Chapitre2

(1)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 1

Barbara Abdelkrim & Mouanis Hakima

(2)

Chapitre 2

LES P ˆ

OLYNOMES

(3)

Notions g én érales sur les polyn ômes

D éfinitions et propri ét és

D ´efinition

Soit P une application de IC dans IC.

On dit que P est une fonction polyn ômiale ( à coefficients dans IC) ou P est un polyn ôme ( à coefficients dans IC)

s’il existe des nombres a0,a1, ...,an∈ IC tel que

P =

n

X

k =0

akXk =a0+a1X + .... + anXn

(4)

D éfinitions et propri ét és

D ´efinitions Soit P = n X k =0 akXk =a0+a1X + .... + anXnun polyn ˆome. 1 _a

0,a1, ...,ansont appel ´es les coefficients de P

2 ∀k = 0, ...n, a

k est appel ´e le coefficient de P de degr ´e k .

3 _{Si a}

0,a1, ...,an∈ IR on dit que P est un polyn ôme à coefficients r éels.

4 _{Dans le cas g én érale on dit que P est un polyn ôme à coefficients}

complexes.

5 _a

(5)

D éfinitions et propri ét és

Propri ´et ´es

L’ensemble des polyn ômes à coefficients dans K est not éK [X ].

1 _{K ⊂ K [X ].} 2 _{IR[X ] ⊂ I}_{C[X ]}

(6)

D éfinitions et propri ét és

Proposition

Soient P = a0+a1X + a2X2+ ... +anXnun polyn ôme à co éficients

a0,a1, ...,andans IC.

Alors pour tout z ∈ IC

P(z) = n X k =0 akzk =a0+a1z + a2z2+ ... +anzn est la valeur de P en z.

(7)

D éfinitions et propri ét és

D ´efinitions

Soit P =

n

X

k =0

akXk =a0+a1X + .... + anXnun polyn ˆome `a coefficients dans

K . Alors, 1 _{P =}¯ n X k =0 akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ K [X ]. 2 _{∀α ∈ K , αP =} n X k =0

(8)

D éfinitions et propri ét és

Propri ´et ´es

Soient P = n X k =0 akXk ∈ K [X ] et Q = m X k =0 bkXk ∈ K [X ]. Alors 1 _{P + Q =} s X k =0 (ak+bk)Xk ∈ K [X ] avec s = max{n, m} 2 _{PQ =} n+m X k =0 ckXk ∈ K [X ] tel que ∀k ∈ {0, 1, ..., n} ck = k X i=0 aibk −i= k X i=0 ak −ibi

(9)

Notions g én érales sur les polyn ômes Les d ériv ées successives d’un poly ôme

Les d ériv ées d’un polyn ôme

Proposition

La d ériv ée P0 d’un polyn ôme à coefficients dans K est un polyn ôme à coefficients dans K : Si P = n X k =0 akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ K [X ] Alors P0 = n X k =1 kakXk −1=a1+2a2X + ... + nanXn−1∈ K [X ] Corollaire

Tous les d ériv ées successives d’un polyn ôme de K [X ] sont des polyn ômes de K [X ] :

(10)

Les d ériv ées d’un polyn ôme

Exemples 1 _{Soit P = 1 + 2X − iX}3₊_X4_{. Alors} • P0 =2 − 3iX2₊_4X3 • P00 = −6iX + 12X2 • P(3)_{= −6i + 24X} • P(4)=24 • P(5)₌₀ • ∀k ≥ 5, P(k )₌₀ 2 _{∀a ∈ K , a}0 ₌₀ 3 _{Soit P = X} • X0 =1 • ∀k ≥ 2, X(k )₌₀

(11)

Les d ériv ées d’un polyn ôme

Propri ´et ´es

Soit P = n X i=0 aiXi. ∀k ∈ IN on a :      P(k )₌ n X i=k i!ai (i − k )!X i−k ₌ n−k X j=0 (j + k )!aj+k j! X j _{Sik ≤ n} P(k )₌₀ _{si k > n} En particulier : P(n)₌_n!a n

(12)

La formule de Mac-laurin et ses cons ´equences

La formule de Mac-laurin et ces cons ´equences

Th éor èm é(Formule de Mac-laurin)

