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Baccalauréat Tel Aviv 1976.

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Texte intégral

(1)

CONVOLUTION DE DIRICHLET, FONCTION DE MÖBIUS ET BACCALAUREAT 1976

Un surprenant sujet de la session 1976 du baccalauréat (Tel Aviv) propose une étude approfondie du produit de convolution de Dirichlet défini sur l’ensemble des fonctions arithmétiques. On y reconnaîtra la fonction de Möbius, ainsi que la notion de fonctions arithmétiques multiplicatives (appelées dans ce texte

« régulières »). Ce sujet est proposé ici, prolongé par quelques questions complémentaires.

1.Le sujet original de 1976

On note N* l’ensemble des entiers naturels non nuls et P l’ensemble des nombres premiers. À tout n∈N* on associe l’ensemble Dn des d∈N*qui divisent n, l’ensemble Cn des

(

d1;d2

) ( )

∈ N*2 tels que d1d2=n et l’ensemble Γn des

(

d1;d2 ;d3

) ( )

∈ N*3 tels que d1d2d3 =n

Le PGCD des entiers m et n est noté mn Partie A

Dans tout le problème, on appelle suite une application de N* dans R et on note U l’ensemble des suites. On admet que l’on dispose du groupe

( )

U,+ , la loi (+) étant définie par :

( )

u v U n

(

u+v

)( ) ( ) ( )

n =u n +vn

∀ , 2, N*: .

On définit une seconde loi interne noté « étoile » sur U par :

( ) ( )( ) ∑ ( )



 

= 

Dn

d d

v n d u n

v u n

U v

u, 2, N*:

C’est ainsi que :

(

uv

)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 =u1v 4 +u 2v 2 +u 4v1

1. Vérifier que, pour tout

(

u,v,w

)

U3 :

( )( ) ( ) ( )

(

)

=

Cn d d

d v d u n

v u

2 1,

2

1 et

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

Γ

=

d n d d

d w d v d u n

w v u

3 2 1, ,

3 2 1

Quelles propriétés de la loi « étoile » découlent de ces résultats (que l’on pourra admettre, à défaut de démonstration)?

2. La loi « étoile » admet-elle un élément neutre ? Le triplet

(

U,+,

)

est-il un anneau ? Partie B

Une suite uUest dite régulière si et seulement si elle vérifie : u

( )

1 =1 et u

( ) ( ) ( )

qq' =u q u q'

pour tout

( ) ( )

q,q' N*2 tel que qq'=1

1. Montrer que sont régulières les suites θ,ψ, fmdéfinies par ∀n∈N* :θ

( )

n =1;ψ

( )

n =n; fm

( )

n =mn (où m∈N*est donné).

2. Soit u une suite régulière. Vérifier que

( ) ∏

=

( )

=

=i k

i i

k u q

q q q u

1 2

1 ... pour tout

(

q1,q2,...,qk

) ( )

∈ N*k tels que

(2)

Partie C

1. Montrer que si les suites u et v sont régulières, alors la suite uvest régulière.

2. Àn∈N*, on associe le nombre v

( )

n de ses diviseurs positifs et la somme σ

( )

n de ces diviseurs. Montrer qu’il existe deux suites régulières u1 et u2 telles que v=θ∗u1 et σ =θ∗u2

En déduire que les suites v et σ sont régulières.

Les notations étant celles de B 2, donner des expressions de v

( )

n et de σ

( )

n . En particulier, calculerv

( )

700

et σ

( )

700 .

3. Montrer qu’est régulière la suite µ définie par : µ

( )

1 =1 ; µ

( )

n =0 si n est divisible par le carré d’un nombre premier, µ

( ) ( )

n = 1k si n est le produit de k nombres premiers distincts.

Déterminer l’image de n∈N* par chacune des suites µ∗θ ;µ∗v;µ∗σ ;µ∗µ 2. Questions complémentaires

1. Eléments inversibles pour la loi « étoile ».

1.1. Montrer qu’un élément u de U est inversible pour la loi étoile si et seulement si u

( )

1 0

1.2. Lorsque cette condition est vérifiée, exprimer explicitement u1

( )

1 en fonction de u

( )

1 et, p étant un nombre premier donné, u1

( )

p en fonction de u

( )

p et de u

( )

1 .

1.3. Soit u une suite régulière et v la suite régulière définie pour toute puissance de nombre premier p par la formule de récurrence : Pour tout entier a≥1 :

( ) ( ) ( ) ( )





 ×

=

a

i

i a i

a u p v p

p u

v gilbertjulia

1 1

1

2014 .

Etablir que : uv=ω. En déduire que l’inverse pour la loi « étoile » d’une suite régulière est une suite régulière.

