Non-asymptotic estimates of invariant measures and regularisation by a degenerate noise for a chain of ordinary differential equations

HAL Id: tel-01961770

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01961770

Submitted on 20 Dec 2018

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

regularisation by a degenerate noise for a chain of ordinary differential equations

Igor Honoré

To cite this version:

Igor Honoré. Non-asymptotic estimates of invariant measures and regularisation by a degenerate noise

for a chain of ordinary differential equations. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Paris-Saclay,

2018. English. �tel-01961770�

THÈSE DE DOCTORAT

de

l’Université Paris-Saclay

École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574) Établissement d’inscription : Université d’Evry-Val d’Essonne

Laboratoire d’accueil : Laboratoire de mathématiques et modélisation d’Évry, UMR 8071 CNRS-INRA

Spécialité de doctorat : Mathématiques appliquées

Igor HONORÉ

Estimations non-asymptotiques de mesures invariantes et régularisation par un bruit dégénéré de chaînes d’Équations

Différentielles Ordinaires

Date de soutenance : 05/11/18

Après avis des rapporteurs : Denis TALAY (Inria Sophia-Antipolis)

Alexander Yu. VERETENNIKOV (University of Leeds)

Jury de soutenance :

François BOLLEY (LPSM, Jussieu) Examinateur Arnaud GLOTER (LaMME, Évry) Examinateur

Alessandra LUNARDI (Università di Parma) Présidente du jury

Stéphane MENOZZI (LaMME, Évry) Directeur de thèse

Gilles PAGÈS (LPSM, Jussieu) Examinateur

Denis TALAY (Inria Sophia-Antipolis) Rapporteur

Ce manuscrit étant relativement long et dense, je profite de ces premières pages, alors que le lecteur a encore l’esprit frais, pour remercier les personnes sans qui ce travail n’aurait pas été possible.

En premier lieu, je tiens à remercier chaleureusement mon directeur de thèse, Stéphane Menozzi, avec qui j’ai eu la chance de me lancer dans cette aventure doctorale. Ce brillant mathématicien s’est énormément investi dans ma thèse. Depuis l’autre bout du monde, nous avons travaillé d’arrache-pied à des heures indues (quel que soit le fuseau horaire).

Lors de mon stage de master sous sa direction, j’ai eu le plaisir de travailler avec Gilles Pagès. Ce fut mon premier contact extérieur avec la recherche en mathématiques. Cette collaboration, très intéressante et fructueuse (cf. Chapitre 3), m’a donné le goût de la constante optimale, cf. Chapitre 4. Ce chapitre assez technique, que j’ai signé seul, a été rendu lisible (non sans souffrance pour la première version) grâce à l’assistance appuyée de Stéphane.

Lors de la thèse, j’ai aussi travaillé avec Arnaud Gloter et Dasha Loukianova, afin d’adapter les techniques établies au Chapitre 3 à des sauts. Cette collaboration de cher- cheurs a été très enrichissante.

Enfin, ma dernière année de thèse a été marquée par ma collaboration avec Paul-Éric Chaudru de Raynal et Stéphane Menozzi. Ce fut une année intense qui a abouti aux Chapitres 6 et 7. Nous avons reculé (backward ) pour mieux avancer (forward ).

Ces trois belles années de doctorat m’ont ouvert quantité de sujets de recherche que j’ai hâte d’explorer.

Mes années doctorales ont aussi été l’occasion de diriger des TD d’Algèbre. Je remercie Abdelmejid Bayad avec qui j’ai eu le plaisir de m’occuper des L3 pendant trois ans. Je remercie également Charlotte Scribot et Shiqi Song, avec qui j’ai préparé d’autres TD, de m’avoir aidé d’un point de vue pédagogique.

Je suis très reconnaissant aux rapporteurs, Denis Talay et Alexander Yu. Veretenni- kov, d’avoir consacré un temps certain à la lecture de mon manuscrit (j’avoue avoir eu quelques scrupules à envoyer ma thèse de plus de 300 pages au lendemain de la victoire des bleus).

Je souhaite par ailleurs exprimer ma gratitude envers le jury de soutenance, François Bolley, Arnaud Gloter, Alessandra Lunardi, Stéphane Menozzi, Gilles Pagès et Denis Ta- lay, pour avoir accepté d’assister à la soutenance J’ai une pensée particulière pour ceux venus de loin. Je pense notamment à Enrico Priola

Lors de ce doctorat, j’ai fait beaucoup de belles rencontres :

Je pense notamment à Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, avec qui Stéphane Menozzi et

moi-même faisions partie des «matheux du 18

^ème

» ; à Valérie Gontier-Picot qui a toujours

brillé par sa disponibilité et sa gentillesse ; mais aussi à El Maouloud Ould Baba qui me

transmettait sa bonne humeur chaque matin. J’ai beaucoup apprécié le périple avec Diego

effectuer le master à l’UEVE.

Merci à Oscar Jarrin, Mhamed Gaïgi, Kawther Mayoufi, Florian Rasamoely, Ricardo Romo et Mohamed Seddik de m’avoir accueilli dans l’équipe des doctorants dès mon stage.

J’ai eu également beaucoup de plaisir à échanger avec Chiara Amorino, Halaleh Ka- mari, Vincent Runge, Wissal Sabbagh, Elizabeth Zuniga, Yannick Armenti, Quentin Clai- ron, Virginie Stanislas.

Je n’oublie pas bien sûr Christophe Profeta, Stéphane Crépey, Monique Jeanblanc, Gilles Lacombe, Julia Matos, Sergio Pulido, Abass Sagna, Vincent Torri, Alexandre Vidal ainsi que les autres chercheurs et personnels de l’université.

Je remercie mon «grand frère de thèse», Lorick Huang pour ses conseils avisés, et souhaite bon courage à Lorenzo Marino qui me succède auprès de Stéphane Menozzi.

Enfin et surtout, je remercie ma famille et mes amis dont le soutien sans faille a été déterminant :

Ilona, que je connais depuis peu, et qui me donne le sourire chaque jour.

Cécilia, sans qui je n’aurais jamais pu réussir, ma première supportrice, celle qui est toujours là pour moi.

Mes parents, pour leurs encouragements et leur implication dans mon parcours scolaire.

Mamie Lène, Mamie Thé, Alaric, Coralie, Basile, Louis, Siegrid, Inaya, Stan, Raoul d’être à mes côtés.

Arlette et Pierre pour leur soutien et leurs importants coups de main, notamment lors de mes déplacements.

Ma marraine, Jean-Marc, Victor et Léa.

Delphine, Christian, Martin et Axelle.

Mes oncles, tantes, cousins, cousines.

Les Phoques pour leur soutien.

Stéphane qui prend la peine de venir me voir régulièrement depuis le Canada.

L’U.S Bondues Judo. La chorale Championnet.

Guimlie, et Ulysse...

Enfin, je serai éternellement reconnaissant aux équipes des hôpitaux Delafontaine à Saint-Denis et Lariboisière à Paris qui ont rendu possible ce qui semblait impossible.

À la mémoire de Papi Cel, Mamie Leau, Papi Bog et Babcia.

4

Afin de faciliter la lecture du document, les principaux symboles sont regroupés à la page 14 avec une brève explication, ainsi que la page où ledit symbole apparaît pour la première fois (dans les deux dernières parties du mémoire).

La première partie de la thèse, rédigée en français, est liminaire et permet de contex- tualiser les travaux. Dans cette partie, nous présentons également les principaux outils utilisés dans la suite du mémoire. Cette introduction se divise en deux parties comme le reste du manuscrit : - Estimations non-asymptotiques de mesures invariantes - Régulari- sation par un bruit dégénéré.

La suite de la thèse est rédigée en anglais. Chaque chapitre contient une petite intro- duction, ainsi qu’une présentation des notations utilisées. La première partie est composée de trois chapitres :

- Le Chapitre 3, A first non-asymptotic concentration result, est un travail effectué en collaboration avec Stéphane Menozzi et Gilles Pagès. Ce chapitre est disponible en prépublication [HMP18]. Il traite d’inégalités de concentration non-asymptotiques des déviations de la mesure invariante avec une mesure empirique approchant cette dernière.