Soit P = n X k =0 akXk ∈ K [X ] Alors ∀k ∈ {0, ..., n},ak = P (k )₍₀₎ k ! et on a la formule suivante P = n X k =0 P(k )(0) k ! X k =P(0) + P0(0)X +P 00 (0) 2! X 2_{+ ... +}P(n)₍₀₎ n! X n

(13)

La formule de Mac-laurin et ses cons ´equences

La formule de Mac-laurin et ses cons ´equences

Corollaire 1 _{Soient P =} n X k =0 akXk ∈ K [X ] et Q = n X k =0 bkXk ∈ K [X ] P = Q ⇐⇒ ∀k ∈ {0, ..., n}, ak =bk En particulier : P = 0 ⇐⇒ ∀k ∈ {0, ..., n}, ak =0 2 _{P ∈ IR[X ] ⇐⇒ ¯}_{P = P}

(14)

La formule de Taylor et ses cons ´equences

La formule de Taylor et ses cons ´equences

Th ´eor `eme (Formule de Taylor)

Soit P = n X k =0 akXk =a0+a1X + a2X2+ ... +anXn∈ K [X ] ∀α ∈ K on a la formule suivante : P = n X k =0 Pk_(α) k ! (X − α) k =P(α) + P0(α)(X − α) + P 00 (α) 2! (X − α) 2_{+ ... +}P(n)_(α) n! (X − α) n

(15)

La formule de Taylor et ses cons ´equences

La formule de Taylor et ses cons ´equences

Propri ´et ´e

Soit P = n X i=0 ai(X − α)i ∈ K [X ] alors, ∀k ∈ {0, ..., n}, ak = P(k )(α) k !

(16)

Le degr ´e d’un polyn ˆome

Le degr ´e d’un polyn ˆome

D ´efinition Soit P = n X i=0 aiXi 6= 0.

le plus grand indice i tel que ai 6= 0, s’appelle le degr ´e de P et not ´e d0(P) ou

d0_P.

Si d0_{P = n}

1 _a

nest appel ´e le coefficient du plus haut degr ´e de P oule coefficient dominant de P.

2 _{Si a}

n=1 on dit que P estunitaire.

(17)

Le degr ´e d’un polyn ˆome

Proposition

Soit P et Q deux polyn ˆomes non nuls de K [X ]

1 _d0_{(PQ) = d}0_{P + d}0_Q 2 d0(λP) = d0P, ∀λ ∈ K?

3 _{Si α est le coefficient dominant de P et β est le coefficient dominant de Q}

alors αβ est le coefficient dominant de PQ

En particulier si P et Q sont unitaire alors PQ est unitaire.

4 _d0_{(P + Q) ≤ max (d}0_{P, d}0_Q).

sid0P 6= d0Qalors

(18)

Le degr ´e d’un polyn ˆome

Exemples

1 _{Soient P = 1 + X}2₊_X3_{et Q = 2 − X}4

On a P + Q = 3 + X2₊_X3_{− X}4_et

deg(P + Q) = 4 = max (degQ, degP) = degQ

2 _{Soient P = 1 + X}2_{et Q = −X}2_.

On a P + Q = 1 et

deg(P + Q) = 0 < max (degQ, degP)

3 _{Soit P = X + 2X}5_{et Q = X}5

On a P + Q = X + 3X5_et

(19)

Divisions et divisibilit ´e La division euclidi `enne

La division euclidi `enne

Th éor ème et d éfinition

Soient A et B deux polyn ômes à coefficients dans K . Si B est non nul alors il existe ununiquecouple (Q, R) de polyn ômes tel que

A = QB + R et degR < degB

Q est appel ´ele quotientde la division euclidienne de A par B R estle restede la division euclidienne de A par B.

La recherche de Q et R est appel ´e la division euclidienne de A par B ou la division de A par B

Cas particulier

(20)

Divisions et divisibilit ´e La division euclidi `enne

La division euclidi `enne

Exemple Divison A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{par 3X}3₊_{2X :} A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 _{B = 3X}3₊_2X −6X7_{− 4X}5 _{Q = 2X}4_{− X}3₊₂ −3X6_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 3X6₊_2X4 6X3₊_X2 −6X3_{− 4X} R = X2_{− 4X} 6X7− 3X6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{= (2X}4_{− X}3₊₂₎ | {z } quotient (3X3+2X ) + (X2− 4X ) | {z } reste

(21)

Le proc éd é de H örner

Le proc éd é de H örner

Th ´eor `eme Soient A = n X k =0 akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ K [X ] avec an6= 0 et α ∈ K .