2. Une formule sommatoire.

Soit s un réel tel que : s>1. On considère d’une part la série :

+∞

( )

=1 n

ns

µ n

et d’autre part la série :

+∞

( )

=1 n

ns

θ n . 2.1. Justifier leur convergence absolue.

2.2. Montrer que :

∑ ( ) ∑ ( ) ∑

+∞

( )

= +∞

= +∞

=

= ∗





×





1 1

1 n

s n

s n

s n

n n

n n

n θ µ θ

µ (le produit des séries étant le produit au sens de

Cauchy). En déduire l’expression de

+∞

( )

=1 n

ns

µ n

à l’aide de la fonction zêta de Riemann.

(3)

3. Eléments de correction

Partie A.

( ) ( )( ) ∑ ( )



 

= 

Dn

d d

v n d u n

v u n

U v

u, 2, N*: .

Les entiers d et d

n sont deux diviseurs complémentaires de n, en ce sens que leur produit est égal à n. En posant :

d d n d

d1= ; 2 = , le couple

(

d1; d2

)

appartient à Cn. Réciproquement, si le couple

(

d1; d2

)

appartient à Cn , et si

( ) ( )( ) ( ) ( )

(

)

=

Cn d d

d v d u n

v u n

U v u

2 1,

2 1

2, N*:

, alors d1 est diviseur de n et

1

2 d

d = n . Ainsi :

( )( ) ∑ ( )





= 

Dn

d d

v n d u n

v u

1 1

1 .

Les deux définitions de la loi « étoile » coïncident.

D’autre part :

( ) ( ) ( )

( )

( )





 

 

× 





 

 

× 

=

n D

d e Dd d

h n e g d e f n

w v

u gilbertjulia2014 .

Si on pose :

d d n e d d e

d1= ; 2= ; 3= alors

(

d1,d2,d3

)

∈Γn et

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

Γ

=

d n d d

d w d v d u n

w v u

3 2 1, ,

3 2 1

Inversement, si

(

d1,d2,d3

)

∈Γn , d1 divise d =d1d2 et d divise n=d1d2d3 . Alors :

( ) ( ) ( )

( )

( )







 

× 









× 

=

n D

d d Dd d

h n d g d d f n

w v u

1 1

1 . Les deux expressions de la loi « étoile » appliquée deux fois coïncident.

Conséquences :

• La commutativité de la loi puisque

( )( ) ( ) ( )

(

)

=

Cn d d

d v d u n

v u

2 1,

2

1 est une expression symétrique en d1

et d2.

• L’associativité puisque

( ) ( ) ( ) ( )

( ) wd u

(

v w

)( )

n

d d v n d

u n

w v u

n D d

d D n d

=









×



× 

=

∑ ∑





1

1 3

3 3

1 1

2. S’il existe, un élément neutre ω doit vérifier :

( )( ) ( )

u

( )

n

d u n d n

u n

U u

Dn d

=



 

= 

ω ω

:

* N ,

L’élément ω de U tel que :

( ) ( )





>

=

=

1 0

1

1 2014

n si n

ia gilbertjul

ω

ω vérifie ces critères.

Pour que U soit muni d’une structure d’anneau par ces deux lois, il reste à vérifier la distributivité de la loi

« étoile » sur l’addition : u

(

v+w

)

=uv+uw, ce qui est une formalité.

(4)

Puisque d divise q, il est premier avec q’ et par conséquent : q'∧m1=q'∧

(

dm1

)

. C’est à dire : m

q m

q'∧ 1= '∧ . Finalement : fm

( ) ( )

qq' = qq'm=

(

mq

) (

× q'm

)

= fm

( )

q × fm

( )

q' . Ce qui établit que fm est régulière.

2. Par récurrence évidente, si u est régulière, alors :

∏ ∏

=

( )

=

=

=

=



i k

i i k

i

i

i u q

q u

1 1

. En effet, les qi étant premiers entre eux deux à deux, chaque produit q ...1 qj est premier avec le facteur suivant qj+1, on peut donc appliquer la propriété de multiplicativité.

Soit alors n un entier supérieur ou égal à 2 et

=

=

= i k

i a i

p i

n

1

sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Ces puissances de facteurs premiers distincts sont premières entre elles deux à deux.

( ) ∏ ∏

=

( )

=

=

=

=



=  i k

i a i k

i

i a i

i i

ia

gilbertjul u p u p

n u

1

2014 1 ce qui prouve que u

( )

n s’exprime en fonction de valeurs de u sur les puissances de nombres premiers, lesquelles déterminent entièrement u.

Partie C.

1. Soient m et n deux entiers premiers entre eux et soit dDm×n Si on note : d1=dm et d2 l’entier tel que : d=d1×d2 :

Par construction, d appartient à 1 D et l’entier dm 2 est premier avec m.

