Communications Efficaces et Auto-Stabilisation

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Submitted on 3 May 2010

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Communications Efficaces et Auto-Stabilisation

Stéphane Devismes, Toshimitsu Masuzawa, Sébastien Tixeuil

To cite this version:

Stéphane Devismes, Toshimitsu Masuzawa, Sébastien Tixeuil. Communications Efficaces et Auto-

Stabilisation. 12èmes Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques de Télécommunica-

tions (AlgoTel), May 2010, Belle-Dune, France. pp.id 19. �hal-00479860�

Auto-Stabilisation ^†

St´ephane Devismes ¹ , Toshimitsu Masuzawa ² et S´ebastien Tixeuil ³

1

VERIMAG UMR 5104, Universit´e Joseph Fourier, Grenoble I

2

Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University, Japan

3

LIP6 UMR 7606, Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris VI

Dans cet article, nous introduisons le concept d’efficacit´e des communications dans les algorithmes auto-stabilisants.

Nous d´efinissons plusieurs mesures permettant de juger de cette efficacit´e. Nous en ´etudions les limites. Enfin, nous illustrons notre approche en proposant deux algorithmes auto-stabilisants ayant de bonnes propri´et´es d’efficacit´e des communications.

Keywords: syst`emes distribu´es, auto-stabilisation, algorithme silencieux, communications efficaces

1 Introduction

L’auto-stabilisation [Dij74] est un paradigme g´en´eral permettant de concevoir des algorithmes distribu´es tol´erants aux fautes transitoires. Une faute transitoire est une panne non-d´efinitive qui alt`ere le contenu des composant du r´eseau (processus ou canal de communication) o `u elle se produit. En supposant que les fautes transitoires n’alt`erent pas le code de l’algorithme, un algorithme auto-stabilisant retrouve de lui-mˆeme et en un temps fini un comportement normal apr`es que les fautes transitoires ont cess´e. Le crit`ere principal permettant de juger de l’efficacit´e d’un algorithme auto-stabilisant est le temps de stabilisation, c’est-`a-dire, le temps maximal n´ecessaire `a l’algorithme pour retrouver un comportement correct apr`es que les fautes ont cess´e. Dans cet article, nous soutenons que ce crit`ere n’est pas suffisant. En effet, il ne permet pas, par exemple, d’´evaluer le surco ˆut occasionn´e par la propri´et´e d’auto-stabilisation : en l’absence de faute, un algorithme auto-stabilisant a un co ˆut g´en´eralement sup´erieur `a son ´equivalent non auto-stabilisant. Ce surco ˆut est observable `a la fois au niveau du temps d’ex´ecution, de l’occupation m´emoire, du nombre et de la taille des messages ´echang´es. Par exemple, la plupart des algorithmes auto-stabilisants n´ecessitent que tous les processus continuent `a envoyer r´eguli`erement des informations `a tous leurs voisins (heartbeat) apr`es que le syst`eme a stabilis´e.

Dans cet article, nous proposons d’´etudier comment r´eduire le surco ˆut en communication des algorithmes auto-stabilisants. Afin de d´etecter d’´eventuelles nouvelles fautes, tout algorithme auto-stabilisant n´ecessite que les processus continuent `a s’´echanger des informations apr`es que le syst`eme a converg´e. Nous propo- sons ici de r´eduire le nombre de voisins avec lesquels un processus continue `a ´echanger des informations une fois que l’algorithme auto-stabilisant a retrouv´e un comportement normal, on parlera alors d’efficacit´e des communications. Une notion d’efficacit´e en communication a d´ej`a ´et´e introduite pour des algorithmes tol´erants aux pannes d´efinitives : dans [LFA00], les auteurs proposent des algorithmes qui garantissent qu’un nombre global de liens de communication finissent par ne plus jamais ˆetre utilis´es. Ici, notre ap- proche est diff´erente. Nous souhaitons r´eduire le nombre de voisins avec lesquels chaque processus com- munique. Ainsi, (1) le nombre de liens de communication globalement utilis´e est r´eduit et (2) la charge des communication est r´epartie entre les diff´erents processus. Notre notion d’efficacit´e des communications est particuli`erement pertinente pour des algorithmes silencieux. De tels algorithmes convergent en un temps fini vers une configuration `a partir de laquelle les informations ´echang´ees entre voisins sont toujours les

†

Les r´esultats pr´esent´es ici sont issus de [DMT09]. Ce travail est soutenu par les projets ANR SHAMAN et EGIDE SAKURA.

