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la
première partie
X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q ≥ 0 à t = 0.39327 s, t = 0.39359 s et t = 0.39385 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.39327 s, t = 0.39359 s et t = 0.39385 s
Fig. 3.15 - tourbillon➊ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q≥ 0 à t = 0.3944 s, t = 0.3950 s et t = 0.3953 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.3944 s, t = 0.3950 s et t = 0.3953 s
Fig. 3.16 - tourbillon➋ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0
X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q≥ 0 à t = 0.3957 s, t = 0.3961 s et t = 0.3963 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.3957 s, t = 0.3961 s et t = 0.3963 s
Fig. 3.17 - tourbillon➌ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q≥ 0 à t = 0.3975 s, t = 0.3980 s et t = 0.3983 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.3975 s, t = 0.3980 s et t = 0.3983 s
Fig. 3.18 - tourbillon➍ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0
X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q≥ 0 à t = 0.3993 s, t = 0.3997 s et t = 0.4000 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.3993 s, t = 0.3997 s et t = 0.4000 s
Fig. 3.19 - tourbillon➎ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (a) Critère Q≥ 0 à t = 0.3993 s, t = 0.3997 s et t = 0.4000 s X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 X (cm) Y( c m ) 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (b) Fluctuations de Pression≥ 0 à t = 0.3993 s, t = 0.3997 s et t = 0.4000 s
Fig. 3.20 - tourbillon➏ - Champs instantanés de critère Q et de fluctuations de pression à différents instants - maximum de critère Q en sombre seuillé à 0 ; minimum de fluctuations de pression en sombre seuillées à 0
L’expression du modèle de Rossiter est la suivante : Stm = f L U∞ = m− α 1 κv + M∞ où
Stm est la fréquence adimensionnelle correspondant au mode m
m étant le nombre de structures présentes simultanément dans la couche de mélange
κv est le rapport de la vitesse de convection des tourbillons dans la cavité, Uc sur la vitesse à l’infini, U∞
et, M∞ est le nombre de mach de l’écoulement à l’infini
Les valeurs de κv et α sont déterminées expérimentalement et celles proposées par Rossiter sont α= 0.25 et κv = 1.75.
S’il est difficile de mesurer le déphasage α, la vitesse d’advection des tourbillons est une donnée accessible dans un cas comme le nôtre. On pourra utiliser différentes approches pour l’estimation de cette vitesse d’advection :
– le suivi de l’évolution des minimums de pression à travers la cavité ; – l’étude des fonctions d’intercorrélation en travers de la cavité ; – le suivi des trajectoires des tourbillons dans la cavité.
3.4.3.1 Méthodes de calcul
méthode 1 - minimum de pression
On suit la progression des tourbillons à partir de l’enregistrement de l’évolution des mi-nimums locaux de pression suivant la largeur de la cavité, le long d’une droite imaginaire entre l’angle amont et l’angle aval(FIG. 3.21). On fait pour cela l’hypothèse que les tour-billons se déplacent à l’intérieur de la couche de cisaillement selon une trajectoire en ligne droite entre les angles amont et aval de la cavité.
0.389 0.392 0.395 0.398 0.401 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X/L Temps (s) ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏
Fig. 3.21 - Trajectoire des minimums de fluctuations de pression au cours du temps, à travers la largeur de la cavité à Y /H = 1
Sur la figure FIG. 3.21, on peut distinguer 3 zones d’évolution différente des structures, fonctions de la pente locale des trajectoires. Dans une première partie, qui s’étend de
X/L = 0.01 à X/L 0.35, la structure est advectée loin du point de décollement à vitesse
constante. Elle est ensuite accélérée dans une deuxième partie de la section de la cavité, pour atteindre un second palier de vitesse. Puis en fin de section (x > 0.6), après avoir atteint une vitesse maximale, la structure est brutalement décélérée à l’approche d’une zone dans laquelle les positions relevées du minimum de pression semblent osciller. Si l’on s’appuie sur les champs instantanés (FIG. 3.15 - 3.20), le champ moyen de pression (FIG. 3.4) et les lignes de courant de l’écoulement moyen (FIG. 3.7(a)), cette oscillation est sans doute l’empreinte du passage des structures captées par la recirculation. Les visualisations instantanées des champs de pression et critère Q ne permettent pas d’envisager que la structure fasse marche arrière en fin de cavité, ce "retour" apparent de la dépression pourrait être expliqué par un basculement de la structure tourbillonaire. On remarque également que, si la vitesse d’advection des tourbillons est relativement semblable pour quatre d’entre eux (➊, ➋, ➍ et ➎) (au regard de la pente des segments de droite formés par les relevés des minimums de pression locaux), pour les deux autres (➌ et ➏) la vitesse d’advection, dans cette première partie, est sensiblement différente. Il est donc important de garder à l’esprit, lorsque l’on calcule une vitesse moyenne d’advection des tourbillons à travers la cavité, que tous ne semblent pas être advectés à la même vitesse. On remarque aussi qu’au cours de leur trajectoire, on peut distinguer plusieurs zones où la vitesse de la structure est visiblement différente. L’advection ne se fait pas à vitesse constante.
Il est important de souligner que si l’hypothèse faite de la nature rectiligne de la trajectoire des tourbillons n’est pas conforme à la réalité, l’interprétation est faussée. En effet, ce qui parait être un ralentissement de la structure (FIG. 3.21) ne pourrait être que la conséquence d’une déviation de sa trajectoire, perçue alors sur la ligne de mesure comme une variation de vitesse. On procéderait implicitement à une projection de la trajectoire des structures et nous ne disposerions que d’informations partielles quant à la progression réelle de la structure au sein de l’écoulement. Il faudra donc rester extrêmement prudent lorsque nous prétendrons calculer une vitesse d’advection locale à partir de cette seule information.
En revanche, ces observations semblent confirmer la présence et le caractère instation-naire d’une structure captive à proximité de la paroi verticale aval, ou d’une recirculation. Elles montrent aussi la tendance des structures à l’accélération, à l’approche de cette recirculation.
méthode 2 - fonctions d’intercorrélation
On rappelle que la fonction d’intercorrélation Cxy(τ), de deux variables aléatoires station-naires x et y fonctions du temps, est définie par (cf. Annexe C.2.4) :
Cxy(τ) = E[x(t).y(t − τ)] (3.5)
L’une des principales utilisations de cette fonction d’intercorrélation est l’identification d’un signal par comparaison avec une librairie de signaux de références, ou la détection et la localisation d’un signal de référence connu noyé dans du bruit. On s’en sert également lorsque l’on souhaite retrouver un signal fortement dégradé ou pour caractériser la propa-gation d’un signal, ses éventuelles réflections, et obtenir des informations sur les retards caractéristiques. On l’utilise notamment dans la détection d’échos.
