Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur
I. Le champ de pesanteur uniforme
Dans une r´egion de l’espace de quelques kilom`etres de long, de large, de haut, le vecteur champ de pesanteur
Ý
Ñg est un vecteur constant (champ de pesanteur uniforme).
A chaque instant t, il a mˆeme sens, mˆeme direction et mˆeme norme.`
D´ efinition :
La chute libre est le mouvement d’un objet uniquement soumis `a son poids.
II. ´ Etude pr´ eliminaire
On ´etudie la chute libre d’un objet de masse m lanc´e avec un vecteurv~0 quelconque faisant un angleθ avec le plan horizontal.
Syst`eme: objet de masse m.
R´ef´erentiel: terrestre suppos´e gallil´een.
Bilan des forces ext´erieures:
le poids de l’objet :ÝÑP mÝÑg
la pouss´e d’Archim`ede et les frottements exerc´es par l’air sont n´eglig´es.
III. ´ Equation de la vitesse et ´ equations horaires
L’objet est repr´esent´e par un point G de coordonn´ees (x ; y) qui est son centre d’inertie.
Conditions initiales : `A t=0, la balle est au point O de coordonn´ees (0 ; 0).
On projette le vecteur vitesse sur les deux axes.
Ý
Ñv0pv0.cosθ;v0.sinθq
On applique ladeuxi`eme loi de Newton :
Ý
ÑP mÝÑa
mgÝÑj mÝÑa
gÝÑj ÝÑa
DoncÝÑa p0;gq(Le mouvement est uniform´ement acceler´e sur l’axe (Oy))
On sait queÝÑa dÝÑv dt
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On en d´eduit que dÝÑv
dt p0;gqet en int´egrant, on obtient ÝÑv pK1;gt K2q
Pour d´eterminer les constantes d’int´egrations K1 et K2, on utilise les conditions initiales.
A` t=0, on aÝÑv0pv0.cosθ;v0.sinθq
Ce qui nous permet de trouver K1 et K2tels que
"
K1v0.cosθ K2v0.sinθ DoncÝÑv pv0.cosθ;gt v0.sinθq
L’´equation donnant la vitesse en fonction du temps est vptqgt v0.sinθ
On sait queÝÑv dÝOGÝÑ dt
Donc
$
'
&
'
%
dx
dt v0.cosθ dy
dtgt v0.sinθ En int´egrant, on obtient
#
xptq v0.cosθt K3
yptq1
2 gt2 v0.sinθt K4
A` t=0, x=0 et y=0
On en d´eduit que K3= 0 et K4= 0
Les ´equations horaires du mouvement sont
#
xptq v0.cosθt yptq1
2 gt2 v0.sinθt
IV. ´ Equation de la trajectoire
Pour obtenir une ´equation de la trajectoire, il faut exprimer y(t) en fonction non plus de t, mais de x.
xv0.cosθtðñt x v0.cosθ
On peut maintenant exprimer y en fonction de x en remplacant t par la valeur trouv´ee ci-dessus.
On a donc : ypxq 1
2 g
x v0.cosθ
2
v0.sinθ
x v0.cosθ
En simplifiant on trouve finalement : ypxq g
2v02cos2θx2 tanθx qui est une ´equation du second degr´e (en accord avec la trajectoire parabolique).
V. Fl` eche et port´ ee de la trajectoire
La fl`eche de la trajectoire correspond au moment o`u la balle a atteint sahauteur maximale. (H sur le dessin)
Quand la balle a atteint sa hauteur maximale, le vecteur vitesse a une direction horizontale. Sa composante sur l’axe des ordonn´ees (vy) est donc ´egale `a 0.
vy0ðñgtf v0.sinθ0ðñtf
v0.sinθ g
On r´eins`ere cette valeur de t dans l’´equation de la trajectoire ce qui nous donne : yf
1 2 g
v0.sinθ g
2
v0sinθ
v0.sinθ g
Ce qui, en simplifiant, donne : yf
v02sin2θ 2g
La port´ee de la balle est ladistance s´eparant le point de d´epart de la balle et le point d’arriv´ee (D sur le dessin).
L’ordonn´ee au point de chute est nulle.
yp0ðñ1
2gt2p v0.sinθtp0.
Commetp est non nulle alors on a :1
2gtp v0.sinθ0ðñtp
2v0.sinθ g
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On ins`ere la valeur de tp dans l’´equationxptq. xpv0cosθ2v0.sinθ
g
Ce qui, simplifi´e, donne : xp
v02sinp2θq g
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