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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Curriculum vitæ

Nicolas Prudhon

Maître de conférences

Université de Lorraine, Metz 25ème Section CNU

Bât. A, Ile du Saulcy Né le 11 mars 1975

57045 Metz

e-mail.nicolas.prudhon@univ-lorraine.fr

page web.http://www.math.univ-metz.fr/˜prudhon

Cursus

-2007 Maître de conférences, université de Metz.

2007-2005 ATER, université Louis Pasteur, Strasbourg 1. Pein temps 2005-2003 Postdoctorant, université de Neuchâtel

2003-2000 THESE de Doctorat en Mathématiques, ULP Strasbourg. Soutenue le 25 Septembre 2003.

2000-1998 DEA de Mathématiques pures, ULP, Strasbourg. 1998-1996 AGREGATION de Mathématiques (concours et stage)

1

Articles parus et prépublications

« Remarques à propos de l’opérateur de Dirac cubique » CRAS, 348 (2010), no. 23-24, 1249–1252. [Pru10] [lire l’article]

« Maximal hypoellipticity and cohomological induction for U(p, q) » Preprint, 2007. [Pru07b] [lire l’article]

« Métriques positives sur les variétés de drapeaux » CRAS, 345 (2007), no. 7, 369–372 [Pru07a] [lire l’article]

« K–theory for the groups Sp(n, 1) »

Journal of Functionnal Analysis, 221(1) :226–249, 2005. [Pru05] [lire l’article]

« C∗–algèbres de Sp(n, 1) et K–théorie »

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Communications et contributions

Septembre 2011 « Dirac cohomology and K-homology » Harmonic Analysis, Deformation Quantization and Noncommutative Geometry, Scalea, Italie Octobre 2010 « Le carré de l’opérateur de Dirac cubique »

Conférence Analyse et symétrie, Reims Février 2008 « Introduction to L2-torsion »

Goupe de travail de l’IRTG, Metz

Octobre 2007 « Théorie des représentations et K-théorie » 9ème Colloquium Interrégional de Mathématiques Septembre 2005 « Introduction à la conjecture de Baum-Connes »

Neuchâtel

Mars 2005 « Images des applications de Baum-Connes pour Sp(n, 1)» Colloque d’analyse harmonique, Nancy-Metz-Strasbourg. Metz Décembre 2004 « Idempotents dans les C∗-algèbres de groupes »

Cours de l’école doctorale de mathématiques Genève-Neuchâtel Mars 2004 « Représentations de Sp(n, 1) et K–théorie »

Colloquium. Clermont-Ferrant

Novembre 2003 « Représentations des groupes de Lie et K–théorie » Colloquium. Neuchâtel

Septembre 2003 « C∗–algèbres de Sp(n, 1) et K–théorie » Soutenance de thèse. Strasbourg

Mai 2003 « K–theory of the full C∗–algebra of Sp(n, 1) »

Journées algèbres d’opérateurs, groupes et K-théorie. Orléans Septembre 2002 « Representations of semi-simple groups and K-theory »

International Conference on Harmonic Analysis. Luxembourg- Metz Mai 2000 « Théorie statistique des nombres et facteurs de type III »

Mémoire de DEA. Strasbourg

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Activités d’Enseignement

Agrégation, Capes et Métiers de l’enseignement 2007 –

Dès mon arrivée à Metz, j’ai donné des cours dans la préparation à l’agrégation extene. Plus récemment je me suis aussi investi dans la préparation au CAPES externe. J’ai également préparé les futurs profésseurs des écoles dans le cadre de la licence. Ce cours a été rédigé entièrement [.pdf].

Travail d’initiative personnelle encadré 2007 –

Les TIPE ont pour objectif de faire travailler à un petit mémoire les étudiants de L3 sur un sujet de leur choix. Unlivre. a été réalisé avec les travaux de certains étudiants.

Cours intégrés, Licence 2005-2007

Le fonctionnement en "cours intégré" consiste à répartir toutes les tâches d’enseignement, cours et travaux dirigés, entre les enseignants. Ce type de fonctionnement étant maintenant assez répandu, j’ai pu donner ces cours à tous les niveaux de Licence dans différentes filières scientifiques.

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Introduction à la conjecture de Baum-Connes Septembre 2005 École doctorale de mathématiques Genève-Neuchâtel

Ce cours d’introduction à la conjecture de Baum-Connes a eu lieu en parallèle avec un cours donné par Alain Valette. L’objectif était de présenter les bases de la K-théorie des algèbres de Banach, et de la K-théorie bivariante de Kasparov pour les C∗-algèbres.

Introduction à la conjecture de Baum-Connes Semestre d’hiver 2004 / 2005 École doctorale de mathématiques Genève-Neuchâtel

Ce cours a été une introduction à la K-théorie et aux C∗-algèbres de groupes. Suffisamment d’élé-ments de ces théories ont été introduits et démontrés, pour que la conjecture de Kaplanski-Kadison pour les groupes libres soit étudiée par deux approches sensiblement différentes. Voici lesnotesde ce cours.

Exercices corrigés

J’ai rédigé une série d’exercices corrigés sur les coniques et les quadriques. Cette série s’inspire très largement des exercices proposés par R. Mneimné dans son livre [Mne97].

