TS 8 Interrogation 16A : Correction 29 avril 2016 Exercice 1 :
La soci´et´e Bonne Mamie utilise une machine pour remplir `a la chaˆıne des pots de confiture. On note X la variable al´eatoire qui `a chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu’il contient, exprim´ee en grammes.
Dans le cas o`u la machine est correctement r´egl´ee, on admet queX suit une loi normale de moyenneµ= 125 et d’´ecart-typeσ.
1. a. Pour tout nombre r´eel tpositif, d´eterminer une relation entre P(X6125−t) etP(X >125 +t).
b. On sait que 2,3 % des pots de confiture contiennent moins de 121 grammes de confiture. En utilisant la relation pr´ec´edente, d´eterminer
P(1216X 6129).
Solution:
a. La courbe de Gauss est sym´etrique par rapport `a la droite d’´equation x=µc’est-`a-direx= 125.
On a donc, pour tout r´eelt positif,P(X 6125−t) =P(X >125 +t).
b. On sait que 2,3 % des pots de confiture contiennent moins de 121 grammes de confiture, doncP(X <121) = 0,023.
P(1216X 6129) =P
(X <121)∪(X >129)
= 1−P(X <121)−P(X >129)
= 1−P(X 6121)−P(X>129)
les ´ev`enements (X 6121) et (X >129) ´etant incompatibles.
D’apr`es la question pr´ec´edente,P(X 6121) =P(X 6125−4) =P(X >
125 + 4) =P(X>129) ; on en d´eduit :P(1216X 6129) = 1−2P(X 6 125−4) = 1−2P(X6121) = 1−0,046 = 0,954.
2. D´eterminer une valeur arrondie `a l’unit´e pr`es deσtelle que P(1236X 6127) = 0,68.
Solution:
On cherche une valeur arrondie `a l’unit´e pr`es de σ telle que P(123 6 X 6 127) = 0,68.
On se ram`ene `a la loi normale centr´ee r´eduite deX en posantZ =X−125 σ . 1236X 6127 ⇐⇒ 123−1256X−1256127−125 ⇐⇒ −2
σ 6 X−125
σ 6
2 σ
On a alors :P(1236X 6127) = 0,68 ⇐⇒ P
−2
σ 6Z6 2 σ
= 0,68.
A la calculatrice, on trouve l’intervalle centr´` e en 0 correspondant soit 2 σ ≈ 0,994. `A l’unit´e pr`es, on prendra donc σ≈ 2
0,994 ≈2 (ce qui est la valeur de σsuppos´ee juste apr`es dans l’´enonc´e !).
Dans la suite de l’exercice, on suppose que σ = 2.
3. On estime qu’un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu’il contient est comprise entre 120 et 130 grammes.
a. On choisit au hasard un pot de confiture de la production. D´eterminer la pro- babilit´e que ce pot soit conforme. On donnera le r´esultat arrondi `a 10−4 pr`es.
b. On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inf´erieure `a 130 grammes. Quelle est la probabilit´e que ce pot ne soit pas conforme ? On donnera le r´esultat arrondi `a 10−4pr`es.
TS 8 Interrogation Page 2 de 2 Solution:
a. `A la calculatrice, la probabilit´e qu’un pot soit conforme correspond `a P(1206X 6130)≈0,9876.
b. La probabilit´e qu’un pot ne soit pas conforme parmi ceux qui ont une masse de confiture inf´erieure `a 130 grammes correspond `a
P(X6130) 1206X6130
=P (1206X 6130)∩(X 6130) P(X6130)
=P(X6120)
P(X6130) ≈ 0,00621 0,992379
≈6,1×10−3.
4. On admet que la probabilit´e, arrondie `a 10−3 pr`es, qu’un pot de confiture soit conforme est 0,988.
On choisit au hasard 900 pots dans la production. On constate que 871 de ces pots sont conformes. Au seuil de 95 % peut-on rejeter l’hypoth`ese suivante :La machine est bien r´egl´ee?
Solution:
Comme 900 >30, 900×0,988 >5 et 900×(1−0,988) > 5, les conditions d’application du th´eor`eme de Moivre-Laplace sont v´erifi´ees et un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :
I95%=
"
p−1,96
rp(1−p)
n ;p+ 1,96
rp(1−p) n
#
=
"
0,988−1,96
r0,988(1−0,988)
900 ; 0,988 + 1,96
r0,988(1−0,988) 900
#
≈[0,980 ; 0,996].
Commefobs = 871
900 ≈0,968 ∈/ I95%, on rejette l’hypoth`eseLa machine est bien r´egl´eeau seuil des 95%.