- Le Chapitre 4, A sharp non-asymptotic concentration, est issu d’un article, écrit seul, disponible en prépublication [Hon18]. Il présente des inégalités de concentration du même type que ceux du Chapitre 1 mais avec la constante de concentration optimale.

- Le Chapitre 5, Extension to SDEs driven by a Poisson compound process, a été réalisé en collaboration avec Arnaud Gloter et Dasha Loukianova et a donné lieu à une prépublication [GHL18]. Dans ce chapitre, on adapte l’algorithme présenté dans les chapitres précédents à une certaine classe d’EDS à sauts.

La seconde partie de la thèse comporte deux chapitres :

- Le Chapitre 6, Sharp Schauder Estimates for some Degenerate Kolmogorov Equations, en coopération avec Paul Éric Chaudru de Raynal et Stéphane Menozzi. Nous établissons des estimées de Schauder associées au problème de Cauchy pour l’équation de Kolmogorov.

- Le Chapitre 7, Strong uniqueness of degenerate stochastic system, également écrit

avec Paul Éric Chaudru de Raynal et Stéphane Menozzi. Nous démontrons l’unicité forte

à régularité minimale pour une chaîne d’oscillateurs bruités en la première composante

(cadre dégénéré).

Liste des Symboles 11

Table des figures 15

I Introduction 17

1 Estimations de mesures invariantes 19

1 Processus Ergodiques . . . . 19

1.1 Mesure invariante . . . . 19

1.2 Théorèmes Ergodiques . . . . 21

1.3 Discrétisation du processus . . . . 23

1.4 Inégalités de concentration . . . . 26

1.5 De ν

n

pAϕq à l’estimation de νpf q pour une source f donnée . . . . 27

2 Premier résultat de concentration . . . . 27

2.1 Améliorations du Théorème 2 . . . . 30

2.2 Sur le problème de Poisson . . . . 31

2.3 Résultat de type Slutsky . . . . 33

2.4 Source Lipschitz . . . . 33

3 Inégalité de concentration optimale . . . . 34

3.1 Source Lipschitz . . . . 35

4 Extension aux EDS dirigées par un Lévy . . . . 36

2 Régularisation par un bruit dégénéré 39 1 Régularisation par un bruit dégénéré . . . . 39

1.1 Équation de Kolmogorov et chaîne dégénérée . . . . 39

1.2 Présentation du modèle . . . . 41

1.3 Propriété d’échelles . . . . 42

1.4 Résultats existants . . . . 45

1.5 Estimées de Schauder établies . . . . 45

1.6 Grandes lignes de l’analyse . . . . 46

1.7 Contrôle de la norme uniforme . . . . 49

1.8 Conclusion . . . . 53

1.9 Unicité forte . . . . 54

7

3 A first non-asymptotic concentration result 63

1 Introduction . . . . 63

1.1 Setting . . . . 63

1.2 Assumptions and Related Asymptotic Results . . . . 66

1.3 Notations . . . . 71

2 Main results . . . . 72

2.1 Result of non-asymptotic Gaussian concentration . . . . 72

2.2 Uniqueness of the invariant distribution and Regularity issues for the Poisson problem . . . . 75

2.3 Practical Deviation Bounds . . . . 79

3 Proof of the concentration results (Theorem 2) . . . . 81

3.1 Strategy . . . . 81

3.2 Explicit controls on the remainders . . . . 83

3.3 Proof of the Technical Lemmas . . . . 88

4 A refinement when ~σ~

²

´ νp~σ~

²

q is a Coboundary . . . . 97

5 Smoothness Results for the Poisson Problems (Proof of Theorem 4) . . . . 103

5.1 Proof of Theorem 4 . . . 103

5.2 Proof of the Practical Results of Section 2.3 . . . 111

5.3 Regularization of Lipschitz Sources . . . 113

6 Applications . . . 116

6.1 Non-Asymptotic Deviation Bounds in the Almost Sure CLT . . . . 116

6.2 Numerical Results . . . 119

4 A sharp non-asymptotic concentration 125 1 Introduction . . . 125

1.1 Statement of the problem . . . 125

2 Assumptions and Existing Results . . . 129

2.1 General notations . . . 129

2.2 Hypotheses . . . 130

2.3 On some Related Existing Result . . . 132

3 Main results . . . 135

3.1 User’s guide to the proof . . . 135

3.2 Technical lemmas and Proof of the Main Results . . . 139

4 Proofs of technical lemmas . . . 146

4.1 Remainders from the Taylor decomposition . . . 146

4.2 Asymptotics in the parameter ρ . . . 147

4.3 Technical Lemmas for Unbounded Innovations . . . 149

5 Regularity Results and Consequences . . . 154

5.1 Assumptions and Regularity Results . . . 155

5.2 Concentration inequalities for a Lipschitz source in a non-degenerate setting . . . 156

6 Optimisation over ρ under Gaussian and super Gaussian deviations . . . . 158

7 Numerical Results . . . 164

8

5 Extension for a Poisson compound process 169

1 Introduction . . . 169

1.1 Setting . . . 169

1.2 General notations . . . 172

1.3 Hypotheses . . . 173

1.4 Existing results . . . 176

2 Main results . . . 177

2.1 Result of non-asymptotic Gaussian concentration . . . 177

2.2 Strategy . . . 178

2.3 Proof of our main result . . . 181

2.4 Proof of the Gaussian property of the jump innovation . . . 184

3 Exponential integrability of the square root of Lyapunov function. . . 185

4 Proof of the Technical Lemmas . . . 190

5 Numerical Results . . . 198

III Degenerate Kolmogorov chains 201 6 Sharp Schauder Estimates 203 1 Introduction and Main Results . . . 203

1.1 Intrinsic scales of the system and associated distance . . . 208

1.2 Associated Hölder spaces . . . 208

1.3 Assumptions and main result . . . 210

2 Detailed Guide to the proof . . . 212

3 Gaussian proxy and associated controls . . . 224

3.1 Controls for the frozen density . . . 225

3.2 Additional controls associated with the (mollified) flow and its lin- earization . . . 229

4 Control of the supremum of the derivatives in the non-degenerate variables 230 4.1 Control of the non-degenerate part of the perturbative term . . . . 230