St´ephane Devismes, Toshimitsu Masuzawa et S´ebastien Tixeuil

mˆemes. De tels algorithmes permettent de structurer un r´eseau, par exemple avec arbre couvrant ou un ensemble dominant.

Dans la section suivante, nous pr´esentons bri`evement le mod`ele consid´er´e. Dans la section 3, nous d´efinissons des mesures permettant de juger de l’efficacit´e des communications. Dans la mˆeme section, nous en ´etudions les limites. Dans la section 4, nous illustrons notre approche avec deux algorithmes auto- stabilisants ayant de bonnes propri´et´es d’efficacit´e des communications. Nous concluons dans la section 5.

2 Mod `ele

Nous consid´erons des r´eseaux bidirectionnels quelconques de n processus o `u chaque processus peut communiquer directement avec un ensemble restreint d’autres processus appel´es voisins. Les processus communiquent par le biais de variables de communication localement partag´ees : chaque processus dis- pose de variables de communication qui peuvent ˆetre lues par lui-mˆeme et par ses voisins mais o `u il est le seul `a pouvoir ´ecrire. Les processus disposent en outre de variables internes qu’ils sont les seuls `a pouvoir lire ou ´ecrire. L’´etat d’un processus correspond aux contenus de ses variables internes et de ses variables de communication. Nous appelons ´etat de communication l’´etat d’un processus restreint aux variables de com- munication. L’ensemble des ´etats des processus `a un instant donn´e forme la configuration du syst`eme. La configuration de communication correspond `a la restriction aux ´etats de communication de la configuration du syst`eme.

Les ex´ecutions sont des suites d’´etapes atomiques : `a chaque ´etape, un sous-ensemble des processus est activ´e. En une ´etape atomique, chaque processus activ´e lit ses propres variables (internes et de communi- cation) ainsi que les variables de communication de ses voisins, puis ´eventuellement modifie son ´etat. Les processus sont activ´es de mani`ere asynchrone mais ´equitable. Pour mesurer le temps de stabilisation, nous utilisons la notion de ronde, qui permet de mesurer le temps d’ex´ecution rapport´e au processus le plus lent.

Ainsi, la premi`ere ronde d’une ex´ecution termine d`es lors que tous les processus ont ´et´e activ´es au moins une fois, la seconde ronde commence, etc.

3 Mesures et Limites de l’Efficacit ´e des Communications

Nous proposons une nouvelle mesure, appel´ee k-efficacit´e, permettant de distinguer les algorithmes o`u les processus activ´es lisent les variables de communication de tout ou partie de leurs voisins : un algorithme est dit k-efficace si `a chaque ´etape de calcul, les processus activ´es lisent les variables de communication d’au plus k de leurs voisins. La k-efficacit´e permet de r´eduire le nombre et la taille des informations ´echang´ees `a chaque ´etape. Aussi pour comparer le gain des algorithmes k-efficaces aux autres algorithmes, nous avons introduit la notion de volume de communication qui correspond au volume maximum d’informations lu (c’est-`a-dire la somme des tailles des variables de communication lu) par chaque processus `a chaque ´etape de calcul. Ce crit`ere est plus pertinent que la notion classique d’encombrement m´emoire des algorithmes auto-stabilisants qui correspond `a la somme des tailles des variables internes plus les tailles des variables de communication.

