Un complexe de Koszul de modules instables et cohomotopie d'un spectre de Thom

Bulletin

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Publié avec le concours du Centre national de la recherche scientifique

de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Tome 140 Fascicule 2

2012

pages 257-308

UN COMPLEXE DE KOSZUL DE MODULES INSTABLES ET

COHOMOTOPIE D’UN SPECTRE DE THOM

Nguyen Dang Ho Hai

UN COMPLEXE DE KOSZUL DE MODULES INSTABLES ET COHOMOTOPIE D’UN SPECTRE DE THOM

par Nguyen Dang Ho Hai

Résumé. — Dans [8], les auteurs ont construit une résolution injective minimale d’un module instable dans la catégorie des modules instablesmodulo2. A partir de cette résolution, un résultat de type conjecture de Segal a été obtenu pour un certain spectre de Thom. Le but de cet article est de refaire ces résultats pour lespremiers impairs.

Etant donné un premier impairp, on construit dans ce travail un complexe de Koszul dans la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulop. Une réso- lution injective d’un module instable intéressant est obtenue comme cas particulier de ce complexe de Koszul. Ce module instable est la cohomologie modulopd’un spectre de Thom qui apparaît (àp-complétion près) comme l’un des fibres homotopiques non contractiles dans la tour de Goodwillie du foncteur identité évaluée en la sphèreS³. Comme application de cette résolution injective, on calcule quelques groupes de coho- motopie de ce spectre à l’aide du travail de S. Zarati [24] sur les foncteurs dérivés du foncteur de déstabilisation.

Abstract(A Koszul complex of unstables modules and cohomotopy of a Thom spec- trum)

We constructed in [8] a minimal injective resolution of an unstable module over themodulo2Steenrod algebra. From this resolution, a Segal conjecture-type result was obtained for a certain Thom spectrum. In this paper we propose to study similar problems modulo odd primes. Given p an odd prime, we construct in this work a

Texte reçu le 24 mars 2011, accepté le 17 octobre 2011.

Nguyen Dang Ho Hai, Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, UMR 7539 du CNRS, Université Paris 13, 99, Av. J-B Clément, 93430 Villetaneuse, France Current address: Institut de Recherche en Mathématique et Physique, 2 Chemin du Cyclotron, B- 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique • E-mail :nguyen@math.univ-paris13.fr

Classification mathématique par sujets (2010). — 55S10, 55Q55, 16S37.

Mots clefs. — Complexe de Koszul, module instable, foncteur de déstabilisation.

L’auteur est partiellement soutenu par le projet ANR blanc BLANN08-2_338236, HGRT.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2012/257/$ 5.00

©Société Mathématique de France

Koszul complex in the category of unstable modules over the modpSteenrod algebra.

An injective resolution of an interesting unstable module is obtained as a special case of this Koszul complex. This unstable module is the modp cohomology of a Thom spectrum used in the description of the layers of the Goodwillie tower of the identity functor evaluated on the sphereS³. As an application of the injective resolution, we compute some cohomotopy groups of the Thom spectrum using work of S. Zarati [24]

on the derived functors of the destabilisation functor.

1. Introduction

Soientpun premier etVn= (Z/p)ⁿunp-groupe abélien élémentaire. On note ρn la représentation réelle régulière réduite deVn, et pour tout entier naturel m, on notemρ_n la somme directe demcopies deρ_n. On considère l’espace de ThomBV_n^mρn du fibré vectoriel associé àmρn au-dessus de l’espace classifiant BVn. L’action naturelle du groupe linéaire généralGLn(Fp)surVn induit une action sur l’espace de ThomBV_n^mρn. On poseL(n, m) =e_nBV_n^mρn, le facteur stable de BV_n^mρn déterminé par l’idempotent de Steinberg [23]en de l’anneau Fp[GLn(Fp)].

Les spectresL(n, m)apparaissent dans la théorie de Goodwillie comme suit.

On considère la tour de Goodwillie du foncteur identité de la catégorie des espaces topologiques pointés :

...

P_k(X)

j_k

F_k(X)

oo

Pk−1(X)

Fk−1(X)

oo

...

X ⁱ¹ // ??

ik

DD

P₁(X) Ω^∞Σ^∞(X).

Dans ce diagramme, le foncteur Fk est la fibre homotopique de la transforma- tion naturellej_k:P_k→P_k−1. Il suit de la théorie de Goodwillie [7] queF_k(X)

o

est un espace de lacets infini,i.e.il existe un spectreFk(X)tel queFk(X)soit le0-ième espace deFk(X):

Fk(X) = Ω^∞Fk(X).

En particulier, àp-complétion près, siXest la sphèreS^m(mest supposé impair sipest impair), on a

Fk(S^m)'

(Σ^m−nL(n, m) sik=pⁿ,

∗ sinon.

(voir [3], [2, Thm. 1.9, Cor. 9.6]).

On note Ln,m la cohomologie modulopdu spectreL(n, m). On se propose d’analyserL_n,men tant que objet de la catégorie

U

[22] des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo p,

A

p. On sait queLn,0et Ln,1sont des mo- dules instables injectifs. Dans [8], on a construit explicitement une résolution injective minimale deL_n,2dans la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo2. A partir de cette résolution, un résultat de type conjec- ture de Segal a été obtenu pour les groupes de cohomotopie du spectreL(n,2) (2-complété).

