserventun é hauementintensesurune largeurde

200 µm

à

300 µm

dont l'amplitude dépend de la vitesse d'impa t. Pour une vitesse de pro-je tilede

40 ms

−1

,le maximum de températureatteint plus de 1400C. Dans le as

du TA6V, ils remarquent que l'é hauement est plus dius et moins intense (de

l'ordre 450C pour une vitesse d'impa t de

64 ms

−1

: gure 1.7).

Fig. 1.5 - Eprouvette pré-entaillée

utili-sée par Zhou etal. [74℄.

Fig. 1.6 - Position des zones de

me-sure par rapport à l'entaille

sur l'éprouvette deZhou etal.

[74℄.

Fig. 1.7 - Proldetempérature autour d'unebande de isaillement adiabatique dans

l'al-liage TA6V; vitesse d'impa t

47, 3 ms

−1

En 1997,Pina [51℄adéveloppéun nouveau système de mesure basésur la

pyro-métrie mono hromatiquevisible(

λ = 0, 634 µm

).Le hoix de ette ourtelongueur

d'onde permet de s'aran hir des variationsdu fa teur d'émission lors de la

forma-tiondelabande.Lestempératuresmesuréesdansl'alliagedetitaneTA6Vatteignent

1300Clorsd'unessai de poinçonnement.Laduréede lamesureest de

5 µs

etla

ré-solutionspatialeestd'environ

4 µm

.Unemesuredansl'infrarouge,plussensibleaux

variations du fa teur d'émission, lui a permis de déte ter le hangement de phase

α − β

pour une température de transitionde 996C.

En 2001, Guduru et al. [22, 21, 72℄ ont mis en éviden e le ara tère

bidimen-sionneldesbandesde isaillementenvisualisantle hampde températureà

5, 5 mm

d'une pointe de ssure lors de la formationd'une BCA. Pour ela, ils utilisentune

matri e de 8 par 8 déte teurs HgCdTe ouplée à un système optique de

grandisse-ment0,9 omposé de deux obje tifsde S hwarz hild. La zone viséesur l'éprouvette

par un déte teur fait

110 µm

par

110 µm

.Ils ont misen éviden e des points hauds

espa és régulièrement. Les distan es entre deux points hauds varient suivant les

essais entre

250 µm

et

1 mm

.Ces résultatsseront détaillés dans leparagraphe 2.4.

1.4 Con lusion

Leste hniquesexpérimentalesd'observationendire tdelabandede isaillement

adiabatiqueontpermis de mieux omprendrele phénomène.Depuis l'expérien ede

Mar handetDuy, leste hniquesde mesurede déformationontpeu progressé. Par

ontre lesmesures de latempératuredans lesBCA se sontrapidementdéveloppées

grâ e àl'amélioration de performan es des systèmes de déte tion.

L'obje tifde es diérentes mesures de températureaété essentiellement

d'éva-luer latempératuremaximaleatteintedans une BCA pendant laphase de hute de

la ontrainteetdelo alisationdeladéformation(phase3).Nouspouvonsremarquer

que plus les résolutions spatialesse sont améliorées, plus les estimations de la

tem-pérature dans les BCA ont régulièrement augmenté. On peut également onstater

ladi ulté de quantier latempératurede bande dans l'alliagede titaneTA6V, e

qui peut être expliqué par le fait que les largeurs de BCA sont quasiment dix fois

plus faiblesque elles ren ontrées dans les a iers.

Les dispositifs expérimentaux utilisés dans la littérature en dehors de elui de

Guduruetal.nepermettentpasdequantierlesbassestempératures orrespondant

au début de la lo alisation de la déformation. La di ulté prin ipale des mesures

bassestempératuresestlefaibleniveaudusignalémis.Pour ontourner eproblème,

Guduruet al.ont hoisiuneplagede longueurd'ondeasso iéeaudéte teurHgCdTe

situéedans ledomaineinfrarougemoyen (

λ ≈ 12 µm

).Nous ommenterons e hoix

BCA

Un des premiersobje tifs de la ompréhension du isaillementadiabatiqueaété

de prédire les onditions né essaires à la formationd'une BCA, onditions portant

surlasolli itationetle omportementdumatériau.Diérentesappro hes

unidimen-sionnellesde eproblèmeontétéutilisées.Nouslesdétailleronsdanslesparagraphes

2.1et2.2.Nousverronségalementquedessimulationsnumériquesbidimensionnelles

ettridimensionnellesontpermisdemodéliserdesphénomènestelsquelapropagation

des BCA et l'apparition de stru tures bidimensionnellesausein même des bandes.

