Développement de modèles physiques et numériques pour la simulation aux grandes échelles des écoulements dans les tuyères supersoniques

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pour la simulation aux grandes échelles des écoulements

dans les tuyères supersoniques

Alexandre Georges-Picot

To cite this version:

Alexandre Georges-Picot. Développement de modèles physiques et numériques pour la simulation aux grandes échelles des écoulements dans les tuyères supersoniques. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. INSA de Rouen, 2014. Français. �NNT : 2014ISAM0024�. �tel-03100107�

présentée en vue de l’obtention du titre de

Docteur

de

L’Institut National des Sciences Appliquées de Rouen

Discipline

:

Mécanique

Spécialité

:

Mécanique des Fluides

par

A

LEXANDRE

GEORGES-PICOT

D

ÉVELOPPEMENT DE MODÈLES PHYSIQUES ET NUMÉRIQUES

POUR LA SIMULATION AUX GRANDES ÉCHELLES DES

ÉCOULEMENTS DANS LES TUYÈRES SUPERSONIQUES

Date de soutenance le 08 Décembre 2014

Rapporteurs :

J.-C. ROBINET Professeur des Universités, Arts et Métiers ParisTech

E. LEFRANÇOIS Professeur des Universités, Université de Technologie de Compiègne

Examinateurs :

M. BUFFAT Professeur des Universités, Claude Bernard Lyon I

N. GUEZENNEC Docteur/Ingénieur, SNECMA Vernon

A. HADJADJ Professeur des Universités, INSA de Rouen (Dir. thèse) J. HERPE Docteur/Ingénieur, CNES - Direction des Lanceurs, Paris D. VANDROMME Professeur des Universités, INSA de Rouen

Cette thèse s’est déroulée au sein du Laboratoire CORIA, UMR CNRS 6614 et de l’INSA de Rouen et je tiens, en premier lieu, à remercier Monsieur Boukhalfa et Monsieur Billoët de m’avoir accueilli dans leurs locaux.

Cette étude a été financée par le CNES et la région Haute-Normandie dans le cadre du groupe de recherche ATAC, le tout sous l’impulsion de Sandrine Palerm et Julien Herpe. Je leur exprime ici toute ma gratitude et les remercie, de plus, pour nos échanges durant ces quelques années.

Merci aux Professeurs Emmanuel Lefrançois et Jean-Christophe Robinet d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse. Je remercie également le Professeur Marc Buffat et Messieurs Dany Vandromme et Nicolas Guezennec pour leur participation au jury.

Un grand merci à Anne-Sophie Mouronval et à Guy Moebs pour leur aide au déve-loppement et à l’optimisation du code Choc-Waves. Mes plus sincères remerciements vont également au Professeur Abdellah Hadjadj qui a encadré ces recherches tout en me laissant une réelle autonomie et en me faisant entièrement confiance. Il a aussi fait preuve d’une grande gentillesse et d’une grande patience à mon égard et m’a encouragé et soutenu tout au long de ce travail.

Je tiens également à remercier ici toutes les personnes, les amis, dont j’ai croisé le chemin au CORIA et ailleurs, et qui ont contribué à rendre agréables toutes ces années. Parmi eux, je voudrais citer Arnab, Ouissem, Aliou, Nourredine, Ashwin, Arthur, Olivier et Vineet, ainsi qu’à l’ensemble des équipes administratives de l’école et du laboratoire.

Pour finir, je tiens surtout à remercier Camille, mes amis et ma famille qui n’ont toujours pas compris mon sujet mais qui m’ont toujours supporté malgré cela.

1 Contextes scientifique et technologique 11

1.1 Quelques élements de propulsion . . . 11

1.1.1 Principaux types de tuyères . . . 14

1.1.2 Fonctionnement des tuyères propulsives . . . 16

1.2 Ecoulements dans les tuyères sur-détendues . . . 20

1.2.1 Couche limite amont et décollement . . . 23

1.2.2 Développement de la couche cisaillée libre . . . 33

1.2.3 Bulle de recirculation et tourbillon de lèvre (IV et V) . . . 47

1.3 Charges latérales . . . 49

1.3.1 Dissymétrie de la ligne de décollement . . . 49

1.3.2 Transition FSS / RSS . . . 53

1.3.3 Régime du End-Effect . . . 55

1.3.4 Couplage aéroélastique . . . 55

1.3.5 Refroidissement. . . 56

1.4 Conclusion . . . 58

2 Equations mathématiques, modèles de sous-maille et schémas d’intégration numérique 59 2.1 Equations filtrées . . . 59

2.2 Modélisation de sous-maille . . . 61

2.2.1 Concept de la modélisation fonctionnelle. . . 61

2.2.2 Modélisation du tenseur des contraintes de sous-maille . . . 62

2.2.3 Modélisation du flux de chaleur de sous-maille . . . 67

2.2.4 Simulation aux grandes échelles implicites . . . 67

2.3 Modélisation proche paroi . . . 68

2.4 Schémas d’intégration numérique . . . 74

2.4.1 Traitement des flux convectifs : schéma WENO . . . 74 v

2.4.2 Avancement en temps . . . 78

2.4.3 Traitement des termes visqueux . . . 78

2.4.4 Traitement des conditions aux limites. . . 79

2.5 Conclusion . . . 84

3 Optimisation parallèle de la méthode des frontières immergées 85 3.1 Méthode des frontières immergées . . . 85

3.2 Prise en compte des géométries complexes . . . 91

3.3 Méthode de Drop-Procs . . . 100

3.3.1 Fonctionnement de la méthode Drop-Procs. . . 101

3.3.1.1 Optimisation de la méthode Drop-Procs . . . 103

3.3.2 Exemples de validation. . . 105

3.3.2.1 Cylindre immergé dans un fluide au repos . . . 105

3.3.2.2 Tuyère 3D plane . . . 107

3.3.2.3 Tuyère 3D axisymétrique . . . 108

3.4 Communications parallèles pour les entrées/sorties (Input/Output) . . . 112

3.5 Scalabilité sur architectures homogènes et hétérogènes . . . 114

3.5.1 Architectures homogènes . . . 114

3.5.2 Architectures hétérogènes . . . 116

3.6 Conclusion . . . 116

4 Mise au point et validation d’un modèle de paroi pour les tuyères superso-niques 119 4.1 Estimation du coût d’une simulation LES . . . 120

4.2 Profils de couche limite. . . 124

4.3 Modèle de paroi algébrique . . . 126

4.4 Calculs RANS 2D axisymétriques . . . 130

4.5 Modèle de paroi statique via bases de données . . . 133

4.5.1 Simulation LES en régime d’écoulement libre,NP R = 10.2 . . . 134

4.5.2 Simulation en régime d’écoulement restreint,NP R = 25 et 37.9 . . . 147

4.6 Modèle auto-similaire . . . 152

4.6.1 Modèle pseudo-dynamique . . . 166

4.6.2 Modèle dynamique . . . 169

4.6.2.1 Simulations quasi-stationnaires avec modèle de paroi dy-namique . . . 172

4.7 Conclusion . . . 184

5 Conclusions et Perspectives 187

A Présentation des cas d’étude 191

B Algorithme Drop-Proc 193

C Mésochallenges Equip@Meso 2013 195

Nomenclature

Notations latines

A : Section.

c : Célérité du son.

cv : Chaleur spécifique à volume constant. cp : Chaleur spécifique à pression constante. Cf : Coefficient de frottement,Cf = τw/(1₂ρ∞U_∞).2 CF : Coefficient de poussée. d : Distance à la paroi. e : Energie interne. E : Energie totale. f : Fréquence. g : Accélération de la pesanteur. Isp : Impulsion spécifique.

k : Nombre d’onde.

li : Longueur d’interaction libre de Chapman. ˙

m : Débit massique. M : Nombre de Mach.

Mc : Nombre de Mach convectif,Mc = (u1_{− u}c)/c1 = (uc_{− u}2)/c2. N : Nombre d’éléments.

p : Pression statique.

P r : Nombre de Prandtl laminaire égal à 0.72.

P rt : Nombre de Prandtl turbulent (pris égal à 0.9 dans cette étude). q : Pression dynamique.

r(x) : Rayon local.

r : Constantes des gaz parfaits.

Ret : Nombre de Reynolds turbulent,Ret = νt/ν. Sij : Tenseur de déformation.