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Responsabilités collectives et expertises

Coresponsable du M2 "Probabilités et statistiques appliquées" Septembre 2011– Le responsable principal étant P. Bonneau, je m’occupe le cas échéant de l’accueil des intervenants extérieurs et des étudiants étrangers par exemple. J’ai également élaboré undépliantpublicitaire pour le master.

Coorganisateur du groupe de travail GNC Metz Septembre 2005 – Véritable institution de l’équipe d’analyse créée depuis plus de 11 ans, je me suis beaucoup in-vesti dans l’organisation du groupe de travail Géométrie Non Commutative de Metz, assurant sa continuité au fil des années. J’ai également repensé entièrement le sitewebdu groupe de travail.

Coorganisation de conférence Décembre 2008

"Representations theory of Lie groups and appplications", IHP.

Cela fut un moment important en théorie des représentations des groupes de Lie auquel j’ai collaboré avec bonheur, avec S. Mehdi (organisateur principal) et N. Bergeron.

Membres de programmes internationaux de recherche 2011–2013 Projet COGITO franco-craote Metz-Zagreb

intitulée "Representations of Lie groups"

2010–2013 ANR KInd. Je participe aux conférences de l’ANR Kind. Je m’occupe aussi de la page Web du projet.

2007-2010 International Research Training Group Metz-Paderborn. Tâches administratives

2008–2013 Membre du département de mathématiques

2013 Commission du personnel de l’Institut Élie Cartan de Lorraine Rapporteur

– Journal of Lie Theory – Bull. Soc. Math. Belge

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Résumés des travaux écrits

Les travaux suivants peuvent être envoyés sur demande.

Remarque à propos de l’opérateur de Dirac cubique [Pru10]

En 1999, Kostant introduit un opérateur de Dirac cubique Dg/h associé à tout triplet (g, h, B),

où g est une algèbre de Lie complexe munie de la forme bilinéaire symétrique ad g-invariante non dégénérée B, et h est une sous-algèbre de Lie de g sur laquelle B est non dégénérée. Kostant montre alors que le carré de Dg/h vérifie une formule qui généralise la formule de Parthasarathy. Nous

donnons dans cet article une nouvelle démonstration de cette formule. Tout d’abord, au moyen d’une induction par étage, nous montrons qu’il suffit d’établir la formule dans le cas particulier où h= 0. Il apparaît alors que, dans ce cas, l’annulation du terme d’ordre 1 dans la formule de Kostant pour D2g/h est une conséquence de propriétés classiques en cohomologie des algèbres de Lie. En outre, le fait que le carré du terme cubique soit scalaire résulte de telles considérations, ainsi que de l’identité de Jacobi.

Hypoellipticity and cohomological induction for U(p, q) [Pru07b]

Soit G/L une variété de drapeaux pour un groupe réductif réel G et K un sous-groupe compact maximal de G. En utilisant une distribution tranverse aux fibres de la fibration G/L ∩ K → G/L, nous définissons un opérateur différentiel équivariant sur G/L ∩ K jouant le rôle du laplacien de Dolbeault pour la variété complexe G/L. En dépit du fait que la distribution choisie satisfasse à la condition de Hörmander, nous conjecturons que cet opérateur n’est pas hypoélliptique maximal dans le degré où la cohomologie du complexe de Dolbeault sur G/L est non-nulle. Ce preprint présente une preuve complète de cette conjecrture dans le cas G = U(p, q) et L = U(p0) × U(p”, q), où p0+ p” = p (ainsi que lorsque G est un groupe de Lie de rang réel 1).

Métriques positives sur les espaces homogènes réductifs [Pru07a]

Étant donnés un groupe de Lie semi-simple réel G et un sous-groupe réductif L de G sur lequel la forme de Killing est non-dégénérée, nous définissons une famille de métriques riemanniennes sur G/L, indexée par les points de G/K, où K est un sous-groupe compact maximal de G. Nous utilisons ces métriques pour généraliser un lemme de Rawnsley, Schmid et Wolf de la théorie des représentations associées aux variétés de drapeaux. À l’aide de ce lemme, nous montrons que la représentation de G par translation à gauche sur l’espace des formes de carré intégrable sur G/L, est une représentation continue de G qui n’est pas uniformément bornée.

K-theory for Sp(n, 1) [Pru05]

Cet article reprend les chapitres 2 et 3 de ma thèse, tout en les améliorant. A l’aide d’une étude topologique du dual unitaire des groupes Sp(n, 1), nous construisons une suite de composition de la C∗-algèbres maximale d’un tel groupe, permettant le calcul explicite de ces groupes de K-théorie en termes de représentations unitaire de Sp(n, 1). Nous montrons notamment que le morphisme du théorème5(voir plus loin) induit une KK-équivalence. Nous calculons ensuite l’image de l’applica-tion de Baum-Connes maximale, c’est-à-dire à valeurs dans la K-théorie de la C∗-algèbre maximale. C∗-algèbres de Sp(n, 1) et K-théorie, thèse de doctorat [Pru03]

Ma thèse est consacrée à la K-théorie des C∗-algèbres de groupes, maximales et réduites. Je calcule

plus particulièrement aux groupes d’isométries d’un espace hyperbolique quaternionien, Sp(n, 1). Nous donnons une description explicite de la K-théorie de la C∗-algèbre maximale d’un tel groupe en fonction de certaines de ses représentations unitaires irréductibles, dites séries isolées. Alors que chacune de ces représentations contribue à la K-théorie par une copie des entiers, il faut noter que toutes ne sont pas des points ouverts du dual unitaire, muni de la topologie de Fell. Ceci

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est une conséquence du travail effectué en appendice, dans lequel nous déterminons la structure en idéaux bilatères de la C∗-algèbre maximale.