2.1 Mise en équation du problème de isaillement

adiaba tique

Laplupartdestravauxthéoriquessurle isaillementadiabatiquesesontatta hés

àmodéliserl'essaidetorsionauxbarresd'HopkinsondeMar handetDuy.De

nom-breuxauteursontsupposé quel'é oulementplastiqueàl'intérieuretàl'extérieurde

la bandeest laminaire etont don fait l'hypothèse d'un problème unidimensionnel.

Ilsont alors onsidéré unmassifinnid'épaisseur

2h

(gure2.1)solli itéen

isaille-mentsimpleoùseuls lesdépla ements suivantladire tion

x

sont onsidérés omme

non nuls. L'unique omposante du tenseur des déformations est la omposante de

isaillement

ε

xy

notée

γ =

∂u

∂y

ave

u

ledépla ementsuivant

x

.

En tenant ompte des eorts d'inertie et des eorts internes, l'équilibre

mé a-nique s'é rit :

ρ

∂

2

_γ

∂t

2

=

∂τ

∂x

(2.1)

ave

ρ

la masse volumique,

τ

la ontrainte de isaillement et

γ

la déformation de

isaillement.

A etteéquationd'équilibres'ajouteuneloide omportementthermomé anique

+h

-h

x

y

V

V

Fig.2.1 -Modélisation unidimensionnelle du problème de isaillementadiabatique.

etl'adou issement thermiqueet peut s'é rire de manière générale :

τ = f (γ, ˙γ, θ)

(2.2)

ave

˙γ

la vitesse de déformation de isaillement et

θ = T − T

0

la variation de

températurepar rapport à latempératureinitiale

T

0

.

L'équilibre thermique prend en ompte un terme de ondu tion etun terme lié

à ladissipation d'une fra tion du travailplastique en haleur.Cette fra tion, notée

β

, est appelée oe ient de Taylor-Quinney. Ave ette notation, l'équation de la

haleur s'é rit :

ρC

∂θ

∂t

= βτ

∂γ

∂t

+ λ

∂

2

_θ

∂y

2

(2.3)

où

C

est la apa ité alorique et

λ

la ondu tivité thermiquedu matériau.

On onsidère que le massif est initialement à une température homogène

T

0

et qu'à partir de l'instant

t = 0

, on applique sur les deux surfa es une vitesse

±V

suivant la dire tion

x

. Compte tenu des grandes vitesses de solli itation, des

onditions limites adiabatiques seront appliquéessur lesdeux surfa es :

∂θ

∂y

(y = ±h) = 0

(2.4)

Toutes es équationspeuvent se généraliser aux as bidimensionnelet

tridimen-sionnel.

2.2 Critères de lo alis ation

L'obje tif d'un ritère de lo alisation est de déterminer les onditions de

déve-loppées pour établir e ritère de formation : méthode basée sur le maximum de

ontraintede isaillement,lesétudesde stabilitéetlesméthodesnon linéaires.Nous

allonsmaintenantdétailler es te hniques.

2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement

Par une démar he analogue à elle utilisée par Considère [12℄ dans le as de

la stri tion lors d'un essai de tra tion, plusieurs auteurs omme Re ht ou Culver

[57, 14℄ontproposé un ritère basé sur lemaximum de ontraintede isaillement.

g

t

t

ma x

g

c

dt>0

dt<0

Fig. 2.2 - Maximumde ontrainte de isaillement.

Une variation de la ontrainte d

τ

peut être la onséquen e d'une variation de

la déformation d

γ

(é rouissage), d'une variation de la vitesse de déformation d

˙γ

(dur issement dynamique) ou d'une variation de température d

θ

(adou issement

thermique) : d

τ =

 ∂τ

∂γ



˙γ,θ

d

γ +

 ∂τ

∂ ˙γ



γ,θ

d

˙γ +

 ∂τ

∂θ



γ, ˙γ

d

θ

(2.5)

Lemaximumde ontrainte orresponddon àune ompétitionentrel'é rouissage

qui tend à augmenter la ontrainted'é oulement et l'adou issement thermique qui

au ontraire tend à la diminuer. Les auteurs supposent la vitesse de déformation

onstante et négligent le dur issement dynamique et la ondu tion thermique; la

ondition d

τ = 0

permet alors d'obtenir en utilisant l'équationde la haleur 2.3, le

ritère suivant (Culver [14℄) :

1

τ

 ∂τ

∂γ



θ, ˙γ

= −

β

ρC

 ∂τ

∂θ



γ, ˙γ

(2.6)

Ce ritère permet de déterminer la déformation ritique de isaillement

orres-pondantaumaximumde ontraintepouruneloide omportementdetypepuissan e

(

τ = Kγ

n

_˙γ

m

_θ

−v

γ

i

=

 nρC

βKv

θ

1+v

˙γ

m



1

n+1

(2.7)

où

n

est l'exposant d'é rouissage,

m

est l'exposant d'adou issement thermique,

v

l'exposantd'adou issementthermiqueet

K

la ontrainted'é oulementàdéformation

nulle.