St : Nombre de Strouhal.

t : Temps.

T : Température statique.

uc : Vitesse convective,Uc = c1u2+ c2u1

c1+ c2 (cas d’un gaz de même nature). ui, (u, v, w) : ième _{composante du vecteur vitesse dans les directionx, y, et z.}

u′′

: Vitesse fluctuante.

uτ : Vitesse de frottement pariétal. x, y, z : Coordonnées spatiales.

Notations grecques

α : Demi-angle du divergent. ∆ : Taille de filtre de sous-maille.

∆u : Différence de vitesse, ∆u = u1− u2. δ : Epaisseur de couche limite.

δ2 : Epaisseur de quantité de mouvement. δω : Epaisseur de vorticité.

ε : Rapport de section.

γ : Rapport des chaleurs spécifiques à pression et à volume constant. κ : Constante de von Kármán. µ : Viscosité dynamique. ν : Viscosité cinématique. ω : Vorticité. Ωij : Tenseur de vorticité. Ψb : Surface de la géométrie. ρ : Masse volumique.

σij : Tenseur des contraintes visqueuses. τw : Frottement.

τij : Tenseur des contraintes de sous-maille. θ : Angle de l’écoulement par rapport à la paroi.

Indices

a : Conditions ambiantes. c : Conditions au col.

ch : Chambre de combustion (conditions réservoir). e : Sortie.

0 : Point de décollement naissant ou pression minimale. p : Plateau (après décollement).

sep : Séparation ou décollement. sl : Side-loads (charges-latérales). sgs : Sub-grid scale. t : Totale. vac : Vide. w : Paroi. ⋆, + : Grandeur adimensionnée.

∗ : Grandeur issue de la base de données. ∞ : Grandeur à l’infini.

e : Grandeur filtrée au sens de Favre. ¯ : Grandeur filtrée au sens de Reynolds.

′′

: Fluctuation au sens de Favre. ′

: Fluctuation au sens de Reynolds.

Abréviations

AMR : Adaptive Mesh Refinment.

ATAC : Aérodynamique des Tuyères et Arrières-Corps. BP : Boundary Point.

CFL : Courant Friedrichs Levy. CPU : Central Processing Unit.

CSM : Modèle de sous-maille basé sur le concept des structures cohérentes. DES : Detached Eddy Simulation.

FSCD : Flow Separation Control Device. FSS : Free Shock Separation.

GP : Ghost Point.

HPC : High Performance Compting. IBM : Immersed Boundary Method. ILES : Implicit Large-eddy simulation. IP : Image Point.

LES : Large Eddy Simulation. NPR : Nozzle Pressure Ratio.

RANS : Reynolds Averaged Navier-Stokes. RSS : Restricted Shock Separation. rms : Root mean square.

SSME : Space Shuttle Main Engine. SST : Shear Stress Tensor.

TBLE : Thin Boundary Layer Equation. TIC : Truncated Ideal Contour. TOC : Thrust Optimized Contour. TOP : Thrust Optimized Parabolic.

URANS : Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes. URANS : Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes. WALE : Wall-Adapting Local Eddy-viscosity.

WENO : Weighted Essentially Non-Oscillatory. CNES : Centre National d’Etudes Spatiales.

CORIA : COmplexe de Recherche Interprofessionnel en Aérothermochimie. DLR : Centre de la recherche aérospatiale allemand.

LEA : Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques, aujourd’hui Pprime. ONERA : Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales.

Ces travaux, initiés par le CNES (Centre National d’Etudes Spatiales) dans le cadre du programme de recherche ATAC (Aérodynamique Tuyères et Arrières-Corps), sont principalement consacrés au développement et à la validation de modèles numériques et physiques, pour la prédiction des charges latérales dans les moteurs-fusées. En effet, les systèmes propulsifs mettent en jeu des phénomènes physiques très complexes : mélange turbulent, compressibilité forte (interaction choc/turbulence, couplage de modes vorticité/entropie/acoustique), structures cohérentes et organisations tourbillonnaires dans le cas tridimensionnel, décollements massifs et instabilités à grande échelle. L’ana-lyse de ces phénomènes nécessite le recourt à des modélisations de plus en plus fines basées sur des simulations numériques avancées. Pour faire face au coût prohibitif des simulations directes (ou simulations LES résolues) des couches limites, un nouveau modèle de paroi a été développé, en se basant sur les propriétés d’auto similarité des couches limites compressibles en tuyères supersoniques, et en utilisant des lois de renormalisation dérivées à partir d’une base de données tabulée. Ce modèle permet de prendre en compte la dynamique de l’écoulement tout en réduisant considérablement le nombre de points de calcul et le pas de temps requis pour les simulations LES. Les résultats de calcul mettent en évidence de nombreuses interactions complexes au sein de l’écoulement. En particulier, les interactions amont/aval (supersonique/subsonique), influençant fortement le décollement et la structure de chocs, à l’origine de l’apparition de pics énergétiques associés à des perturbations acoustiques conduisent à l’apparition, par rétroaction, de phénomènes d’instabilités convectives, couplées à des modes globaux dissymétriques en dynamique absolue. Ces phénomènes auto-entretenus sont synonymes d’efforts latéraux et sont représentatifs des expériences menées en laboratoire et sur bancs d’essai moteurs-fusées. En terme d’optimisation des calculs massivement parallèles, une méthode originale, appelée « Drop-Procs », a été développée dans le cadre des frontières immergées. Cette méthode, adaptée aux architectures de calculs intensifs Tier-0, permet une réduction notable du temps CPU (Central Processing Unit), allant jusqu’à 50%, et rendant ainsi ce type de simulations plus accessible à l’échelle industrielle.

This work, initiated by the CNES (Centre National d’Etudes Spatiales) in the ATAC research program (Aérodynamique Tuyères et Arrières-Corps), is devoted to the develop-ment and the validation of numerical and physical models for the prediction of side-loads in rocket engines. Indeed, propulsion systems involve complex physical phenomena : turbulent mixing, high compressibility (interaction shock / turbulence, coupling modes vorticity / entropy / acoustic), coherent structure, three-dimensional vortex organiza-tions, massive detachment and large scale instabilities. The analysis of these phenomena requires the uses of advanced numerical simulations. To deal with the high cost of large-eddy simulations boundary layers, a new wall model, based on renormalization laws and a database, was developed. This model allows to take into account the dynamics of the flow while significantly reducing the number of calculation points and the time step required for LES simulations. Results show many complex interactions within the flow. In particular, the upstream / downstream interactions (supersonic / subsonic), strongly influence the separation and the shock structure, causing the occurrence of energy peaks associated with acoustic disturbances and leading to the appearance of convective instability, coupled with global asymmetric modes. These self-sustained phenomena are synonymous of side-loads and are representative of laboratory experiments and rocket engine test benches. In terms of optimization of massively parallel computing, a new method, called "Drop-Procs", was developed as part of the immersed boundaries. This method is suitable for compute-intensive architectures Tier-0 and allows a significant reduction in CPU time (Central Processing Unit) consumption, up to 50%, making this type of simulation accessible for industrials.

Mots-clés : Ecoulement supersonique décollés, tuyères propulsives, simulation des grandes échelles, modèle de paroi, calcul massivement parallèle, méthode des frontières immer-gées, Drop-Procs.

Les vols spatiaux représentent l’une des plus ambitieuses aventures technologiques du vingtième siècle. Ils constituent aujourd’hui un outil vital au développement des sociétés modernes qui requièrent un accès à la communication de plus en plus rapide et de manière abondante. Ces communications ne sont possibles que grâce aux développements de nouveaux satellites plus perfectionnés. Cependant, cette augmentation exponentielle de la demande se traduit aussi, malgré les impressionnants développements technolo-giques en matière d’électronique, de matériaux et de traitement d’information, par une augmentation de la masse des satellites. Ainsi, afin de répondre à ces besoins, tout en faisant face à une concurrence devenue mondiale, les professionnels de l’espace doivent continuellement optimiser les coûts de lancement, augmenter la charge utile des lanceurs, tout en respectant des normes de fiabilité et de sécurité de plus en plus draconiennes.