Ces résultats de K-théorie servent ensuite à calculer l’image de l’application d’assemblage de Baum-Connes, qui à chaque représentation d’un sous-groupe compact maximal, associe l’indice en K-théorie d’un opérateur de Dirac sur l’espace hyperbolique. En utilisant alors des propriétés d’universalité de l’opérateur de Dirac, nous calculons l’indice d’un opérateur défini par H.W. Wong, et lié à la construction géométrique (induction cohomologique) des séries isolées.

Idempotents dans les C∗-algèbres de groupes

Ce texte constitue les notes d’un cours que j’ai donné dans le cadre de l’école doctorale de ma-thématiques Genève-Neuchâtel au semestre d’hiver 2004-2005. Ce cours contient une introduction aux algèbres de Banach et aux C∗-algèbres, ainsi qu’à leur K-théorie. Ces notions sont utilisées par exemple pour montrer que la C∗-algèbre réduite du groupe libre sur 2 générateurs ne possède pas d’idempotent non-trivial, par la méthode de la trace, puis par la théorie de Kasparov, comme conséquence de la K-moyennabilité. Ce cours s’adresse à des étudiants avancés mais peut également constituer une introduction aux techniques de géométrie non commutative.

Quadriques et classe de similitudes dans M2(R)

J’ai rédigé une série d’exercices corrigés sur les coniques et les quadriques. Cette série s’inspire très largement des exercices proposés par R. Mneimné dans son livre de géométrie [Mne97]. Elle s’adresse à des étudiants de licence, voire de master ou préparant les coucours de l’enseignement. Théorie des nombres et facteurs de type III

Dans mon mémoire de DEA, j’ai repris le début d’un article de J.B. Bost et A. Connes en le généralisant à un corps de nombre quelconque. Une fois les nombres premiers remplacés par les idéaux premiers ou par leur norme , seule la généralisation d’un lemme dû à B. Blackadar demande une attention particulière. Les mêmes phénomènes de brisure spontanée de symétrie que dans l’article original sont alors observés.

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Travaux en cours

Les travaux suivants sont en cours de rédaction.

Transversal Dirac operator for reductive spaces and K-theory

Ce travail généralise le preprint « Hypoellipticity and cohomological induction for U(p, q) ». Nous considérons le cadre général où G/H est un espace homogène réductif. Si K désigne un sous-groupe compact maximal de G, nous obtenons une fibration G/H ∩ K → G/H, dont l’espace tangent aux fibres est noté F . Comme l’action de G sur l’espace total G/H ∩ K est propre, cette variété possède une métrique riemannienne G-invariante. À l’aide de cette métrique, nous pouvons donc définir une distribution horizontale E ⊂ T (G/H∩K), transverse aux fibres, de sorte que T (G/H∩K) = E⊕F . Il se trouve que, lorsque H contient le centre de G, l’espace des sections de cette distribution engendre (au sens des algèbres) l’algèbre de Lie des champs de vecteurs. Plus précisément, l’espace tangent est muni d’une structure d’algèbre de Lie nilpotente, de rang 2, donnée par le crochet de Lie, suivi par la projection sur F :

[ , ]0: ∧2E → T (G/H ∩ K)/E = F ,

tous les autres crochets étant nuls. Notons n l’espace tangent Te(G/H ∩ K) muni de cette structure.

La restriction à E de la métrique induit donc une structure sous-riemannienne sur G/H ∩ K. Soit C(E) le fibré en algèbres de Clifford associé à cette métrique. Soit un opérateur G-invariant D dont

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le symbole principal est, à l’origine, σe(D) =

X

i

Xi⊗ Xi∈ U (nC) ⊗ C(E)e,

où (Xi) est une base orthonormée de Ee. La question que je pose est alors la suivante : le carré de

cet opérateur satisfait-il à la condition de Rockland ? Cela signifie que, pour toute représentation Hπ non triviale du groupe nilpotent simplement connexe N associé à n, l’opérateur

π(σe(D2)) ∈ B (Hπ⊗ S(E)e)

est injectif. Ici, S(E) désigne un fibré de spineurs pour C(E). Les représentations de N sont en bijection avec les orbites coadjointes via la théorie de Kirillov. Considérons l’ensemble ˆNmax des

représentations correspondant aux orbites de dimension maximale. C’est un ouvert dense dans l’espace des représenations. Pour π ∈ ˆNmax, on réalise cette représentation sur Rn, de sorte que

Hπ = L2(Rn), pour un n fixé. Soit Hnl’opérateur de Hermite en dimension n. Nous obtenons alors

le résultat suivant.