Ces résultats permettent de montrer qu'une augmentation de l'adou issement

thermiqueatendan eàdiminuerla ontrainte ritiqueetdon àfavoriserle

isaille-ment adiabatique. Au ontraire, un matériaufortement é rouissable et de apa ité

aloriqueimportantesera moins sensible auxBCA.

Le ritèredumaximumde ontraintenedépendpasdela ondu tivitéthermique

e quis'avère inexa t dans la réalité.Pour résoudre e problème, Re ht [57℄ ajouta

également à e ritère l'eet de la ondu tion thermiquesur laformationdes BCA

en étudiant un pro essus d'usinage grande vitesse. Il suppose alors que la bande

se omporte omme une sour e de haleur plane qui dissipe vers l'extérieur par

ondu tion.Cemodèleluipermetdedéterminerlavitesse dedéformationminimale

pour avoir isaillement adiabatique. Il obtient un ritère permettant de omparer

lesvitesses de déformation ritique de deux matériaux:

˙γ

c1

˙γ

c2

=

λ

1

ρ

1

C

1

λ

2

ρ

2

C

2







∂τ

∂γ



1

∂τ

∂θ

2

∂τ

∂θ

1



∂τ

∂γ



2





2

 τ

y2

τ

y1



2

(2.8)

ave

λ

la ondu tivitéthermique,

ρ

lamassevolumique,

C

la apa ité alorique,

τ

la ontraintede isaillement,

γ

ladéformationplastiquede isaillement,

θ

la

tempé-ratureet

τ

y

la ontrainted'é oulement.Lesindi es1et2sontrelatifsrespe tivement

aux deux matériaux.

Le ritèredemaximumde ontraintenepermetpasdedéterminerladéformation

lors de la hute rapide de ontrainte orrespondant réellement à la formationde la

BCA. Il s'agit don d'un ritère né essaire pour avoir formation d'une BCA mais

pas susant.

2.2.2 Critère de stabilité : méthode des perturbations

linéa-risées

D'autresauteurs,Cliftonetal.en1978et1984[11℄,Baien1982[2℄etMolinarien

1985 [43℄, proposent pluttun ritère d'instabilitédéterminé àpartir d'une analyse

destabilitéd'uné oulementplastiquehomogèneen isaillementsimple.Pourétablir

qui onsisteà savoir siune petite perturbation initialeest sus eptible de grossir ou

non.

Cette méthode desperturbationslinéairessedé ompose en deux étapes. La

pre-mière onsiste à déterminer une solution homogène

S

h

où par exemple la

défor-mation ne dépend pas de l'ordonnée

y

(gure 2.3). Ce problème se résout

sim-plement de manière analytique (on trouvera plus de détails dans [3℄ pages 134 à

140). Dans la deuxième étape, on onsidère une perturbation très petite devant la

solution homogène et se présentant généralement sous la forme d'une onde plane

(

δS = δS

0

exp(ηt − iξx)

ave

δS

0

l'amplitudeinitialede laperturbation,

η

son taux

de roissan e et

ξ

son nombre d'onde) et l'on étudie son évolution au ours du

temps. Comme ette perturbation est innimentpetite, on peut alors linéariser les

équationsd'équilibre etexprimerle tauxde roissan e

η

.Sila partieréelle de

η

est

négative,l'amplitudede laperturbationdé roîtrapidementetlesystèmeest stable.

Au ontraire si la partie réelle de

η

est positive, la perturbation roît de manière

exponentielle etle système devient instable.

x

V

V

y

y

y

y

g

g

g

+

Solution homogène

S

0

Perturbation

S

d

Solution perturbée

S=S + S

0

d

{

Fig.2.3 -Analysede stabilité;méthode des perturbations.

Le défaut de la te hnique des perturbations linéarisées est qu'elle ne permet

pas de dé rire l'évolution nale de la perturbation et don de la BCA. En eet,

elle suppose que ette perturbation est inniment petite. Le ritère de stabilité

traduitseulementlapossibilitépourun défautdegrossirmaispasde onduireàune

déformation lo ale intense. Il ne tient don pas ompte par exemple de l'évolution

de la solutionhomogène qui peut être importante. Ce n'est don pas une ondition

susantede formationd'une bandede isaillement.Il est alorsné essaire de dénir

2.2.3 Critère de lo alisation : méthode des perturbations

re-latives

Pour résoudrelesproblèmes liésàlaméthode des perturbations linéarisées,

Mo-linari [43℄ et Molinari et Fressengeas [17℄ ont proposé en 1985 et 1987 une nouvelle

te hnique appelée méthode des perturbations relatives, qui tient justement ompte

de la non stationnarité de la solution homogène. An de s'aran hir de la solution

homogène, lesgrandeurs perturbées sont normalisées par lesgrandeurs homogènes.