Les domaines techniques d’amélioration et d’optimisation dans le secteur aérospatial sont nombreux et variés. Ils font intervenir de nombreuses disciplines scientifiques, parfois étroitement liées. Ainsi, pour répondre à l’ensemble des problématiques que cette aventure soulève, plusieurs groupes de travail, incluant des industriels et des chercheurs, se sont développés au cours des dernières années. En particulier, la mise en place de technologies adaptées aux conditions de vol optimales caractérisées par un facteur de répétabilité accru, requiert une compréhension approfondie de la physique et des mécanismes qui régissent les systèmes mécaniques et énergétiques. En particulier, le système propulsif et l’aérodynamique des propulseurs représentent l’un des champs d’étude. C’est ainsi que le programme ATAC (Aérodynamique des Tuyères et Arrières-Corps) mis en place il y a dix ans par le Centre National d’Etudes Spatiales, vise à améliorer l’ensemble propulseur par l’étude de la dynamique de l’écoulement dans les tuyères supersoniques afin de proposer des solutions adaptées aux contraintes actuelles et futures. Pour cela, le pôle ATAC regroupe à la fois des industriels et des laboratoires de recherche afin que les travaux académiques puissent être concrétisés en solutions pratiques.

FIGURE 1 – Fusée Ariane V au décollage.

Le transport spatial est loin d’être l’unique avancée technologique réalisée au cours de ces dernières années. En effet, en parallèle des domaines de la mécanique et de l’élec-tronique, une nouvelle discipline s’est rapidement développée : le numérique et le calcul scientifique. Cette nouvelle technologie, en constante évolution, a profondément modifié le paysage de la recherche en fournissant une alternative viable aux tests expérimentaux grâce aux simulations numériques haute résolution. Cette approche permet en effet d’ac-quérir de grandes connaissances dans de nombreux domaines scientifiques pour des coûts nettement plus faibles. De plus, elle permet de s’attaquer à des problèmes non encore résolus.

En mécanique des fluides numérique, l’émergence des machines parallèles s’est ac-compagnée d’un développement rapide des codes de calcul faisant rapidement progresser les simulations RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) vers des simulations URANS, puis progressivement vers des simulations DES (Detached-Eddy Simulation). Aujourd’hui, les simulations LES (Large-Eddy Simulation) et DNS (Direct Numerical Simulation) émergent

comme des alternatives intéressantes pour la recherche et le développement. Cependant, ce type de simulations reste peu répandu dans le domaine industriel à cause de la complexité de la mise en œuvre des calculs et des coûts CPU relativement élevés.

Dans le cadre de cette thèse, l’étude se concentre sur le développement d’outils numériques pour l’analyse des écoulements décollés dans les tuyères supersoniques, et plus particulièrement dans les tuyères expérimentales à échelle réduite. Le but est de développer une méthodologie fine, éventuellement transportable à l’industrie, pour la prédiction des charges latérales dans les moteurs-fusées. Ainsi, le mémoire est organisé comme suit :

Le premier chapitre relate un état de l’art sur l’aérodynamique des tuyères super-soniques et les charges latérales associées. Une attention particulière est portée aux différentes structures de l’écoulement (chocs, décollement, jet supersonique, couche de mélange, etc) et aux mécanismes physiques à l’origine des efforts latéraux.

Le second chapitre présente les équations mathématiques et les méthodes numériques utilisées. La modélisation de sous-maille est présentée au même titre que les modèles de paroi LES qui revêtent un intérêt particulier pour les écoulements à grand nombre de Rey-nolds. Enfin, les différents schémas numériques et les conditions aux limites sont présentés. Dans le troisième chapitre, la méthode des frontières immergées (IBM) est présentée. Afin de modéliser les géométries complexes, la méthode de tracé de rayons, couplée à la méthode IBM, est présentée. De plus, pour disposer d’un outil performant, une nouvelle méthode d’abandon de processeurs, appelée “Drop-procs”, est développée.

Le quatrième chapitre concerne la modélisation de l’écoulement en proche paroi. Un nouveau modèle de paroi auto-similaire, comparable aux modèles bi-couche, basé sur l’exploitation d’une base de données est mis au point. Les résultats de validation du modèle développé sont présentés. Ce chapitre permet également de mettre en avant les performances de l’approche LES pour l’étude de la dynamique des écoulements décollés dans les tuyères supersoniques. Les résultats obtenus mettent en évidence le caractère oscillatoire et fortement instationnaire du jet de décollement et l’importance des conditions avales sur le décollement. Les interactions entre le jet supersonique, le tourbillon de lèvre et la bulle de recirculation présentent un intérêt particulier dans les tuyères décollées à cause de leurs fréquences caractéristiques relativement basses.

Le dernier chapitre contient les conclusions et les perspectives qui viennent clore cette étude.

Contextes scientifique et technologique

L’objectif de ce chapitre est d’exposer les connaissances actuelles sur les charges latérales dans les tuyères de moteurs-fusées. Ce chapitre présente les différents aspects des écoulements dans les tuyères décollées et les expériences mettant en évidence les charges latérales. Partant de ces observations, les différents phénomènes à l’origine de ces charges sont exposés. Un intérêt particulier est porté sur l’étude des différents paramètres physiques pouvant influencer les structures à grandes échelles de l’écoulement et les phénomènes oscillatoires à basse fréquence. Les calculs numériques effectués ces dernières années seront également présentés.

1.1

Quelques élements de propulsion

Tout d’abord, il convient de rappeler quelques éléments de base concernant les tuyères propulsives, leur mode de fonctionnement.

Les engins spatiaux (avions, fusées ou missiles) se propulsent en éjectant une masse d’ergols (O2/H2 pour Ariane V) à très haute vitesse afin de créer une force de poussée. Ces ergols sont d’abord brûlés dans une chambre de combustion avant d’être évacués par une tuyère d’échappement.

Cette dernière, située dans la continuité de la chambre propulsive, représente l’élément central d’un moteur. La tuyère est formée de deux parties, un convergent et un divergent, séparés par un col. Dans le convergent, les gaz sont rapidement accélérés pour atteindre l’état sonique au col (M = 1). Ils sont ensuite détendus dans le divergent et continuent à

FIGURE 1.1 – Tuyère Vulcain 2 équipant la fusée Ariane V.

être accélérés jusqu’à atteindre un nombre de Mach suffisamment élevé (M > 1), imposé par la géométrie de la tuyère.

En d’autres termes, la tuyère exploite l’énergie chimique des ergols brûlés dans la chambre de combustion pour générer une poussée importante. Idéalement, une tuyère idéale doit pouvoir détendre l’écoulement depuis le col de manière isentropique en produisant un écoulement uniforme en sortie. On parle d’un écoulement adapté, caractérisé par une poussée maximale. Le nombre de Mach de sortie des gaz, Me, dépend du rapport d’expansionε et des capacité calorifiques des far, γ. Ces paramètres sont liés par la relation isentropique suivante : ε = Ae Ac = 1 Me s 2 γ + 1  1 + γ − 1 2 M 2 e γ+1 γ−1 (1.1) pe = pch  1 + γ − 1 2 M 2 e  γ 1−γ (1.2)

FIGURE 1.2 – Principe d’une tuyère.

avecpch la pression dans la chambre de combustion. La poussée produite par la tuyère peut être exprimée à l’aide des grandeurs caractéristiques de la tuyère suivant :

F = ( ˙mve+ peAe_{) − p}aAe = CF pchAc = ˙mIsp (1.3)

oùm désigne le débit massique, CF˙ le coefficient de poussée et Isp l’impulsion spécifique (s). veetpe sont les valeurs moyennes de la vitesse et de la pression dans le plan de sortie du divergent.

Le coefficient CF correspond à l’augmentation de la poussée dans la tuyère par rapport à la poussée que celle-ci aurait au niveau du col (pas de divergent). L’impulsion spécifique, Isp, quant à elle, est représentative du rendement de la tuyère, c’est-à-dire le taux de conversion du débit massique des gaz brûlés en une force de poussée. A l’aide des

relations isentropiques, l’impulsion spécifique idéale peut être définie comme : Isp,ideal = F ˙ m = ve+ Ae pe_{− p}a ˙ m = v u u t2γrTch γ − 1 1 −  pe pch γ−1 γ ! + s r Tch γ  2 γ + 1 γ+1 γ−1_{pe− p} a pch ε (1.4)

avecTchla température dans la chambre de combustion etR la constante des gaz parfaits. Le rendement maximal est obtenu lorsque la pression de sortie est égale à la pression ambiante. Cela équivaut à dire que si la pression ambiante évolue au cours du temps, comme c’est le cas lors du vol d’un lanceur, il est nécessaire de disposer d’un facteur de détente variable. Cependant, les contraintes thermomécaniques que subissent les tuyères et la complexité de réalisation font que les choix technologiques se limitent à des tuyères à rapport de section constant dans le cadre de la propulsion spatiale. Ce choix technologique offre un bon compromis entre performance et conception.