Lemme 1. Si π ∈ ˆNmax, alors il existe un opérateur symétrique Aπ, tel que π(σe(D2)) soit de la

forme

π(σe(D2)) = rπHn⊗ 1 + 1 ⊗ Aπ,

et tel que le bas du spectre de rπHn coincide avec le rayon spectral de Aπ.

Ce lemme technique implique le théorème principal que nous montrons ici. Théorème 2. Le noyau de π(σe(D2)) est non nul et de dimension finie.

En particulier, l’opérateur D ne satisfait pas à la condition de Rockland et n’est donc pas hypo-elliptique maximal. Néanmoins, comme sur les représentations considérées le noyau de π(σe(D2))

est de dimension finie, c’est un opérateur de Fredholm , ainsi que π(σe(D)), qui possède donc un

parametrix Qπ. Soit Imax l’idéal bilatère fermé de la C∗-algèbre C∗(N ) du groupe nilpotent N

correspondant à ˆNmax, et B = C∗(N )/Imax le quotient par cet idéal. Il résulte des considérations

précédentes que la famille (π(σe(D))π∈Imax détermine un élément de K-théorie x ∈ K∗(I) dont

le degré dépend de la parité de la dimension de G/H. Par ailleurs nous avons un morphisme de connexion en K-théorie

δ : K∗−1(B) → K∗(Imax) .

Nous pensons alors que la négation de la condition de Rockland a l’interprétation suivante : Conjecture. L’élément x est dans l’image de δ.

En particulier, en admettant cette conjecture, l’image de x dans la K-théorie de C∗(N ) est nulle. Cette conjecture signifie donc que la famille de parametrix Qπ ne peut pas être prolongée de façon

à avoir un parametrix global pour σe(D).

Cette conjecture est motivée par l’exemple assez bien connu du groupe de Heisenberg. Dans le cas du groupe de Heisenberg en effet, l’analogue de cette conjecture signifie que la déformation de Moyal-Weyl induit l’isomorphisme de Bott en K-théorie. Ce résultat, qui détermine en fait entièrement la structure de la C∗-algèbre du groupe de Heisenberg, est par exemple explicitement démontré dans le livre de J. Gracia-Bondia, J. Varilly et H. Figueroa, "Elements of noncommutative geometry" [Proposition 3.33].

Pseudolongueurs sur l’extérieur des boules hyperboliques

Soit Y = G/H un espace homogène réductif. Lorsque H n’est pas compact, cet espace ne possède pas de métrique riemanienne invariante. Nous construisons ici trois fonctions sur Y × Y à valeurs positives ou nulles, et invariantes par l’action diagonale du groupe G. Nous montrons ensuite que ces trois fonctions sont égales lorsque l’espace Y est l’extérieur d’une boule hyperbolique. Autrement

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dit, G = U (n, 1; K) (où K = R , C ou H) est un groupe de rang réel 1, et H = U (1, K)×U (n−1, 1; K). Décrivons maintenant ces trois fonctions.

La première est simplement la valeur absolue de la métrique pseudo-riemannienne invariante h , iinv sur Y , qui est associée à la forme de Killing. Pour y1, y2∈ Y , on considère les chemins γ de

classe C1 de y 1 vers y2, et on pose d1(y1, y2) = infγ Z 1 0 h ˙γ(t), ˙γ(t)iinvdt  .

Dans le cas hyperbolique mentionné plus haut, on peut utiliser la géométrie de Hilbert pour calculer cette longueur, comme cela est rappelé par J.M. Schlenker dans [Sch98], et cette longueur se calcule simplement au moyen d’un birapport de quatre points, deux d’entre eux étant les affixes des points y1 et y2, tandis que les deux autres sont donnés par les intersections (éventuellement imaginaires

conjuguées dans le cas réel) de la droite (projective) (y1y2) et le cercle, bord de l’espace hyperbolique.

Lorsque la droite (y1y2) est tangente au cercle, les deux intersections se confondent, et le birapport

en question vaut 1, et l’on retrouve le fait que la distance pseudo-riemannienne obtenue est nulle. Lorsque les intersections sont distinctes et réels, le birapport des 4 points est réel négatif, et d1(y1, y2)

est égale au logarithme du module de ce birapport. Lorsque les points d’intersection sont complexes conjugués, le birapport est de module 1. Et d1(y1, y2) est l’argument de ce birapport.

La seconde pseudolongueur d2 est définie ainsi. Rappelons que j’ai défini dans [Pru07a] une

famille équivariante de métriques riemannienne sur Y , paramétrée par les points de l’espace symét--rique X = G/K associé à G, où K est un sous-groupe compact maximal de G. Pour tout x ∈ X, nous obtenons donc une distance dx sur Y , vérifiant pour tout g ∈ G, dgx(gy1, gy2) = dx(y1, y2).

La fonction d2 est alors donnée par

d2(y1, y2) = inf

x dx(y1, y2) .

Cette fonction est G-équivariante par définition. On a immédiatement d1≤ d2, car pour chaque x,

on a d1≤ dx.