Trois as peuvent être envisagés :

 Laperturbationdé roît (

δS ց

),la solutionhomogène est stable.

 La perturbation roît (

δS ր

), et la perturbation relative dé roît (

δS

S

ց

), la

solutionhomogène est instablemais il n'ya pas de lo alisation.

 Laperturbationrelativeetdon laperturbation roissent(

δS ր

et

δS

S

ր

),on a instabilité etlo alisation.

q

q

q

0

q

0

dq

dq

a) Instabilité delatempérature.

Ledéfaut absolu

δθ

roît. Ledéfaut relatif

δθ/θ

0

dé roît.

q

q

q

0

q

0

dq

dq

b) Lo alisationde latempérature .

Le défautrelatif

δθ/θ

0

roît.

Fig. 2.4 -Représentation d'uneinstabilité relative (extrait de[16℄).

Dans le as quasi-statique (eorts d'inertie négligés) et adiabatique (pas de

ondu tion de la haleur)en supposant une loi de omportement de typepuissan e

(

τ = Kγ

n

_˙γ

m

_θ

−v

), la stabilité de la solution homogène s'exprime par l'inégalité

n + v > 0

etla stabilitérelative est assurée pour le ritère

n + m + v > 0

. On peut

remarquerque esdeux ritèresne dépendentpasdel'amplitudedelaperturbation.

2.2.4 Méthodes non linéaires

Modélisations unidimensi onnelles

La méthode des perturbationslinéairesne permet pas de déterminer l'inuen e

de l'amplitudeinitialebienque e soitun paramètreimportant.Unesolution

tenude la omplexitéduproblème :fortenon linéaritéinduitepar le ouplage

ther-momé anique et la loi de omportement. Le re ours aux méthodes numériques est

don indispensable pour simuler la formation d'une BCA. Les études numériques

sur e phénomène ontd'ailleurs débuté avantles travaux sur l'instabilitéet ontété

menées en parallèle.

Dès 1977, Litonski [34℄ étudia numériquement le isaillement adiabatique dans

untubemin eentorsionave undéfautgéométrique.Samodélisationest

unidimen-sionnelle et le omportement du matériauest thermovis oplastique. La ondu tion

est négligée. Les résultats mettent en éviden e un maximum du ouple de torsion

pour une déformation plastique nominale de l'ordre de 20% (gure 2.5). Après e

maximum, la déformation, la vitesse de déformation et la température deviennent

hétérogènes. La gure 2.5 montre l'évolutionde es diérentes grandeurs entre

l'in-térieur (indi e A) et l'extérieur du défaut (indi e B). Litonski montre également

l'existen e d'une hute importantede la ontraintepour une déformationplastique

nominaledel'ordrede40%.Cette hutede ontraintes'a ompagned'uneforte

aug-mentationdeladéformation,de lavitesse dedéformationetde latempératuredans

ledéfaut. En dehors,la vitesse de déformation hute rapidement, ladéformationet

la températuredeviennent alors stationnaires.

Fig. 2.5 - Résultatsnumériques obtenus par Litonski[34℄: déformation,vitesse de

défor-mation,température et ontrainte de isaillementà l'intérieur (A) ou à

Merzer [40℄ propose en 1982 un modèle numérique analogue à elui utilisé par

Litonskimaisintégrantla ondu tionthermique.Il onsidère ependantleproblème

omme quasi statique et néglige don les eorts d'inertie. Il montre alors que la

largeur de bande en n de solli itation n'est pas inuen ée par la taille du défaut

initial et qu'elle est par ontre dire tement dépendante de la diusivité thermique

et de la vitesse de déformation. Il établit également un lien entre la hute rapide

de ontrainte et une diminution de la largeur de bande qui sera mis en éviden e

expérimentalementpar Mar hand et Duy en 1988 [36℄.

En 1985, Wright et Batra [66, 65℄ proposent une résolution par la méthode des

éléments nis du problème de isaillement simple. Leur modèle tient ompte, entre

autres,deseortsd'inertieetdela ondu tion.Ilsutilisentuneloide omportement

du matériauélasto-thermovis oplastiqueave prise en omptede l'é rouissageetde

l'adou issement thermique. Un défaut en température est introduit juste avant le

maximum de ontrainte an d'initierla bande de isaillement. Leurs résultats sont

en a ord ave eux trouvés par Litonski : ils observent d'abord une augmentation

trèslentedeladéformationdanslabandejusteaprèslemaximumde ontraintesuivi

d'uneaugmentationbeau oupplus rapide orrespondantàla hute dela ontrainte.