Dans cet article, on étend ces résultats à tout nombre premier impair. On profite de cette occasion d’améliorer et de clarifier la construction du complexe fondamental du cas p= 2. Pour ce faire on introduit un complexe de Koszul approprié qui permet de généraliser les complexes exacts obtenus et ouvre de nouvelles perspectives. En particulier, en considérant la limite de ces complexes on est amené à introduire une algèbre de Koszul qui mérite une étude plus approfondie.

Dans ce qui suit, on fixe pun nombre premier impair. A l’aide de l’isomor- phisme de Thom, on peut considérerLn,mcomme un sous-module de H^∗Vn :

L_n,m=e_n·(e^m_nH^∗V_n)⊂H^∗V_n,

en ∈ H^pn−1Vn étant la classe d’Euler de ρn. En particulier, on vérifie que Ln := Ln,1 est un facteur direct indécomposable du module instable injectif H^∗V_n [22], doncL_n est un module instable injectif indécomposable.

Pour énoncer les résultats, on considère le module quotient :

J_n,m:= L^⊗n₁

Pn−1

i=1 L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^⊗n−i−1₁ +L^⊗n−1₁ ⊗L1,m

.

On observera queJn,mest un module fini (voir la section4.14). En particulier, J_n,1est trivial.

Voici le premier résultat de cet article.

Théorème 1.1. — Soient n, mdeux entiers positifs avec m impair. Il existe une suite exacte de

A

p-modules instables :

0→Ln,m→Ln→Ln−1⊗J1,m→ · · · →Ln−k⊗Jk,m→ · · · →Jn,m→0.

On verra plus bas que cette suite exacte est de type complexe de Koszul.

Pourm= 1, la suite exacte se réduit à l’identificationLn,1=Lnci-dessus. Afin d’énoncer le résultat pour le casm= 3, on rappelle que le module instable de Brown-Gitler J(i), i ∈ N, est un module fini caractérisé par l’isomorphisme naturel en M ∈

U

^:

Hom_U(M, J(i))∼=M^i∗.

On rappelle aussi que le produit tensoriel L_k⊗J(i), k, i∈ N, est un module instable injectif indécomposable [13].

Théorème 1.2. — On a un isomorphisme de modules instables J_n,3 ∼= J(2pⁿ−2).En particulier, la suite exacte

Ln,3,→Ln→L_n−1⊗J(2p−2)→ · · · →L_n−k⊗J(2p^k−2)→ · · · →J(2pⁿ−2)→0 est une résolution injective minimale de L_n,3 dans la catégorie

U

^.

On se sert de cette résolution injective pour étudier les groupes de coho- motopie du spectre L(n,3) (p-complété). Rappelons que si X est un spectre, le calcul du groupe de cohomotopie [X, S^k] des classes d’homotopie d’appli- cations de X vers le spectre des suspensions itérées de la sphèreS^k est l’une des questions importantes en topologie algébrique. Des cas particuliers ont été étudié ces dernières années parmi lesquels on peut citer la conjecture de Segal [1] concernant le calcul de[Σ^∞BVn, S^k],k≥0.

Pour avoir des informations sur les groupes [L(n,3), S^k], on utilise la suite spectrale d’Adams en cohomologie modulo p dont le terme E₂^∗,∗ ∼= Ext^∗,∗_A

p(Z/p, Ln,3) est étudié à l’aide des foncteurs dérivés du foncteur de déstabilisation [24] et des propriétés de la résolution injective deL_n,3 trouvée ci-dessus.

Voici un résultat partiel sur les groupes de cohomotopie du spectre L(n,3) (p-complété).

Théorème 1.3. — Supposonsk≥2pⁿ⁻²+n. Alors [L(n,3), S^k] =







Z/p sik= 2pⁿ−2 +n, Z/p sik= 2pⁿ⁻¹−1 +n, 0 sinon.

o

Plan de l’article. — Dans la section2 on définit les modules instablesLn,met on donne une base additive pour chaque module Ln,m. Dans la section 3 on démontre le théorème1.1en construisant un complexe de Koszul associé à une suite de modules instables. Dans la section4on donne une présentation pour le module de Brown-GitlerJ(2pⁿ−2)et ainsi démontre le théorème1.2. Comme applications de la résolution injective de L_n,3, on calcule quelques groupes de cohomotopie du spectre L(n,3) dans la section 5. Pour le calcul des groupes d’extension Ext^∗,∗_A

p(Fp, Ln,3), on aura besoin de comprendre l’espace vectoriel (D(n) :L1)_U, la division dans la catégorie

U

^parL1deD(n) := Im (H^∗Σpⁿ

−−→res

H^∗V_n). La section6 sera consacrée à la détermination de cet espace vectoriel.