4.2 Control of the degenerate part of the perturbative term . . . 231

4.3 Non-degenerate derivatives for the frozen semi-group : terminal con- dition and source . . . 237

5 Hölder controls . . . 239

5.1 Hölder norms for the frozen semi-group . . . 241

5.2 Hölder norms associated with the Green kernel . . . 246

5.3 Hölder norms of the perturbative contribution . . . 249

5.4 Controls of the discontinuity terms arising from the change of freez- ing point . . . 253

6 Scaling issues and final proof of Theorem 1 . . . 257

6.1 Scaling settings and controls . . . 257

6.2 Scaling properties . . . 259

6.3 Conclusion: final proof of Theorem 1. . . 263

7 Appendix: Proof of technical results . . . 267

9

7.2 Sensitivities for the scaled flows . . . 274

8 Appendix: Sensitivity results for the resolvent and covariance . . . 274

8.1 Sensitivity Lemma for the resolvent . . . 274

8.2 Sensitivity Lemma for the covariances . . . 276

8.3 Reverse Taylor formula . . . 278

9 Scaling Control of the degenerate part of the perturbative term . . . 278

7 Strong Uniqueness 285 1 Introduction . . . 285

1.1 Statement of the problem and related results . . . 285

1.2 Notations, assumptions and main result . . . 289

1.3 Proof of the main result: Zvonkin Transform and smoothing prop- erties of the PDE associated with (1.1) . . . 291

1.4 Regularization properties of the underlying PDE (1.5): strategy of proof and primer . . . 293

2 Perturbation techniques for the PDE : proof of Theorem 2 . . . 299

2.1 Gaussian proxy and associated controls . . . 300

2.2 Control of the sensitivities: proof of Theorem 3 . . . 305

3 Estimates in Besov norm . . . 316

3.1 Proof of Lemma 3 . . . 316

3.2 Proof of Lemma 4 . . . 324

3.3 Proof of the technical lemmas . . . 335

4 Proof of technical results of Lemma 6 . . . 337

4.1 A first sensitivity result for the flow . . . 337

5 Appendix: Some reminders about Besov spaces . . . 343

5.1 Thermic characteristic of the Besov space . . . 343

5.2 Equivalence of Besov norms . . . 343

10

Partie II I

pγ

_k

q

kě1

the step sequence of the scheme . . . 60

p U

_k

q

kě1

the discretized Wiener increment . . . 60

pX

k

q

kě0

the discretized process . . . 60

rf s

β

the usual Hölder modulus, rfs

_β

:“ sup

_x‰x1 |fpxq´fpx¹q| |x´x¹|^β

. . . 68

Γ

_n

the current time of the scheme, Γ

_n

:“ ř

n k“1

γ

_k

. . . 60

Γ

^p`qn

Γ

^p`qn

:“ ř

n k“1

γ

_k^`

. . . 62

A the infinitesimal generator of the diffusion . . . 59

C

^β

the usual (homogeneous) Hölder space . . . 68

C

^k,β

the usual (homogeneous) Hölder space with k ` β as parameter . . . . 68

C

_b^k,β

the usual (inhomogeneous) Hölder space with k ` β as parameter . . 68

F

_k

the filtration associated with the scheme, F

_k

:“ σppX

_j

q

jPrr0,kss

q . . . 68

R

n

a generic sequence s.t. R

n

“ R

n

pp A qq Ñ

n

1 that may change from line to line . . . 125

|| σ p x q ||

F

the Fröbenius norm of σ p x q . . . 71

||

B^α_p,q^˜ pR^dq

|| the Besov norm . . . 213

|| ¨ ||

8

the uniform norm associated with Euclidian or operator norm . . . 62

|| σpxq || the operator norm of σpxq, || σpxq ||“ sup

_zPRr,|z|ď1

| σpxqz | . . . 63

| ¨ | the Euclidian norm . . . 62

ν the invariant measure of the diffusion . . . 59

νp| σ

^˚

∇ϕpxq |

²

q the “carré du champ ” pour la diffusion Brownienne . . . 64

ν

_n

the empirical measure of the scheme, ν

_n

p¨q :“

ř_n k“1γkδ_Xk´1pωqp¨q řn k“1γ_k

. . . 60

Σ Σpxq :“ σσ

^˚

pxq . . . 63

σ

_ϕ²

the “carré du champ ” associated with the diffusion with jumps, σ

_ϕ²

:“

ş

R^d

` | σ

^˚

∇ϕ |

²

p x q ` ş

R^d

| ϕ p x ` κ p x q y q ´ ϕ p x q |

²

π p dy q ˘

ν p dx q . . . 172

11

B

_p,q^α˜

p R

^d

q the Besov space . . . 213

e

_n

a generic sequence s.t. e

_n

“ e

_n

pp A qq Ñ

n

0 that may change from line to line . . . 125

h

_v

pzq the usual heat kernel space . . . 213

V Lyapunov function . . . 59

(L

_V

) Assumption : Lyapunov assumption . . . 63

(C

_R

) Assumption : (strong) confluence and regularity, pD

^p_α

q, pR

_3,β

q, and || Dσ ||

²₈

ď

_2p3`βq´p^2α

. . . 72

(C

_UE

) Assumption : (mild) confluence and non-degeneracy, p D

^p_α

q , p R

_1,β

q , || Dσ ||

²₈

ď

_2p1`βq´p^2α

, and Σ

_i,j

pxq “ Σ

_i,j

px

_i^j

, ¨ ¨ ¨ , x

_d

q . . . 73

(D

^p_α

) Assumption : confluence condition . . . 72

(R

_k,β

) Assumption : smoothness of the coefficients and the source . . . 72

(UE) Assumption : uniform ellipticity . . . 73

(A) Assumption : Chapitre 1 (C1), (GC), (C2), (L

_V

), (U), (S) . . . 77

(A)a Assumption : Chapitre 2 (C1), (GC), (C2), (L

_V

), (U), (S), (T

_β

)128 (A)b Assumption : Chapitre 3 (C0), (C1), (GC), (C2), (L

_V

), (U), (S), (T

β

) . . . 171

(C0) Assumption : diffusion coefficients are Lipschitz continuous . . . 169

(C1) Assumption : X

₀

is exponentially integrable . . . 62

(C2) Assumption : Boundess of σ . . . 63

(C2) Assumption : boundedness of σ and κ . . . 169

(GC) Assumption : Gaussian Concentration . . . 62

(G

_V

) Assumption : | ϕpxq |ď C

_V,ϕ

p1 ` a V pxqq . . . 69

(P

β

) Assumption : (UE), (D

^p_α

), || Dσ |

²₈

ď

_2p1`βq´p^2α

, (R

1,β

), and (Σ ) . . . 151

(S) Assumption : small steps are small enough . . . 63

(T

_β

) Assumption : regularity of the test function ϕ . . . 127

(U) Assumption : uniqueness of the invariant measure of the diffusion . . 63

(Σ ) Assumption : Σ

_i,j

pxq “ Σ

_i,j

px

_i^j

, ¨ ¨ ¨ , x

_d

q . . . 151

Partie III I Π

^x_i

pψqpzq Π

^x_i

pψqpzq “ ψpz

1

, ¨ ¨ ¨ , z

i

` x, ¨ ¨ ¨ , z

n

q . . . 205

ψ

_i

p z, x q ψ

_i

p z, x q “ Π

^x_i

p ψ qp z q . . . 205

12

¯

p

^ξ_C´1

pt, s, x, yq p ¯

^ξ_C´1

pt, s, x, yq “

^C

ps´tqⁿ

2d 2

exp `

´ C

^´1

ps ´ tq | T

^´1s´t

pm

^ξ_s,t

pxq ´ yq |

²

˘ , also

noted p ¯

^pτ,ξq_C´1

pt, s, x, yq . . . 209

T

t

intrinsic scale matrix . . . 209

θ

_v,τ

pξq the flow associated with the drift, θ 9

_v,τ

pξq “ Fpv, θ

_v,τ

pξqq, θ

_τ,τ

pξq “ ξ209 ξ the spatial freezing parameter . . . 209

D the full spatial gradient, D “ p D

_x1

, ¨ ¨ ¨ , D

_xn

q . . . 199

d the parabolic pseudo-distance, d ` x, y ˘ “ ř

d i“1

| y

_i

´ x

_i

|

1 2i´1

. . . 204

F

_i

p t, x q the drift at the i

^th

level, F

_i

p t, x q “ F

_i

p t, x

^i´1:n

q . . . 199

m

^ξ_s,t

pxq the mean of the proxy process, also noted m

^pτ,ξq_s,t

pxq . . . 209

x

^i:n

x

^i´1:n

:“ px

_i´1

, ¨ ¨ ¨ , x

_n

q . . . 199

X

_t

the diffusion associated with the Kolmogorov operator . . . 200

| ¨ |

C^{k`β</sup>pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

the Euclidean norm . . . 205

|| ψ ||

_C^{k`γ</sup> b,d pR<sup>nd</sup>,R<sup>`}q

|| ψ ||