WrightetBatraontégalementétudiél'inuen edel'amplitudedudéfautsurla hute

de ontrainte.Deuxdéfautsayantlamêmeformemaisdesamplitudesdiérentesont

don été onsidérés(l'amplitudedupetitest inqfoisplusfaibleque elledugrand).

Les résultatsmettent en éviden e une diminution de la durée entre le maximum et

la hute rapide de la ontrainte ave une augmentationde l'amplitude du défaut.

Ce mêmemodèlepermetàBatraen 1987[4℄dedéterminerl'inuen edes

ara -téristiquesdu matériausur la lo alisationde ladéformation.Ces travaux indiquent

qu'elle sera retardée lorsque la sensibilité à la vitesse de déformation ou le

oe- ient d'é rouissage augmente. Inversement si l'adou issement thermiqueaugmente,

la hute de ontrainteaura lieu plus tt. Laprise en omptede la ondu tion

ther-miquemontreune faibleinuen e surla hute de ontrainteetsur lataillede bande

e qui est en ontradi tion ave les travaux de Merzer. Une étude plus pré ise sur

etteinuen ede la ondu tivité thermiqueseraréaliséeun peuplus tardparBatra

et Kim [5℄. Leurs résultats mettent en éviden e un retard de la hute de ontrainte

etune augmentationde lalargeurdebandeave uneaugmentationdela ondu tion

thermique.

En1987,WrightetWalter [68℄ontégalementétudiél'inuen edu défautinitial,

etnotammentsaforme, surla hute de ontraintea ompagnantlaformationd'une

BCA. Leur modèle numérique est identique à elui utilisépar Wright et Batra[66℄

mis à part qu'il ne tient pas ompte de l'é rouissage du matériau. Le maillage est

fortement rané dans la zone de lo alisation. Un défaut initial en température de

formetriangulaireestpla éau entre delapartieutile.Lesrésultatsdelasimulation

numériquemontrentquepourdefaiblesamplitudesdedéfaut,iln'yapasd'inuen e

aumoment de la hute de ontraintediminueet dépend fortementde sa géométrie.

Modélisations bidimensionnelle et tridimensionnelle

Le passage aux modélisations numériques bidimensionnelle et tridimensionnelle

est di ile. Elles né essitent ee tivement d'avoir des maillages ranés ave un

nombreimportantdenoeudsetdedegrésdeliberté.Deplus,ladéformationdansles

bandespouvant être très importante, lesélémentsdeviennentrapidementdistordus

e qui produit une augmentation du temps de al ul.

Pour résoudre es problèmes, plusieurs te hniques ont été utilisées. Lapremière

est la te hnique du maillage adaptatif [46℄ qui permet de remailler dans les zones

de lo alisation de la déformation. La deuxième est la méthode sans maillage [32℄

quiestparti ulièrementadaptée auxdéformationsintenses(élémentsdistordus).En

général, es étudesontmontréquelesbandesde isaillementadiabatiquepouvaient

sepropager etdonnernaissan e àdes stru tures bidimensionnellesausein mêmede

la bande.Nous détaillerons es deux points dans lesparagraphes 2.3 et 2.4.

2.2.5 Con lusion

Laméthodedumaximumde ontrainte,lesétudesdestabilitéetlesméthodes

nu-mériques non linéairessont des te hniques quipermettent d'estimer la déformation

nominalelorsde laformationd'uneBCA(déformationàlalo alisation).Diérentes

étudesontmontré l'inuen edes paramètresdu matériauetdes ara téristiquesdu

défaut initialsur ette déformation à lalo alisation. Le tableau 2.1 fait le bilan de

l'inuen edes diérentsparamètresdumatériausurladéformationàlalo alisation

orrespondant à la hute rapide de ontrainte.

Tab. 2.1 - Inuen e des paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation.

Variation desparamètres dumatériau Inuen esur lalo alisation

del'é rouissage augmente

de lasensibilitéà la augmente

vitessede déformation

L'augmentation del'adou issement thermique diminue ladéformation

de la ondu tivité thermique augmente à lalo alisation

dela apa ité alorique augmente

du oe ient de Taylor-Quinney diminue

2.3 Propagation des BCA

2.3.1 Mise en éviden e de la propagation des BCA

L'idée qu'une bande de isaillement adiabatique s'amor e et se propage a été

émise par Ba kman et Finnegan en 1973, lors d'observations métallographiques de

ibles en a ier impa tées.