Un autre crit`ere int´eressant concerne la stabilit´e des communications, c’est-`a-dire, le fait qu’un processus finisse par ne plus lire que les variables de communication d’un sous-ensemble particulier de ses voisins.

Un algorithme est dit k-stable si durant toutes ses ex´ecutions, tout processus lit les variables de communi- cation d’au plus k voisins diff´erents au moins une fois. Une telle propri´et´e serait tr`es int´eressante pour un algorithme auto-stabilisant. Cependant, nous avons d´emontr´e dans [DMT09] que la plupart des probl`emes n’admettent pas de solution auto-stabilisante k-stable o `u k est inf´erieur au degr´e du r´eseau mˆeme lorsque le r´eseau est enracin´e <sup>‡</sup> et comporte une orientation des arˆetes d´efinissant un graphe orient´e acyclique ayant la racine comme source. Plus pr´ecis´ement, nous avons identifi´e une classe de probl`emes, appel´ee probl`emes

`a voisinage complet, qui n’admet pas de telles solutions. Informellement, un probl`eme `a voisinage complet est un probl`eme dans lequel pour chaque paire de voisins, il existe des ´etats qui sont l´egitimes s´epar´ement mais pas simultan´ement. Par exemple, dans le probl`eme du couplage maximal, si un processus n’est pas dans un couplage, alors son ´etat est correct `a condition que tous ses voisins soient dans des couplages.

‡. C’est-`a-dire, il contient un processus distingu´e.

Cette classe de probl`emes comporte bien d’autres probl`emes comme l’ensemble ind´ependant maximal et la construction d’arbre couvrant.

Nous avons alors introduit une notion de stabilit´e moins contraignante : un algorithme est dit finalement k-stable si dans toutes ses ex´ecutions, il existe un suffixe au cours duquel chaque processus lit les variables de communication d’au plus k voisins diff´erents au moins une fois. Cette propri´et´e admet des solutions auto- stabilisantes : dans [MIKW09], Masuzawa et al pr´esentent un algorithme auto-stabilisant de construction d’arbre couvrant finalement 1-stable pour des r´eseaux enracin´es de topologie quelconque. Cependant, une fois encore, tous les probl`emes n’admettent pas de solution auto-stabilisante finalement k-stable. En effet, nous avons d´emontr´e dans [DMT09] que les probl`emes `a voisinage complet n’admettent pas de solutions auto-stabilisantes finalement k-stable o `u k est inf´erieur au degr´e dans les r´eseaux anonymes.

Finalement, nous avons introduit une version affaiblie de la finalement k-stabilit´e : un algorithme est dit finalement (x, k)-stable si dans toutes ses ex´ecutions, il existe un sous-ensemble de processus S de taille x et un suffixe d’ex´ecution au cours duquel chaque processus de S lit les variables de communication d’au plus k voisins diff´erents au moins une fois.

4 Algorithmes

Dans cette section, nous illustrons les notions de 1-efficacit´e et de finalement (x,1)-stabilit´e en auto- stabilisation avec deux algorithmes. Ces deux algorithmes sont ´ecrits pour des r´eseaux color´es de topologie quelconque. Color´e signifie que chaque processus dispose d’une constante

couleur

C qui diff`ere de celle de ses voisins. Nous supposons en outre que les couleurs sont totalement ordonn´ees.

Ensemble Ind´ependant Maximal. Nous proposons tout d’abord un algorithme auto-stabilisant qui cons- truit un ensemble ind´ependant maximal du r´eseau. Un ensemble ind´ependant est un sous-ensemble de pro- cessus tel que aucun processus de cet ensemble n’est voisin d’un autre processus de cet ensemble. Un ensemble ind´ependant est dit maximal si aucun de ses sur-ensembles n’est un ensemble ind´ependant.