Shieh & Morris (2000) [27] proposent de déterminer la vitesse d’advection des struc-tures à partir du calcul des fonctions d’intercorrélation du signal de pression pris en différents points de l’écoulement dans la largeur de la cavité, à hauteur des angles amont
et aval (Y /H = 1). Considérons les signaux de pression - p1 et p2 - pris en deux points de l’écoulement. La fonction d’intercorrélation de ces signaux de pression p1(ti) et p2(ti) (avec i = 1, . . . n)), est définie de la façon suivante :
Cp1p2(τ) = 1 n n i=1 p1(ti).p2(ti+ τ)
Un exemple de fonctions d’intercorrélation des fluctuations de pression calculées le long de l’ouverture de la cavité, avec comme référence le signal pris en X/L = 0.58, est pré-senté à la FIG. 3.22. Le signal de pression étant caractérisé par l’apparition périodique de minimums locaux de pression, signatures du passage de structures tourbillonaires au voi-sinage du point de mesure, un maximum de la fonction d’intercorrélation nous permettra d’accéder au temps d’advection des structures entre le point de référence et le point de mesure. −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 −1 −0.5 0 0.5 1 x/L=0.45 x/L=0.52 x/L=0.58 x/L=0.63 x/L=0.68 décalage temporel, τ co efficien t d’in tercorrélation
Fig. 3.22 -Coefficient d’intercorrélation des fluctuations de pression le long de l’ouverture (y/L= 1) pour différents positions x/L.
Le signal de référence est pris à x/L= 0.58
A partir du calcul de ces fonctions prises en différents points, répartis sur la largeur de la cavité, il est possible de déterminer en chaque point la valeur du décalage temporel au maximum d’intercorrélation, donc de suivre l’évolution des structures tourbillonaires dans le temps et dans l’espace. La position - ε - de chacune des "sondes" numériques, ainsi que le décalage temporel - τ - entre deux pics d’intercorrélation, sont déterminés et tracés sur la figure FIG. 3.23. Sur ces courbes, nous suivons donc la projection de l’évolution de la structure sur la largeur de la cavité avec en abscisse la distance parcourue et en ordonnée le temps retard du maximum de corrélation, une grandeur qui est directement assimilable au temps de parcours de la structure. Une pente constante indiquera donc une évolution à vitesse constante. Une concavité positive traduira une accélération des structures, alors qu’une concavité négative caractérisera une décélération. Par construction de la fonction d’intercorrélation, ces observations sont des indicateurs des comportements locaux en moyenne des structures tourbillonaires. Nous avons vu en effet que toutes n’avaient pas les mêmes caractéristiques en fin de cavité (schéma d’impact) donc sans doute des allures différentes lors de leur advection à travers la largeur de la cavité.
Nous affichons les résultats obtenus avec 49 points de mesure. La durée du signal traité est de 13 cycles ( passage de 80 structures) et les fonctions d’intercorrélation sont
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X/L −0.0025 −0.002 −0.0015 −0.001 −0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 reference : x/L=0.13 reference : x/L=0.32 reference : x/L=0.58 reference : x/L=0.80 décalage temp orel, τ
Fig. 3.23 - Décalage temporel du maximum d’intercorrélation pour différentes positions (x/L) à hauteur de l’ouverture (y/H = 1), pour 4 signaux de référence différents pris à x/L = 0.13, x/L = 0.32,
x/L= 0.58 et x/L = 0.80
calculées pour τ compris entre −2 et +2, si l’on prend comme unité de mesure la durée d’un cycle.
Concernant la genèse des tourbillons, il est difficile de relier avec certitude un minimum de pression local et la présence d’un tourbillon. De plus, avant que le tourbillon ne se décroche et soit advecté loin du point de décollement, il passe par une période de croissance où la position de son centre est difficile à déterminer. Cette période transitoire est contenue dans le déphasage α de Rossiter. Les positions des maxima d’intercorrélation ne seront donc pas tracées pour X/L < 0.07. De même, à proximité de l’angle aval, le signal est perturbé par le mouvement du tourbillon captif et il n’est plus pertinent de poursuivre l’analyse de la position des minimums de pression dans cette zone. Enfin, cette démarche présuppose là aussi que nous soyons placés sur la trajectoire du tourbillon, ce qui n’est sans doute pas le cas comme nous l’avons vu précédemment.
Nous pouvons remarquer, FIG. 3.23, que le choix de la référence dans le calcul des intercorrélations ne va pas seulement se traduire par une translation de l’origine des décalages entre pics d’intercorrélation. Elle va également avoir une incidence sur la mesure de ces décalages. Selon le signal de référence choisi dans le calcul de l’intercorrélation, la vitesse moyenne d’advection estimée peut donc être sensiblement différente. En effet, la structure du signal évolue dans la largeur de la cavité. Tous les tourbillons n’évoluant pas à la même vitesse, le temps séparant deux dépressions successives va changer d’un point de mesure à un autre, de même que l’amplitude des surpressions et des dépressions. Enfin, la nature non-linéaire de la dynamique de l’écoulement va également avoir une incidence sur la mesure de ces décalages.
L’évolution des intercorrélations nous apporte tout de même des informations quali-tatives sur le mouvement des tourbillons, même si, à elle seule, elle ne nous permet pas de déduire des informations quantitatives sur la vitesse d’advection des structures. Là encore nous distinguons deux zones principales. Une première partie dans laquelle l’écou-lement est décéléré x/L 0.2, pour être ensuite accéléré, jusqu’à atteindre un maximum au voisinage de x/L = 0.6. Au delà de x/L = 0.9, le décalage en temps des maxima d’intercorrélation diminue continûment pour devenir négatif. Cette absence de franche discontinuité semble confirmer l’hypothèse avancée qu’en fin de cavité la structure
bas-cule, ce qui se traduit par une régression apparente de la projection de sa position sur l’axe y/H = 1. Sur cette figure l’enchaînement des changements de concavité indique une succession des zones d’accélération et de décélération. Par conséquent, définir une vitesse moyenne locale par zone peut sembler encore moins pertinent qu’avec la méthode précé-dente.