Q le quotient de A par X − α et R le reste de A par X − α. Supposons que n ≥ 2. Alors, il existe b0,b1, ...,bn−1∈ K tels que

Q = n−1 X k =0 bkXk =b0+b1X + ... + bn−1Xn−1 avec b0,b1, ...,bn−1et R v ´erifiant          bn−1 =an bn−2 =an−1+ αbn−1 bn−3 =an−2+ αbn−2 bk −1 =ak + αbk ∀k = 1, ..., n

(22)

Le proc éd é de H örner

M ´ethode de calcule

Pratiquement pour calculer les nombres b0, ...,bn−1et R on peut utiliser le

tableau suivant appel éle proc éd é de H örner

an an−1 ... a1 a0

α αbn−1 ... αb1 αb0

(23)

le proc éd é de H örner

Exercice

Soit A = 2X5+ −7X4+5X2+13X + 6

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par X − 3 en utilisant le proc éd é de H örner :

R ´eponce a5=2 a4= −7 a3=0 a2=5 a1=13 a0=6 3 6 −3 −9 −12 3 b4=2 b3= −1 b2= −3 b1= −4 b0=1 R = 9 Donc A = (2X4+ −X3− 3X2_{− 4X + 1)(X − 3) + 9}

(24)

Divisibilit ´e

Divisibilit ´e

D ´efinition

Soient A et B deux polyn ˆomes de K [X ]. On dit que            BdiviseA ou B estun diviseurde A ou A est unmultiplede B et on noteB|A

s’il existe un poly ˆome Q ∈ K [X ] tel que A = BQ. C’est `a dire

(25)

Divisibilit ´e

Divisibilit ´e

Propri ´et ´es

Soient A, B ∈ K [X ]? _{et R le reste de la division euclidienne de A par B alors}

• B|A ⇐⇒ R = 0

(26)

Les polyn ˆomes associers

Les polyn ˆomes associers

D ´efinition

Soient A, B ∈ K [X ]. On dit que A est associ é à B ou que A et B sont associ és et on noteA ∼ Bsi A divise B et B divise A :

A ∼ B ⇐⇒

A|B B|A

Propri ´et ´es

Soient A, B, C ∈ K [X ].

1 A ∼ B ⇐⇒ ∃α ∈ K?_,B = αA 2 _{A ∼ B =⇒ d}0_{A = d}0_B

(27)

Le pgcd de deux polyn ˆomes

Le pgcd de deux polyn ˆomes non nuls

D ´efinition

Soient A, B, D ∈ K [X ]?_{. On dit que D est} _{le pgcd}_{de A et B si on a les deux}

propri ´et ´es suivantes :

1 _{D est unitaire.}

2 _{D est un diviseur commun de A et B. C’est `a dire}

D|A D|B

3 _{Tous les diviseurs communs `a A et B sont des diviseurs de D. C’est `a}

dire

∀∆ ∈ K [X ] :

∆|A

(28)

Le pgcd de deux polyn ˆomes

Le pgcd de deux polyn ˆomes non nuls

D ´efinition

Soient A, B ∈ K [X ]?_.

(29)

Algorithme d’Euclide

Algorithme d’Euclide

Th ´eor `eme

Pratiquement pour determiner le pgcd de A et B on effectue les divisions suivantes : A = R0 B = R1 R2 Q0 R1 R2 R3 Q1 ... Rn−2 Rn−1 Rn Qn−2 Rn−1 Rn 0 Qn−1

Soit anle coefficient dominant du dernier reste non nul Rn. Alors 1

an

Rn =A ∧ B

(30)

Algorithme d’Euclide

Exercice Soient A = 8X5₊_4X4₊_10X3_{− 5X}2₊_{X − 1 et} B = 4X4₊_4X3₊_5X2_{− 2X − 1. Calculer le pgcd de A et B.} R ´eponce On poseR0=AetR1=B. alors        R0=R1Q0+R2 avec Q0=2X − 1 etR2=4X3+4X2+X − 2 R1=R2Q1+R3 avec Q1=X etR3=4X2− 1 R2=R3Q2+R4 avec Q2=X + 1 etR4=2X − 1 R3=R4Q3+R5 avec Q3=2X − 1 etR5=0 1 2R4=X − 1 2 est le pgcd de A et B