Cette propagation des bandes de isaillement a été mise en éviden e lors de

l'expérien ede Mar hand etDuy en 1988. Ils ont onstaté quependantlaphase 3

delaformationdelabandeetàunmêmeinstant,ladéformationlo aledanslabande

est hétérogène lelong de la ir onféren e de l'éprouvette de torsion.Pour expliquer

ela, ilsontfait l'hypothèseque labandes'amor e en un point de l'éprouvette etse

propage lelong de elle- i. A partir de leurs données expérimentales, ilsontévalué

une vitesse de propagation de

255 ms

−1

pour un a ier HY100 en supposant que la

bande sepropage dans lesdeux sens de la ir onféren e.

Zhou et al. [74℄ ont observé en 1996, l'évolution de la longueur de bandes de

isaillementsur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée impa tée. Un laser é laire

une grille de lignes parallèles à la dire tion de propagation de la bande et

l'obser-vation de la bande se fait à l'aide d'une améra ultra-rapide (2 millions d'images

par se onde). A partir de la mesure des longueurs de bande à diérents instants,

ils déterminent la vitesse instantanée de propagation. Les résultats montrent que

les bandes de isaillementadiabatique ne se propagent pas à une vitesse onstante

pendant la durée d'un essai. Initialement ette vitesse est très faible puis elle

aug-mentejusqu'àun maximumpour ensuitedé roîtrerapidement.Lesauteursmettent

égalementen éviden eune forte sensibilitéde la vitesse de propagation vis-à-visde

lavitessed'impa t.Letableau2.2donnelavitessedepropagationmoyenneet

maxi-maledelabandedansle asd'una iermaragingC300.Lavitessemaximaleatteinte

orrespond à environ 40% de la vitesse de propagation des ondes de isaillement.

Unesimulationduproblèmeparélémentsnisdonneuneex ellente orrélationentre

expérien e et al ul [73℄.

Tab. 2.2 - Valeur de la vitesse depropagation d'une BCAd'après Zhou et al. [74℄.

Vitesse d'impa t Vitesse de propagation Vitesse de propagation

en

ms

−1

maximale en

ms

−1

moyenne en

ms

−1

21,6

≈ 100

80 25

≈ 900

585 30 1200 1004

2.3.2 Vitesse de propagation des BCA

Cas du régime stationnaire

Après l'amorçaged'uneBCA, onpeut supposer que elle- isepropage ave une

vitesse qui va augmenter ave letemps. Aubout d'un tempssusammentlong, on

peut penserqu'unrégimestationnairevas'établiretque ettevitesse vatendrevers

une ertaine vitesse limite.

De nombreux travaux ont été onsa rés à la propagation de bandes de

isaille-mentadiabatiqueenrégimestationnaire,andedéterminerlesvitesseslimitesetles

hamps de ontrainte, déformationettempératureen tête debande etde quantier

l'inuen e de divers paramètres du matériausur lavitesse de propagation.

Grady [19℄propose en 1992un modèle de propagationde bande à partirdes

ré-sultatsobtenusàl'aide d'uneanalyseunidimensionnelle.En1996,WrightetWalter

[69℄déterminentles hampsdetempérature, ontrainteetvitesseentêtedebandede

isaillementadiabatique. GioiaetOrtiz[18℄utilisentunethéoriedes ou hes limites

appliquée aux solides thermovis oplastiques pour étudier la stru ture

bidimension-nelle d'une bande de isaillement en propagation. Mer ier en 1998 [39℄a développé

un modèle analytique pour déterminer la vitesse de propagation d'une BCA dans

une ou he de longueur innie soumise à une solli itation de isaillement. Ce

mo-dèle,quinégligela ondu tionthermique,luiapermisde ara tériserl'inuen edes

diérents paramètres du matériau sur la vitesse de déformation. Dans les mêmes

onditions que l'expérien e de Mar hand et Duy, le modèle analytique donne une

vitesse de propagationde

905 ms

−1

alors que la vitesse mesurée est de

260 ms

−1

.

Plus ré emment,en 2002, Bonnet-Lebouvier etMolinari [7℄ ontétudié la

propa-gationdes bandesde isaillementpar uneappro he numérique.Ilsontmodéliséune

plaque min e de longueur

200 mm

et de largeur

2, 5 mm

solli itée en déformation

plane. Ils appliquent des onditions limites en vitesse imposée sur les longueurs et

une égalitédes vitesses sur leslargeurs.Pour leproblème thermique, des onditions

adiabatiques sont appliquées sur toutes les extrémités de la plaque. Pour initier la

bande de isaillement, un défaut géométrique est introduit au entre de la plaque.