Du reste, cette méthode souffre des mêmes travers que la méthode 1. L’hypothèse d’advec-tion dans la couche de cisaillement, conférant une trajectoire en ligne droite aux structures à hauteur de l’ouverture, est une hypothèse très forte qu’il faudrait pouvoir vérifier avant de tirer de cette méthode des résultats quantitatifs exploitables.
méthode 3 - suivi de structures
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X/L 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Y/H tourbillon1 tourbillon2 tourbillon3 tourbillon4 tourbillon5 tourbillon6
Fig. 3.24 - Trajectoire des max de critère Q au cours d’un cycle
A partir des champs instantanés de critère Q et de pression, on repère la trajectoire des maxima du critère Q que l’on associe à l’advection d’une structure à travers la ca-vité. On a tracé sur la figure (FIG. 3.24) la trajectoire des extréma locaux du critère Q dans la cavité. En les assimilant à la signature du coeur de la structure, on peut disposer d’une information qualitative de la trajectoire des structures. On a choisi un incrément de 200 itérations entre chaque enregistrement - soit une fréquence d’échantillonnage en-viron trente fois supérieure à la fréquence de détachement tourbillonaire. Du fait de la discrétisation spatiale de notre domaine, la vitesse locale mesurée entre chaque relevé de position n’est pas représentative de la vitesse "réelle" du tourbillon. En effet, la structure "réelle" peut se décaler entre deux instants proches sans que le maximum local calculé, considéré comme le centre de son homologue simulé, se translate sur un nouveau noeud de maillage (FIG. 3.25). Le maillage, lui, est fixe. Il est donc difficile de déterminer avec précision la vitesse locale d’advection de la structure.
De plus, il apparaît que cette vitesse d’advection n’est pas une constante. Dans une première partie, la structure accélère pour atteindre un maximum à mi-cavité ( X/L = 0.55), puis décélère lorsqu’elle aborde la recirculation, à l’approche de l’angle aval. Cette observation vient confirmer les déductions faites à partir de l’enregistrement de l’évolution des minimums locaux de pression suivant la largeur de la cavité. Comme nous l’avons vu, la discrétisation spatiale du domaine de calcul ne permet pas d’établir précisément une vitesse locale d’advection des tourbillons. En théorie, l’incertitude intrinsèque sur le calcul des vitesses locales est de 50 %, du fait de l’incertitude liée à la mesure de la position du
t0 t1 t2 t3
t0 t1 t2 t3
structure cohérente
Fig. 3.25 - évolution d’une structure sur un maillage cartésien
couple maximum local de critère Q - minimum local de pression. Les déductions faites à partir du calcul des vitesses locales sont donc à prendre avec prudence et doivent être impérativement renforcées par d’autres observations. Néanmoins, nous pouvons voir qu’il y a une cohérence d’ensemble dans la répartition des points de localisation du couple (Qmax,Pmin), que nous associons à la trajectoire d’une structure. Cette cohérence devrait se retrouver dans la mesure de la distance parcourue par la structure depuis une position arbitraire prise en aval du point de décollement, et le temps de parcours. Cette position arbitraire de référence est prise à x/L = 0.1. Sur la figure FIG. 3.26, nous traçons en trait plein la distance parcourue (en abscisse) en fonction de la hauteur de la structure dans la cavité (Y /H en ordonnée à droite). A partir du relevé des positions du maximum du critère Q en fonction du temps nous sommes en mesure de tracer (points de mesure symbolisés par une étoile) la distance parcourue par la perturbation Qmax en fonction du temps (ordonnée à gauche) et donc d’accéder à la vitesse de la perturbation. Comme nous le voyons sur la FIG. 3.26, cette répartition se fait le long d’une courbe qui peut se scinder en plusieurs segments. A chacun de ces segments correspond une droite de régression linéaire nous donnant accès à la vitesse moyenne "locale" de la structure (en traits pointillés).
Les structures ➊, ➍, et ➎ sont d’abord décélérées en même temps qu’elles plongent vers l’intérieur de la cavité, dans une première partie du domaine. Elles sont ensuite ad-vectées à vitesse constante, relativement faible, avant d’être accélérées et de remonter dans l’écoulement, jusqu’à un nouveau palier de vitesse, cette fois maximale. En fin de parcours, après avoir atteint une hauteur maximale dans l’écoulement, elles sont décélé-rées. Les structures ➋ et ➌ ont un comportement assez semblable. Elles sont advectées à vitesse constante lors de leur descente dans la cavité, pour être accélérées lorsqu’elles commencent leur remontée. Une fois atteint une hauteur de y/H 1.1, elles ont acquis
leur vitesse maximale car elles sont plongées dans l’écoulement principal. Dans tous les cas, un léger changement de concavité indique une légère décélération à l’approche de l’angle aval, à l’exception de la structure ➋. Mais dans le cas de la structure ➋, cette dernière caractéristique n’est pas visible dans cette figure du fait d’un déficit de relevé de position du minimum de pression. La méthode utilisée ne nous a pas permis de suivre cette structure aussi longtemps que les autres.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.391 0.392 0.393 0.394 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 distance/H 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Y/H
(a) tourbillon➊ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.3925 0.393 0.3935 0.394 0.3945 0.395 0.3955 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 distance/H 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Y/H
(b) tourbillon➋ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.394 0.3945 0.395 0.3955 0.396 0.3965 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 distance/H 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Y/H
(c) tourbillon➌ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.395 0.3955 0.396 0.3965 0.397 0.3975 0.398 0.3985 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 distance/H 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Y/H
(d) tourbillon➍ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.397 0.3975 0.398 0.3985 0.399 0.3995 0.4 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 distance/H 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 Y/H
(e) tourbillon➎ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.399 0.3995 0.4 0.4005 0.401 temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 distance/H 1 1.1 1.2 1.3 Y/H
(f) tourbillon➏ : distance parcourue par Qmax en fonction du temps et trajectoire de Qmax
Fig. 3.26 - Evolution de Qmaxau cours du temps pour chacun des tourbillons composant un cycle :
trajectoire et distance parcourues en fonction du temps.
de la vitesse moyenne locale d’advection des structures. Mais nous avons vu qu’elle n’est pas sans "défaut" et sa précision va directement dépendre de la taille des mailles et du pas de temps. Une précision optimale pourra être obtenue lorsque l’on pourra garantir que la structure ne reste pas dans une même cellule entre deux itérations. C’est à dire lorsque localement :
Uc >
Δx2+ Δy2 Δt
oùΔt est le pas de temps et (Δx,Δy) la dimension de la maille. Une méthode plus réaliste et plus fine serait de localiser la structure non pas par une donnée ponctuelle locale (qui est à l’origine de notre problème de précision) mais par une donnée géographique de zone [76] ou une méthode de reconnaissance de forme [77]. Cela ne nous permettrait pas de nous affranchir de l’imprécision inhérente à la discrétisation spatiale du domaine de calcul, mais permettrait sans doute de la diminuer considérablement.