(31)

Algorithme d’Euclide

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ K [X ]? _{et D le pgcd de A et B. Si d}0_{A ≥ 1 et d}0_{B ≥ 1 alors il}

existe deux polyn ˆomes, de K [X ], U et V tels que UA + VB = D

(32)

Algorithme d’Euclide

Exercice

Soient A = 8X5₊_4X4_+10X3_{− 5X}2₊_{X − 1 et B = 4X}4₊_4X3₊_5X2_{− 2X − 1}

D’apr és l’exercice pr éc édent, en utilisant l’algorithme d’euclide, on a montr é queD = X −1₂ est le pgcd de A et B.

En utilisant le m ˆeme algorithme, on a    2D =R2− R3Q2 R3 =R1− R2Q1 R2 =R0− R1Q0 Donc        2D =R2− (R1− R2Q1)Q2 =R2(1 + Q1Q2) −R1Q2 = (R0− R1Q0)(1 + Q1Q2) −R1Q2 =R0(1 + Q1Q2) −R1(Q0(1 + Q1Q2) +Q2)

on trouve alors que

(33)

L’identit ´e de Bezout et ses application

L’identit ´e de Bezout et ses application

Th ´eor `eme(Bezout)

A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polyn ˆome U et V `a coefficient dans K tels que

UA + VB = 1

Corollaire

Soient a, b ∈ K . Alors

(34)

L’identit ´e de Bezout et ses application

L’identit ´e de Bezout et ses application

Corollaire

Soient A, B, D ∈ K [X ]?_.

D est un pgcd de A et B si et seulement s’il existe A0,B0∈ K [X ] tels que

   A = A0D B = B0D A0∧ B0=1

(35)

L’identit ´e de Gauss et ses applications

identit ´e de Gauss et ses applications

Th éor ème(L’identit é de Gauss)

Soient A, B ∈ K [X ]?_. A ∧ B = 1 ⇐⇒ [∀C ∈ K [X ], A|BC ⇒ A|C] Corollaire Soient A, B, C ∈ K [X ]?_. A ∧ C = 1 B ∧ C = 1 =⇒AB ∧ C = 1

(36)

L’identit ´e de Gauss

Corollaire

1 _{Si A, B ∈ K [X ]}?_alors _{A ∧ B = 1 =⇒ [∀n, m ∈ IN, A}n_{∧ B}m₌_1]_. 2 _{Si a, b ∈ K avec a 6= b alors} _{∀n, m ∈ IN, (X − a)}n_{∧ (X − b)}m₌₁

(37)

L’identit ´e de Gauss

Corollaire Soient A, P, Q ∈ K [X ]?.    P|A Q|A P ∧ Q = 1 =⇒PQ|A En g ´en ´erale : Corollaire Soient A, P1,P2, ...,Pn∈ K [X ]?. Si Pk|A ∀k ∈ {1, ..., n} Pk∧ Pl =1 ∀k , l ∈ {1, ..., n} avec k 6= l alors P1P2....Pn |A

(38)

L’identit ´e de Gauss

Corollaire

Soit A ∈ K [X ]?_.

Si a1,a2, ...,ansontdes racines distintesde A alors le produit

(X − a1)(X − a2)...(X − an)est un diviseur de A.

(39)

L’identit ´e de Gauss et ses applications Le ppcm de deux polyn ˆomes

Le ppcm de deux polyn ˆomes

D ´efinition

Soient A, B, M ∈ K [X ]?_.

On dit que M estle ppcmde A et B s’il v érifie les propri ét és suivantes :

1 _{M est unitaire.}

2 _{M est un multiple de A et B : c’est `a dire}_{A|M et B|M}_.