Mais puisque d2 divise d, il divise m×n. Etant premier avec m, d’après le théorème de Gauss, il divise n.

L’entier d est un produit d1×d2 ;d1Dm,d2Dn. Les entiers d1 et d2 sont, par construction, premiers entre eux et les entiers

d1

m et d2

n le sont aussi.

D’autre part, si un diviseur admet deux décompositions : d =d1d2 =d' d1 '2 du même genre, d1 est premier avec n donc est premier avec d2 et divise d’1 et pour les mêmes raisons, d’1 divise d1. Ainsi

2 2 1

1 d' ;d d'

d = = il y a unicité d’une telle décomposition : Dm×n=

{

d1×d2 ;d1Dm,d2Dn

}

De façon générale, si m et n sont deux entiers premiers entre eux :

( ) ∑ ( ) ∑ ( )





 ×

×

=



 

 ×

×

=

×

×n m n

m d D d D

D

d d d

n v m d d d u

n v m d u n

m v u

2

1 ; 1 2

2 1

Si de plus u et v sont régulières :

( ) ( ) ( )





× 





× 

×

=

×

; 1 2

2 1 2

1 d

v n d u m d v d u n

m v u

n

m d D

D d

En hiérarchisant la sommation :

( ) ∑ ( ) ∑ ( )









× 

×



× 

=

×

m n

ia gilbertjul

D

d d D d

v n d d u

v m d u n

m v u

1 2

2014 2

2 1

1 .

Ce qui donne : uv

(

m×n

)

=

(

uv

( )

m

)

×

(

uv

( )

n

)

. Et qui prouve la régularité du composé.

2. v=θ∗θ puisque par définition du nombre de diviseurs : :

( ) ∑

=

Dn d

n

v 1

D’autre part : σ =ψ ∗θ puisque par définition de la somme des diviseurs : :

( ) ∑

=

Dn d

d σ n

Ce qui prouve leur régularité, comme composés de fonctions régulières.

Si n est une puissance de nombre premier : n= pa , il a pour diviseurs 1,p,...,pa qui sont au nombre de +1

a et dont la somme est

1 ... 1

1

1

= − + +

+ +

p p p p

a a

(5)

Si n= p1a1...pkak avec

(

p1,...pk

)

Pk et

(

a1,...ak

) ( )

∈ N*k , par multiplicativité :

( ) ∏

=

( )

=

+

=i k

i

ai

n v

1

1 et

( ) ∏

=

= +





= i k

i i

a i

p n p

i ia

gilbertjul

1 1

1 1

σ 2014 ;

Par exemple, 700=22×52×7donc v

( )

700 =18 et

( ) ( )

1736

1 7

1 49 1 5

1 1 125 8

700 =

× −

× −

− σ =

3. Soient m et n deux entiers premiers entre eux. Alors, leurs décompositions n=p1a1...pkak et

'

1 '

' ' 1 ... ' 'a pkak p

m= en produit de facteurs premiers n’ont aucun facteur commun.

' 1

1 '

' ' 1

1a ...pkakp'a ...p'kak p

n

m× = est la décomposition du produit.

Ou bien au moins un des exposants est >1, auquel cas l’un au moins des entiers a pour image 0 et

(

m×n

)

=0

µ est le produit des images ou bien tous les exposants sont égaux à 1, auquel cas on obtient une décomposition en k +k' nombres premiers distincts, µ

(

m×n

) ( )

= −1k+k'

( ) ( )

m µ n aussi. La suite est régulière.

Les suites µ∗θ ;µ∗v;µ∗σ ;µ∗µ prennent la valeur 1 en 1 puis sont déterminées par leurs valeurs pour les puissances de nombres premiers. Soit pa un tel entier.

De façon générale :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

2014

=

=

= + = −

=

i a a a a a

i

a i

a p u p u p pu p u p u p

p u

ia gilbertjul

µ µ

µ

µ car

( )

1 =1;µ

( )

p =−1

µ sont les seules contributions non nulles associées à la suite µ.

( )

=11=0

∗θ pa

µ . Par conséquent : µ∗θ

( )

n =0 pour tout entier n>1. Ainsi, µ et θ sont inverses l’une de l’autre pour la loi « étoile ».

( ) ( ) ( )

= 1 =

(

+1

)

=1

v pa v pa v pa a a

µ . Par conséquent : µv

( )

n =1 pour tout entier n>1. Il en résulte que : µ∗v

( ) ( ) ( )

a a a a a a a pa

p p p p

p p

p p p

p =

= −

− −

= −

=

+ +

1 1

1 1

1 1

1

σ 1

σ σ

µ Par conséquent : µ∗v

( )

n =n pour tout

entier n>1. Il en résulte que : µ∗σ =ψ .