_C^{k`γ</sup> b,d pR<sup>nd</sup>,R<sup>`}q

“ ř

n i“1

sup

_zPRnd

sup

_zPRnd

|| ψpz, ¨q ||

C k`γ 2i´1 b pR<sup>d</sup>,R<sup>`</sup>q

. . . 206

|| ¨ ||

C^{k`β</sup>pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

the usual Hölder norm, || ψ ||

C^{k`β</sup>pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

“ ř

k i“1

sup

_|α|“i

|| D

^α

ψ ||

L⁸pR^m,R^`q

` sup

_|α|“k

rD

^α

ψs

_β

. . . 205

|| ¨ ||

_C^{k`β</sup> b pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

the non-homogeneous Hölder norm, || ¨ ||

_C^{k`β</sup> b pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

“|| ¨ ||

_C^{k`β</sup><sub>pR</sub><sup>m</sup><sub>,R</sub><sup>`}_q

` || ¨ ||

L⁸pR^m,R^`q

. . . 205

|| ¨ ||

_C^k`γ d

|| ¨ ||

_C^k`γ d

“|| ¨ ||

_C^{k`γ</sup> d pR<sup>nd</sup>,R<sup>`}q

. . . 205

|| ¨ ||

_C^{k`β</sup> b,d pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

|| ¨ ||

_C^{k`β</sup> b,d pR<sup>m</sup>,R<sup>`}q

“ ř

n i“1

sup

_zPRnd

|| ψ

i

pz, ¨q || . . . 205

|| ¨ ||

L⁸

|| ¨ ||

L⁸

“|| ¨ ||

L⁸pR^nd,R^`q

. . . 205

τ the time freezing parameter . . . 209

G ˜

^m,ξ

the Green kernel associated with the proxy, also noted G ˜

^m,ξ

. . . 210

˜ p

^ξ

p t, s, x, ¨q the multi-scale density of the proxy, also noted p ˜

^m,pτ,ξq

p t, s, x, ¨q . . . . 209

P ˜

_{T ,t}^ξ

the semi-group associated with the proxy, also noted P ˜

_{T ,t}^m,ξ

. . . 210

K ˜

^pτ,ξq_v,t

the covariance matrix of the proxy . . . 221

R ˜

^pτ,ξq

pv, tq the resolvent associated with pDFpv, θ

_v,τ

pξqqq

_vPrt,ss

. . . 220

X ˜

_v

the linearized processus . . . 209

a the matrix diffusion . . . 199

C

^k`β

pR

^m

, R

^`

q the non-homogeneous Hölder space . . . 205

13

DF the subdiagonal of the Jacobian matrix DF . . . 209

d the dimension of each block of the degenerate chain . . . 199

f the source of the Kolmogorov equation . . . 199

g the terminal condition of the Kolmogorov equation . . . 199

L

_t

the spatial Kolmogorov operator . . . 200

n the number of levels in the degenerate chain. . . .199

T the time horizon . . . 199

(T

_β

) Assumption : pF

_i

q

iPrr1,pj`1q^nss

are uniformly β

_j

-Hölder continuous in the j

^th

spatial variable with β

_j

P p

^2j´2_2j´1

, 1 s . . . 284

(H

_η

) Assumption : D

_xi´1

F

_i

is non-degenerate and

_2i´3^η

Hölder continuous w.r.t. x

_i´1

. . . 284

(A) Assumption : Chapter 6 (UE), (H), (S) . . . 207

(A) Assumption : Chapter 7 (ML), (UE), (T

β

), (H

η

) . . . 284

(H) Assumption : Weak Hörmander like condition . . . 206

(ML) Assumption : F and σ are measurable in time and σ is uniformly Lip- schitz . . . 284

(S) Assumption : Smoothness of the Coefficient, a P L

⁸

pC

_b,d^γ

q, F

₁

P L

⁸

pC

_d^γ

q, F

_i

P L

⁸

pC

_b,d^2i´3`γ

q . . . 206

(UE) Assumption : Uniform Ellipticity of the diffusion Coefficient . . . 206

14

2.1 Dessin venant de [DM10]. . . . . 40

3.1 Unbiased Case. Plot of a ÞÑ g

n,θ

paq, for pθ

k

q

kPrr1,5ss

, with ϕpxq “ σpxq “ x ` ε cos p x q , ε “ 0.01. . . . 121

3.2 Biased Case. Plot of a ÞÑ g

_n,θ

paq, for θ

₀

“

¹₃

, with ϕpxq “ σpxq “ cospxq. . . 122

3.3 Plot of a ÞÑ g

n,θ

paq, for pθ

k

q

kPrr1,5ss

, with ϕpxq “ σpxq “ cospxq. . . 122

3.4 Plot of a ÞÑ g

_n

paq with fpxq “

_1`|x|^|x|ββ

, β “ .5. . . 124

4.1 Plot of a ÞÑ g

_n

paq with ϕpxq “ σpxq “ cospxq. . . 166

5.1 Plot of a ÞÑ g

n

paq, for θ “

¹₃

, with ϕpxq “ σpxq “ cospxq. . . . 199

15

Introduction

Chapitre 1

Estimations non-asymptotiques de mesures invariantes

Résumé : Dans cette première partie de thèse, nous chercherons à estimer la mesure invariante d’un processus ergodique dirigé par une Équation Différentielle Stochastique.

Le Théorème ergodique nous suggère de considérer la mesure empirique associée à un schéma d’approximation du processus sous-jacent qui peut se voir comme le pendant discret de la mesure d’occupation dudit processus. Dans [LP02], Lamberton et Pagès ont introduit un algorithme de discrétisation à pas décroissant qui assure la convergence de la mesure empirique du schéma vers la mesure invariante du processus considéré ainsi qu’un théorème central limite (TCL) quantifiant asymptotiquement l’écart entre ces deux mesures. Nous établissons des inégalités de concentration non-asymptotiques pour les déviations de la mesure empirique (cohérentes avec le TCL mentionné ci-avant), ainsi que des contrôles sur la solution de l’équation de Poisson associée, utiles pour ces inégalités.

1 Processus Ergodiques

1.1 Mesure invariante

L’étude du comportement de certaines EDS en temps long et l’approximation de leurs états stationnaires interviennent dans de nombreux champs d’applications. Mentionnons par exemple la mécanique Hamiltonienne. On peut penser en particulier à des matériaux soumis à des séismes et des intempéries dont le comportement en temps long doit être estimé, c.f. par exemple le livre de Soize [Soi94], ou encore à des particules Browniennes interagissant en vitesse/position, voir le Brownien physique de Nelson [Nel67]. Un autre champ d’application est fourni par la finance, le cadre ergodique apparaît naturellement pour la modélisation de dynamiques de taux d’intérêt ou de volatilités stochastiques, c.f.

Fouque et al. [FPS00]

Dans une perspective d’approximations numériques concrètes, nous nous concentrerons sur des estimations ergodiques non-asymptotiques. Nous considérons dans un premier temps que la dynamique du processus sous-jacent est donnée par l’équation différentielle stochastique (EDS) suivante :

dX

_t

“ bpX

_t

qdt ` σpX

_t

qdW

_t

, t ą 0, (1.1)

où pW

t

q

tě0

est un mouvement Brownien de dimension r sur un espace de probabilité filtré p Ω, F, p F

_t

q

tě0

, Pq , b : R

^d

Ñ R

^d

, σ : R

^d

Ñ R

^d

b R

^r

seront des fonctions Lipschitz.

^∗

Tout au long de la Partie II de la thèse, sauf mention explicite, nous supposerons que σ peut éventuellement dégénérer (i.e. être une matrice non-inversible). Nous nous focaliserons sur l’étude de processus p X

_t

q

tě0

de dynamique (1.1) qui admettent une unique mesure ν stationnaire et sont ergodiques. Dans la suite de l’introduction, nous réservons la notation en caractères gras pour des objets ayant une dynamique à temps continu. Dans le cas d’un processus stationnaire, on a en particulier pour toute fonction f suffisamment régulière et t ě 0,

ż

P

_t

f p x q ν p dx q “ ν p f q “ : ż

f p x q ν p dx q , (1.2) où P

_t

est le semi-groupe associé au processus de Markov X

_t

défini par

P

_t

f pxq :“ E rfpX

_t

q|X

₀

“ xs.

L’identité (1.2) signifie que si le processus part avec la loi ν alors celle-ci est conservée au cours du temps.