3 _{Tous les multiples de A et B sont des multiples de M : c’est `a dire}

∀N ∈ K [X ] :

A|N

B|N =⇒M|N

(40)

Le ppcm de deux polyn ˆomes

Proposition

Siaest le coefficient dominant de A etble coefficient dominant de B alors

(41)

Le ppcm de deux polyn ˆomes

Exemple

Soient A = 8X5₊_4X4_+10X3_{− 5X}2₊_{X − 1 et B = 4X}4₊_4X3₊_5X2_{− 2X − 1}

On a d ´eja montrer que X −1₂ est le pgcd de A et B. En divisant A par D on trouve :

A = 2A0D avec A0=4X4+4X3+7X2+X + 1

de m ˆeme, on divise B par D :

B = 2B0D avec B0=2X3+3X2+4X + 1

Donc, d’apr és le Th éor ème

M = A(2X3+3X2+4X + 1) = 1 16(4X

4₊_4X3₊_7X2₊_{X + 1)B}

(42)

Les polyn ˆomes irr ´eductibles

Les polyn ˆomes irr ´eductibles

D ´efinition

Soient P ∈ K [X ].

On dit que P est irr ´eductible dans K [X ] (ou P est irr ´eductible) Si

1 _d0_{P ≥ 1}

2 _{Les seules diviseurs de P dans K [X ] sont les constante non nuls de K et}

les associ ´es de P dans K [X ] c’est `a dire :

P est irr ´eductible dans K[X] ⇔

d0P ≥ 1

∀Q ∈ K [X ] : Q|P ⇒ [Q ∈ K?

(43)

Les polyn ˆomes irr ´eductibles

Propri ´et ´es

1 ∀P ∈ K [X ] : d0_{P = 1 =⇒ P irr ´eductible dans K [X ]}

2 _{Tous les associ és d’un polyn ôme irr éductible sont irr éductibles dans}

K [X ].

c’est `a dire ∀P, Q ∈ K [X ] :

P irr ´eductibles dans K [X ]

Q ∼ P =⇒Q irr ´eductible dans K[X]

3 _{Soit A ∈ K [X ] et P un polyn ˆome irr ´eductible de K [X ].}

• P|A ⇐⇒ P ∧ A = 1

αP 6= 1 (avec α le coefficient dominant

de P)

(44)

Les polyn ˆomes irr ´eductibles

Proposition

Soit P un polyn ˆome irr ´eductible dans K [X ].

1 ∀A, B ∈ K [X ], P|AB ⇒ P|A ou P|B. 2 ∀A

1,A2, ...,An∈ K [X ] : P|(A1A2...An) ⇒ [∃k ∈ {1, 2, ..., n} tq P|Ak]

(45)

Polyn ˆomes irr ´eductibles

Propri ´et ´es

Soient A ∈ K [X ] et P1,P2, ...Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles dans K [X ].

1 _{Si P}

1|A, P2|A, ..., Pn|A avec P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a deuxalors

P1P2...Pn|A

2 _{Si P}

1k1|A, P2k2|A, ..., Pnkn|A et P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a deuxalors

P1k1P2k2...Pnkn|A

(46)

Les polyn ˆomes irr ´eductibles dans I

C[X ]

Th ´eor `eme d’Alember

Un polyn ˆome P est irr ´eductible dans IC[X ] si et seulement si d0_{P = 1.}

(47)

Les polyn ˆome irr ´eductible dans IR[X ]

Th ´eor `eme

Les polyn ˆomes irr ´eductibles dans IR[X ] sont :

1 _{Les polynomes de degr ´e 1.}

2 _{Les polyn ômes de degr é 2 à discriminant strictemant n égatif :}

(48)

L’ordre de mulitpicit ´e

L’ordre de mulitpicit ´e

Soit A ∈ K [X ]?_{et P ∈ K [X ] − K (c’est `a dire d}0_{P ≥ 1).}

Il existe n ∈ IN unique appel ´eordre de multipicit ´e de P dans A ou ordre de P dans Atel que :

Pn_|A

Pn+1

(49)

L’ordre de mulitpicit ´e

Proposition

Soient A ∈ K [X ]?_{et P ∈ K [X ] − K .}

P est d’ordre de multiplicit ´e n ⇐⇒ ∃A0∈ K [X ] tq

A = Pn_A 0

P - A0

(50)

Ordre de multiplicit ´e

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, a ∈ K et n ∈ IN.}

(X − a) est d’ordre n (ou a est une racine de A d’ordre n) s’il existe A0∈ K [X ]

tel que

A = (X − a)n_A 0

a n’est pas une racine deA0

Si l’ordre de a ´egale `a 1 on dit que a est une racine simple de A.