Pour définir la troisième longueur, nous devons considérer l’espace Z = G/H ∩ K. Nous avons des fibrations πH: Z → Y et πK: Z → X. Nous pouvons alors décrire Z ainsi :

Z = (x, y) ∈ X × Y ; y ∈ πH πK−1{x}

= (x, y) ∈ X × Y ; y ∈ πK π−1H {x} .

Dans le cas étudié ici, cela revient à considérer les couples de points (x, y) tels que x soit dans le disque hyperbolique, y à l’extérieur, et tels que x soit sur la polaire de y. Dans le cas général, Z possède une distribution transverse aux fibres de πH, et cette distribution horizontale vérifie la

condition de Hörmander comme expliqué dans le résumé précédent. Cela implique que pour tout couple de points dans Z, on peut joindre deux points par un chemin différentiable par morceaux, dont la dérivée en tout point est horizontale. En prenant le minimum des longueurs de tels chemins, nous obtenons une métrique de Carnot-Caratheodory dCC sur Z. Nous pouvons maintenant définir

d3. Soit y1, y2∈ Y .

d3(y1, y2) def

= dCC πH−1{y1}, πH−1{y2} .

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Projet de recherche

Cadre général

Soit G un groupe localement compact dénombrable à l’infini. Nous nous intéressons à la conjec-ture de Baum-Connes et plus généralement à la K-théorie de la C∗-algèbre maximale Cmax∗ (G) de G. Cette C∗-algèbre est la C∗-algèbre enveloppante de l’algèbre de Banach involutive L1(G). L’action par convolution à gauche de cette algèbre sur l’espace de Hilbert L2(G) définit un homo-morphisme involutif λ : L1(G) → L(L2(G)). La C∗-algèbre réduite Cred∗ (G) de G est l’adhérence de l’image de L1(G) pour la norme des opérateurs. Ainsi nous obtenons un morphisme de C∗-algèbres, encore noté λ,

λ : Cmax∗ (G) → Cred∗ (G) .

La conjecture de Baum-Connes [BC00] prédit ce que doit être la K-théorie de Cred∗ (G). Plus préci-sément P. Baum, A. Connes et N. Higson [BCH94] construisent un homomorphisme de Z-modules,

l’application d’assemblage µred, d’un objet géométrique (la K-homologie équivariante à support

compact KG

∗(EG) de l’espace classifiant EG des actions propres de G) vers la K-théorie de Cred∗ (G)

et conjecturent que c’est un isomorphisme. Cette application µred se factorise par µmax à travers

la K-théorie de Cmax∗ (G) via le morphisme λ∗ induit par λ en K-théorie. En d’autres termes, nous

avons un diagramme commutatif

K∗(Cmax∗ (G)) KG(EG) µred -µmax -K∗(Cred∗ (G)) . λ∗ ? (1)

Une des difficultés dans la compréhension de l’application de Baum-Connes est que l’application d’assemblage µmax n’est pas un isomorphisme en général. La question de Baum-Connes est donc

aussi celle de distinguer les deux groupes de K-théorie. Ce point de vue nous conduit au question-nement suivant. Celui-ci fait également suite aux résultats que j’ai obtenus dans ma thèse.

Soit G un groupe de Lie réductif réel et K un sous-groupe compact maximal. Alors l’espace G/K est un modèle pour EG et (supposons que K est simplement connexe pour simplifier) la K-homologie équivariante est l’anneau des représentations R(K) de K, vu comme Z-module. L’application d’as-semblage associe à toute représentation (V, σ) de K, l’indice dans Cmax∗ (G) d’un opérateur de Dirac tordu par la représentation σ. Ceci est réalisé par le théorème suivant.

Théorème 3. [Kas83] Soit D un opérateur différentiel elliptique G-invariant agissant sur les sec-tions lisses d’un fibré hermitien G-équivariant E sur une G-variété propre M , tel que G\M soit compact. Alors D détermine un élément inda(D) ∈ K∗(Cmax∗ (G)).

En général, lorsque G possède la propriété (T ) de Kazhdan, C∗

max(G) = C ⊕ A et la classe de

l’idempotent (1, 0) dans K0(Cmax∗ (G)) est dans le noyau de λ∗. En particulier, µmax n’est pas un

isomorphisme. Nous désirons étudier le cas de ces groupes, qui est intéressant car ils possèdent pour la plupart la propriété (T ) et parce que l’approche par l’analyse harmonique (théorie des représentations) est possible. Nous espérons construire des éléments de K0(Cmax∗ (G)) qui ne sont pas

dans l’image de µmaxà partir de sous-groupes de Lie possédant la propriété (T ). Un tel programme

s’inscrit dans celui plus général d’élaborer une conjecture de Baum-Connes pour la C∗-algèbre maximale. Dans le cadre des groupes de Lie réductifs, ce programme peut en partie être ramener à celui de la construction géométrique de leur représentation unitaire. Ce point de vue m’a conduit à des questions d’analyse harmonique portant sur l’induction cohomologique, la cohomologie de Dirac, et plus généralement la construction géométrique de représentations unitaires sur des noyaux d’opérateurs différentiels ou d’espaces de cohomologie.