Remerciements. — Ce travail fait partie de ma thèse de doctorat effectuée à l’Université Paris 13 sous la direction de Lionel Schwartz. Je tiens à remercier Lionel Schwartz pour sa générosité, ses conseils, sa patience et ses exigences qui m’ont toujours accompagné pendant la thèse. Je remercie Geoffrey Powell pour la suggestion de l’utilisation de complexe de Koszul qui a manifestement amélioré la construction du complexe dans [8]. Enfin je remercie Saïd Zarati d’avoir écrit la thèse [24] qui joue un rôle essentiel dans l’étude des groupes de cohomotopie du spectreL(n,3).

2. Les modules instablesLn,m

SiX est un espace ou un spectre, on noteH^∗X la cohomologie modulopde X. La cohomologie modulopdeVn est donnée par

H^∗Vn∼= Λ(x1, . . . , xn)⊗Fp[y1, . . . , yn],

où {x1,· · · , xn} est la base canonique de l’espace dual V_n^∗ ∼=H¹Vn. L’action de l’algèbre de Steenrod

A

p surH^∗V_n est déterminée par les formules

βxi=yi, P¹yi=y_i^p, 1≤i≤n

et la formule de Cartan. Cette action commute à l’action naturelle à gauche du semi-groupe de n×n-matrices à coefficients dans Fp,Matn(Fp), surH^∗Vn

déterminée comme suit [18]. Sig= (g_i,j)∈Mat_n(Fp)etf ∈H^∗V_n, alors (g·f)(x₁, y₁,· · ·, x_n, y_n) =f(g·x₁, g·y₁,· · ·, g·x_n, g·y_n) oùg·xj =Pn

i=1gi,jxi et g·yj=Pn

i=1gi,jyi pour1≤j ≤n.

SoitGLn:= GLn(Fp)le groupe linéaire général. L’idempotent de Steinberg en [23] de l’anneauFp[GLn]est défini par

e_n = 1 [GLn: Un]

B¯_nΣ¯_n.

Ici Bn est le sous-groupe de Borel de GLn des matrices triangulaires supé- rieures, Un le sous-groupe de Sylow des matrices triangulaires supérieures avec 1 sur la diagonale, Σ_n le sous-groupe des permutations, B¯_n = P

b∈B_n

et Σ¯_n=P

σ∈Σ_nsgn(σ)σ.

Soitmρ_n la somme directe demcopies de la représentation réelle régulière réduite deV_n. On noteBV_n^mρn l’espace de Thom du fibré vectoriel

EVn×VnR^(p

n−1)m→BVn

oùV_nagit surR^(p

n−1)mà travers demρ_n etEV_n est un espace contractile sur lequelVn agit librement. Le groupeGLn agit surVn, donc agit stablement sur BV_n^mρn. L’idempotent de Steinbergen induit ainsi une application de spectres, notée aussie_n, de Σ^∞BV_n^mρn à lui-même. On ae_n◦e_n'e_n. A la suite de S.

Mitchell et S. Priddy [17], on considère le facteur stable deBV_n^mρn déterminé paren :

enBV_n^mρn:= hocolim(Σ^∞BV_n^mρn −→^en Σ^∞BV_n^mρn−→^en Σ^∞BV_n^mρn−→ · · ·^en ).

Définition 2.1. — Le spectreL(n, m)et le module instableL_n,msont définis respectivement parL(n, m) :=enBV_n^mρn etLn,m:=H^∗L(n, m).

Il résulte de l’isomorphisme de Thom que L_n,m∼=e_n· e^m_nH^∗V_n

,

oùen désigne la classe d’Euler deρn. La classe de Chern supérieure,cn, de la complexificationρ^C_n deρn est donnée par :

cn = (−1)ⁿ Y

06=x∈H¹(BV_n;Z/p)

β(x).

On vérifie quecn=L^p−1_n où

Ln:=

y₁ · · · y_n y^p₁ · · · y^p_n ... · · · ... y₁^pn−1 · · ·y^p_nⁿ⁻¹

.

Commee²_n=c_n, on en déduit quee_n=L

p−1

n2 (à signe près).

On poseMn :=Ln,0=en·H^∗Vn etLn:=Ln,1=en·(enH^∗Vn). On observe queM_netL_nsont invariants sous l’action du sous-groupe de BorelB_ndeGL_n. Proposition 2.2 (Mitchell-Priddy [17]). — On a une décomposition de mo- dules instables : M_n ∼=L_n⊕L_n−1.

o

Posons X = ^x_y, Y =y^p−1, où xet y sont générateurs de H^∗Z/p∼= Λ(x)⊗ Fp[y]. On aM1=L1⊕Fp et on vérifie queL1 a une base additive formée par les monômes XYⁱ pour lesquels= 0,1et i >0.

Proposition 2.3. — On aLn∼=en·L^⊗n₁ .

Pour montrer cette proposition, on a besoin d’utiliser les relations qui existent entre les idempotents de Steinberg de différents rangs. Pour 1 ≤ i ≤ n−1, on désigne par e2,i l’image de l’idempotent e2 ∈ Fp[GL2] dans Fp[GL_n] par l’inclusion canoniqueGL₂ ,→GL_n en utilisant les i-ième et (i+ 1)-ième coordonnées.

Dans le lemme suivant, par abus de notation,e_n−1désigne l’image de l’idem- potent en−1 ∈ Fp[GLn−1] dans Fp[GLn] par l’inclusion canonique GLn−1 ,→ GL_n en utilisant les(n−1)premières coordonnées.