On dit d’un processus stationnaire de mesure invariante ν qu’il est ergodique s’il vérifie le théorème ergodique. Introduisons pour tout t ą 0 la mesure d’occupation suivante :

ν

_t

: “ 1 t

ż

t 0

δ

_Xs

ds. (1.3)

Le théorème ergodique est vérifié si pour toute fonction f continue bornée presque sûre- ment (p.s.) :

tÑ`8

lim ν

_t

pfq “ lim

tÑ`8

1 t

ż

t 0

f pX

_s

qds “ νpf q “ ż

fpxqνpdxq. (1.4) L’exemple typique vérifiant les propriétés précédentes est fourni par le processus d’Ornstein- Uhlenbeck, associé à b p x q “ ´

^x₂

et σ p x q “ I

_d

pour la dynamique (1.1), qui s’écrit alors :

dX

_t

“ ´ 1

2 X

_t

dt ` dW

_t

, (1.5)

et s’intègre explicitement en

X

_t

“ e

^´t2

X

₀

` e

^´2t

ż

t

0

e

^s2

dW

_s

. (1.6)

On déduit de (1.6) que pour un X

₀

P L

²

p P q indépendant de p W

_t

q

tě0

, X

_t

ÝÑ

^L

tÑ`8

N p 0, I

_d

q et que si X

₀

“

^L

N p 0, I

_d

q alors pour tout t ě 0, X

_t

“

^L

N p 0, I

_d

q . Les propriétés ergodiques de l’Ornstein-Uhlenbeck setont aisément déduites des conditions garantissant la validité du théorème ergodique données dans la section suivante.

∗. Nous renvoyons à la monographie [KP11] pour d’avantage d’applications faisant intervenir des

EDS.

1.2 Théorèmes Ergodiques

Une propriété fondamentale du théorème ergodique est que les moyennes temporelles et les moyennes spatiales sont égales. La quantité aléatoire ν

t

pf q (intégrale temporelle) converge p.s. vers ν p f q (intégrale spatiale par rapport à la mesure invariante). Cette remarquable propriété permet de se focaliser sur l’étude d’une trajectoire du processus pour estimer la mesure invariante à partir d’une seule réalisation observée en temps infini.

Cet aspect se révèle très intéressant d’un point de vue numérique lorsque l’on peut observer le processus sur un temps suffisamment long.

Une question naturelle consiste à se demander quels types de critères conduisent au théorème ergodique et à l’unicité de la mesure invariante. Dans le cadre général d’un processus de Markov Fellérien (semi-groupe continu en 0 et contractant), deux grands types d’hypothèses le permettent : l’irréductibilité et la confluence.

Dans ces deux cas, on suppose l’existence d’une fonction V dite de Lyapunov assurant la non-explosion du processus ainsi qu’un retour à la moyenne. Ces propriétés s’expriment en terme du générateur infinitésimal A du processus défini comme suit. Pour tout ϕ P C

₀²

,

lim

tÑ0

P

_t

ϕ ´ ϕ

t “: Aϕ. (1.7)

Dans le cas d’une diffusion de type (1.1), nous avons en particulier par la formule d’Itô : Aϕ “ dP

_t

ϕ

dt |

t“0

“ xb, ∇ϕy ` 1 2 Tr `

σσ

^˚

D

²

ϕ ˘

. (1.8)

Introduisons le Critère d’Has’minskii (voir e.g. [KM11]) :

(H) Il existe une fonction de Lyapunov V : R

^d

ÝÑs0, `8r satisfaisant les conditions suivantes :

i) Coercivité. lim

_|x|Ñ8

V pxq “ `8.

ii) Non-explosion. Il existe C

_V

ą 0 tel que AV ď C

_V

. iii) Retour à la moyenne. lim sup

_|x|Ñ8

AV pxq ă 0.

Présentons maintenant brièvement les deux hypothèses indiquées ci-dessus et ren- voyons pour plus d’informations à Ethier et Kurtz [EK86] ainsi qu’à l’article de synthèse de Pagès [Pag01].

- Hypothèse d’irréductibilité : on suppose que (H) est vérifiée, et que le processus admet une densité strictement positive. Cette hypothèse assure aussi l’unicité de la mesure invariante.

- Hypothèse de confluence : sous des conditions de type Lyapunov plus fortes que (H) (voir (L

_V

) ci-après et également [LP03] et [PP14] pour des conditions moins fortes), le théorème ergodique est vérifié. Si de plus les coefficients de diffusion satisfont une hypothèse de confluence (on parle aussi de diffusion asymptotiquement plate, i.e. avec les notations usuelles pour les processus de Markov, en un certain sens, on a pour tous points initiaux x, y P R

^d

, |X

_t^x

´ X

_t^y

| ;

tÑ`8

0), alors on a également l’unicité de la mesure

invariante.

En particulier, le premier jeu d’hypothèses est valable dans le cadre de diffusions uni- formément elliptiques verifiant (H) à coefficients réguliers. L’hypothèse de positivité de la densité est clairement liée à la loi du processus et impliquée par une condition de type non-dégenerescence (aspect régularisant du semi-groupe sous-jacent). L’hypothèse de confluence n’est, quant à elle, pas a priori liée à des conditions de non-dégérescence.

Elle est de nature beaucoup plus trajectorielle dès que la dimension est supérieure à un

^†

. Notons que le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, vérifie ces deux types d’hypothèses et remarquons que Aϕpxq “ ´x

^x₂

, ∇ϕpxqy `

¹₂

∆ϕpxq. En effet, en prenant V une forme qua- dratique, i.e. V p x q “ 1 ` | x |

²

les hypothèses de (H) sont vraies. On a clairement de (1.6) que la densité de ce processus X

^x_t

„ N pe

^´t2

x, 1 ´ e

^´t

q est séparée de 0 (irréductible), et que la confluence est vérifiée : X

^x_t

´ X

^y_t

“ e

^´t2

p x ´ y q

^p.s.

Ñ

tÑ8

0.

Il est impossible d’observer en temps infini un processus et donc d’avoir exactement la limite de la mesure d’occupation. Nous cherchons donc à l’estimer et à contrôler l’erreur d’approximation. La vitesse de convergence vers la mesure invariante est donnée par le TCL. Pour la diffusion (1.1), Bhattacharya [Bha82], sous des hypothèses de type irré- ductibilité (diffusions non-dégénérées), a montré que pour toute fonction f à croissance polynomiale on a le théorème central limite :

? t `

ν

_t

pf ´ νpf qq ˘

L tÑ`8

ÝÑ N ´

0, ż

R^d

|σ

^˚

∇ϕpxq|

²

νpdxq

¯

, (1.9)

avec ϕ solution de l’équation de Poisson

Aϕ “ f ´ νpf q. (1.10)

La force du TCL est qu’il permet de rendre compte de l’ordre typique des fluctuations de la mesure d’occupation ν

t

à l’échelle ?

t. La variance asymptotique νp|σ

^˚

∇ϕ|

²

q est l’intégrale de ce que l’on appelle le carré du champ. Pour toutes fonctions ϕ, ψ P C

₀²

, on définit le carré du champ par Γpϕ, ψq :“ Apϕ ¨ ψq ´ Aϕ ¨ ψ ´ ϕ ¨ Aψ. Ce qui conduit à

ν pΓ pϕ, ϕqq “ ż

Γpϕ, ϕqνpdxq “ ´2 ż

Aϕ ¨ ϕ νpdxq “ ż

|σ

^˚

∇ϕ|

²

νpdxq.

Nous renvoyons pour plus de précisions, à Bakry et al. [BGL14] et Ledoux [Led99]. Nous dirons par la suite que f est un cobord du générateur infinitésimal s’il existe une solution régulière ϕ au problème de Poisson (1.10) (voir la Section 2.2). Cette équation est diffi- cile à résoudre, surtout dans notre approche qui nécessite d’avoir des contrôles ponctuels.

Un bon cadre est fourni par les hypothèses précédentes. Notons par ailleurs que ν vérifie l’équation de Fokker-Planck au sens des distributions : A

^˚

ν “ 0, où A

^˚

est l’opérateur adjoint de A. En fait, ν P I

_P

, où I

_P

est l’ensemble des mesures invariantes pour le pro- cessus X

t

, si et seulement si pour tout ϕ P DpAq (le domaine de définition du générateur A) on a νpAϕq “ 0. Si I

_P

est non vide et compact (au sens de la convergence étroite) alors le théorème de Krein-Millman assure qu’il existe au moins une mesure extrémale ν

^˚

de I

P

(i.e. qui ne s’écrit pas comme une combinaison convexe de deux autres mesures de

†. rappelons en effet, c.f. Has’minskii [KM11] et Lemaire et al. [LPP15] qu’en dimension 1 toutes les

diffusions ergodiques sont confluentes en un certain sens.