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Résumé de la thèse

L’objet principal de ma thèse est le calcul de la K-théorie de la C∗-algèbre maximale des groupes G = Sp(n, 1), n ≥ 2. Ce calcul repose sur une connaissance explicite des représentations unitaires irréductibles de G. En outre, je décris l’image de l’application de Baum-Connes µmax en fonction

de la description obtenue.

Les travaux de W. Baldoni Silva [BS81] donnent une classification du dual unitaire des groupes G = Sp(n, 1) (n ≥ 2) et mes résulats sont basés sur cette classification. Le théorème de classification de Langlands ([Kna01, théorème 8.54]) des représentations admissibles irréductibles de G affirme que ces représentations sont à isomorphismes près : les séries discrètes, les séries principales unitaires, les limites (non dégénérées) de séries discrètes, et les quotients de Langlands . Les séries discrètes sont par définition les représentations irréductibles dont les coefficients sont de carré intégrable. Soit G = KAN une décomposition de Cartan de G et soit M le centralisateur de A dans K. Alors P = M AN est un sous-groupe parabolique minimal de G. Les séries principales unitaires sont les représentations induites irréductibles πξ,ν = indGP ξ ⊗ eν⊗ 1, où ξ ∈ ˆM est une représentation irréducible de M et

∈ ˆA est un caractère unitaire de A. Une représentation π

ξ,νne peut être réductible que si ν = 0, et

alors cette représentation πξ,0est une somme directe de deux représentations irréductibles unitaires.

Ce sont les limites de séries discrètes que nous considérons ici. Si eν ∈ ˆ/ A mais ν ∈ a∗C' C (le dual de l’algèbre de Lie complexifiée de A) et Re(ν) > 0, on peut également construire les représentations πξ,ν. Sous cette condition sur ν, ces représentations possèdent un unique quotient irréductible appelé

quotient de Langlands, noté Jξ,ν. Les trois premières séries sont toujours unitaires et leur réunion

est le spectre de la C∗-algèbre réduite. Pour classifier le dual unitaire, il nous reste à identifier les

quotients de Langlands unitarisables. Les résultats de W. Baldoni Silva dont nous avons besoin sont les suivants.

Théorème 4. [BS81] Soit ξ ∈ ˆM . Si Jξ,ν est unitarisable alors Im(ν) = 0 et si πξ,0 est réductible

alors Jξ,ν n’est pas unitarisable. De plus, si πξ,0 est irréductible deux cas peuvent se produire.

1. il existe ν(ξ) > 0 tel que Jξ,ν soit unitarisable, si et seulement si 0 < ν ≤ ν(ξ)

2. il existe ν(ξ) > 0 tel que Jξ,ν soit unitarisable, si et seulement si 0 < ν ≤ ν(ξ) ou ν = ν(ξ)+1 .

Les quotients de Langlands unitarisables Jξ,ν(ξ)+1 sont appelés séries « isolées ». Nous pouvons

maintenant énoncer le premier théorème que j’ai montré. Soit I l’ensemble des représentations isolées. Rappelons que toute représentation unitaire π de G sur un espace de Hilbert Hπ fournit un

morphisme

Cmax∗ (G)−→ K(Hπ π) ,

où K(Hπ) est l’idéal des opérateurs compacts.

Théorème 5. Le morphisme Cmax∗ (G) λ ⊕ (⊕π)- Cred∗ (G) ⊕  ⊕ π∈I K(Hπ)  . (2)

est bien défini et induit un isomorphisme en K-théorie. Rappelons encore que K0(K(H)) = Z et K1(K(H)) = 0.

Corollaire 6. Soit n > 2. Le noyau de λ∗ est un Z-module libre, possédant un ensemble de

géné-rateurs en correspondance bijective avec l’ensemble I des séries « isolées ».

La démonstration de ce théorème repose sur une filtration du dual unitaire, qui est possible grâce au résultat suivant de théorie des groupes semi-simples [Kna01, prop. 8.61] : si un quotient de Langlands unitaire Jξ00 apparaît comme sous-quotient d’une série πξ,ν(ξ), alors ν0 < ν(ξ). En

(10)

La question est alors celle de faire le lien avec les applications d’assemblage µredet µmax. Il est

connu que µredest un isomorphisme [Laf02]. En particulier, il suit que

K∗(Cmax∗ (G)) = Im(µmax) ⊕ Ker(λ∗) .

La question est donc de décrire le graphe de l’application suivante.

K0(Cred∗ (G))

(⊕π∗) ◦ µmax ◦ µ−1red

- ⊕π∈IZ , C’est le second résultat de ma thèse dont je veux parler.

Théorème 7. Soit π ∈ I. Alors il existe un nombre fini non nul de représentations ρ ∈ ˆK telles que π∗◦ µmax(ρ) 6= 0 , et dans ce cas π∗◦ µmax(ρ) = ±1.

Notons en particulier que la représentation triviale de G apparaît dans le noyau de certains opérateurs de Dirac tordus par des coefficients bien choisis. Cela peut être montrer directement, et c’est d’ailleurs en partant de ce cas particulier que le théorème est démontré en toute généralité.