Lemme 2.4 ([9,10]). — Soitn un entier≥2. On a 1. e_n =e_ne_2,i=e_2,ie_n pour tout1≤i≤n−1;

2. en est un mot de longueur maximale des idempotentse2,1, . . . , e_2,n−1; 3. en =e_n−1e_2,n−1e_n−1.

On en déduit facilement le Corollaire 2.5. — On a

1. e_n =e_ne_n−1=e_n−1e_n,

2. enI_n−1en est un idempotent, et 3. In−1enIn−1=en−1In−1en−1.

Démonstration de 2.3. — CommeMn est un sous-module deH^∗Vn invariant sous l’action du groupe de BorelBn, il est aussi invariant sous l’action du tore maximalGL^×n₁ . On en déduit queM_n ⊂M₁^⊗n, et doncM_n=e_n·M₁^⊗npuisque

Mn=en·Mn⊂en·M₁^⊗n⊂en·H^∗BVn=Mn.

Pour montrer que Ln ∼= en ·L^⊗n₁ , on observe d’abord que en induit un endomorphisme sur L^⊗n₁ . A cet effet, on se ramène au casn = 2en utilisant le fait que e_n est un produit des e_2,i. Pour le casn= 2, on ae₂·L^⊗2₁ est un sous-module de M₁^⊗2 qui s’écrit comme suit :

M₁⊗M₁= (L₁⊗Fp)⊕(L₁⊗L₁)⊕(Fp⊗L₁)⊕(Fp⊗Fp).

L’image de e2·L^⊗2₁ par la projection sur L1⊗Fp (resp. Fp⊗L1) est alors diag(1,0)e₂·L^⊗2₁ (resp.diag(0,1)e₂·L^⊗2₁ ). Comme

diag(1,0)e₂= X

a∈F^∗p,c∈Fp

Å c a 0 0

!

− a c 0 0

!ã

et diag(0,1)e2= 0,il est clair quediag(1,0)e2et diag(0,1)e2agissent triviale- ment surL^⊗2₁ . On en déduit que e2·L^⊗2₁ ⊂L^⊗2₁ .

Comme L^⊗n₁ est facteur direct non trivial de M₁^⊗n, le moduleen·L^⊗n₁ est facteur direct deMn =en·M₁^⊗n. D’autre part, comme la décompositionMn= L_n⊕Ln−1correspond à la décompositione_n = (e_n−enI_n−1e_n)+e_nI_n−1e_n[11], l’image deen·L^⊗n₁ par la projection canoniqueMnL_n−1estenI_n−1en·L^⊗n₁ . Or celui-ci est trivial car en ·L^⊗n₁ est un sous-module de L^⊗n₁ et I_n−1 agit trivialement sur ce dernier. Il suit quee_n·L^⊗n₁ ⊂L_net donce_n·L^⊗n₁ =L_ncarL_n est indécomposable ete_n·L^⊗n₁ est non trivial. La proposition est démontrée.

Corollaire 2.6. — On aL_n ∼=Tn−1

i=1L^⊗i−1₁ ⊗L₂⊗L^⊗n−i−1₁ .

Démonstration. — La formule, dûe essentiellement à Kuhn ([9]), est consé- quence des identifications Ln =en·L^⊗n₁ , L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^⊗n−i−1₁ =e2,i·L^⊗n₁ et le lemme2.4.

On décrit ensuite la structure de Ln en tant qu’espace vectoriel gradué.

Rappelons que siI= (1, i1,· · ·, r, ir), P^Idésigne le monômeβ¹Pⁱ¹· · ·β^rP^ir dans l’algèbre de Steenrod

A

p. La suite I est dite admissible si i_j ≥pi_j+1+ j+1 pour tout j. La longueur de I, notée `(I), est le plus grand entier ` tel que (`, i`) 6= (0,0), i.e. I est de la forme (1, i1,· · ·, `, i`,0,0,· · · ,0,0) avec (_{`</sub>, i<sub>`})6= (0,0).

Pour la définition des modulesMn et Ln, Mitchell et Priddy [17] ont consi- déré l’action à droite de l’idempotenten surH^∗Vn. Ceci est équivalent à l’uti- lisation de l’action à gauche de l’idempotent ˜e_n défini par :

˜

e_n= 1 [GL_n:U_n]

Σ¯_nB¯_n,

c’est le conjugué deendans l’algèbre de HopfFp[GLn]. On a des isomorphismes de

A

p-modules instables ([17, Prop. 2.6]) :

en·H^∗Vn Σ¯_n

−−→e˜n·H^∗Vn, ˜en·H^∗Vn B¯_n

−−→en·H^∗Vn.

Proposition 2.7 (Mitchell et Priddy [17]). — Le module Ln, identifié à˜en· L^⊗n₁ , admet pour base la famille des éléments

{P^I(x₁· · ·x_n y1· · ·yn

) :I admissible,`(I) =netP^I 6∈

A

pβ}.