I

_P

). Notons au passage que l’existence de ν

^˚

implique que pX

_t

q

tě0

est ergodique. Pour plus de renseignements, nous renvoyons à [Pag01] et à [DS58].

Cette caractérisation d’une mesure invariante se comprend bien formellement. En effet, pour tout ϕ P C

₀²

, d’après la définition du générateur infinitésimal dans (1.7) :

ν p Aϕ q “ ż

Aϕν p dx q “ ż

lim

tÑ0

P

_t

ϕpxq ´ ϕpxq

t ν p dx q “ lim

tÑ0

ş P

_t

ϕpxqνpdxq ´ νpϕq

t “ 0,

(1.11) l’avant-dernière égalité se justifie par un argument d’interversion limite intégrale, et la dernière identité par la définition (1.2) d’une mesure invariante. Enfin, remarquer que l’identité νpAϕq “ 0 se vérifient pour tout ϕ suffisamment régulière telle que l’équation (1.10) est vérifiée.

L’hypothèse de régularité Lipschitz des coefficients b et σ ainsi que l’hypothèse de Lya- punov ad hoc assure que I

V

‰ ∅ . Notamment, l’Hypothèse de confluence ou l’Hypothèse d’irréductibilité précédement introduis assurent également l’uncité de la mesure invariante.

Pour plus d’informations, nous renvoyons à la monographie de Khasminskii [Kha80] (ainsi qu’à la seconde édition [KM11]), ou bien à celle de Villani [Vil09], à [Pag01] ainsi qu’à [DPG01] et à [MPW02]. Enfin la compacité de I

_P

se montre à partir des hypothèse de Lyapunov, c.f. [LP02]

1.3 Discrétisation du processus

En pratique, nous ne pouvons pas simuler directement le processus continu pX

_t

q

tě0

. Il nous faut donc passer par une méthode de discrétisation. Une approche classique est fourni par le schéma d’Euler à pas constant γ ą 0 associé à (1.1) :

X

_n`1^γ

“ X

_n^γ

` γbpX

_n^γ

q ` ?

γσpX

_n^γ

qU

n`1

, (1.12)

où pU

_n

q

ně2

est une suite de variables aléatoires de R

^r

indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec les trois premiers moments similaires à ceux de la Gaussienne, et indépendantes de X

₀

. Ainsi pX

_n^γ

q

ně1

est une chaîne de Markov homogène, ce qui nous per- met de bénéficier d’une riche littérature (voir par exemple Meyn et Tweedie [MT09] pour l’aspect temps long et stabilisation). Une abondante littérature existe pour la convergence de schéma d’Euler à pas constant. Dans le cadre de l’erreur faible à temps fini, i.e. pour des quantités du type E :“ E rf pX

_T

q ´ f pX

_n

qs avec nγ “ T ą 0 pour une bonne «classe»

de fonctions f , mentionnons le papier fondateur de Talay et Tubaro [TT90], qui les pre- miers établirent un contrôle de l’erreur E à l’ordre γ sous des hypothèses de régularité sur b, σ et f. Indiquons également les extensions proposées par Bally et Talay dans un cas hypoelliptique [BT96a] et [BT96b] ainsi que les approches parametrix considérées par Konakov et Mammen [KM00] et [KM02].

Mentionnons par ailleurs qu’un cas ergodique elliptique est déjà considéré dans [TT90].

Des cadres dégénérés liés aux applications précédemment évoquées associées au cadre de la mécanique Hamiltonienne ou problèmes cinétiques ont aussi été abordés par Talay [Tal02] et par Mattingly et al. [MSH02]. Pour simplifier, les dynamiques considérées dans les articles indiqués sont de la forme suivante :

dX

_t

“

ˆ b

₁

pX

_t

q X

¹_t

˙ dt `

ˆ σ

₁

pX

_t

q 0

_d,d

˙

dW

_t

, (1.13)

où W

_t

est un mouvement Brownien de R

^d

, X

_t

“ pX

¹_t

, X

²_t

q

^˚

avec X

¹_t

, X

²_t

P R

^d

. Avec les notations de (1.1), la dynamique de (1.13) correspond à bpxq “ pb

1

pxq, x

1

q

^˚

, σpxq “ pσ

₁

pxq, 0

_d,d

q. Dans les deux cas, les auteurs obtiennent sous des hypothèses de type irré- ductibilité, en exhibant une fonction de Lyapunov adéquate et pour un schéma implicite chez [Tal02], des contrôles sur l’erreur faible νpfq ´ ν

^γ

pf q en fonction du pas γ.

De plus, sous les conditions considérées, le théorème ergodique donne que pour f à croissance polynomiale, ν

_n^γ

pf q ÝÑ

^p.s.

nÑ8

ν

^γ

pfq la mesure invariante du schéma et non celle de la diffusion (1.1), i.e. la mesure d’occupation converge vers la mesure invariante du schéma et non celle de la diffusion. On pourrait espérer établir un théorème central limite (TCL) pour les déviations de la mesure d’occupation du schéma à pas constant mais cette approche induirait à considérer deux erreurs. Quoiqu’il en soit l’erreur globale se décompose en ce cadre en deux contributions, l’erreur statistique et l’erreur de discrétisation, i.e.

ν

_n^γ

p f q ´ ν p f q “ ν

_n^γ

p f q ´ ν

^γ

p f q ` ν

^γ

p f q ´ ν p f q “ : E

S

` E

D

.

Notons que l’étude de l’erreur de discrétisation E

D

conduit à résoudre deux fois l’équation de Poisson. Celle (1.10) associée à A et celle associée à A

^γ

(générateur du schéma) à savoir A

^γ

ϕ “ f ´ ν p f q , avec A

^γ

ϕ : “ γ

^´1

p P

_γ

ϕ ´ ϕ q , où P

_γ

est le semi-groupe associé au schéma.

L’étude de l’équation de Poisson dans le cadre continu (1.10) est déjà non triviale (voir Section 2.2), ajouter l’étude d’une équation de Poisson discrète rend l’analyse d’autant plus difficile. En outre, d’un point de vue algorithmique, à un pas de temps donné γ, on ne peut espérer atteindre la bonne mesure (sans biais).

La force de l’algorithme à pas décroissant que nous allons utiliser est de supprimer le terme d’erreur de discrétisation E

S

(la moyenne ergodique du schéma convergera vers la mesure cible ν). Il est également suffisamment robuste pour prendre en compte des dynamiques dégénérées comme celles considérées dans l’équation (1.13) dès lors que le problème associé à la diffusion est, en un certain sens, bien posé.

Les premiers travaux en ce sens remontent à Basak et al. [BHW97]. L’algorithme à pas décroissant considéré s’écrit pour n ě 0 :

X

_n`1

“ X

_n

` γ

_n`1

bpX

_n

q ` ?

γ

_n`1

σpX

_n

qU

_n`1

, X

₀

P L

²

pΩ, F

₀

, P q, (1.14) où p γ

_k

q

kě1

désigne une suite de pas décroissants. Leur résultat principal a été d’établir que la loi de X

_n

converge faiblement (au sens des mesures) vers la mesure invariante ν de la diffusion. Le pas décroissant permet d’une certaine manière d’être de plus en plus précis quand le temps devient grand. Le pas tend vers 0 au fur et à mesure que le temps augmente et, par rapport à un schéma à pas constants comme en (1.12), dans le cadre d’une simulation ergodique, on fait d’un coup tendre n vers l’infini et γ

n

vers 0.