1.1.1

Principaux types de tuyères

Bien que le principe de fonctionnement des tuyères convergente-divergente soit le même pour toutes les applications supersoniques, il existe, tout de même, une grande variété d’écoulements possibles suivant les différentes formes de tuyères. La géométrie de la tuyère joue un rôle important, à la fois sur le plan de la conception (rapport performance/encombrement) que sur le pilotage de la position du décollement en régime de forte sur-détente. Ainsi, trois principales familles de tuyères de lanceurs peuvent être distinguées :

1. Les tuyères coniques qui furent très largement utilisées lors de la conception des premiers moteurs-fusées de par leur simplicité et leur facilité de construction. Généralement, ces tuyères présentent un demi-angle de divergence compris ente 15◦ et 25◦

. Ces tuyères ne sont pas exploitées pour la propulsion des étages principaux des lanceurs pour des raisons d’encombrement et de manque de performances.

FIGURE 1.3 – Principaux types de tuyères conventionnelles (coniques, TIC, TOC et TOP) et

non-conventionnelles (aerospike, double-galbe), extrait de [148].

de sérieux avantages sur les précédentes en terme de taille et de performance, bien que, au même titre que ces dernières, elles ne soient réellement efficaces que pour une altitude donnée. Ces tuyères peuvent être divisées en trois sous-familles :

– Les tuyères idéales tronquées ou Truncated Ideal Contour (TIC), dont le profil est défini grâce à la méthode des caractéristiques [60, 113]. Ces tuyères lorsqu’elles ne sont pas tronquées, sont caractérisées par un profil “smooth” générant un écoulement uniforme en sortie. Cependant, comme la partie terminale du contour présente un angle de divergence faible et ne participe que très modestement à la poussée, le fait de les tronquer présente un gain d’espace non-négligeable pour une perte de rendement faible due à la non-uniformité de l’écoulement en sortie. Ahlberg [4] proposa une méthode d’optimisation, basée sur les lignes caractéristiques, qui permet de fournir un contour présentant une performance maximale pour un rapport de section donné.

– Les tuyères optimisées en poussée, ou Thrust Optimized Contour (TOC). Une pre-mière méthode pour modéliser des géométries de tuyères optimisées en poussée respectant des contraintes de longueur et de pression ambiante fut proposée par Guderley et Hantsch. Cette méthode ne fut cependant pas réellement adoptée jusqu’à ce que Rao [123] et Shmyglevsky [132] la simplifient. C’est pourquoi, ce type de tuyère est aussi fréquemment appelé tuyère de Rao à l’Ouest et tuyère de Shmyglevsky en Russie. Une tuyère TOC est 75 à 85% plus allongée qu’une tuyère conique (de 15◦

) ayant le même rapport de section. Ces tuyères sont caractérisées par la présence d’un choc interne qui prend naissance au niveau du col, suite au changement de courbure entre le col et le divergent.

– Les tuyères optimisées paraboliques ou Thrust Optimized Parabolic (TOP) furent développées car la définition du profil des tuyères TOC reste complexe malgré les simplifications apportées par Rao-Shmyglevsky. C’est pourquoi Rao [124] a montré que le profil des tuyères TOC pouvait être approximé par une parabole sans perte significative de performance. Cette méthode est fréquemment employée de nos jours pour la conception des tuyères de propulseurs. De même que dans les tuyères TOC, les tuyères TOP sont caractérisées par la présence d’un choc interne.

3. Les tuyères non-conventionnelles, telles que les tuyères annulaires de type aerospike ou les tuyères à double-galbe. Ce type de tuyères existent plus à titre expérimental et ne feront donc pas l’objet d’une étude approfondie. On trouvera plus d’informations sur ces tuyères dans les références [38,54] et plus globalement sur les tuyères, dans l’œuvre de Sutton et Biblarz [148].

1.1.2

Fonctionnement des tuyères propulsives

Lorsqu’une tuyère est amorcée (état sonique au col), le régime d’écoulement ne dépend que du rapport entre la pression ambiante pa (supposée variable) et la pression statique en sortie pe,vac (où vac fait référence au vide) que celle-ci aurait dans le vide. Dans la pratique, on distingue trois régimes de fonctionnement de tuyère qui en fonction du rapport de pression. Ainsi :

– Sipa/pe = 1, on parle d’un régime adapté.

(a) (b)

FIGURE 1.4 – Tuyère plane : (a) en régime de sous-détente (pa/pe,vac = 0.66) caractérisée

par la présence de faisceau de détente à la lèvre de sortie du divergent. (b) en régime de sur-détente avec une réflexion de Mach(pa/pe,vac > 2.5). Photos extraites de [93] .

régime de sous-détente, avec un faisceau en sortie du divergent.

Dans les deux cas, l’écoulement reste attaché à la paroi, et le profil de pression pa-riétale ne dépend que de la géométrie de la tuyère et des conditions amont.

– Sipa/pe > 1, les gaz sont recomprimés à la sortie de la tuyère. On parle d’un régime sur-détendu, souvent caractérisé par l’apparition d’une onde de choc à la lèvre de sortie du divergent. La couche limite doit faire face à un gradient de pression adverse qui conduit à son épaississement. Celle-ci reste, cependant, attachée à la paroi jusqu’à la lèvre de sortie de la tuyère. Différents types de structures de choc, décrits plus en détails par la suite, peuvent être rencontrés dans ce cas.

– Si le rapport de pression continue à augmenter, c’est-à-dire si pa/pe >> 1, on parle d’un régime fortement sur-détendu. Il existe une valeur seuil de ce rapport pour laquelle la couche limite ne peut plus faire face au gradient de pression adverse et fini par décoller. La prédiction de la position du décollement en fonction du rapport de pression est une problématique ancienne considérée comme une des raisons probables de la génération des charges latérales. Les critères de décollement (présentés en page30) ont pour objectif de prédire la position du décollement.

En fonction de l’évolution du profil de tuyère et des conditions de l’écoulement, plusieurs structures de choc peuvent apparaître dans le jet supersonique :

1. La réflexion régulière caractérisée par l’impact direct du choc incident, I, sur l’axe de la tuyère, générant un choc oblique réfléchi, IR (voir Fig.1.5).

(a) (b) (c)

FIGURE 1.5 – Tuyères illustrant différentes structures de choc (en haut) photos de bancs

d’essais moteurs NASA et SNECMA, (en bas) représentation schématique de l’écoulement au sein des tuyères décollées avec IS : choc interne, I : choc incident, D : point de décolle-ment, IR : choc réfléchi, TP : point triple, SL : ligne de glissedécolle-ment, V : recirculation, J : jet supersonique.

FIGURE 1.6 – Schéma des différentes réflexions de Mach dans une tuyère décollée.

Mach. De nature forte, ce choc, souvent perpendiculaire à l’axe du jet, peut présenter un profil légèrement concave ou convexe selon la géométrie de la tuyère ou les conditions locales de l’écoulement. Au point d’interaction entre le choc incident et le disque de Mach se forment un choc réfléchi, IR, et une ligne de glissement, SL, qui sépare la zone subsonique en aval du disque de Mach du jet supersonique. L’intersection de ces trois discontinuités forme un point triple, TP. La réflexion de Mach peut être directe ou inverse. On parle d’une réflexion directe lorsque l’angle entre la ligne de glissement, issue du point triple et l’écoulement, est positif et d’une réflexion inverse dans le cas contraire (voir Fig.1.6).

Les principaux paramètres qui influencent la topologie des structures de choc sont la géométrie de la tuyère et le taux de détente. Les études théoriques menées par Ben-Dor [12, 35] sur des phénomènes d’interférences de chocs ont montré qu’il existe un phéno-mène d’hystérésis lors de la transition entre ces deux types de réflexion (directe et inverse).