K-homologie et K-théorie

Revenons au cadre général où G est un groupe de Lie réductif réel. Une suite possible dans l’étude de la K-théorie de la C∗-algèbre maximale serait de construire géométriquement les éléments de K∗(Cmax∗ (G)) qui ne sont pas dans l’image de l’application d’assemblage µmax. L’idée classique

serait d’associer à un opérateur différentiel G-équivariant et élliptique son G-indice, la K-théorie de la C∗-algèbre maximale étant le réceptacle naturel pour de tels indices, comme précédemment. Nous allons voir que dans le contexte de la C∗-algèbre maximale, nous devons utiliser des actions qui ne sont pas propres, ce qui rend difficile de concilier invariance et ellipticité.

Pour obtenir de nouveaux éléments de K-théorie, nous considérons donc des espaces homogènes réductifs G/L pour lesquels l’action du groupe n’est pas propre, c’est-à-dire que L n’est pas compact. Ces variétés ne possèdent pas de structure riemannienne G-invariante. Nous ne pouvons donc pas appliquer le théorème3, ni donc définir de cette façon un élément de K∗(Cmax∗ (G)). Les variétés G/L

possèdent néanmoins une métrique pseudo-riemannienne non dégénérée, G-invariante, qui n’est pas définie positive, associée à la forme de Killing. Elles possèdent également une famille de métriques riemanniennes, indexée par les points de G/K qui est équivariante, comme cela est expliquée dans [Pru07a]. Je pense qu’en prenant en compte ces données géométriques, il est possible de définir des éléments de K-théorie de Cmax∗ (G).

Ce programme peut être décomposé en trois étapes.

1. Construire un opérateur non-borné DG/L, comme élément de K-homologie équivariante dans

KG∗(C0(G/L)). Je cherche à construire un tel élément à partir de l’opérateur de Dirac-Kostant

géométrique. La difficulté provient du fait qu’il n’est pas elliptique. 2. Construire une application d’assemblage

KG∗(C0(G/L)) µL

−→ K0(Cmax∗ (G)) .

Cette application doit être égale à l’application d’indice précédente lorsque L est compact. Dans tous les cas, elle fournit, en partant d’une solution au premier problème, un élément de K-théorie.

3. Enfin, vérifier que les éléments de K-théorie ainsi obtenus ne sont pas dans l’image de µmax

dans certains cas bien choisis.

Détaillons d’abord le second point. Notons que le groupe de K-homologie KG∗(C0(G/L)) est

connu pour un sous-groupe L compact, car l’action est propre et dans ce cas l’application µL est

bien définie et son image est contenue dans celle de µmax. Soient [1G] l’élément de la K-théorie de

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pouvons alors définir le morphisme µG pour L = G de la façon suivante, dès que G possède la

propriété (T ).

KKG(C, C) 3 x 7−→ [1G] ⊗ jG(x) ∈ K∗(Cmax∗ (G)) .

Nous voyons alors que l’élément trivial de KG(pt) a pour image [1G] qui n’est pas dans l’image de

µmax. Nous définissons alors l’application µLpour les sous-groupes L de G possédant la propriété (T )

de la façon suivante. Notons encore [1L] les éléments de K-théorie associés à la représentation triviale

du groupe L. Soit x ∈ KG∗(C0(G/L)) un élément de K-homolgie, et jG(x) ∈ KKG(C0(G/L) o

G, Cmax∗ (G)) l’élément obtenu par descente. Comme C∗(L) et C0(G/L)oG sont Morita équivalentes,

on peut voir jG(x) comme un élément de KK(Cmax∗ (L), Cmax∗ (G)). On peut alors définir µL ainsi.

KG∗(C0(G/L)) 3 x µL

7−→[1L] ⊗ jG(x) ∈ K∗(Cmax∗ (G)) .

Il est légitime d’espérer que le point 3. sera vérifié. Néanmoins, il n’est pas très naturel de ne définir µL que si L possède la propriété (T ). Par exemple, si le noyau du C∗(G)-module de Fredholm

définissant jG(x) dans l’expression précédente possède des points fixes pour la représentation de

C∗(L) à gauche, l’expression [1L] ⊗ jG(x) peut être remplacée par le C∗(G)-module de Fredholm

obtenu par contraction sur le sous-C∗-module des points fixes sous la représentation de C∗(L). Nous obtenons alors encore un élément de la K-théorie de C∗(G), qui est égal au précédent si L possède la propriété (T ). Je ne sais pas définir µL pour des actions de groupe quelconque sur un espace

homogène en général, mais dans le cas des groupes réductifs agissant sur des espaces homogènes réductifs, qui est l’exemple que nous considérons ici, cela est certainement suffisant.

Revenons maintenant au premier point. Nous pouvons préciser la difficulté du problème en construisant un élément βG

L ∈ KKG(C0(G/L), C0(G/L ∩ K)) de la façon suivante. Considérons la

fibration

G/L ∩ K−→ G/L ,π

dont les fibres sont isométriques à l’espace riemannien symétrique L/L ∩ K. Écrivons g = k ⊕ p la décomposition de Cartan, et g = l ⊕ l⊥ la décomposition correspondant à L donnée par la forme de Killing. D’après un lemme de Mostow, tout élément g ∈ G s’écrit de manière unique sous la forme g = k exp X exp Y où X ∈ l⊥∩ p et Y ∈ l ∩ p. Il suit que la fibration π possède une section K-équivariante définie par σ : g 7−→ k exp X. Au moyen de cette section (non-équivariante) nous pouvons construire un élément βG

L ∈ KK(C0(G/L), C0(G/L ∩ K)), qui sur chaque fibre de π, est

l’élément "dual Dirac" du groupe L. Il n’est pas évident a priori que cet élément soit équivariant. Proposition 8. L’élément βLG est équivariant, et définit donc un élément de

KKG(C0(G/L), C0(G/L ∩ K)) .