Il s'agit d'une rédu tion d'épaisseur de 20% appliquée dans une zone

re tangu-lairede

200 µm

par

60 µm

. Une loiélasto-thermovis oplastiqueave adou issement

thermique de type Johnson-Cook a été hoisie pour dé rire le omportement du

matériau. Le al ul tient ompte du ouplage thermomé anique et est mené ave

et sans prise en ompte de la ondu tion thermique. Les auteurs font varier les

vi-tesses de solli itation notée

V

entre

0, 5 ms

−1

et

300 ms

−1

e qui orrespond à des

vitesses de déformation nominale omprises entre

400 s

−1

et

2, 4.10

5

_s

−1

. Pour des

vitesses inférieures à une vitesse ritique

V

c

égale à

0, 5 ms

−1

(soit

˙γ = 400 s

−1

),

au une propagation de bande n'est observée. Pour des vitesses supérieures à ette

stationnaire où la bande de isaillement se propage à une vitesse onstante notée

C

b

. Ils distinguent trois domaines de vitesse : dans le premier domaine, l'évolution

de

C

b

ave

V

est linéaire et dans le troisième domaine la vitesse

C

b

varie très peu

ave

V

. Le deuxième domaine est une transition entre le premier et le troisième

domaine. Lan du premierdomaineetledébut du troisième orrespondent

respe -tivement à des vitesses de solli itation de

25 ms

−1

(soit

˙γ = 2.10

4

_s

−1

) et

150 ms

−1

(soit

˙γ = 1, 2.10

5

_s

−1

). Les vitesses de bande asso iées sont d'environ

600 ms

−1

et

800 ms

−1

.Uneanalysedimensionnelleleurapermisd'établirlesrelationssuivantes:

C

b

V

= α

Kβ

ρCT

0

m

(−An + B)

(2.9)

pourlepremierdomaine,ave

A

et

B

deux onstantes,

α

un oe ientdépendantde

l'exposantd'adou issementthermique

v

,

K

lalimited'élasti itéet

T

0

latempérature initiale. Et :

C

b

= ηC

t

s

βK

2

µρCT

0

m

(−A

′

_{n + B}

′

₎

(2.10)

pourletroisièmedomaine,ave

A

′

et

B

′

deux onstantes,

η

un oe ientdépendant

de l'exposantd'adou issementthermique

v

,

µ

lemodulede isaillementet

C

t

=

q

µ

ρ

la vitesse de propagation des ondes élastiques de isaillement.

Le tableau 2.3 résume l'inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de

propagation de laBCA.

Cas du régime transitoi re

Lors de l'essai de torsion de Mar hand et Duy, les vitesses de propagation

des bandes semblent être bien inférieures aux vitesses déterminées analytiquement

en stationnaire. Ce i peut être expliqué par le fait que pendant l'essai de torsion,

le régime de propagation de bande est transitoire. De même, Zhou et al. [74℄ ont

observé que les BCA ne se propagent pas à une vitesse onstante lors d'un essai

d'impa t sur latran he d'une éprouvette pré-entaillée.

Très peu d'études ont porté sur la propagation des BCA en régime transitoire.

Cependant,onpeut iterlestravauxdeBatraetZhangen1994[6℄quiontproposéun

modèlenumériquetridimensionnelduproblèmedetorsiondynamiquedutubemin e

utilisé par Mar hand et Duy. Leur modèle ne tient pas ompte de la ondu tion

et un défaut matériau est introduit dans une petite région du entre de la partie

utile de l'éprouvette. Les résultats montrent que la bande se propage bien suivant

les deux dire tions autour de l'éprouvette et que sa vitesse varie entre

40 ms

−1

et

260 ms

−1

et e pour une vitesse de déformationde

1000 s

−1

Tab. 2.3 - Inuen e des propriétés dumatériau surla vitessedepropagationd'uneBCA.

Variationdespropriétés du matériau Inuen e surlavitessede propagation

dela ontrainte augmente d'é ouleme nt du oe ient de augmente Taylor-Quinney de la apa ité diminue alorique

L'augmentation delasensibilité àla diminue la vitesse

vitessededéformation depropagation

du oe ient diminue

d'é rouissage

de l'adou issement augmente

thermique

dela ondu tivité n'apas

thermique d'inuen e sur

Dans es onditions, lors de l'essai de torsion, la bande n'aurait ee tivement

pas letempsd'atteindre savitessemaximaleetdon lerégimestationnairen'aurait

pas le temps de s'établir.

2.4 Stru tures bidimensionne lles dans les BCA

Guduru et al. [22, 21℄ ont mis en éviden e lors de leur étude expérimentale du

hamp de température dans une BCA, l'existen e d'une stru ture bidimensionnelle

le long d'une bande omposée de points hauds régulièrement espa és (gure 2.6).