Dans les tuyères supersoniques, l’interaction du choc avec le disque de Mach peut conduire à une structure de choc “en chapeau” ou plus communément appelée “cap-shock

pattern” [55] (voir Fig. 1.5(c)). Cette structure correspond à l’enchaînement d’une ré-flexion de Mach inverse et d’une réré-flexion régulière, formée par le choc issu du point triple et le choc induit par le décollement de la couche limite. De même, la transition entre une réflexion de Mach et une structure de choc en chapeau est caractérisée par un phénomène d’hystérésis [53].

1.2

Ecoulements dans les tuyères sur-détendues

De nombreuses études ont été réalisées sur les tuyères décollées afin de mieux com-prendre l’influence des différentes paramètres et conditions de fonctionnement sur les propriétés de l’écoulement. Ces études ont commencé dans les années 50 avec les travaux de Summerfield et al. [146], puis ont continué avec les travaux successifs de Chapman et

al. [29], Arens et Spiegler [8], Schmucker [130] et dans les dix dernières années avec, entre autres, les travaux de Frey et Hagemann [56], Nguyen et al. [107], Reijasse [125], etc. En parallèle, les Etats-Unis, la Russie, le Japon et la Chine ont menés de nombreuses études avec, par exemple, les travaux de Smalley et al. [139], Wang [157], Baars et al. [10], Olson et Lele [110] pour les Etats-Unis, de Shmyglevsky [132] et Ivanov et al. [73] pour la Russie, Watannabe et al. [163], et Tomita et al. [152] pour le Japon et enfin ré-cemment, Chen et al. [32] et Xiao et al. [171] pour la Chine. Une étude détaillée des phénomènes de décollement de jet et des charges latérales a été réalisée par Jan Östlund [113]. L’auteur y résume de manière exhaustive les résultats des travaux numériques et expérimentaux obtenus sur des tuyères supersoniques. Deux phénomènes ont été particu-lièrement étudiés. Le premier, est lié à la transition entre décollement libre ou Free Shock

Separation(FSS) et décollement resreint ou Restricted Shock Separation (RSS). Cette tran-sition est à l’origine d’un important pic d’efforts latéraux. Elle a lieu essentiellement dans les tuyères à contour optimisé TOC ou TOP et est caractérisée par un cycle d’hystérésis lors de la montée et de la descente en pression chambre [119]. Le second phénomène est lié au régime du “End-effect” [2,40]. Celui-ci survient lorsque, dans une configuration d’écoulement type RSS (voir page28), la bulle de recirculation piégée par le décollement-recollement atteint la lèvre de sortie. Le jet s’ouvre brusquement sur le milieu ambiant et provoque une augmentation rapide de la pression en aval du choc de décollement. Ce phénomène cyclique se traduit par une remontée importante de la ligne de décollement. Ces deux phénomènes sont, cependant, propres aux géométries de tuyères à contour

opti-I Ecoulement amont, couche limite attachée

II Décollement et apparition d’instabilités convectives de type Kelvin-Helmholtz

III Couche cisaillée et zone de sillage

IV Bulbe de recirculation en zone décollée (proche paroi)

V Tourbillon de lèvre

VI Ecoulement en aval du disque de Mach

TABLE 1.1 – Caractérisation zonale de l’écoulement dans une tuyère décollée.

I Ecoulement amont, couche limite attachée

II Décollement

III Couche cisaillée et zone de sillage

IV Bulbe de recirculation en aval du disque de Mach (similaire au VI du FSS)

V Tourbillon pariétal piégé dans la zone décollée TABLE 1.2 – Caractérisation zonale d’un décollement restreint.

misé. Pourtant, les différentes expériences réalisées ont montré qu’il existe également des oscillations importantes de la ligne de décollement en configuration de décollement libre et ce, quelle que soit la géométrie de la tuyère.

D’un point de vue pratique, les phénomènes d’oscillations basses fréquences peuvent se révéler dangereux pour l’intégrité du moteur surtout s’ils coïncident avec les modes propres de la structure mécanique. Si l’origine de ces phénomènes demeure encore mal appréhendée dans le cas des écoulements décollés, la littérature offre, tout de même, deux hypothèses différentes : (i) Les oscillations basses fréquences sont la conséquence de perturbations venant de l’amont [42, 14], (ii) elles résultent de la bulle de recirculation en aval [44] couplée au choc de décollement. Ce dernier peut être assimilé à un système masse ressort avec un filtre passe-bas [131]. Par la suite, nous nous intéressons à la deuxième hypothèse qui retient l’attention de la communauté scientifique.

Le décollement de jet dans une tuyère parabolique peut être caractérisé par plusieurs phénomènes locaux comme indiqué dans la Fig. 1.7 et résumés dans le tableau 1.1. Chaque phénomène est caractérisé par une dynamique propre. De même, dans le cas d’un décollement restreint, l’écoulement peut être décomposé en cinq zones illustrées dans la figure1.8et renseignées dans le tableau 1.2.

Tout d’abord, les écoulements décollés sont caractérisés par une forte dynamique insta-tionnaire dominée par des interactions onde de choc/couche limite. En aval du disque de

FIGURE 1.7 – Schéma de la topologie moyenne d’un écoulement de type FSS.

Mach (voir Fig.1.7), le choc réfléchi interagit avec la couche de mélange décollée et forme une zone cisaillée à la confluence entre le jet supersonique et la zone de recirculation. Ces deux régions sont le siège de fortes instabilités convectives. En configuration RSS (voir Fig.1.8), le jet supersonique recolle à la paroi après s’être détaché, et forme une bulle de recirculation derrière le disque de Mach.

1.2.1

Couche limite amont et décollement

Couche limite amont (I) : Lorsqu’une tuyère est amorcée, une couche limite se forme

le long du divergent. Dans une tuyère fortement sur-détendue, la couche limite reste attachée à la paroi jusqu’à la pression minimale correspondant à la région de décollement. Cette couche limite est turbulente et est caractérisée par des structures tridimensionnelles réparties sur un spectre continu de large gamme d’échelles macroscopiques. Dans le cadre des simulations DNS, Pirozzoli [122] a réalisé une étude sur l’interaction onde de choc / couche limite supersonique à M∞ = 1.3. L’analyse réalisée par l’auteur, sur le spectre de la pression pariétale en amont de l’interaction pour trois abscisses différentes, montre que celui-ci est caractérisée par une plage de fréquences large bande et par une absence de pics basses fréquences. Des résultats similaires sont également reportés dans les travaux de Glorefelt [61] qui coïncident avec les prédictions du modèle semi-empirique de Goody [62]. Le décollement induit par le gradient de pression adverse entraîne la formation d’un faible choc de recompression caractérisé par un écoulement toujours supersonique en aval de celui-ci. Cependant, la couche limite attachée peut participer à la dynamique globale du choc de recompression en cas de remontée d’information. En effet, bien que l’écoulement amont soit globalement supersonique empêchant la remontée de perturbations, une partie de la couche limite demeure subsonique et permet en théorie une petite remontée d’informations. Cependant, compte tenu de la finesse du canal subsonique (faible pourcentage de la couche limite), la perturbation ne peut remonter trop loin dans l’écoulement. Ainsi, la quantité d’énergie transmise via ce canal est rela-tivement faible pour supposer que son influence sur le mouvement du choc est négligeable.

Décollement (II) : D’après Simpson [135], deux facteurs conditionnent le décollement d’une couche limite. Le premier est lié à l’existence d’une contre-pression qui, en s’opposant au développement de l’écoulement, modifie le profil de vitesse de la couche limite jusqu’à l’inversion de l’écoulement dans la sous-couche visqueuse (cas d’une interaction forte choc /couche limite). Le second facteur est lié à la géométrie de la tuyère et donc aux effets de courbure et/ou aux changements de section. Le cas extrême étant, par exemple, celui

FIGURE 1.9 – Schématisation d’un décollement libre de couche limite. Image extraite de [135].

d’une marche dont la rupture de géométrie soudaine conduit au décollement de la couche limite. Dans son étude, Simpson propose une définition différente du phénomène de décol-lement. En effet, La plupart des travaux réalisés visent à déterminer la position moyenne du point de décollement, D, sans tenir compte des zones de compression ou de détente en amont et en aval du décollement. En effet, la longueur de la région comprise ente les points ID (Incipient Detachment), ITD (Intermittent Transitory Detachment), TD (Transitory

Detachment) et D (Detachment) dépend fortement de l’état de l’écoulement et peut être caractérisée par la fraction de tempsγpu requise à l’écoulement pour être convecté en aval (voir Fig.1.9) :

– ID pourγpu= 0.99 – ITD pour γpu= 0.8 – TDγpu = 0.5

– D quand le frottement pariétalτw est nul (en moyenne).