Bilan
Nous avons vu qu’au cours de son parcours à travers la cavité, la structure subit des accélérations et des décélérations successives. La vitesse, loin d’être constante va être une caractéristique locale de la structure. Il est donc nécessaire de définir ce que l’on entend par «vitesse moyenne d’advection ».
Au sens de Rossiter, il s’agit de connaître le temps que met la structure pour traverser la cavité. La vitesse moyenne se définit alors à partir de la distance entre le lieu de naissance de la perturbation et le point d’impact de cette perturbation contre la paroi verticale aval de la cavité et le temps séparant le détachement tourbillonaire de l’impact. Le temps séparant la conversion de la perturbation de pression qui a remonté l’écoulement en structure cohérente et le décrochement ainsi que le temps de conversion de l’impact en une perturbation de pression, sont contenus dans le paramètre α du modèle de Rossiter. Cette définition théorique consiste en pratique à prendre un point de référence directement en aval du point de décollement ainsi qu’un point de référence directement en amont de l’angle aval et de mesurer le temps qui sépare le passage de la perturbation en ces deux points de mesure. Ce qui se passe en dehors de cette région devra être contenu par le critère α.
Il peut être intéressant cependant de comparer les vitesses moyennes locales d’advec-tion calculées à partir de chacune de ces méthodes. En effet, la déterminad’advec-tion de la tra-jectoire des structures pour déterminer le plus précisément possible une vitesse moyenne d’advection par zone ou sur l’ensemble de la largeur de la cavité est un procédé fastidieux et non dénué de travers, alors que la localisation d’un minimum de pression et son suivi sur la largeur de la cavité ou encore le calcul des intercorrélations sont des données beau-coup plus facilement accessibles, dont il serait intéressant de vérifier qu’elles fournissent ou non des données satisfaisantes en première approximation.
3.4.3.2 Calculs des vitesses d’advection méthode 1 - minimum de pression
Nous avons vu que notre écoulement se structure autour d’un motif de base qui se répète au cours du temps. Ce motif est composé de 6 tourbillons. L’observation de l’évolution des minimums de pression dans la largeur de la cavité à hauteur des angles amont et
aval (y/H = 1) nous permet d’établir une différenciation entre chacun de ces tourbillons (FIG. 3.27). 0.39 0.392 0.394 0.396 0.398 0.4 0.402 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X/L Temps (s) ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏
Fig. 3.27 - Trajectoire des minimum de fluctuations de pression au cours du temps, à travers la largeur de la cavité à Y /H= 1 ; et segments de droite de régression par zone
On distinguera approximativement trois zones sur la trajectoire d’un tourbillon ainsi relevée : deux zones sensiblement linéaires et une zone terminale oscillante. On va donc pouvoir établir un encadrement des vitesses par zone linéaire pour chacun des tourbillons, par le calcul de la pente de la droite de régression linéaire correspondante (TAB. 3.1).
Zone 1 Zone 2 Largeur complète Tourbillon ➊ 16m.s−1 67m.s−1 29m.s−1 Tourbillon ➋ 20m.s−1 83m.s−1 37m.s−1 Tourbillon ➌ 19m.s−1 173m.s−1 41m.s−1 Tourbillon ➍ 15m.s−1 72m.s−1 27m.s−1 Tourbillon ➎ 16m.s−1 60m.s−1 33m.s−1 Tourbillon ➏ 25m.s−1 Bilan 19m.s−1 71m.s−1 2 33m.s−1 3 Tab. 3.1 - Vitesse moyenne d’advection par zone - méthode 1
La vitesse moyenne d’advection calculée avec cette méthode donne un rapport de vitesse κ de l’ordre de 0.38. On remarquera que cette méthode ne permet pas d’obtenir d’informations sur le tourbillon ➏ au delà de la première zone. Or, si l’on s’en réfère aux visualisations des champs instantanés (pression, critère Q, etc.), cette structure est bien présente dans l’écoulement. Donc, soit le choix de la pression pour repérer les structures n’est pas suffisamment pertinent, soit la trajectoire de la structure dévie notablement de la droite d’observation et on ne regarde tout simplement pas au bon endroit. On remarque également la vitesse excessive estimée de la structure ➌ qui peut s’expliquer par une conjonction d’effets numériques : imprécisions dues à la discrétisation spatiale, choix arbitraire des points à partir desquels est calculée la droite de régression nous
2calculée à partir des tourbillons➊ ➋ ➍ ➎ 3calculée à partir des tourbillons➊ ➋ ➌ ➍ ➎
donnant accès à une estimation de la vitesse moyenne d’advection, et marge d’erreur sur le calcul de la pente de cette droite de régression. Ce qui nous amène une fois de plus à montrer une grande prudence quant à l’usage des données quantitatives fournies par cette méthode.
méthode 2
Pour les vitesses calculées à partir des intercorrélations de pression qui prennent pour référence les points X/L = 0.13, 0.32, 0.58 et 0.80, on détermine un encadrement des valeurs des vitesses dans les zones 1 (0.1 < X/L < 0.3), zone2 (0.4 < X/L < 0.6), et zone 3 (0.6 < X/L < 0.9), FIG. 3.28. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.002 0.001 0 0.001 0.002 é deééééééééécalageé X/L = 0.13 X/L = 0.32 X/L = 0.58 X/L = 0.80
position des points de mesure - X/L
Fig. 3.28 - Décalage temporel du maximum d’intercorrélation pour différentes positions (x/L) à hauteur de l’ouverture (y/H = 1), pour 4 signaux de référence différents pris à x/L = 0.13, x/L = 0.32,
x/L= 0.58 et x/L = 0.80 ; et segments de droite de régression par zone.
Puis, en calculant la droite de régression de chacune des portions de courbe, on estime les vitesses moyennes locales d’advection par zone. Enfin, en prenant pour référence les points x/L = 0.1 et x/L = 0.9, on évalue une moyenne pour la vitesse d’advection des structures à travers la totalité de la cavité (TAB. 3.2).