Démonstration. Soient g ∈ G et f ∈ C0(G/L). Nous devons montrer que la multiplication par

f (g · X − X) est un morphisme compact du C0(G/L ∩ K)-module Γ(G/L ∩ K, SG). Soit y = gL ∩ K.

Fixons une isométrie de la fibre contenant y avec L/L ∩ K envoyant σ(π(y)) sur e · L ∩ K. Les champs de vecteurs g · X et X diffèrent par l’action de l’élément

exp Y (g−1k(gy) exp(X(gy))) · L

sur la fibre contenant y. Il reste alors à montrer que cet élément appartient à une partie compacte de L, qui ne dépend pas de y, mais seulement de g. Ceci est exactement ce qui est montré dans la

démonstration de [Pru07a, proposition 1]. 

Cet élément permet de construire des éléments équivariants de la K-homologie de G/L, en faisant le produit avec des éléments de KKG(C

0(G/L ∩ K), C) sur la droite. Cependant, cela produit des

éléments de K-homologie dans l’image du morphisme induit en K-homologie par la multiplication à droite par indGLγL ∈ KKG(C0(G/L), C0(G/L)), où γL est l’élément γ pour L. L’image d’un tel

élément par l’application µL est donc nul. Le projet décrit ici revient donc à construire un élément

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Il me paraît néanmoins intéressant de réaliser ces éléments comme opérateurs pseudodifférentiels sur G/L ∩ K, en faisant apparaître l’élément γL sur la fibre. En utilisant alors une homotopie dans

KKban

G,`(C0(G/L), C) entre l’élément γL et la représentation triviale de L, on peut espérer obtenir

des éléments plus intéressants. Pour cela nous devons utiliser des sections de fibrés sur G/L ∩ K qui ne sont pas de carré intégrable. Cela nous mène au paragraphe suivant.

Transformation de Penrose

Conservons les notations du paragraphe précédent. Rappelons que la représentation triviale de L apparaît comme sous-quotient dans le noyau C∞ de certains opérateurs de Dirac tordus sur les fibres L/L ∩ K. Or, si l’on sait montrer que la représentation triviale 1L de L est isolée dans le

noyau d’un opérateur de Dirac sur L/L ∩ K, on devrait pouvoir en déduire que indGL(1L) est isolée

dans le spectre du noyau lisse de l’opérateur de Dirac-Kostant DG/G∩K. On obtiendra alors une

application équivariante

ker DG/L∩K(V0) → ker DG/L(V ) ,

(où les opérateurs D sont des opérateurs de Dirac-Kostant avec des coefficients bien choisis) qui est un inverse à gauche du pullback, et est donc surjectif. De plus, il est de même possible de montrer, sous une certaine condition de positivité, que le premier noyau est égal au noyau (lisse encore) d’un opérateur de Dirac sur G/K qui est un opérateur elliptique. Ceci doit permettre de montrer que ker D2G/L∩K est admissible, et possède donc, à cause de la formule de Parathasarathy, une suite de composition finie. Toujours est-il que cette propriété de finitude implique que la pro-jection précédente est bien définie. L’hypothèse de positivité doit ensuite être supprimée. Cela est habituellement obtenu grâce à un agrument de translation du type foncteur de Zuckermann. Nous travaillons actuellement avec S. Mehdi à ce problème, qui a un intérêt indépendant . Tout ceci doit finalement permettre de montrer le résultat suivant :

Conjecture 1. L’opérateur de Dirac géométrique est hypoelliptique. Autrement dit, si ω est une distribution, solution de l’équation DG/Lω = 0, alors ω est une section lisse.

Cela permettrait de montrer, grâce aussi à la propriété de finitude précédente, une seconde conjec-ture :

Conjecture 2. Le sous-espace imD ∩ ker D de ker D est fermé pour la topologie lisse, et le quotient ker D/imD ∩ ker D est une représentation admissible du groupe G sur un espace de Fréchet, qui est une globalisation maximale du module de Harish-Chandra sous-jacent.

Ce programme constitue ce que nous pouvons appeler la transformation de Penrose lisse. Les deux conjectures sont une généralisation des travaux de Wong [Won93] au cadre de l’opérateur de Dirac cubique géométrique.

Pour parvenir au but fixé dans le paragraphe précédent, c’est-à-dire la construction à partir de l’opérateur de Dirac cubique géométrique d’un élément de K-homologie, il sera ensuite nécessaire de comprendre, comment la double fibration

G/L ← G/L ∩ K → G/K ,

intervient également dans des considérations métriques et analytiques. Le commencement de ce travail est effectué dans [Pru07a] et [Pru07b], et nous le poursuivons dans les deux travaux en cours sus-mentionnés.

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Références

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