Cette zone de transition, détaillée par Simpson, a fait l’objet de la théorie de l’interac-tion libre de Chapman et correspond à la zone d’interacl’interac-tion libre, i.e. zone comprise entre l’abscisse de pression minimale et l’abscisse de décollement effectif.

Concept d’interaction libre : Introduit par Chapman [29] dans la théorie relative à l’in-teraction onde de choc/couche limite en écoulement bidimensionnel, ce concept repose sur l’idée que l’augmentation de pression lors d’un décollement de couche limite est liée

essentiellement à l’épaississement de la couche limite, indépendamment des conditions aval ayant provoqué le décollement. Cet écoulement est défini au pied de l’interaction 0 (point de pression minimale) d’abscisse x0 par une pression statique p0, un nombre de Mach extérieur M0, un coefficient de frottement Cf 0 et une épaisseur de déplacement δ10. Soit θ l’angle de l’écoulement par rapport à la paroi, la déflexion de l’écoulement

∆θ = θ(x) − θ(x0), est liée à l’augmentation de l’épaisseur de déplacement : ∆θ = dδ10

dx (1.5)

Soitx∗

l’abscisse adimensionnée,x∗

= (x − x0)/li, avecli représentant la distance entre le point de pression minimale0 et le point de décollement D. La déflexion de l’écoulement peut être réécrite de la manière suivante :

θ(x∗ ) − θ(0) =  δ10 l  dδ1 δ₁₀  dx∗ (1.6)

En faisant l’hypothèse d’une faible augmentation de l’épaisseur de couche limite lors de l’interaction et en utilisant la loi linéarisée de Prandtl-Meyer pour exprimer la déflexion ∆θ, Chapman aboutit à l’équation :

p − p0 q0 = 2 p M2 0 − 1  δ10 l  dδ1 δ₁₀  dx∗ (1.7)

avecq0 la pression dynamique définie comme γ₂p0M2 0.

Si on suppose qu’il existe une loi de similitude de la structure de l’écoulement lors de l’interaction libre, l’évolution de l’épaisseur de déplacement en fonction de l’abscisse peut être considérée comme une loi universelle :

p − p0 q0 = 2 p M2 0 − 1  δ10 l  f1(x∗ ) (1.8)

En utilisant l’équation de quantité de mouvement selon la direction de l’écoulement définie par : ρu∂u ∂x + ρv ∂u ∂y = − dp dx + ∂τ ∂y (1.9)

avec à la paroi,u = v = 0, on obtient : dp dx =  ∂τ ∂y  y=0 (1.10)

Si on intègre cette équation entrex0 etx on obtient : p − p0 = Z x x0  ∂τ ∂y  y=0 dx (1.11)

En adimensionnant les abscisses et en introduisant la pression dynamique,q0, et le frotte-ment pariétal,τ0, en 0 on obtient :

p − p0 q0 = l δ10 Cf0 Z x∗ 0 ∂_ττ₀ ∂_δy 10  dx∗ (1.12)

Une seconde hypothèse de similitude permet de supposer que le terme Z x∗ 0 ∂τ τ0  ∂_δy 10  dx∗ ne dépend que dex∗

et obéit à une loi de similitude f2(x∗

), d’où : p − p0 q0 = l δ10 Cf0f2(x ∗ ) (1.13)

A partir de ces équations, on a : p − p0 q0 = p 2Cf0(M 2 0 − 1) −1 4F (x∗) (1.14)

avecF =√f1f2 une fonction supposée universelle. Une courbe empirique relative à cette fonction, dans le cas d’un écoulement turbulent uniforme, a été proposée par Erdos et Pallonne [49]. Cette analyse a été généralisée aux écoulements bidimensionnels ou de révolution [27].F (x∗ ) devient alors : F (x∗ ) = s p − p0 q0 ν(x) − ν(x) Cf0 (1.15) avec ν la fonction de Prandtl-Meyer. La fonction F (x∗

) présente une bonne corrélation avec les résultats expérimentaux obtenus à partir des tuyères profilées en régime de sur-détente pour des nombres de MachM0 compris entre 2.06 et 5.04.

Dans le cas d’un décollement libre, la couche limite supersonique décolle pour un certain rapport de pression pa/pw, où pa fait référence à la pression ambiante et pw à la pression paroi. Un écoulement de retour se forme en aval du point de décollement avec un entraînement de fluide de l’extérieur vers l’intérieur via la couche de mélange. L’évolution de la pression pariétale pw le long du divergent de la tuyère peut être considérée en

FIGURE 1.10 – Schéma d’un décollement libre (FSS) d’après Frey et Hagemann [53]. Les

indices0, s et p, font respectivement référence au point de pression minimale, au point de décollement et aux conditions plateau.

FIGURE 1.11 – Schéma d’un décollement restreint (RSS) d’après Frey et Hagemann [53].

L’indicer fait référence au point de recollement.

partie régie par la physique des interactions onde de choc / couche limite. La première déviation de la pression pariétale, par rapport à son évolution dans le vide pw,vac, est appelée “pression de décollement naissant”. Elle est notéep0 et est associée à une abscisse x0. La pression pariétale augmente ensuite rapidement à travers le choc jusqu’à atteindre une “pression plateau” pp généralement plus faible que la pression ambiante pa. Il faut noter que le décollement effectif a lieu plus en amont, en xsep, un peu avant le plateau. La distance comprise entre les abscisses x0 et xsep est appelée distance d’interaction libre et représente une zone de transition entre la couche limite attachée et la zone de recirculation. L’augmentation de pression entrepp etpa, due à la zone de recirculation, est beaucoup moins marquée.

Il en ressort que le décollement libre fait intervenir deux mécanismes bien distincts : Le premier est associé au décollement du jet à la paroi et est régi par le saut de pression p0/pa, comme Simpson l’a détaillé dans ses études [135]. Le second est lié à l’écoulement ambiant aspiré dans la zone de recirculation et contrôlé par l’évolution du rapportpp/pa.

Un second type de décollement fut observé dans les années 70 par Nave et Coffey [106] durant des tests sur des maquettes du moteur américain J-2S alimenté en gaz froid.

Il s’agit du décollement RSS. L’existence de ce type de décollement fut confirmé en 1994 par les simulations numériques de Chen et al [32]. Il est caractérisé par la présence d’une ou plusieurs petites zones de recirculation pariétales piégées entre le jet supersonique et la paroi. Par la suite, il fut rencontré sur d’autres maquettes à échelle réduite, mais aussi sur des moteurs réels. Bien que les chercheurs imputaient ce phénomène aux effets combinés de la réduction d’échelle et aux gaz froids, il s’avère que cette configuration est principalement influencée par le profil de la tuyère et non par la taille de celle-ci. En effet, ce type de topologie n’est présente que dans le cas des tuyères à contour optimisé. Or, ces tuyères sont caractérisées par une structure de choc en chapeau au dela d’un certain rapport de pression. Ainsi, Frey et Hagemann ont proposé une explication pour le décollement restreint à partir d’observations expérimentales et numériques. Selon leurs études, la structure de choc en chapeau modifie l’équilibre des forces dans l’écoulement, favorisant ainsi l’ouverture de la bulle de recirculation centrale, ce qui conduit au recollement du jet supersonique sur la paroi. Ceci provoque une évolution irrégulière de la pression pariétale en aval du décollement, pouvant dépasser par endroit la pression ambiante. Ce phénomène est accompagné d’une formation d’un train d’ondes de compression et de détente le long du jet supersonique pariétal.

La transition entre les régimes de décollements libre et restreint est caractérisée par un phénomène d’hystérésis illustré, entre autres, dans les travaux numériques de Pillinski [119] et Martelli [97]. Ce phénomène s’explique par le fait que la pression plateaupp dans la bulle de recirculation, piégée dans la configuration RSS, est inférieure à la pression plateau de la bulle de recirculation de la configuration FSS. Ainsi, les deux configurations présentent des rapports de pression,pc/pp, différents qui se traduisent par des abscisses de décollement différentes, indépendamment des modifications apportées par le changement topologique. La transition entre les régimes FSS et RSS se fait pour un rapport de pression plus élevé lors de l’allumage que lors de l’arrêt du moteur.