Une base alternative de Ln en termes d’invariants modulaires de GLn est donnée comme suit. Rappelons d’abord les formules des invariants de Dickson

o

et Mui [18] (voir6.1) :

Lk=

y₁ · · · y_k y₁^p · · · y_k^p ... · · · ... y₁^pk−1 · · ·y_k^pk−1

, M_k,k−1=

x₁ · · · x_k y1 · · · yk

... · · · ... y^p₁^k−2 · · ·y^p_k^k−2

.

Posons ωk = L^p−1_k (c’est l’invariant de Dickson supérieur de GLk) et µk =

Mk,k−1

L_k . Le degré deωk est alors2(p^k−1)et celui deµk est 1−2p^k−1. Proposition 2.8. — Le module Ln, identifié à en·L^⊗n₁ , a une base formée par les éléments

en·µ₁¹ωⁱ₁^1−pi2+2· · ·µ_n−1ⁿ⁻¹ω_n−1^{in−1−pin+n}·µ_nⁿω_nⁱⁿ qui vérifient

(*) 1,· · · , n ∈ {0,1}, i1> pi2−2, · · · , i_n−1> pin−n, in >0.

Démonstration. — La série de Poincaré deL_n, d’après Mitchell et Priddy [17], est donnée par

P(Ln) =

n

Y

k=1

(1 +t^1−2pk−1)·

n

Y

k=1

t^2(pk−1) 1−t^2(pk−1).

Il suffit donc de vérifier que la famille des éléments dans la proposition est libre parce que P(L_n)est également la série de Poincaré de l’espace vectoriel engendré par ces éléments. On se sert du lemme 2.11ci-dessous pour montrer l’indépendance linéaire.

Remarque 2.9. — Dans ce qui suit, Ln sera toujours identifié à en ·L^⊗n₁ . Ainsi Ln est un sous-module deH^∗Vn invariant sous l’action du sous-groupe de BorelB_n deGL_n.

On poseXi= ^x_yⁱ

i etYi=y_i^p−1.On associe à chaque monômeX₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ la suite (d₁,· · · , d_n) où d_j = 2(p−1)i_j −_j est le degré de X_j^jY_j^ij. On met un ordre sur les monômes X₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ en utilisant l’ordre anti- lexicographique sur les suites associées (d₁,· · ·, d_n). On note que la suite (d1,· · · , dn)détermine de manière unique la suite(1, i1,· · ·, n, in).

Notation 2.10. — Soit(₁, i₁,· · ·, _n, i_n)une suite vérifiant la condition (*).

On pose

ω^{1,i1,···,n,in}=e_n·µ₁¹ωⁱ₁^1−pi2+2· · ·µ_n−1ⁿ⁻¹ω_n−1^{in−1−pin+n}·µ_nⁿω_nⁱⁿ, c’est un élément deH^∗Vn de degréPn

k=12(p−1)ik−k.

Lemme 2.11. — On a

ω^{1,i1,···,n,in}=ω^{1,i1,···,n−1,in−1}·X_nⁿY_nⁱⁿ+ X

deg(X_nY_nⁱ)>deg(X_nⁿY_nⁱⁿ)

f,i·X_nY_nⁱ,

pour certains f,i∈Λ(x1, . . . , x_n−1)⊗F^p[y1. . . , y_n−1]. Par conséquent, ω^{1,i1,···,n,in}=X₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ+des monômes d’ordre supérieur.

Démonstration. — Posons

Q:=Q(x1, y1,· · · , x_n−1, y_n−1) =µ₁¹ω₁^i1−pi2+2· · ·µ_n−1ⁿ⁻¹ω_n−1^{in−1−pin+n}. Notons d’abord que µ_nⁿωⁱ_nⁿ estGL_n-invariant et l’on a un développement

µ_nⁿωⁱ_nⁿ=ω^pi_n−1ⁿ⁻ⁿ·X_nⁿY_nⁱⁿ+ X

deg(X_nY_nⁱ)>deg(X_nⁿY_nⁱⁿ)

g,i·X_nY_nⁱ

pour certainsg,i∈Λ(x1, . . . , x_n−1)⊗Fp[y1, . . . , y_n−1]. Il suffit donc de montrer que

e_n·Q=e_n−1·Q+ X

deg(X_nY_nⁱ)>0

h_,i·X_nY_nⁱ

pour certainsh_,i∈Λ(x₁,· · ·, x_n−1)⊗Fp[y₁,· · ·, y_n−1]. De manière équivalente, il suffit de montrer que

I_n−1e_n·Q=e_n−1·Q

avecI_n−1= diag(1ⁿ⁻¹,0). En effet, commeQete_n−1·Qne font intervenir que les variables x1, y1, . . . , xn−1, yn−1, ils sont invariants sous l’action de In−1. Il suit que

I_n−1e_n·Q=I_n−1e_nI_n−1·Q (carQ=I_n−1·Q)

=e_n−1I_n−1e_n−1·Q (carI_n−1enI_n−1=e_n−1I_n−1e_n−1)

=e_n−1e_n−1·Q (carI_n−1e_n−1·Q=e_n−1·Q)

=e_n−1·Q.

Le lemme est démontré.