Mentionnons également [PS94], qui ont montré un théorème ergodique, et une conver-

gence L

²

associée, pour la mesure d’occupation empirique d’un schéma à pas décroissant

de type (1.14) approchant un processus de diffusion à valeurs dans des groupes de Lie

compacts. Lamberton et Pagès [LP02] ont ensuite poussé beaucoup plus loin l’étude de

ce type de schémas en établissant dans le cadre de diffusions ergodiques Browniennes gé-

nérales un théorème ergodique pour la mesure d’occupation empirique du schéma (1.14)

ainsi qu’un théorème central limite (TCL) pour les déviations associées.

Pour n ě 0 fixé, la mesure d’occupation empirique se définit précisément de la façon suivante : pour tout A P Bp R

^d

q (sous-ensemble Borélien de R

^d

),

ν

n

pAq :“ ν

n

pω, Aq :“

ř

n

k“1

γ

_k

δ

_Xk´1pωq

p A q ř

n

k“1

γ

_k

. (1.15)

Nous noterons par la suite Γ

_n

: “ ř

n

k“1

γ

_k

qui représente le temps courant associé à (1.14) à l’étape n. Indiquons que Γ

_n

est l’analogue discret du t dans la mesure d’occupation ν

_t

associée à pX

_s

q

sPr0,ts

introduite en (1.3). Dans une perspective d’étude en temps long, la suite des pas de temps p γ

_k

q

kě1

sera choisie telle que Γ

_n

Ñ

n

`8.

Les hypothèses de Lyapunov renforcées (par rapport au critère (H)) considérées par Lamberton et Pagès sont les suivantes :

(L

_V

) Il existe une fonction de Lyapunov V : R

^d

ÝÑ rv

^˚

, `8r, avec v

^˚

ą 0 satisfaisant les conditions suivantes :

i) Régularité-Coercivité. V est une fonction de classe C

²

, }D

²

V }

8

ă `8, lim

_|x|Ñ8

V p x q “ `8 .

ii) Contrôle de la croissance. Il existe C

_V

P p 0, `8q tel que pour tout x P R

^d

:

|∇V pxq|

²

` |bpxq|

²

ď C

_V

V pxq.

iii) Stabilité. Il existe α

_V

ą 0, β

_V

P R

^`

tel que pour tout x P R

^d

, AV pxq ď ´α

_V

V pxq ` β

_V

.

Ces hypothèses signifient que V est sous-quadratique et b sous-linéaire. Un exemple ty- pique de processus vérifiant ces hypothèses est de nouveau l’Ornstein-Uhlenbeck. Il faut voir la condition iii) comme une contrainte sur la dérive qui doit se comporter comme une force de rappel sous-linéaire afin de faire revenir le processus à la moyenne.

Sous (L

_V

), Lamberton et Pagès montrent d’abord le théorème ergodique associé à l’algorithme (1.14), i.e. pour toute fonction ν ´ p.s. continue f à croissance polynomiale,

ν

_n

p f q ÝÑ

^p.s.

n

ν p f q “ ż

R^d

f p x q ν p dx q , (1.16) qui est le pendant discrétisé du Théorème ergodique (1.4). De ce fait, le principal intérêt de ce schéma vis-à-vis de celui à pas constant est qu’il fait converger la mesure empirique directement vers la mesure invariante de la diffusion. La démonstration de ce théorème ergodique repose sur le caractère tendu de la suite p ν

_n

p V qq

ně1

où V est une fonction de Lyapunov et sur le théorème d’Echeverria Weiss (identification de la limite en terme de problème de martingale, c.f. [EK86]).

Une fois le résultat ergodique (1.16) à disposition, la question naturelle est de nouveau d’établir un TCL, en regard du résultat de Bhattacharya rappelé en (1.9) dans le cas continu. Notons Γ

^p`qn

: “ ř

n

k“1

γ

_k^`

, ` ą 0, de sorte qu’en particulier Γ

^p1qn

“ Γ

_n

. En se

concentrant sur des fonctions f de la forme f ´ νpf q “ Aϕ où ϕ est une fonction régulière,

et pour lesquelles, d’après (1.11), νpAϕq “ 0 et ν

n

pf q ´ νpf q “ ν

n

pf ´ νpfqq “ ν

n

pAϕq,

Lamberton et Pagès ont montré le TCL suivant.

Theorem 1 (TCL de [LP02]) Sous les conditions de Lyapunov (L

_V

), s’il existe une unique mesure invariante à la diffusion (1.1), et si lim

_n

Γ

^p2qn

{ ?

Γ

_n

“ 0, alors pour toute fonction Lipschitz ϕ P C

³

p R

^d

, R q telle que D

²

ϕ soit bornée, D

³

ϕ soit bornée et Lipschit- zienne, et sup

_xPRd |σ^˚∇ϕpxq|²

Vpxq

ă `8 on a : a Γ

_n

ν

_n

pAϕq ÝÑ

^L

nÑ`8

N ˆ

0, ż

R^d

|σ

^˚

∇ϕ|

²

dν

˙ .

L’algorithme à pas décroissant permet effectivement d’avoir le pendant discret du TCL pour la diffusion énoncé en (1.9). La condition lim

_n

Γ

^p2qn

{ ?

Γ

_n

“ 0 est une condition sur les pas de temps. Précisément, pour une suite de pas pγ

_k

q

kě1

telle que γ

_k

— k

^´θ

, θ P p0, 1s, où l’on note γ

_k

— k

^´θ

pour indiquer qu’il existe une constante C ě 1 telle que pour tout k ě 0, C

^´1

k

^´θ

ď γ

_k

ď Ck

^´θ

, le critère lim

_n

Γ

^p2qn

{ ?

Γ

_n

“ 0 est vérifié pour θ P p

¹₃

, 1s. Le TCL précédent est remarquable au sens où, pour la plage de pas considérée, la discrétisation par le schema (1.14) n’est pas visible asymptotiquement. En effet, la loi limite est la même que dans (1.9) et la variance asymptotique correspond bien au carré du champ de la mesure invariante.

Indiquons également que plus le pas est grand plus la convergence sera rapide. Le TCL précédent peut s’étendre au cas θ “

¹₃

(meilleure vitesse) au prix de l’apparition d’un biais.

L’effet de la discrétisation se fait alors sentir. Le seuil θ “

¹₃

est doublement critique au sens où si θ ă

¹₃

le TCL n’est plus valable. Il est en quelque sorte caché par l’erreur de discrétisation. Seule subsiste une convergence en probabilité après renormalisation.

Nous renvoyons au Chapitre 3 pour de plus amples discussions sur les biais. Indiquons toutefois que celui-ci n’est pas aisé à approcher numériquement dans la mesure où il fait intervenir les dérivées de la fonction ϕ considérée jusqu’à l’ordre 4 ainsi que des intégrales par rapport à la mesure invariante et la loi de l’innovation.

La démonstration du Théorème 1 repose sur le TCL pour des accroissements de martingales de carré intégrable (voir e.g. [HH80] et [Duf90]). Il faut ainsi décomposer ν

_n

pAϕq “ M artingale ` Reste (comme nous le ferons dans l’équation (2.17) ci-après), puis vérifier que le terme M artingale satisfasse à la condition de Lindeberg (voir e.g.

[HH80]).

En pratique, il est important de connaître les intervalles de confiance associés à l’es- timation de la mesure invariante. Or le TCL n’est pas l’outil le plus adapté. A priori notre estimation renormalisée ?

Γ

_n

ν

_n

pAϕq ne suit pas une loi normale. Le TCL fournit un résultat asymptotique et ne permet pas, à n ě 0 donné de quantifier l’écart à la loi normale limite.

Le propos de cette première partie de thèse sera d’établir, sous des hypothèses si- milaires à celles du TCL précédent, une estimation de l’intervalle de confiance non- asymptotique. Nous le ferons grâce à des inégalités de concentration.

1.4 Inégalités de concentration

Le but de la première partie de cette thèse est d’établir une inégalité de concentra- tion (sous)-Gaussienne non-asymptotique pour la mesure empirique renormalisée ?