D’autres études numériques, relatives aux interactions onde de choc/couche limite ou à des couches limites soumises à des gradients de pression adverses, ont été réalisées ces dernières années. On peut citer, en particulier, les travaux numériques de Bernardini [19] qui met en évidence l’influence du gradient de pression adverse et l’interaction choc/couche limite sur la pression pariétale. L’auteur note, en particulier, une augmen-tation globale du spectre de la pression pariétale, caractérisée par une amplification des phénomènes basses fréquences, et une diminution des hautes fréquences, principalement dans la zone supersonique. Plus en aval, dans la zone de décollement, des similitudes

basées sur les propriétés locales de la couche limite des spectres de la pression pariétale permettent de retrouver une pente en -7/3 caractéristique de la cascade énergétique. Cette similitude est une conséquence de la réduction du frottement moyen sous l’influence du gradient de pression adverse qui conduit à une diminution de la turbulence.

Critères empiriques de décollement : Bien que la position du décollement soit

instationnaire et parfois dissymétrique, il a été mis en évidence, par de nombreuses études numériques et expérimentales, que ce phénomène fluctue autour d’une valeur moyenne stable au cours du temps. De plus, cette position semble être fortement liée au rapport de pression puisque l’abscisse du décollement augmente celui-ci. Ainsi, plusieurs critères semi-empiriques de prédiction de la position moyenne de la ligne de décollement ont été développés par le passé. Nous en citons quelques uns :

– Critère de Chapman (1962) [29] : A partir de la théorie de l’interaction libre,

Chapman a déduit le critère de décollement suivant : pp p0 = 1 +γM 2 0 2 p 2Cf0(M 2 0 − 1) −1 4F (1.16)

On peut noter que ce critère ne donne pas d’information sur la position du point de décollement (xs), mais sur la position de la pression minimale (x0) située juste en amont. Le critère d’interaction libre montre que l’on peut relier le saut de pression, à travers le choc de décollement, au nombre de Mach amont M0 et au coefficient de frottement Cf 0 de la couche limite au début de l’intéraction (point de pression minimale). Cependant, comme la variation du Cf 0 en fonction du nombre de Reynolds est très faible (Cf varie proportionnellement à Re1.5 pour un écoulement turbulent sur plaque plane), d’autres critères basés uniquement sur le nombre de Mach ont été proposés.

– Critère de Summerfield (1940) [146] : Ce critère est tiré des expériences effectuées

sur des tuyères coniques sur-détendues par Foster et al. [51] dans une gamme de rapports de pressionpch/pa situés entre 15 et 20. Il s’exprime comme :

p0

pa = 0.4 (1.17)

– Critère de Schilling (1962) [128] : Ce critère est construit à partir de la méthode de

p0/pacommunément employé. Schilling à déduit ces critères à partir d’essais sur des tuyères profilées coniques tronquées, alimentées pour 90% d’entre elles en air froid, et pour les autres par des gaz de combustion d’ergols de typeO2/H2.

p0 pa = 0.583  pch pa −0.195

, pour les tuyères profilées tronquées (1.18) p0 pa = 0.541  pch pa −0.136

, pour les tuyères coniques (1.19) – Critère de Kalt et Bendall (1965) [76] : Critère très proche du critère de Schilling

déterminé d’après de nombreuses expériences réalisées en air froid et en gaz réels chauds. p0 pa = 2 3  pch pa −1 5 (1.20) – Critère de Schmucker (1976) [129] : Critère obtenu à partir d’essais sur des

moteurs-fusées à propergols liquides. Schmucker considère qu’il est préférable, selon une équation empirique, de faire intervenir le nombre de Mach au point de pression minimaleM0, plutôt que d’utiliser le rapport de pressionpc/pa.

p0

pa = (1.88M0− 1) −_0.64

(1.21) – Critère de Stark [144] : Critère de décollement simple déterminé à partir de

nom-breuses expérimentations et simulations numériques réalisées en gaz chaud ou froid sur des tuyères planes, coniques ou galbées.

p0 pa =

π

3M0 (1.22)

avec_{π ≈ 3.14.}

Ce critère présente une bonne cohérence avec l’ensemble des résultats expérimen-taux et les comparaisons réalisées entre les différents cas tests tendent à montrer que la géométrie de la tuyère et le type de combustible ont peu d’influence sur la position du décollement (voir compilation des résultats sur la Fig.1.12).

Cependant, aucun de ces critères mentionnés ci-dessus ne peut prétendre s’appliquer de façon générale aux cas des tuyères en régime de sur-détente. Une des raisons qui peut expliquer les écarts observés réside dans le fait qu’aucun des critères précédents ne

diffé-FIGURE 1.12 – Compilation des différentes données expérimentales et critères de

rencie les deux mécanismes responsables de l’augmentation de la pression entrep0 etpa. En effet, le décollement libre fait intervenir deux phénomènes distincts :

– Le premier est associé au décollement lui-même et pilote l’évolution du rapportp0/pp. – Le second est associé au fluide recirculant aspiré dans le bulbe de recirculation qui

influence le choc de décollement.

Afin de fournir une meilleure prédiction de la position du décollement, Carrière [28] et Lawrence [86] ont estimé qu’il était préférable de modéliser les deux phénomènes séparé-ment. Le premier peut se faire via le schéma de l’interaction libre de Chapman. Cependant, il n’existe que très peu de modèles permettant de considérer la remontée de pression dans la zone de recirculation. En effet, les expériences montrent que de nombreux paramètres (géométrie de la paroi en aval du point de décollement, longueur du décollement, rap-port de pression, dynamique de l’écoulement, etc) influencent de manière significative l’évolution de la pression dans cette zone. En particulier, les structures à grandes échelles et fortement énergétiques sont caractérisées par des fréquences plutôt faibles (freq (kHz) ≤ 10) et jouent un rôle déterminant dans le développement la dynamique de l’écoulement.

1.2.2

Développement de la couche cisaillée libre

Que ce soit dans le cas d’un décollement libre ou restreint, une bulle de recirculation apparaît dans le divergent de la tuyère pour une large gamme de NPR. L’interface entre cette bulle et le jet supersonique est caractérisée par une couche cisaillée qui découle de la différence de vitesse entre ces deux zones. Cette couche, issue d’un écoulement de révolution (circulaire), peut être assimilée à une couche de mélange plane et est le siège d’instabilités de Kelvin-Helmholtz (KH).

Développement de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz (II et III) : L’instabilité est

caractérisée par une dynamique de mouvement convectif qui se forme lorsque deux fluides se déplacent à des vitesses différentes. L’exemple de visualisation des structures cohérentes le plus connu, et certainement l’un des premiers, est celui de Brown et Roshko [24]. Ces structures présentent un intérêt majeur du fait de leur influence sur de nombreuses propriétés de l’écoulement, tels que le mélange, le bruit, les vibrations, le transfert thermique, etc. Pour les écoulements de couches cisaillées libres (jets, couches de mélange, sillages, etc) l’instabilité principale, à l’origine de la naissance de structures organisées à grande échelle, est l’instabilité de Kelvin-Helmholtz. Dans son étude, Lesieur [91] présente plus en détails cette instabilité qui prend naissance dans les couches de cisaillement. Cette instabilité est causée par l’effet déstabilisateur du cisaillement, lorsque

celui-ci devient prépondérant sur l’effet stabilisant de la stratification. Ceci conduit à une ondulation de l’interface, créant des parties concaves et convexes qui mène à l’amplifica-tion de l’ondulal’amplifica-tion. Finalement, la différence de vitesses des deux fluides provoque un enroulement en spirale.