Vitesse d’advection Uc k= U∞/Uc Largeur complète 23m.s−1< U c= 28m.s−1<38m.s−1 0.28 < U∞/Uc= 0.34 < 0.46 Zone 1 15m.s−1< U c= 17m.s−1<20m.s−1 0.18 < U∞/Uc= 0.20 < 0.23 Zone 2 22m.s−1< U c= 25m.s−1<31m.s−1 0.26 < U∞/Uc= 0.29 < 0.36 Zone 3 62m.s−1< U c= 86m.s−1<129m.s−1 0.72 < U∞/Uc= 1.00 < 1.50
Tab. 3.2 - Vitesse moyenne d’advection par zone - méthode 2
Là encore on peut se poser la question de la pertinence de cette méthode lorsque l’on voit qu’avec seulement 4 références différentes on obtient des encadrements de vitesse si larges. Alors même que l’on dispose d’autant de références possibles que de points de mesure, soit 49 dans notre cas. La vitesse moyenne d’advection ainsi calculée est de
κ = 0.34. Ce résultat n’est pas très éloigné de celui obtenu avec la méthode 1. Cette
cohérence dans les résultats nous permet de considérer cette donnée comme un ordre de grandeur exploitable. En revanche, pour les même motifs que la méthode 1, il faut être réservé quant à l’exploitation des données quantitatives que cette méthode fournit.
méthode 3
Là encore, les données quantitatives tirées de cette méthode devront être manipulées avec prudence. La disparité des résultats (FIG. 3.26) est relativement dissuasive quant à la recherche d’un comportement d’ensemble des structures : zones d’advection à vitesse constante comparable et géographiquement proches, dynamique commune, etc. Nous al-lons cependant estimer la vitesse moyenne d’advection de chaque structure dans la cavité à partir de la donnée de la distance parcourue par la structure (à partir d’une référence arbitraire) en fonction du temps. On prendra comme distance de référence 1 longueur de cavité (L) (TAB. 3.3). Vitesse d’advection Uc κ= U∞/Uc Tourbillon ➊ 44m.s−1 0.51 Tourbillon ➋ 44m.s−1 0.50 Tourbillon ➌ 49m.s−1 0.57 Tourbillon ➍ 39m.s−1 0.45 Tourbillon ➎ 43m.s−1 0.50 Tourbillon ➏ 52m.s−1 0.60 Bilan 45m.s−1 0.52
Tab. 3.3 - Vitesse moyenne d’advection par zone - méthode 3
Ces résultats sont sensiblement différents de ceux obtenus avec les méthodes 1 et 2. La vitesse moyenne sur la longueur complète de la cavité est supérieure, κ = 0.52. Les résultats de la vitesse des structures ➌ et ➏ peuvent trouver une justification physique. Ce sont en effet les deux structures dont la trajectoire est la plus haute dans l’écoulement, (FIG. 3.24). Elles subissent donc plus que les autres l’influence de l’écoulement affleurant
dont la vitesse est très rapide au regard de celles observées dans la cavité.
3.4.3.3 Bilan
Nous avons déjà signalé la difficulté de déterminer une vitesse moyenne d’advection compte tenu de la structure de notre écoulement. De plus, aux erreurs de discrétisation (le signal de base est une approximation numérique de ce que l’on pourrait appeler le signal «réel »), de précision machine et de calcul de régression, s’ajoute celle du choix arbitraire des bornes de chacune des zones à partir desquelles soit la droite de régression est calculée, donc la vitesse moyenne "locale", soit la vitesse moyenne d’advection de la structure sur toute la longueur de la cavité est estimée. Ces données ne peuvent donc être tout au plus considérées que comme des grandeurs nous permettant d’avoir un ordre d’idée des rapports de vitesse entre chaque zone et d’obtenir une estimation d’une vitesse moyenne d’advection des tourbillons à travers la cavité. Ces observations auront légitimé un peu plus le regroupement, suggéré précédemment, des structures basses (➊ ➋ ➍ ➎), plus lentes et accélérées par la recirculation en fin de parcours, et des deux structures hautes (➌ ➏), plus rapides qui échappent à la cavité ou qui viennent impacter de front contre l’angle aval.
Y (cm)
X/L
0. 25 0. 5 0. 75 1 0. 03 0. 04 0. 05 0. 06 0. 07 0. 08 0 - tourbillon 1 - tourbillon 2 - tourbillon 3 - tourbillon 4 - tourbillon 5 - tourbillon 6Fig. 3.29 - trajectoires des tourbillons superposées aux lignes de courant de l’écoulement moyen
Si l’on superpose les trajectoires des tourbillons aux lignes de courant du champ moyen (FIG. 3.29) on remarque que la structure la plus rapide et la plus haute, ➏ évolue légère-ment au-dessus de l’interface de l’écoulelégère-ment supérieur et des recirculations. Ceci explique que cette structure soit dans une première partie constamment accélérée pour atteindre son maximum vers x/L 0.4. Elle est ensuite convectée à vitesse constante avant de redescendre partiellement et de décélérer. Les structures ➋ et ➌ dont les premiers rele-vés de position sont relativement hauts, évoluent à vitesse constante avec une trajectoire qui est légèrement infléchie vers le bas. Au delà de x/L 0.2, la structure ➋ continue son mouvement jusqu’à rattraper la trajectoire des structures ➊, ➍ et ➎. La structure ➌ amorce une remontée dans l’écoulement et accélère à mesure qu’elle s’éloigne de la zone d’influence des recirculations. Au delà de x/L 0.8, la structure redescend vers la cavité et est ralentie à l’approche de l’angle aval. Les premiers relevés de position des structures ➊, ➍ et ➎ sont relativement bas. Et on peut supposer que, lorsqu’elles ont at-teint une taille suffisante pour que l’écoulement supérieur ait une prise conséquente, elles se détachent et sont advectées vers l’aval. Mais dans une première partie, alors qu’elles plongent vers l’intérieur de la cavité, elles traversent une zone qui représente en moyenne une zone de contre courant (FIG. 3.5). Elles sont donc progressivement ralenties. Lors-qu’elles atteignent le centre de cette seconde recirculation, ses effets viennent renforcer la rotation de la structure qui remonte vers l’écoulement supérieur. Dans le même temps, l’écoulement supérieur augmente sa prise sur la structure et l’accélère progressivement jusqu’à atteindre un maximum vers x/L 0.8. La structure décélère alors et est cap-tée par la recirculation principale. Il est très intéressant de voir le lien qu’il y a entre la structure de l’écoulement en moyenne et sa dynamique instationnaire. On a vu que c’est la hauteur des structures par rapport aux recirculations qui va déterminer leur vitesse, leur accélération, et leur comportement vertical. Ce sont donc en partie les recirculations
qui règlent le «balai »des impacts des tourbillons contre la paroi aval, et donc l’intensité des perturbations de pression. Elles interviennent donc directement dans la rétroaction. Cela peut paraître être une remarque triviale, puisqu’elles sont elles-mêmes bâties par le mouvement cyclique des tourbillons. Mais dans une perspective de contrôle, cela met en avant le fait que, parvenir à restructurer l’écoulement moyen, peut permettre de contrôler les caractéristiques instationnaires de l’écoulement au travers d’une modification de la trajectoire des structures, donc de leur vitesse et de leur hauteur d’impact.