Dans notre algorithme, chaque processus dispose d’une variable de communication S qui a deux ´etats possibles : dominant et domin´e. Le but de notre algorithme est de converger vers une configuration o`u l’en- semble des processus

dominants

forme un ensemble ind´ependant maximal. Ainsi, toute configuration l´egitime de notre algorithme v´erifie les deux propri´et´es suivantes :

– Tous les voisins d’un processus dominant sont des processus domin´es (ind´ependance).

– Chaque processus domin´e a au moins un voisin dominant (maximalit´e).

En plus de la variable S, chaque processus utilise une variable interne Cur. Cette variable d´esigne un voisin du processus et permet d’obtenir la 1-efficacit´e : un processus ne lit que l’´etat de communication de son voisin point´e par Cur.

Ensuite, en fonction de la valeur de S, chaque processus p adopte la strat´egie suivante :

– Si p est dominant (c’est-`a-dire, S <sub>p</sub> = dominant), alors p regarde l’un apr`es l’autre les ´etats de commu- nication de ses voisins (`a chaque action, p lit l’´etat de communication de son voisin point´e par Cur puis change la valeur de Cur pour son voisin suivant). Si p d´ecouvre que l’un de ses voisins q est aussi dominant, alors la propri´et´e d’ind´ependance est viol´ee. Dans ce cas, soit p soit q doit devenir do- min´e. Nous utilisons alors les couleurs pour faire un choix d´eterministe, c’est-`a-dire, le processus ayant la plus grande couleur devient domin´e. Noter que dans une configuration l´egitime, chaque dominant contrˆole continuellement ses voisins.

– Si p est domin´e (c’est-`a-dire, S p = domin ´ e), alors p doit avoir la garantie qu’au moins l’un de ses voisins est dominant (maximalit´e). Si le voisin de p point´e par Cur p n’est pas dominant alors p devient dominant. Aussi, pour acc´el´erer le temps de convergence, si le voisin q de p point´e par Cur p a une couleur plus grande que celle de p alors p devient dominant mˆeme si q est dominant.

Nous avons prouv´e dans [DMT09] qu’en suivant cette strat´egie notre algorithme ´etait auto-stabilisant, 1- efficace et finalement (⌊ ^L

₂ ⁺¹ ⌋,1)-stable o `u L _max est la longueur (en nombre d’arˆetes) du plus long chemin

´el´ementaire du r´eseau, c’est-`a-dire, qu’une fois que l’algorithme a converg´e, au moins ⌊ ^L

₂ ⁺¹ ⌋ processus

ne lisent plus que les variables de communication d’un seul voisin. Enfin, notre algorithme stabilise en

O(∆ × ♯ C ₎ rondes o `u ∆ est le degr´e du r´eseau et ♯ C est le nombre de couleurs diff´erentes utilis´ees.

St´ephane Devismes, Toshimitsu Masuzawa et S´ebastien Tixeuil

Couplage Maximal. Notre deuxi`eme algorithme auto-stabilisant construit un couplage maximal du r´eseau.

Un couplage est un ensemble d’arˆetes tel qu’il n’y aucun sommet qui est incident `a deux arˆetes diff´erentes de l’ensemble. Un couplage est dit maximal si aucun de ses sur-ensembles n’est un couplage.

Dans notre algorithme, les processus utilisent la variable interne Cur de la mˆeme mani`ere que dans l’algorithme pr´ec´edent afin d’obtenir la k-efficacit´e.

Ensuite, le principe de base de l’algorithme est de cr´eer des paires de voisins

mari´es

. Les liens entre ces paires constituent le couplage maximal. Pour cr´eer ces paires, chaque processus utilise une variable de communication PR qui d´esigne un voisin ou est ´egale `a 0. Deux voisins sont mari´es si et seulement si ils se d´esignent l’un l’autre avec leurs variables PR.

Lorsque PR _p vaut 0, cela signifie que le processus p n’est pas mari´e et qu’il n’a pas trouv´e de voisin `a qui proposer le mariage. Dans ce cas, p est dit libre.

Lorsque PR p d´esigne un voisin q, cela signifie que le processus p est soit mari´e avec q soit il a propos´e un mariage `a q.

Chaque processus maintient une variable de communication bool´eenne M afin d’informer tous ses voisins de son statut (mari´e ou pas mari´e).

En se basant sur ces 3 variables, chaque processus p applique la strat´egie suivante :

– p n’est autoris´e `a se marier qu’avec le voisin point´e par Cur <sub>p</sub> . Donc, si PR <sub>p</sub> ∈ {0,Cur / p }, alors PR p est affect´e `a Cur _p (ce cas est toujours cons´ecutif `a une faute).

– p maintient `a jour M <sub>p</sub> de telle mani`ere que M _p soit vrai lorsqu’il est mari´e.

– Si p est libre et que son voisin d´esign´e par Cur _p lui propose un mariage, alors p accepte en affectant PR _p `a q.

– p r´einitialise PR _p `a 0 lorsque p n’est par mari´e et que son voisin point´e par PR _p est soit (i) mari´e avec un autre processus (PR _q ∈ {0, / p}) soit (ii) a une couleur plus petite que la sienne. La condition (i)

´evite que p attende un voisin d´ej`a mari´e. La condition (ii) est utilis´e pour casser les cycles.

– Lorsque p est libre, il doit essayer de se marier. Donc, il regarde un `a un les ´etats de communication de ses voisins jusqu’`a trouver un voisin libre avec une couleur plus grande que la sienne. Donc, p fait varier Cur p jusqu’`a ce qu’il trouve un voisin q v´erifiant la condition, dans ce cas p propose le mariage

`a q en affectant PR p `a q.

Nous avons prouv´e dans [DMT09] qu’en suivant cette strat´egie notre algorithme ´etait auto-stabilisant, 1-efficace et finalement (⌈ _2∆−1 ^2m ⌉, 1)-stable o `u m est le nombre d’arˆetes du r´eseau et ∆ est le degr´e du r´eseau, c’est-`a-dire, qu’une fois que l’algorithme a converg´e, au moins ⌈ _2∆−1 ^2m ⌉ processus ne lisent plus que les variables de communications d’un seul voisin. Enfin, notre algorithme stabilise en au plus (∆ + 1)n + 2 rondes (n est le nombre de processus).

5 Conclusion

Dans cet article, nous nous sommes int´eress´es `a la minimisation du surco ˆut en communication des al- gorithmes auto-stabilisants calculant des points fixes (algorithmes silencieux). Nous avons tout d’abord propos´e de nouvelles mesures permettant d’´evaluer ce surco ˆut, particuli`erement dans la phase stabilis´ee.

Dans un second temps, nous avons propos´e deux algorithmes o `u le surco ˆut en communication est amoin- dri. Dans nos travaux futurs, nous souhaiterions g´en´eraliser notre approche en proposant une m´ethode de transformation automatique d’un algorithme auto-stabilisant en un algorithme auto-stabilisant efficace.

R ´ef ´erences

[Dij74] Edsger W. Dijkstra. Self-stabilizing systems in spite of distributed control. Commun. ACM, 17(11) :643–

644, 1974.

[DMT09] St´ephane Devismes, Toshimitsu Masuzawa, and S´ebastien Tixeuil. Communication efficiency in self- stabilizing silent protocols. In ICDCS, pages 474–481. IEEE Computer Society, 22-26 June 2009.

[LFA00] Mikel Larrea, Antonio Fern´andez, and Sergio Ar´evalo. Optimal implementation of the weakest failure detector for solving consensus. In SRDS, pages 52–59, 2000.

[MIKW09] Toshimitsu Masuzawa, Taisuke Izumi, Yoshiaki Katayama, and Koichi Wada. Brief announcement :

Communication-efficient self-stabilizing protocols for spanning-tree construction. In OPODIS, volume

5923 of Lecture Notes in Computer Science, pages 219–224. Springer, 2009.