D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 I-Étudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition des fonctions définies par :

1. gx=3x²−2x−1

x²−5x4 en 1, en 4, en−∞et en∞. 2.

h  x = 2 cos x − 1

x − 3

en

 3

^.

II-Soit f la fonction définie surℝpar

f  x =  ^x

²

^{ 4 x  6}

1. a. Calculer

lim

x∞

f  x 

, puis

lim

x∞

[ f  x − x  2 ]

b. En déduire l'existence d'une asymptote obliqueà la courbe représentative C de f en∞^. c. Étudier la position relative de C et de.

2. a. Calculer

lim

x−∞

f  x 

.

b. Prouver qu'il existe un réel a tel que: lim

x−∞

f x

x =a^{, puis que}

lim

x−∞

f  x − a x

existe et est finie. On notera b cette limite.

c. En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique'en−∞^. III-Soit f la fonction définie sur

ℝ

^par

f  x = 2 x  sin x

x

²

1

^. 1. Démontrer que pour tout

x ∈ℝ

^:

2 x − 1

x

²

 1  f  x  2 x  1 x

²

 1

^.

2. En déduire les limites de f en

−∞

^{et en}∞ ^. IV- On considère la fonction f définie surℝpar :

{ ^{f  x = x −} 1 si x  1

f  x = m

²

x

²

 2 m x − 3 si x  1

^.

Pour quelles valeurs de m la fonction f est-elle continue en 1?

V – On considère la fonction f définie sur

[− 2 ; 2 ]

^par

f  x = x  E  x  x − E  x − 1 

1. Expliciter f sur chacun des intervalles

[−2 ;−1 [

^,

[−1 ; 0 [

^,

[ 0 ; 1[

^{et sur}

[ 1 ; 2 [

^. 2. Que vaut

f  2 

^?

3. Étudier la continuité de f sur chacun de ces intervalles.

4. Étudier la continuité de f en chacun des points -2; -1; 0; 1 et 2.

VI – (Complexes)

1. Soit n un entier relatif., compléter

∣ z

ⁿ

∣=⋯⋯

. Démontrer ce résultat.

2. Calculer z₁=



¹⁻ⁱ²

 ^

^3i

^

^{,. z2}

^{= 1 1  −}

^{2 i3 i et}

^z

³

^{= 1 − i }

³

3. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z₄

= 1 −

i

2

^{et z5=}



^3i

A l'aide des formules donnant le module et un argument du produit de deux nombres complexes, donner le module et un argument de

z

₁

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