Si l’ordre de a est sup ´erieur `a 1 on dit que a est une racine multiple de A

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

(51)

Ordre de multiplicit ´e

R ´eponce 2 5 7 9 7 3 1 −1 −1 −1 −2 −3 −4 -5 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 −1 R = 0 −1 −2 −1 −3 −2 0 −1 1 2 1 3 2 0 1 −1 R = 0 −1 −2 1 −4 2 −2 1 2 −1 4 −2 2 −1 R = 0 −1 −2 3 −7 9 −11 2 −3 7 −9 11 R = −12 Ainsi       

−1 est une racine de A d’ordre 3

A = (X + 1)3_(2X5_{− X}4₊_4X3_{− 2X}2₊_{2X − 1)}

A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1 le quotient de la division de

(52)

Ordre de multiplicit ´e

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, n ∈ IN et a, b ∈ K avec a 6= b.}

Si n est l’ordre de multiplicit ´e de a dans A

et A0est le quotient de la division de A par (X − a)n

alors

l’ordre de multiplicit é deb dans A égale à l’ordre de multiplicit é deb dans A0

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

Utiliser le proc éd é de H ôrner pour montrer que l’ordre de multiplicit é de 1₂ égale à 1 et l’ordre de multiplicit é de i égale à 2.

(53)

Ordre de multiplicit ´e

Proposition

Soient A ∈ K [X ]?_{, a ∈ K et n ∈ IN}?_.

a est une racine de A d’ordre de multiplicit ´e n si et seulement si

A(a) = A0(a) = A00(a) = ... = A(n−1)_{(a) = 0}

(54)

Ordre de multiplicit ´e

Exemple

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1. Calculler l’ordre}

de multiplicit ´e de 1,1 2 et i.

1 _{A(−1) = A(}1

2) =A(i) = 0

Donc−1,1

2,i sont des racines de A.

2 _A0 ₌_16X7₊_35X6₊_42X5₊_{45X 4 + 28X}3₊_9X2₊_{2X − 1}

donc A0(−1) = A0(i) = 0 et A0(1₂) 6=0 D’ou 1

2est une racine simple de A.

3 _A00₌_112X6₊_210X5₊_210X4₊_180X3₊_84X2₊_{18X + 2}

donc A00(−1) = 0 et A0(i) 6= 0 D’oui est une racine multiple de A

4 _A(3)₌_672X5₊_1050X4₊_840X3₊_540X3₊_168X2₊₁₈

donc A(3)_{(−1) 6= 0}

(55)

L’ordre de mulitpicit ´e La factorisation et ses applications

La factorisation et ses applications

D ´efinition

Soient A ∈ K [X ], P1,P2, ...,Pndes polyn ômes irr éductiblesunitaires dans K [X ] distincts deux à deux, α1, α2, ..., αn∈ IN?et a ∈ K?

Si A = aPα1 1 P α2 2 ...P αn n on dit que aPα1 1 P α2 2 ...P αn

n est une d ´ecomposition de A en facteurs irr ´eductibles unitaires

dans K [X ] ou aPα1 1 P α2 2 ...P αn

n est une factorisation de A en facteurs irr ´eductibles unitaires

(56)

La factorisation et ses applications

Th ´eor `eme

Tout polyn ôme non constant A (c’est à dire d0A ≥ 1) à coefficient dans K admet une d écomposition en facteurs irr éductibles unitaires aPα1

1 P α2 2 ...P αn n et une seule.

• a est le coefficient dominant de A

• P1,P2, ...,Pnsont les diviseurs irr ´eductibles unitaires de A dans

K [X ] distincts deux `a deux.

• α₁, α₂, ..., α_nsont les ordres de multiplicit ´e de P1,P2, ...,Pndans

(57)

La factorisation et ses applications

Corollaire

∀A ∈ IC[X ].

La d écomposition en facteurs irr éductibles unitaires de A dans IC[X ] est égale à

a(X − a1)α1(X − a2)α2...(X − an)αn

avec

• a est le coefficient dominant de A

• a1,a2, ...,ansont les racines dictinctes de A dans IC.