Corollaire 2.12. — Soientnetmdeux entiers positifs avecmimpair. Alors L_n,ma une base formée par les éléments

en·µ₁¹ωⁱ₁^1−pi2+2· · ·µ_n−1ⁿ⁻¹ω_n−1^{in−1−pin+n}·µ_nⁿω_nⁱⁿ

qui vérifient1,· · ·, n∈ {0,1},i1> pi2−2,...,i_n−1> pin−n etin >^m−1₂ . De plus, on a Ln,m=Ln∩(L^⊗n−1₁ ⊗L1,m)

Démonstration. — On a Ln,m = e^m−1_n Ln car e²_n est GLn-invariant. D’autre part, d’après le lemme 2.11, un élément de base ω^{1,i1,···,n,in} ∈ L_n est un élément deLn,msi et seulement siin> ^m−1₂ . Le corollaire suit.

o

3. Un complexe de Koszul de modules instables

Dans cette section on démontre le théorème1.1en introduisant un complexe de Koszul approprié.

3.1. Complexe de Koszul associé à une suite d’espaces vectoriels. — Soit M un Fp-espace vectoriel gradué et {Mi}_i∈Z une suite de sous-espaces de M. Pour chaques, considérons le module quotient

K(M)s=

T

i≤s−1

Mi

( T

i≤s−1

Mi)∩( P

i≥s+1

Mi). Notonsd(M)s:K(M)s→K(M)_s−1le morphisme naturel

T

i≤s−1

Mi

( T

i≤s−1

Mi)∩( P

i≥s+1

Mi) −→

T

i≤s−2

Mi

( T

i≤s−2

Mi)∩(P

i≥s

Mi). Il est clair que le morphisme composé d(M)s◦d(M)s+1 :

T

i≤s

Mi

(T

i≤s

Mi)∩( P

i≥s+2

Mi) →

T

i≤s−1

Mi

( T

i≤s−1

Mi)∩( P

i≥s+1

Mi) →

T

i≤s−2

Mi

( T

i≤s−2

Mi)∩(P

i≥s

Mi) est trivial pour tout s. On obtient ainsi un complexe dit complexe de Koszul associé à la suite {Mi}i∈Z de sous-espaces deM :

(

K

^(M)∗) · · · →K(M)s+1

d(M)_s+1

−−−−−→K(M)s d(M)_s

−−−−→K(M)_s−1→ · · · Proposition 3.1 (Cf. [20, Prop. 7.2, p. 16]). — Le complexe

K

^(M)∗ est exact si et seulement si, pour touts, on a

( \

i≤s−1

Mi)∩(X

i≥s

Mi) =\

i≤s

Mi+ ( \

i≤s−1

Mi)∩( X

i≥s+1

Mi).

Démonstration. — On poseAs = T

i≤s

Mi et Bs =P

i≥sMi. On observe que As⊂As−1,Bs⊂Bs−1etAs⊂Bspour touts. Par définition, on aK(M)s= A_s−1/A_s−1∩B_s+1. Le noyau ded(M)_s: A_s−1/A_s−1∩B_s+1→A_s−2/A_s−2∩B_s est alors donné par

kerd(M)s= (A_s−1∩Bs)/(A_s−1∩Bs+1).

CommeImd(M)s+1∼=Ks+1/kerds+1, on a Imd(M)s+1 ∼=As/(As∩Bs+1)

∼=As/(As∩A_s−1∩Bs+1) (carAs⊂A_s−1)

∼= (A_s+A_s−1∩B_s+1)/(A_s−1∩B_s+1).

L’inclusionImd(M)s+1,→kerd(M)sest alors induite par l’inclusion naturelle (As+As−1∩Bs+1)⊂(As−1∩Bs). On en déduit que le complexe est exact si et seulement si A_s−1∩B_s=A_s+A_s−1∩B_s+1 pour touts. La proposition est démontrée.

3.2. Démonstration de l’exactitude du complexe. — Pour démontrer le théorème 1.1, on considère la suite des sous-modules instables {Mi}i∈Z de L^⊗n₁ définie par

Mi=















L^⊗n₁ sii≤0,

L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^⊗n−i−1₁ si1≤i≤n−1, L^⊗n−1₁ ⊗L1,m sii=n,

0 sii > n.

Par définition,J_n,mest donné par le quotient : Jn,m= L^⊗n₁

M1+· · ·+Mn

. Le complexe

K

^(M)∗ est en fait le complexe

0→Ln,m→Ln→Ln−1⊗J1,m→ · · · →Ln−s⊗Js,m→ · · · →Jn,m→0 du théorème 1.1grâce à l’identification suivante.

Proposition 3.2. — On a K(M)_s∼=







Ls⊗J_n−s,m si0≤s≤n, L_n,m sis=n+ 1,

0 sinon.

Démonstration. — PosonsA_s= T

i≤s

M_i, B_s = P

i≥s

M_i et K_s:=K(M)_s. On a K_s=A_s−1/A_s−1∩B_s+1.On considère les cas suivants :

1. Sis <0, on a K_s= 0carA_s=B_s=L^⊗n₁ sis≤0.

2. Sis= 0, on a K0=A₋₁/(A₋₁∩B1) =L^⊗n₁ /Pn

i=1Mi=Jn,m. 3. Si0< s < n, d’après le corollaire2.6, on a

A_s−1=

s−1

\

i=1

M_i=L_s⊗L^⊗n−s₁ et

Bs+1=L^⊗s₁ ⊗(

n−s−1

X

i=1

L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^{n−s−i−1}₁ +L^⊗n−s−1₁ ⊗L1,m).