( ) ( ) ( ) ( )





=

=

=

=

>

=

=

1 2

1 1

2 1

1 0

2 0

1

a si

a si a

si p

p

pa µ a µ a µ

µ

On en déduit : µ∗µ

( )

n =0 s’il a au moins un facteur cube, µ∗µ

( ) ( )

n = −2 k s’il a exactement k facteurs premiers non répétés.

Questions complémentaires.

1. Les éléments inversibles.

Soit u un élément de U. Il est inversible si et seulement si il existe un élément v de U tel que :

( ) ( ) ( )

n

d v n d u n

v u

Dn d

ω

=



 

× 

=

pour tout entier n.

(6)

( ) ( )

=0

 

× 

=

Dn

d d

v n d u n

v

u implique :

( ) ( )

1

( )

0

1 ,

=



 

×  +

×

D d

d n d

v n d u n

v

u et par conséquent :

( ) ( ) ( )



 

 

× 

=

, 1

1 1

d D

d n d

v n d u u

n

v . v

( )

n s’exprime en fonction u

( )

1,...,u

( )

n . Par récurrence, on peut ainsi construire un élément de U inverse de u pour la loi étoile.

Il en résulte que la condition u

( )

1 0 est suffisante pour que f soit inversible.

Si tel est le cas :

u1

( ) ( )

1 =u11 .

• Si p est un nombre premier, la relation concernant l’inverse de f donne :

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1

( )

1 0

1 = × + × =

u p u u p u p u

u c’est à dire :

( ) ( )

( ) ( )

2

1

1 u

p p u

u =− 2. Soit v la suite régulière définie par : v

( )

1 =1 et par la formule de récurrence : Pour tout entier a≥1 :

( ) ( ) ( ) ( )





 ×

=

a

i

i a i

a u p v p

p u v

1 1

1

Par construction, cette fonction coïncide avec u1 sur les puissances de nombres premiers.

De ce fait, pour tout nombre premier et tout exposant a strictement positif :

( )

= 1

( ) ( )

= =0

v pa u u pa pa

u ω

Plus généralement, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 tel que

=

=

=i k

i a i

p i

n

1

,

( ) ( )

0

1

2014 1 = ∗ =



∗ 

=

∏ ∏

=

=

=

=

k i

i

a i k

i

i a i

i i

ia

gilbertjul u v p u v p

n v

u .

Ainsi : uv=ω. Par unicité de l’inverse d’un élément pour une loi de composition interne associative :

1

=u

v . Une suite régulière admet donc une suite inverse elle-même régulière.

2.1. On reconnaît la fonction zêta de Riemann, somme d’une série à termes positifs convergente :

( ) ( )

s

n n

n

n s n

s ζ

θ =

=

+∞

= +∞

=1 1

1 qui est convergente pour s>1. Seule est à justifier la convergence absolue de

+∞

( )

=1 n

ns

µ n , laquelle est acquise du fait que : µ

( )

n1 donc que

( )

s

s n

n

n 1

µ ≤ pour tout entier n.

2.2.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∑ ∑

+

=

=

=

+

=

+

= 



− + −

=



×





2 1

1 1

1

1

n n k

k s s n

s n

s k n k

k n k n

n n

n µ θ µ

θ . Puisque les deux séries convergent absolument, on

peut réorganiser autrement les termes figurant dans la sommation sans changer la valeur de la somme.

En particulier, on peut considérer la valeur des dénominateurs :

En posant : k

(

nk

)

=a, les entiers k et nk sont des diviseurs complémentaires de a.

On réorganise la sommation en hiérarchisant suivant la valeur de ce dénominateur :

• Ceux qui ont pour dénominateur 2 : s

( ) ( ) ( ) ( )

2s

1 2 2

1 µ θ µ

θ +

.

• Ceux qui ont pour dénominateur 3 : s

( ) ( ) ( ) ( )

3s

1 3 3

1 µ θ µ

θ +

.

• Ceux qui ont pour dénominateur 4 : s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2s

1 4 2 2 4

1 µ θ µ θ µ

θ + +

.

(7)

• De façon générale, ceux dont le dénominateur est as :

( )

s D k

a k k a

a



 

 µ θ

.

On obtient :

∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑

+

( )

=

+

=

+

=

+

=

= ∗





 

 

 + 

=



×





1 2

1 1

1 1

a s

a k D

s n

s n

s a

a k

k a a

n n n

n

a

µ µ θ

µ θ

θ .

Et du fait que les deux suites θ et µ sont inverses l’une de l’autre pour la loi « étoile », θ∗µ=ω :

( )

1

1

1

2014 1 =







∑ ∑

+∞

= +∞

= n

s n

s n

n n

ia gilbertjul

µ et :

( )

( )

s

n n

n

n s n

s ζ

µ 1

1 1

1 1

=

=

∑ ∑

+

= +∞

=

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