Pour finir, nous retiendrons que la méthode 3 d’estimation de la vitesse des struc-tures par suivis indépendants des tourbillons est incontestablement la meilleure, ou plus exactement la moins mauvaise. Le lissage des trajectoires et l’estimation de la vitesse d’advection par zone à partir de droites de régression linéaire nous permet de nous af-franchir en partie des incertitudes inhérentes à la discrétisation spatiale et temporelle de l’écoulement. Nous prendrons donc comme rapport de vitesse moyenne d’advection des structures tourbillonaires dans la cavité la valeur κv =U∞/Uc 0.52.
3.5
Instabilités
3.5.1
Évolution spatiale des fluctuations des paramètres de
l’écou-lement
Les structures cohérentes qui traversent la cavité sont le résultat des instabilités qui ont crû au sein de la couche de cisaillement. On va donc s’intéresser maintenant à la croissance des instabilités depuis leur point de naissance au coin amont de la cavité jusqu’à l’impact sur l’angle aval. Pour cela, nous allons nous intéresser à la valeur rms (root mean square) des principaux paramètres de l’écoulement. Ces valeurs rms sont calculées sur 20 cycles par la formule : Urms = 1 N N i=1 (U − U)2 (3.6)
où U est la valeur moyenne locale de la composante longitudinale de la vitesse, et N la taille du signal sur lequel nous calculons la valeur des paramètres rms.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 U rms 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10 10 30 50 70 U moyen x/L Urms Um o y e n (m.s − 1)
Fig. 3.30 - Évolutions de Urms et de la vitesse moyenne longitudinale dans la largeur de la cavité, à
On observe l’évolution de l’amplitude des oscillations des composantes longitudinales (FIG. 3.30) et verticale (FIG. 3.31) de la vitesse ainsi que de la pression (FIG. 3.32), entre
le point de naissance des instabilités à l’angle amont et l’angle aval de la cavité.
Après une phase de croissance linéaire (0 < X/L < 0.2), les fluctuations de vitesse
Urms présentent un point de saturation à X/L 0.2 avant de décroître progressivement à mesure que l’on se rapproche de l’angle aval de la cavité. Le point de saturation des fluc-tuations de la vitesse longitudinale correspond à un premier palier de la vitesse moyenne qui reste constante pour0.2 X/L 0.4. On remarque qu’au point de saturation les fluc-tuations de vitesse Urmset la vitesse moyenne ont la même amplitude. Pour X/L >0.2, les fluctuations de vitesse longitudinale décroissent pour atteindre un palier vers X/L 0.6. En revanche, pour X/L > 0.4, la vitesse moyenne Umoyen augmente pour atteindre son maximum vers X/L 0.7, puis décroître à l’approche de l’angle aval.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 V rms 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−20 −10 0 10 20 V moyen x/L Vr m s Vm o y e n (m.s − 1)
Fig. 3.31 - Évolutions de Vrms et de la vitesse moyenne verticale dans la largeur de la cavité, à
Y /H= 1
Les fluctuations de vitesse Vrms passent d’abord par une courte zone de croissance exponentielle puis augmentent linéairement avec la distance au point de décollement, pour saturer vers X/L 0.2. Entre X/L = 0.2 et X/L = 0.5, on a un plateau où Vrms reste à peu près constantes pour décroître au delà de X/L= 0.5. En fin de cavité, l’angle aval va infléchir la direction principale de l’écoulement suivant la verticale et l’interaction entre les structures et l’angle de la cavité va provoquer une brusque augmentation de
Vrms pour X/L >0.85. On notera que dès que X/L > 0.15, les fluctuations sont toujours supérieures, en valeur absolue, à la valeur moyenne locale de la composante verticale de la vitesse.
Contrairement à Urms qui atteint un point de saturation vers X/L 0.2 pour décroître immédiatement après, Vrms conserve une valeur importante sur une partie de la largeur de la cavité,0.2 < X/L < 0.6. En revanche, pour X/L < 0.2 toutes deux passent par une phase de croissance linéaire qui, comme nous le verrons par la suite, s’accompagne d’une croissance exponentielle de l’épaisseur de la couche de cisaillement. Au delà de X/L 0.4, le niveau de fluctuation Vrms sera toujours supérieur au niveau de fluctuations Urms (2 fois plus important pour X/L > 0.5). Nous verrons par la suite qu’au niveau de ce point de saturation X/L 0.2, une grande partie de l’énergie des modes principaux de l’écoulement est transférée sur le mode ➅ de détachement tourbillonaire. Le détachement des tourbillons fonctionnerait donc comme un mécanisme de limitation de la croissance
des instabilités de la couche de cisaillement.
Les fluctuations du signal de pression augmentent jusqu’à saturation dans une première partie de la cavité (X/L < 0.25), pour décroître jusqu’à X/L 0.5. Elles augmentent à nouveau jusqu’à un second point de saturation en X/L 0.75 pour atteindre une amplitude comparable au niveau de la première saturation. Simultanément à cette seconde saturation, la pression moyenne atteint un minimum global sur la largeur de la cavité. Les fluctuations décroissent ensuite à mesure que l’on se rapproche de l’angle aval de la cavité. Contrairement aux fluctuations de vitesse, les fluctuations de pression présentent deux extréma bien distincts sur la largeur de la cavité. On peut comparer leur évolution à une onde sinusoïdale dont la longueur d’onde serait d’une demi-cavité. Ce comportement indique très certainement un couplage entre la dynamique de l’écoulement et l’acoustique de la cavité. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 500 1000 1500 2000 P rms 0 0.2 0.4 0.6 0.8 194000 95000 96000 97000 98000 99000 Pmoy P moyen x/L Prms
Fig. 3.32 - Évolutions de Prms et de la pression moyenne dans la largeur de la cavité, à Y /H= 1
Dans tous les cas, après une zone de croissance globalement linéaire des fluctuations des paramètres de l’écoulement, on atteint un point de saturation au voisinage de X/L 0.2. Formellement, au delà de ce point, les effets non-linéaires doivent prendre le pas sur les effets linéaires. Dynamiquement, cela se traduit par le détachement d’une structure tourbillonaire qui va ensuite être advectée par l’écoulement principal au sein de la couche de cisaillement. La première partie de la cavité présente le même comportement que ce que prédit la théorie de la stabilité linéaire pour une couche de cisaillement libre. Donc, visiblement, les perturbations acoustiques issues de l’angle aval de la cavité ne vont avoir qu’une influence marginale et ne vont pas perturber de façon conséquente la croissance des instabilités au sein de la couche de cisaillement. Les oscillations de pression qui caractérisent ce type d’écoulement, ne sont donc probablement pas pilotées par un mode acoustique propre à la configuration (mode longitudinal ou vertical de la cavité) mais bien par une boucle de rétroaction impliquant un chemin convectif couplé au retour d’une perturbation acoustique.