On en déduit queKs=A_s−1/(A_s−1∩Bs+1)∼=Ls⊗J_n−s,m.

4. Si s = n, on a Kn = An−1/(An−1∩Bn+1) = An−1 = Ln à l’aide du corollaire2.6.

o

5. Sis=n+ 1, l’égalité Ln,m=Tn

i=1Mi est équivalent à l’égalité Ln,m= Ln∩(L^⊗n−1₁ ⊗L1,m): c’est le corollaire2.12.

6. Sis > n+ 1, K_s est trivial carA_s=B_s= 0sis > n.

La proposition est démontrée.

La démonstration du théorème1.1est achevée en utilisant la proposition3.1 et la proposition suivante.

Proposition 3.3. — Pour tout0< s < n, on a

s−1

\

i=1

M_i

∩

n

X

i=s

M_i

=

s

\

i=1

M_i+

s−1

\

i=1

M_i

∩

n

X

i=s+1

M_i .

Afin de démontrer cette proposition, on a besoin d’introduire quelques no- tations.

Notation 3.4. — Soit I = (1, i1,· · · , n, in) et soit S = (s1,· · ·, sk) avec s₁+· · ·+s_k =n. On noter₀= 1,r_j =s₁+· · ·+s_j,1≤j≤k, et on suppose que la suite (r_j−1, ir_j−1,· · ·, r_j, ir_j), 1≤j≤k, vérifie la condition :

r_j−1, . . . , r_j ∈ {0,1}, ir_j−1> pir_j−1+1−r_j−1,· · · , ir_j−1> pir_j−r_j, ir_j >0.

Avec ω^{rj−1,irj−1,···,rj,irj} ∈E(xr_j−1, . . . , xr_j)⊗Fp[yr_j−1, . . . , yr_j](voir la nota- tion2.10), on pose

ω_S^I :=

k

Y

j=1

ω^{rj−1,irj−1,···,rj,irj}.

On appelle ω_S^I un S-monôme. On associe à chaque S-monôme ω^I_S la suite (d1,· · · , dn)oùdj= 2(p−1)ij−j est le degré deX_j^jY_j^ij. On met un ordre sur lesS-monômes en utilisant l’ordre anti-lexicographique sur les suites associées (d₁,· · · , d_n).

Comme titre d’exemple, explicitons quelques S-monômes : ω^I_(n)=ω^{1,i1,···,n,in}, ω₍₁^In)=X₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ,

ω_(s,1^I n−s)=ω^{1,i1,···,s,is}X_s+1^s+1Y_s+1^is+1· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ.

Démonstration de la proposition3.3. — La démonstration s’appuie essentiel- lement sur le lemme2.11. Posons

LHS:=

s−1

\

i=1

Mi

∩

n

X

i=s

Mi ,

RHS:=

s

\

i=1

Mi+

s−1

\

i=1

Mi

∩

n

X

i=s+1

Mi .

L’inclusion LHS⊃RHS est évidente. Montrons l’inclusion LHS⊂RHS. Soit f un élément homogène de LHS. Comme Ts−1

i=1Mi = Ls⊗L^⊗n−s₁ , f est une combinaison de(s,1^n−s)-monômesω_(s,1^I n−s). Un tel monôme est dits-acceptable si1≤ij≤pij+1−j+1 pours≤j < net 1≤in≤ ^m−1₂ .

Supposons queω_(s,1^I n−s)n’est pass-acceptable. Considérons les cas suivants : – Si i_n> ^m−1₂ , alorsω^I_(s,1n−s)∈M_n, doncω^I_(s,1n−s)∈RHS.

– Si ij> pij+1−j+1 pours < j < n, d’après le lemme2.11, on a ω^I_(s,1j−1−s,2,1^n−j−1)=ω_(s,1^I n−s)+des(s,1^n−s)-monômes d’ordre supérieur,

et ω_(s,1^I j−1−s,2,1^n−j−1) est un élément deM_j, donc appartient à RHS.

– Si is> pis+1−s+1, d’après le lemme2.11, on a

ω_(s+1,1^I n−s−1)=ω^I_(s,1n−s)+des(s,1^n−s)-monômes d’ordre supérieur, et ω_(s+1,1^I n−s−1)appartient àTs

i=1M_i, doncω_(s+1,1^I n−s−1)∈RHS.

Une itération évidente permet alors d’écriref sous la formef =f⁰ modRHS, où f⁰ est une somme de monômes s-acceptables ω^I_(s,1n−s). Montrons f⁰ = 0.

Supposons au contraire quef⁰6= 0. SoitX₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿle monôme d’ordre minimal qui apparaît dans l’expression de f⁰ comme combinaison linéaire de monômes distincts. On a1≤ij≤pij+1−j+1pours≤j < net1≤in≤ ^m−1₂ .