Ainsi, les différentes études réalisées ont permis de mettre en évidence le caractère bi-dimensionnel des structures tourbillonnaires de type Kelvin-Helmholtz, et plus particu-lièrement deux types de tourbillons existent dans ce type d’écoulement :

– des tourbillons cylindriques bidimensionnels alignés perpendiculairement au sens de l’écoulement : tourbillons dits primaires. Ces tourbillons sont représentatifs de l’or-ganisation à grande échelle de la couche de cisaillement et découlent de la différence de vitesse entre les deux fluides. Le phénomène de production de cette organisation domine tous les autres phénomènes du cycle de la turbulence (diffusion, dissipation ...) et est entretenu par le profil initial de vitesse qui présente une variation d’ampli-tude [170]. Ces structures, représentatives de l’organisation principale de la couche de mélange, sont convectées à une vitesse quasi-constante (uc _{≈ (u}1+u2)/2). La taille et l’espacement entre les structures augmentent lors de l’appariement avec les struc-tures voisines. Ce processus, lié à l’instabilité de Kelvin-Helmholtz, est responsable de l’épaississement des couches de mélange.

– des tourbillons longitudinaux contrarotatifs superposés aux tourbillons principaux qui les relient entre eux : tourbillons dits secondaires. Ces tourbillons furent observés pour la première fois par Konrad et Breidenthal [22]. Ces structures secondaires découlent de l’ondulation des structures primaires. Lasheras & Choi [85] ont montré, dans leur étude, que l’origine de ces tourbillons secondaires se trouve entre les cœurs des tourbillons primaires. Cette région, appelée “braies” présente une topologie en “point-col” qui se traduit par une production turbulente importante, alors que le cœur des tourbillons primaires peut être assimilé à un point mort. Selon l’étude de Bernal & Roshko [18], l’espacement entre les structures longitudinales est de 0.67 lorsqu’il est normalisé par l’espacement local moyen des structures primaires et est indépendant du rapport de vitesse.

La couche de mélange, composée des tourbillons primaires et secondaires, correspond à une zone d’uniformisation des gradients des variables conservatives entre les deux milieux. Suivant le type d’écoulement étudié, l’instabilité peut, d’après Huerre et Monkewitz [70], soit :

FIGURE 1.13 – Visualisation des instabilités de Kelvin-Helmholtz dans un jet annulaire [6].

– se convecter, ainsi la perturbation se propage sans modifier l’écoulement amont, il est alors dit “convectivement instable”.

Dans le cas d’écoulement en tuyère, la couche cisaillée est convectivement instable. Le développement de la couche cisaillée dans une tuyère est similaire à celui qui se forme lorsqu’un jet circulaire est expulsé dans un milieu au repos. C’est Yule [174] qui fut l’un des pionniers à analyser ces phénomènes (voir Fig. 1.14). L’auteur met en évidence la formation de vortex annulaires en sortie d’une buse. Au cours de leur convection vers l’aval, ces anneaux subissent des déformations azimutales dues aux contraintes de cisaille-ment leur donnant un aspect ondulé (voir Fig.1.15). De plus, la convection de ces struc-tures dans l’écoulement s’accompagne d’une interaction de ces vortex ondulés qui vont s’apparier pour donner naissance à des structures tourbillonnaires turbulentes similaires à des structures de Kelvin-Helmholtz de plus grande taille.

D’autres études, menées un peu plus tard par Liepmann et al. et récemment par [92] Nastase et al. [105], viennent appuyer les observations de Yule et montrent qu’un jet circulaire présente une structure identique à celle d’une couche de mélange plane. En effet, les tourbillons primaires caractéristiques de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz ont déjà été mis en évidence par Yule. Dans leurs études, Liepmann et Nastase complètent ces observations en mettant en avant la formation de tourbillons secondaires entre les cœurs des tourbillons primaires au niveau des “braies” qui sont à l’origine de fortes ondulations

FIGURE 1.14 – Schéma de l’évolution de la couche de mélange d’un jet annulaire. Extrait

FIGURE 1.16 – Déformations liées au développement des tourbillons secondaires dans un jet rond. Extrait de [92].

des vortex primaires (voir Fig.1.16).

Les couches de mélange libres sont caractérisées par différentes lois d’évolution des grandeurs caractéristiques turbulentes. Ces lois sont établies à partir des équations de Navier-Stokes et des hypothèses simplificatrices. Ceci aboutit à une équation différentielle ordinaire du type :

F′′′

+ 2σ2F F′′

= 0 (1.23)

avecσ le paramètre d’expansion de la couche de mélange :

σ = √ π dδw dx (1.24) etF′

variable de similitude spatiale égale àη0 sur l’axe : η = σy − y0 x − x0

(1.25) avec(x0, y0) les coordonnées de l’origine de la couche de mélange.

Grâce à l’utilisation d’une équation de fermeture pour modéliser les tensions de Reynolds, la loi de la vitesse longitudinale moyenne peut être déterminée :

u − u2 u1− u2

= 1

2(1 − erf(η − η0)) (1.26)

avecerf (x) la fonction d’erreur de Gauss.

Dans la zone de similitude, les grandeurs caractéristiques suivantes peuvent être définies :

– L’épaisseur de vorticité, notéeδω, qui permet de caractériser l’évasement de la couche de mélange. Cette épaisseur est définie comme :

δω(x) = ∆u(x)  ∂u(x) ∂y  max (1.27)

avec∆u(x) = u2_{− u}1. A partir d’une certaine distance du point de naissance, la loi de croissance de la couche de mélange est linéaire.

– les lignes d’expansion qui sont définies par les droites d’iso-valeur, Φn, contenues dans le plan de l’écoulement :

Φn = u(yn) − u2 u1_{− u}2

(1.28) En général,Φn varie entre 0.1 et 0.9.

De plus, pour un écoulement amont 2D, où les composantes transverses de la vitesse (v et w) sont nulles de chaque coté de l’interface, Kundu et Cohen [83] montrent que l’instabilité est d’amplitude croissante si :

g(ρ2_{2− ρ}2₁) < k ρ1ρ2(u1_{− u}2)2 (1.29) où k est le nombre d’onde et g la gravité. Dans le cas ou ρ1 = ρ2 = ρ, l’équation se

résume à :

kρ2_(u

1− u2)2 > 0 (1.30)

Ceci équivaut à dire que l’écoulement sera instable tant queu1 est différent deu2.

Appariements tourbillonnaires (III) : Le développement des structures turbulentes

dans une couche de mélange a fait l’objet de nombreuses études. En particulier, Ho et Huang [69] ont mené une analyse approfondie sur les interactions mutuelles qui ont lieu entre les structures turbulentes lors de leur convection vers l’aval. Cette étude consiste en l’analyse de la réponse d’une couche de mélange plane libre à un forçage en fréquence de l’écoulement de part et d’autre de la plaque séparatrice. Ils observent que la fréquence de réponse, fr, à laquelle les tourbillons se forment dans la couche cisaillée, n’est pas forcément celle de la fréquence de forçageff. En effet, les auteurs ont constaté que quand la fréquence de forçage, ff, est proche de la fréquence naturelle la plus probable (sans forçage), fm, la fréquence de réponse, fr, est identique à la fréquence de forçage. En revanche, si la fréquence de forçage devient inférieure à une valeur seuil, la fréquence de réponse bascule de manière discontinue vers une fréquence supérieure (voir Fig. 1.17). Cette transition est caractérisée par un phénomène d’hystérésis. L’étude montre que la fréquence de forçage influe sur la position et le nombre de structures de la couche de mélange qui fusionnent en modifiant le taux de croissance de l’épaisseur de vorticité locale et les fréquences caractéristiques associées. Dans leur étude, les auteurs distinguent quatre plages de fréquences de réponse (notées I à IV sur la Fig. 1.17) en fonction de la fréquence de forçage. La transition entre chacune des plages, en fonction du forçage se fait de manière discontinue.

Contenu fréquentiel de la couche de mélange : Afin de caractériser la fréquence de

passage des structures cohérentes, un nombre sans-dimension, appelé nombre de Strouhal (Fig.1.18), est introduit et est défini comme :

St = f δωl/uc (1.31)

avecδωl l’épaisseur de vorticité locale et f la fréquence.

Plus particulièrement, Huerre et Rossi [71] ont mené une étude de stabilité linéaire du cas de couche de mélange plane libre afin de déterminer la fréquence la plus amplifiée des

(a) (b)

FIGURE 1.17 – (a) Evolution de la fréquence de réponse en fonction de la fréquence de

forçage, (b) Schéma de l’appariement tourbillonnaire. Images extraites de [69].

FIGURE 1.18 – Evolution du nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds,