Proposition de Sujet de Thèse
Ecole Doctorale : IAEM (0077)Laboratoire d’accueil :
Institut Elie Cartan Nancy (Equipe EDP), Université Nancy 1, UMR 7502. Directeurs de Thèse :
Karim RAMDANI (CR INRIA Nancy, Karim.Ramdani@inria.fr)
Marius TUCSNAK (Prof. Université Nancy 1, Tucsnak@iecn.u-nancy.fr) Contact Scientifique : Karim RAMDANI (Karim.Ramdani@inria.fr)
Sujet de Thèse :
Observateurs itératifs et assimilation de données pour les systèmes complexes Mot clés :
Contrôle des Equations aux Dérivées Partielles, Observateurs en Automatique, Problèmes Inverses, Retournement Temporel, Météorologie, Médecine
1. Problématique Générale : Observateurs et Assimilation de Données.
Dans un grand nombre d'applications technologiques modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une EDP d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Ainsi, pour réaliser par exemple une prévision météorologique, on est amené à estimer l'état de l'atmosphère à partir d'observations incomplètes. Ce procédé, connu sous le nom d'assimilation de données [1], constitue une étape cruciale à au moins deux titres. Tout d'abord, il est déterminant pour la qualité finale de la prévision météorologique, compte tenu de la sensibilité de celle-ci aux données initiales. Ensuite, d’un point de vue numérique, il représente l'étape la plus coûteuse dans le calcul de la prévision. Un second champ d’applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problématique d’identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs ou de calculs rénaux peut se ramener dans certains modèles à des problèmes d’identification pour des équations aux dérivées partielles linéaires. Sous certaines hypothèses, ces problèmes d’identification de sources se ramènent à la résolution de problème de reconstruction de données initiales moyennant la résolution d’une équation intégrale de Volterra.
Une approche naïve pour identifier la donnée initiale recherchée consiste à inverser un certain opérateur associé au système appelé le Grammien. Toutefois, cette opération est souvent coûteuse numériquement et conduit à la résolution d'un système linéaire mal conditionné. Une première solution, conduisant aux méthodes variationnelles en assimilation de données [2], consiste alors à régulariser le problème et à utiliser les techniques issues de l'optimisation. Une seconde approche, initialement développée pour le cas des données bruitées, repose sur l'utilisation des filtres de Kalman. La première solution est souvent très coûteuse numériquement (en raison du nombre élevé d'inconnues et du fait qu'elle requiert le calcul du gradient de la fonctionnelle à minimiser), alors que la seconde concerne essentiellement les systèmes de dimension finie (par exemple ceux obtenus après semi-discrétisation du problème en espace).
2. Démarche et Objectifs de la Thèse
Dans cette thèse, notre objectif est de proposer une nouvelle approche de résolution des problèmes de reconstruction de données initiales en essayant autant que possible de travailler sur le système de dimension infinie (c'est à dire l'EDP d'évolution) et non sur le système semi-discrétisé en espace. L'approche que nous développerons repose sur la
généralisation à la dimension infinie de la notion d'observateur, bien connue en automatique. Il s'agit là de construire, à partir des observations, un système d'évolution dont l'état converge asymptotiquement en temps long vers l'état final (ou initial) du système étudié. Bien entendu, lorsque les temps d'observation sont supposés courts -ce qui est le cas dans la plupart des applications réalistes-, on ne peut espérer approcher le régime asymptotique. Pour contourner cette difficulté, nous développerons un algorithme itératif, convergeant vers l'observateur recherché.
Nous envisageons de développer notre approche pour plusieurs types de systèmes : a) Systèmes conservatifs
Tout d'abord, nous nous intéresserons au cas des systèmes conservatifs de dimension infinie, c’est-à-dire des systèmes d'évolution à générateurs anti-adjoints. De tels systèmes (e.g. l'équation des ondes, l’équation des plaques ou l’équation de Schrödinger) ont en effet la particularité de présenter des propriétés de réversibilité en temps. Nous pouvons développer une nouvelle approche, originale et prometteuse, de reconstruction de données initiales, en combinant des techniques de retournement temporel [3] et d’observateurs. Ainsi, en généralisant un algorithme récemment introduit dans [4], nous avons d'ores et déjà développé et implémenté deux méthodes itératives et les premiers résultats obtenus pour le cas 1D pour des opérateurs observations bornés (observation interne) semblent très prometteurs. Nous souhaitons ensuite aborder le cas des observations frontière, qui est techniquement plus délicat.
b) Systèmes conservatifs perturbés
Une extension naturelle et importante des résultats précédents concerne le cas des systèmes d'évolution dont les générateurs sont des perturbations bornées d'opérateurs anti-adjoints.
c) Systèmes dissipatifs
Enfin, le cas des systèmes paraboliques (donc non réversibles en temps), sera étudié. Dans ce cas, l'objectif est de construire une approximation de l'état final à partir de mesures partielles de la solution.
Il nous semble que le sujet proposé est ambitieux et original. Situé à l’interface des mathématiques appliquées et de plusieurs domaines d’application, allant de la physique à la médecine, il s’inscrit pleinement dans le thème scientifique prioritaire : Mathématiques, STIC, Nanotechnologies et leurs Interactions du Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche.
3.
Compétences et profil du candidat :
Le/La candidat(e) devra être titulaire d'un Master Recherche en Mathématiques ou
Mathématiques Appliquées. Il/Elle devra avoir de solides connaissances en théorie des
équations aux dérivées partielles, ainsi qu’une pratique de la programmation avec des
logiciels de calcul tel que MATLAB.
4. Bibliographie
[1] L. Bengtsson, M. Ghil and E. Källén, Dynamic meteorology: data assimilation methods, Applied Mathematical Sciences 36, Springer-Verlag, 1981.
[2] F. X. Le Dimet, V. Shutyaev and Gejadze, I, On optimal solution error in variational data assimilation: theoretical aspects, Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling 21(2), 139-152, 2006.
[3] M. Fink, D. Cassereau, A. Derode, C. Prada, O. Roux, M. Tanter, J.-L. Thomas and F. Wu, Time-reversed acoustics, Rep. Prog. Phys. 63(12), 1933-1995, 2000.
[4] K. D. Phung and X. Zhang, Time Reversal Focusing of the Initial State for Kirchhoff Plate, SIAM J. Appl. Math. 68(6), 1535-1556, 2008.