D’autre part, comme RHS ⊂ Pn

i=sM_i et f ∈ Pn

i=sM_i, il suit que f⁰ ∈ Pn

i=sMi. Il existe alors s ≤ j ≤ n tel que le monôme X₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ provient de certain élément de base deMj. On exclut le casj=ncarin≤ ^m−1₂ . Supposons que s≤j ≤n−1. Alors X₁¹Y₁ⁱ¹· · ·X_nⁿY_nⁱⁿ provient de l’élément de baseω₍₁^Ij−1,2,1^n−j−1) deMj. Il suit queij > pij+1−j+1 ce qui contradit la condition1≤ij ≤pij+1−j+1 ci-dessus. Le résultat suit.

3.3. Limite projective du complexe. — Considérons la limite projective Jn,∞:= lim

←−(Jn,1Jn,3Jn,5· · ·).

La définition des modulesJ_n,mimplique

J_n,∞= L^⊗n₁

Pn−1

i=1 L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^⊗n−i−1₁ .

En posant eˆ2 = 1− e2, on obient une involution sur la sous-algèbre de Fp[GL_n(Fp)] engendrée par 1 et les idempotents e_2,1, . . . , e_2,n−1. De manière récurrente, on a ˆe2,i= 1−e2,iet ˆen= ˆe_n−1eˆ_2,n−1eˆ_n−1pour n≥2.

On poseLˆ₀=Fp,Lˆ₁=L₁et Lˆ_n= ˆe_n·L^⊗n₁ pourn≥2. On vérifie, comme dans le corollaire2.6, que

Lˆ_n=

n−1

\

i=1

L^⊗i−1₁ ⊗Lˆ₂⊗Lⁿ⁻ⁱ⁻¹₁ .

o

Le résultat suivant provient de [9].

Proposition 3.5. — On a un isomorphisme de modules instablesJ_n,∞∼= ˆLn. Démonstration. — Soit γn: L^⊗n₁ Lˆn la projection canonique. Comme ˆ

ene2,i = 0, le noyau de γn contient la somme Pn−1

i=1 L^⊗i−1₁ ⊗L2⊗L^⊗n−i−1₁ . On vérifie l’inclusion inverse. Soit u∈L^⊗n₁ un élément du noyau deγ_n. On a ˆ

en·u = 0. Commeeˆn est un produit des eˆ2,i, 1 ≤i ≤ n−1, on peut écrire ˆ

en = ˆe2,i₁· · ·eˆ2,i_k avec1≤ij ≤n−1. On a

1 = ˆe2,i1· · ·eˆ2,i_k+ (1−ˆe2,i1)ˆe2,i2· · ·ˆe2,i_k+· · ·+ (1−eˆ2,ik−1)ˆe2,i_k+ (1−ˆe2,i_k)

= ˆe2,i₁· · ·eˆ2,i_k+e2,i₁ˆe2,i₂· · ·eˆ2,i_k+· · ·+e2,ik−1eˆ2,i_k+e2,i_k. Commeeˆ2,i₁· · ·ˆe2,i_k·u= 0, on a

u=e2,i₁eˆ2,i₂· · ·ˆe2,i_k·u+· · ·+e2,ik−1eˆ2,i_k·u+e2,i_k·u, ce qui entraîne queuest un élément dePk

j=1e_2,ij·L^⊗n₁ . La proposition suit.

Corollaire 3.6. — On a une suite exacte de modules instables injectifs ré- duits :

0→L_n →L_n−1⊗Lˆ₁→L_n−2⊗Lˆ₂→ · · · →L_n−k⊗Lˆ_k → · · · →Lˆ_n →0.

Dans ce corollaire, le produit tensorielL_n−k⊗Lˆ_k,0≤k≤n, est un module instable injectif car il est le facteur direct deL^⊗n₁ associé à l’idempotente_n−k⊗ ˆ

ek.

A la suite de [21], on appellealgèbre de pré-Koszul homogène une algèbre de la formeTens(V)/(I)oùV est unFp-espace vectoriel gradué de type fini et(I) l’idéal de l’algèbre tensorielleTens(V)engendré par un sous-espaceIdeV⊗V. Une algèbre de pré-Koszul homogèneAest unealgèbre de Koszul homogène si l’algèbreExt^∗_A(Fp,Fp)est engendrée par les éléments deExt¹_A(Fp,Fp).

Soit A = Tens(V)/(I), I ⊂ V ⊗V, une algèbre de pré-Koszul. On pose K0 = Fp, K1 = V et Kn = Tn−1

i=1 V^⊗i−1⊗I⊗V^⊗n−i−1 pour n ≥ 2. Pour tout n, l’inclusion naturelleK_n ,→ K_n−1⊗V définit de manière évidente un morphismed: Kn⊗A→K_n−1⊗A. On vérifie qued²= 0et on obtient ainsi un complexe deA-modules libres à gauche{Kn⊗A}n≥0. D’après [15, Theorem 1.2], Aest une algèbre de Koszul homogène si et seulement si ce complexe est une résolution libre pour le module trivialFp.

A l’aide du corollaire 3.6, on obtient le Corollaire 3.7. — L’algèbre L

n≥0Lˆn ∼= Tens(L1)/(L2) est une algèbre de Koszul homogène.