On remarquera que l’évolution de Urms, Vrms, et Prms a été étudiée à Y /H = 1. Il serait dangereux d’associer implicitement cette droite à la couche de cisaillement. En effet, les champs moyens de l’écoulement nous ont montré que si cette approximation est pertinente dans une première partie de l’écoulement, elle l’est beaucoup moins dans la partie aval de la cavité du fait de la présence d’importantes recirculations (FIG. 3.33).
0.3 0.35 0.4 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 X Y
Fig. 3.33 - Champ moyen de la composante longitudinale du vecteur vitesse
3.5.2
Évolution de l’épaisseur de la couche de cisaillement
Nous avons vu en première partie (§1.2.1.1) que la couche de cisaillement en aval du point de décollement est le lieu de croissance des instabilités. L’expansion de la couche de cisaillement est caractérisée par la variation de son épaisseur de quantité de mouvement
θ définie par [50] : θ(x) = +∞ −∞ U(x, y) − U1 U2− U1 1 − U(x, y) − U1 U2− U1 dy (3.7)
où U désigne la vitesse moyenne au point d’abscisse x et d’ordonnée y, U2 est la vitesse de l’écoulement supérieur et U1 la vitesse de l’écoulement inférieur au sein de la cavité. En pratique, nous prendrons pour U2 la vitesse de l’écoulement principal à l’infini, i.e.
U2 = U∞. Les recirculations présentent à l’intérieur de la cavité ne nous permettent pas de fixer les bornes de l’intégrale (3.7) en−∞ et +∞, ni même aux bornes de l’écoulement (y = 0 et y = 0.2 m). Les profils de la composante longitudinale U de la vitesse moyenne assurent que dans la partie supérieure de l’écoulement la vitesse longitudinale a atteint une vitesse constante (U∞), ce qui justifie le choix de U2 (FIG. 3.34). On remarque, sur les profils de U , une légère survitesse sur la frontière supérieure de la couche de cisaillement. Cette observation est en accord avec les résultats de Gaster et Al. [78] qui ont montré que, sur la frontière correspondant aux hautes vitesses, la vitesse moyenne locale pouvait excéder U2 de 1%.
Le choix de U1 quant à lui pose problème. Nous ne nous trouvons pas dans le cas académique où la couche de mélange marque l’interface de deux écoulements parallèles bien définis. La configuration complexe de l’écoulement interne de la cavité rend délicat le choix de U1. On va définir deux épaisseurs de quantité de mouvement θ et θ basées sur deux références U1 différentes. θ sera définie en prenant pour U1 la vitesse nulle. En revanche pour le calcul de θ, on prendra comme vitesse de référence inférieure U1 le premier extrémum local en dessous de la couche de mélange. Dans chacun des cas, la borne inférieure de l’intégrale (3.7) correspondra, à X/L fixée, à la première ordonnée sous la couche de mélange pour laquelle la vitesse moyenne est égale à la vitesse de référence
0 0.2 0.4 0.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Y X/L 0.8 1 U∞
Fig. 3.34 - Composante longitudinale du profile moyen de vitesse :
profiles en X/L= {0.31, 0.32, 0.33, 0.34, 0.35, 0.36, 0.37, 0.38, 0.39}
On prend comme épaisseur de référence θ0, la valeur de l’épaisseur de quantité de mouvement au point de décollement. On trace l’évolution de θ/θ0 en travers de la cavité (FIG. 3.35). On a :
θ0 = 0.80719934mm θ0= 0.84401469mm
Dans un premier temps, on remarque que, quelle que soit la vitesse de référence U1 choisie, l’épaisseur de quantité de mouvement θ suit qualitativement la même évolution. Quantitativement les résultats varient du simple au double.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 140 0 2 4 6 8 10 X/L θ/θ0
zone I zone II zone III
(a) (b) (a) (b)
X/θ0
θ- épaisseur relative à U1= 0 θ- épaisseur relative à U1= Umin
Fig. 3.35 - Évolution de l’épaisseur de quantité de mouvement θ en travers de la cavité, Y /H = 1. θ0 est l’épaisseur de quantité de mou-vement mesurée directement en aval du point de décollement. L’abscisse X/L est donné pour la courbe θ.
On distinguera principalement 3 zones, annexées sur la structure de l’écoulement en moyenne.
– La zone I définie par0 < X/θ0 <20, est une zone de croissance exponentielle. Cette
zone, située directement en aval du point de décollement, ne subit pas l’influence des recirculations internes à la cavité. On retrouve le comportement d’une couche de cisaillement libre [46], caractérisée par une zone initiale de croissance exponentielle (i.e « croissance linéaire » en coordonnées semi-logarithmiques)
– Dans la zone II,20 < X/θ0 <75, l’épaisseur de quantité de mouvement croît d’abord
linéairement (zone II-a, 20 < X/θ0 <42) avec un taux de croissance r = dθ/dx : r = dθ/dx= 0.05516
r= dθ/dx= 0.05423
Ces taux d’amplification sont légèrement supérieurs à ceux mesurés dans le cas d’une couche de cisaillement libre turbulente. Dans cette région, l’écoulement pré-sente une première petite recirculation supérieure. Cette recirculation va entraîner le fluide dans le sens de l’écoulement, ce qui va limiter la croissance de la couche de mélange, en limitant le gradient des vitesses de part et d’autre de la couche de cisaillement.