La distan e entre es points hauds varie, selon lesessais entre

250 µm

et

1 mm

et

la température des points hauds se situe à 600C et elle des zones froides est de

400C. Ils ont également onstaté que es points hauds se translatent le long de la

bande.

Ces observations remettraient en ause l'hypothèse d'un é oulement plastique

laminaire dans la bande et justieraient l'existen e d'une instabilité à l'é helle de

la bande similaire à elles observées dans les uides. Pour étayer ette hypothèse,

Li et al. [32℄ ont modélisé l'é oulement plastique dans une bande de isaillement

adiabatique par un é oulement plan de Couette d'un liquide dont la vis osité et

la masse volumique dépendent de la température (gure 2.7). Ils mettent bien en

éviden e laformation d'unestru ture bidimensionnelledans la bande.

Molinari et Leroy [45℄ ont étudié la possibilité de formation d'une stru ture

Fig. 2.6 - Observation d'une su ession

de points hauds dans une

BCA d'après [22℄ (taille de

l'image

1, 1 mm

par

1, 1 mm

).

Fig. 2.7 - Modélisation de l'é oulement

plastique dans une BCA

d'après Li et al. [32℄ ( hamp

de température en K).

de Couette. En utilisant une analyse de stabilité bidimensionnelle, ils ont montré

que eproblèmepouvaitprésenteruneinstabilitéthermomé aniqueselondesmodes

multidimensionnels, notamment dans le as des matériaux faiblement adou issant

etfortementsensibles à lavitesse de déformation.

Dans leur modèle numérique sans maillage, Li et al. [32℄ ont également mis en

éviden eunerépartitionpériodiquedepoints haudssedéplaçantlelongdelabande

L'expérien edeMar handetDuy apermisd'étudierl'initiationetlaformation

d'une bande de isaillement adiabatique. Dans les problèmes d'impa t balistique,

on onstate souvent sur des observations métallurgiques post mortem la formation

non pas d'une seule mais d'une multitude de bandes de isaillement adiabatique.

Pour omprendre les mé anismes de formation et d'évolution des BCA lors d'un

impa t proje tile ible, il est don né essaire de prendre en ompte lesintera tions

éventuelles entre lesbandes.

3.1 Etudes expérimentales : auto-organis ation des

BCA

Depuis 1995, Nesterenko et al. [48, 49℄ ont étudié le omportement olle tif des

BCA lorsde leur amorçage et de leur propagation. Pour ela, ils ont développé un

nouveau dispositifde solli itationbasé surl'eondrementradiald'un tubeàgrande

vitesse de déformation (

10

4

_s

−1

). Cette solli itation dynamique est générée par la

détonation d'un explosif (gure 3.1). La surpression est transmise à l'éprouvette

par l'intermédiaired'un tubeen uivre. Un ylindre intérieuren uivrede diamètre

variable suivant les essais permet d'interrompre l'eondrement et de ontrler la

déformationplastiquedansl'éprouvette.Lesrésultatsdesessaismettentenéviden e

des bandes de isaillement en formede spirale s'initiantau niveau de l'intérieur du

ylindre (gure3.2). L'espa ement entre es bandes est régulier.Parexemple, dans

le as d'una ier inoxydable 304L,ladistan e entre bandeslorsde l'initiationest en

moyennede

0, 12 mm

.Pourdes bandesdanslaphasedepropagation, ettedistan e

augmenteet vaut

3, 1 mm

.

3.2 Prédi tion de l'espa ement entre BCA

Les essais d'eondrement de ylindre de Nesterenko et al. [48, 49℄ ont sus ité

diérentes études théoriques dans le but de prédire les distan es entre bandes de

Fig. 3.1 - Expérien e d'eondrement de

ylindre : dispositif de

solli i-tation(extrait de[48℄).

Fig. 3.2 - Observation des éprouve ttes

aprèseondrement (extraitde

[49℄).

et espa ement entre bandes. Le premier modèle, développé en 1987 par Grady et

Kipp[20℄estbasésurl'étudedelapropagationd'unfrontderelaxationauvoisinage

d'une BCA (gure3.3).

Fig. 3.3 - ModèledeGrady etKipp[20℄.

Fig. 3.4 - ModèledeWrightetO kendon

(extrait de[70℄).

Lors de la formation de la bande, l'augmentation de température au niveau

de labandeprovoquepar adou issementthermiqueune diminutionde la ontrainte

d'é oulement.Cettedé hargesepropageàl'extérieurdelabandeparun mé anisme

de diusion et provoque une zone dé hargée autour de la bande (gure 3.3). Tous