Γ

n

ν

n

associée au schéma à pas décroissants. Avec des pas constants, Malrieu et Talay dans

[MT06] ont montré une inégalité de concentration pour la mesure empirique en établis- sant une inégalité de type Log-Sobolev sur le schéma. On rappelle que l’inégalité de Log- Sobolev implique la concentration Gaussienne (voir par exemple l’argument de Herbst dans [BGL14]). Cette méthode est néanmoins très rigide pour un processus discrétisé.

L’approche développée dans cette thèse, privilégie l’utilisation directe de la propriété de concentration Gaussienne du terme d’innovation pU

_k

q

kě1

dans (1.14) qui se transmettra au schéma. Dorénavant, nous supposerons qu’une variable aléatoire U de même loi que les pU

k

q

kě1

dans (1.14) vérifie la propriété de concentration Gaussienne suivante :

(GC) La variable aléatoire U admet les mêmes trois premiers moments que la loi normale N p0, I

r

q, et vérifie pour toute fonction g : R

^r

Ñ R , 1´Lipschitz et pour tout λ ą 0 :

E “

exppλgpU qq ‰

ď exp ˆ

λ E rgpUqs ` λ

²

2

˙ .

Mentionnons que la propriété (GC) implique directement, via l’inégalité de Bienaymé – Chebyshev – Markov exponentielle et une optimisation en λ, que si l’on note µ la loi de U , alors, pour toute fonction g : R

^r

Ñ R , 1´Lipschitz et pour tout a ą 0 :

µpg ´ µpgq ě aq ď expp´ a

²

2 q.

La propriété (GC) est entre autres vérifiée par la loi normale et la loi de Rademacher.

1.5 De ν _n p Aϕ q à l’estimation de ν p f q pour une source f donnée

Nous avons vu que le TCL du Théorème 1 s’énonçait pour des fonctions de la forme f ´ ν p f q “ Aϕ pour ϕ suffisamment régulière. Dans la pratique, la problématique est inverse, on a une source f à disposition dont on souhaite estimer la moyenne νpfq. Ceci pose donc, à source f donnée, la question de trouver ϕ suffisamment régulière telle que Aϕ “ f ´ ν p f q . En d’autres termes, il faut résoudre l’équation de Poisson pour la source f et obtenir une régularité suffisante pour la solution. De façon similaire a ce qui a été évoqué pour le théorème ergodique, deux grands jeux d’hypotèses (la non-dégénerescence et la confluence) permettront d’aboutir au résultat attendu. Nous renvoyons à la Section 2.2 ci-après et au Chapitre 3 pour une présentation plus détaillée. Jusqu’à cette section nous énoncerons nos résultats, de façon similaire au Théorème 1, pour les déviations de

? Γ

_n

ν

_n

p Aϕ q .

2 Premier résultat de concentration

Le premier résultat du Chapitre 3 est le résultat de concentration suivant qui peut se voir comme un premier pendant non-asymptotique du Théorème 1.

Theorem 2 Supposons qu’il existe une unique mesure invariante associée à (1.1), que

σ est bornée, que X

0

et pU

k

q

kPrr1,nss

vérifient (GC). Si (L

V

) est vérifiée alors pour toute

fonction ϕ de classe C

³

, telle que ∇ϕ, D

²

ϕ, D

³

ϕ sont bornés et que D

³

ϕ est β-Hölder,

β P p0, 1q vérifiant pour une certaine constante C

_V,ϕ

ą 0 |ϕ| ď C

_V,ϕ

p1 ` a

V qq, et que x ÞÑ xb, ∇ϕypxq est Lipschitz si Γ

^p

3`β 2 q

n

{ ?

Γ

n

Ñ

n

0 , alors il existe c

n

ď 1 ď C

n

, n ě 1, avec lim

_n

C

_n

“ lim

_n

c

_n

“ 1, telles que pour tout n ě 1 et a ą 0 (qui peut dépendre de n) :

P “

| a

Γ

_n

ν

_n

pAϕq| ě a ‰

ď 2C

_n

exp ˆ

´c

_n

a

²

2}σ}

²₈

}∇ϕ}

²₈

˙ ,

où C

_n

“ exp `

_rD³_ϕsβ}σ}^{3`β</sup><sub>8 Er|U1|</sub><sup>3`β}_s

p1`βqp2`βqp3`βq Γ^p

3`β 2 q n?

Γn

`p

_n^?Γp2qn_Γ

n

˘ avec p

_n

une suite ě 1 telle que p

_n

Ñ

n

`8 et p

_n^?Γp2qn_Γ

n

Ñ

n

0.

Remarquons que la variance de la borne supérieure de la déviation est une majoration du carré du champ. En effet, νp|σ

^˚

∇ϕ|

²

q “ ş

|σ

^˚

∇ϕ|

²

pxqνpdxq ď }σ}

²₈

}∇ϕ}

²₈

, avec }σ}

₈

:“

sup

_xPRd

~ σ p x q~ où ~ ¨ ~ désigne une norme matricielle. On peut considérer typiquement la norme d’opérateur, i.e. ~σpxq~

_O

:“ sup

_ξPRd

|σpxqξ|

|ξ|

, en notant par | ¨ | la norme Euclidienne.

Celle-ci est indépendante de la dimension mais potentiellement délicate à estimer. Un autre choix possible est la norme de Fröbenius, ~σpxq~

_F

“ ř

1ďiďd,1ďjďr

σ

_ij²

pxq, qui est facile à calculer mais dépend de la dimension. De façon similaire, on note }∇ϕ}

₈

:“

sup

_xP

R^d

| ∇ϕ p x q|.

Ainsi, la majoration du Théorème 2 n’est pas optimale vis-à-vis de son pendant asymp- totique : le Théorème 1. Nous fournirons plus loin une inégalité de concentration non- asymptotique similaire mais avec le carré du champ dans la borne de droite (voir la Section 3). Contrairement au Théorème 1, le cadre sans biais est pour Γ

^p

3`β 2 q

n

{ ?

Γ

_n

Ñ

n

0 et non Γ

^p2qn

{ ?

Γ

_n

Ñ

n

0. Pour le choix naturel de pas de temps γ

_k

— k

^´θ

, θ P p 0, 1 s , ceci signifie que le théorème précédent est valable pour θ P p

_2`β¹

, 1s. Il y a donc bien continuité avec le Théorème 1 pour β “ 1.

Nous avons réussi à demander moins de régularité à D

³

ϕ dans le Théorème 2 (où D

³

ϕ est β-Hölder) par rapport au Théorème 1 (où D

³

ϕ est Lipschitz). La moindre régularité de ϕ se paye en terme de vitesse de convergence. Mentionnons que l’affaiblissement de la régularité est motivé par la possible prise en considération de sources f Lipschitz pour notre estimation ergodique (cadre usuel des inégalités fonctionnelles). Ce cadre est détaillé en Section 2.4.

Notons que si ϕ est solution de l’équation de Poisson (1.10), sous les hypothèses du Théorème 2, ∇ϕ et D

²

ϕ sont Lipschitz. Ainsi, pour σ borné et Lipschitz, dès lors que f est aussi Lipschitz, on a clairement de la relation xb, ∇ϕy “ f ´

¹₂

Trpσσ

^˚

D

²

ϕq, que x ÞÑ x b p x q , ∇ϕ p x qy est également Lipschitz.

L’hypothèse |ϕ| ď C

_V,ϕ

p1` ?

V q est essentiellement technique et utilisée pour contrôler des termes de restes dans la décomposition (2.17) ci-dessous (voir également Chapitre 3).

Dans le cas particulier où V p x q — 1 ` | x |

²

, elle est automatiquement vérifiée de par le caractère uniformément Lipschitzien de ϕ.

Enfin, comme corollaire important du Théorème 2, lorsque ϕ est solution de Aϕ “ f ´ ν p f q , nous déduisons comme annoncé précédemment, l’estimation non-asymptotique suivante pour l’intervalle de confiance associé à la simulation ergodique :

P

”

ν p f q P “

ν

_n

p f q ´ a

? Γ

_n

, ν

_n

p f q ` a

? Γ

_n

‰ ı

ě 1 ´ 2C

_n

exp `

´ c

_n

a

²

2}σ}

²₈

}∇ϕ}

²₈

q

˘ .