• α₁, α₂, ..., α_nsont les ordres de multiplicit ´e des racines a1,a2, ...,andans A.

(58)

La factorisation et ses applications

Exemple

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1. D ´ecomposer A}

en facteurs irr ´eductibles unitaires.

En utilisant le proc éd é de Horner, on a d éja montr é que

1 _{−1 est une racines de A d’ordre 3 et que}

A = (X + 1)3A1 avec A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1

2 1

2est une racine simple de A et que

A = (X + 1)3_{(X −}1 2)(2X4+4X2+2) = 2(X + 1)3_{(X −}1 2)(X4+2X2+1) = 2(X + 1)3(X − 1 2)(X2+1)2

3 _{i est une racines de A d’ordre 2 avec}

A = 2(X + 1)3(X −1 2)(X − i) 2_{(X + i)}2 Alors A = 2(X + 1)3(X −1 2)(X − i) 2_{(X + i)}2

est la decomposition de A en facteurs irr ´eductibles dans IC[X ] et

A = 2(X + 1)3(X −1)(X2+1)2

(59)

La factorisation et ses applications

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ K [X ], P1,P2, ...,Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles unitaires dans

K [X ] non associ ´es deux `a deux, α1, α2, ..., αn, β1, β2, ..., βn∈ IN et a, b ∈ K?.

Si A = aPα1 1 P α2 2 ...P αn n et B = bP β1 1 P β2 2 ...P βn

n alors on a les trois propri ´et ´es

suivantes : 1 _{A|B ⇔ [∀k = 1, 2, ..., n α} k ≤ βk] 2 _PMin(α1,β1) 1 P Min(α2,β2) 2 ...P Min(αn,βn) n est le pgcd de A et B. 3 _PMax (α1,β1) 1 P Max (α2,β2) 2 ...P Max (αn,βn) n est le ppcm de A et B. c’est `a dire ∗ A ∧ B = PMin(α1,β1) 1 P Min(α2,β2) 2 ...P Min(αn,βn) n ∗ A ∨ B = PMax (α1,β1) 1 P Max (α2,β2) 2 ...P Max (αn,βn) n

(60)

La factorisation et ses applications

Exemple Soit A = 3(X + 5)4_{(X − 3)(2X − 4)}2_(2X2₊₁₎3 B = 5(X + 5)2(2X − 4)3(X2+1)5(2X2+1) alors A = 3(X + 5)4_{(X − 3)(2X − 4)}2_(X2₊₁₎0_(2X2₊₁₎3 B = 5(X + 5)2_{(X − 3)}0_{(2X − 4)}3_(X2₊₁₎5_(2X2₊₁₎ Donc (X + 5)2(X − 3)0(2X − 4)2(X2+1)0(2X2+1) est un pgcd de A et B et (X + 5)4(X − 3)(2X − 4)3(X2+1)5(2X2+1)3est un ppcm de A et B Ainsi A ∧ B = (X + 5)2(X − 2)2(X2+1 2) A ∨ B = (X + 5)4(X − 3)(X − 2)3(X2+1)5(X2+1 2) 3

(61)

La division suivant les puissances croissantes

La division suivant les puissances croissantes

Soient A, B ∈ K [X ] avec B(0) 6= 0. Alors

pour tout entier n ∈ IN il existe d’une fac¸on unique deux polyn ˆomes Q, R ∈ K [X ] tels que :

A = BQ + Xn+1_R

d0_{Q ≤ n}

Q est appel é le quotient de la division de A par B à l’ordre n. Xn+1_{R le reste de la division de A par B à l’ordre n.}

(62)

La division suivant les puissances croissantes

La division suivant les puissances croissantes

Exercice

Soient A = 7X − 18, B = 3X2− X + 2 et n = 3. Calculer le quotient et le reste de la division de A par B `a l’ordre 3.

A = −18 + 7X B = 2 − X + 3X2 18 − 9X + 27X2 _{Q = −9 − X + 13X}2₊_8X3 −2X + 27X2 2X − X2₊_3X3 26X2+3X3 −26X2₊_13X3_{− 39X}4 16X3_{− 39X}4 −16X3₊_8X4_{− 24X}5 −31X4_{− 24X}5 = −X4_{(24X + 31)}