On sait qu’une couche de mélange turbulente pleinement développée voit son épais-seur croître linéairement avec des profils moyens de vitesse auto-semblables [78–81]. On adimensionnalise les grandeurs de l’écoulement à l’aide de l’épaisseur locale et de la différence de vitesse de part et d’autre de la couche de cisaillement. On trace alors les profils de vitesse moyenne adimensionnelle en fonction de leur ordonnée adi-mensionnelle en différentes positions prises dans la région II (FIG. 3.36). On trace ainsi l’évolution de (U − U1)/(U2− U1) pour différentes positions. En abscisse, est reporté l’ordonnée adimensionnelle (y − y0.5)/θ où y0.5 est la hauteur dans la cavité à laquelle Uy0.5 = U1+ 0.5(U2− U1). On observe que dans la zone II-a l’écoulement n’est pas auto-semblable. Les profils de vitesse ne se superposent pas exactement. L’hypothèse d’auto-similarité avait déjà été mise en doute par Oster et Wygnanski [50] dans le cas d’une couche de cisaillement libre excitée.
5 0 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X/L=0.188 X/L=0.205 X/L=0.223 X/L=0.242 X/L=0.262 X/L=0.283 y−y0.5 θ U−U1 U2−U1
(a) profils moyens indexés sur θ
5 0 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X/L=0.188 X/L=0.205 X/L=0.223 X/L=0.242 X/L=0.262 X/L=0.283 y−y0.5 θ U−U1 U2−U1
(b) profils moyens indexés sur θ
Fig. 3.36 - profils auto-semblables pris en différentes positions de la zone II-a
Dans une seconde partie, 42 < X/θ0 < 60, la couche de cisaillement s’épaissit
fortement une fois libérée de l’influence de la recirculation.
– La zone III, X/θ0 >60, correspond à l’aire d’influence de la recirculation principale
• Dans la zone III-a, on a un point de saturation en X/θ0 = 60, X/L 0.4, la circulation principale, dextrogyre, va limiter la croissance de l’épaisseur de la couche de cisaillement. La taille de cette recirculation est suffisamment importante pour que les vitesses qui la caractérisent fassent reculer l’épaisseur de la couche de mélange. On observe ainsi une diminution de son épaisseur jusqu’à un minimum vers X/L 0.7, ce qui correspond à la position du centre de la recirculation. Puis à mesure que la couche de cisaillement se développe vers l’aval, elle s’écarte de la recirculation et s’épaissit à nouveau.
• Lorsque l’influence de l’angle aval devient prédominant, elle atteint un second
point de saturation en X/L= 0.9, d’amplitude comparable à la première satura-tion. Elle décroît ensuite brusquement en abordant l’angle aval. Nous avons vu que la paroi d’impact va infléchir la direction de l’écoulement, principalement suivant la verticale. La définition de l’épaisseur de la couche de cisaillement n’est alors plus pertinente. Cette décroissance brutale de l’épaisseur mesurée de la couche de ci-saillement est donc erronée. En effet, lorsque l’on trace les profils de V (FIG. 3.37) on remarque que si la vitesse verticale était négligeable par comparaison avec U dans la zone II-a par exemple, ce n’est plus du tout le cas dans la zone III-b où l’écoulement se développe suivant la verticale.
0.93 0.95 0.97 0.99 0.22 0 0.05 0.1 0.15 0.2 X/L Y U∞
Fig. 3.37 - Composante verticale - V - du profile moyen de vitesse : profiles en X/L= {0.22, 0.93, 0.95, 0.97, 0.99}
3.6
Contenu fréquentiel
Afin de caractériser les modes principaux de la configuration étudiée (fréquence, am-plitude, répartition spatiale, évolution temporelle etc.), on procède à une analyse spectrale par transformée de Fourier rapide (FFT) sur une partie des signaux disponibles. On rap-pelle qu’en utilisant une transformée de Fourier rapide, on travaille sur des signaux pério-disés. De plus, le choix de la transformée de Fourier est dicté par l’allure quasi-périodique de nos signaux, il ne s’agit donc pas d’une base objective de projection. On ne retrouvera dans nos spectres que ce que l’on cherche à voir, c’est à dire les phénomènes récurrents de l’écoulement. En théorie, pour les signaux non-périodiques, on dispose de l’intégrale de Fourier qui fournit un spectre continu. En pratique, du fait de la longueur finie d’un signal physique (durée d’échantillonnage) et de la difficulté, dans le cas de signaux périodiques, de sélectionner un échantillon du signal d’une durée correspondant exactement à un mul-tiple entier de période, on travaille sur des signaux périodisés (théorie de la transformée
de Fourier discrète) et nous n’avons accès qu’à la série de Fourier correspondant à notre signal et non à l’intégrale de Fourier : spectre discret et non continu.
On calcule la FFT du signal en différents points de l’écoulement. Les signaux traités sont échantillonnés entre t = 0.416 s et t = 1.098 s avec un pas d’échantillonnage Δt = 2, 61.10−6 s et une période d’échantillonnage de t = 0.684 s soit 262144 points, ce qui correspond à environ 78 cycles (soit 460 échappements tourbillonaires).
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 -4000 -2000 0 2000 4000 temps (s) P' (Pa)
(a) Fluctuations du signal de pression
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Fréquence (Hz) |Cn | (Pa) (b) Spectre d’amplitude 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Fréquence (Hz) |Cn |/A0 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅
(c) Spectre d’amplitude normé
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Strouhal 80 90 100 110 120 130 140 150 160 SPL (dB) (d) SPL en fonction du Strouhal
Fig. 3.38 - Représentation de l’amplitude du spectre des fluctuations de pression en fonction de la fréquence (Hz) au point de mesure 4 - |Cn| est l’amplitude du spectre et A0l’amplitude du signal
On représente sur la figure 3.38(a) le signal des fluctuations de pression au point 4 sur deux cycles, ainsi que son spectre pour différentes représentations de son ampli-tude. La figure 3.38(b) correspond au spectre d’amplitude des fluctuations de pression. S’il nous permet de comparer l’amplitude d’un fréquence par rapport à ses voisines, on ne connaît pas la proportion d’énergie qui est effectivement présente dans une fréquence donnée par rapport au signal total. Il présente donc l’inconvénient de ne contenir qu’une information partielle, lorsqu’il est présenté sans le signal qu’il caractérise. La seconde re-présentation (FIG. 3.38(c)) palie à ce problème. L’amplitude du spectre est normée par l’amplitude du signal. Mais lorsque l’on change de point de mesure l’amplitude locale des fluctuations du paramètre considéré varie, et il devient difficile de comparer, d’un point de mesure à un autre, l’amplitude du spectre à une fréquence donnée. Enfin, la méthode la plus rigoureuse, et la plus répandue dans la littérature, est la représentation