CONCOURS POUR L’ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L’OBTENTION DES DIPLÔMES D’OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE
CHEF MECANICIEN 8000 kW ANNÉE 2017 (Durée : 2 heures)
L’usage d’un formulaire est interdit ; l’usage d’une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier
est seul autorisé.
1reQUESTION (valeur = 3)
1. Résoudre l’équation différentielle : (E) y′+y=0.
2. Trouvez la fonctiony=f(x) telle quef(0)=1 3. Déterminer le réelatel que
Za
0 f(x) dx= −2 4. Soitfla fonction définie surRparf(x)=
p3 ex .
Montrer quef est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
2eQUESTION (valeur = 4)
1. Déterminer le module et un argument du nombre complexeu=1−i 1+ie−5iπ. 2. Soitzle nombre complexe de module 2 et d’argumentπ
3. a. Écrire le nombre complexezsous forme algébrique.
b. Écrire le nombre complexeZ=2+z
2−z sous forme algébrique.
c. Montrer que les points A, B, C d’affixes respectives 1, z
2etZsont alignés.
3eQUESTION (valeur = 3,5)
Les cinq termesu1,u2,u3,u4,u5d’une suite géométrique croissante sont strictement positifs. Soitx la raison de cette suite. On poseu3=a.
1. Exprimer à l’aide deaet dexles sommes S=u1+u5ets=u2+u4
2. Montrez ques2=aS+2a2
3. Calculezasachant ques=34 etS=257 2 .
4eQUESTION (valeur = 5)
On considère la fonctionf(x)=ln³x e
´ +lnx.
¡Cf¢
la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthonormé³ O ;→−
ı,−→
´ . 1. Déterminer l’ensemble de définitionDf def.
2. Établir quef(x)= −1+2lnxsurDf.
Concours pour l’admission en formation initiale pour l’obtention
des diplômes d’officier chef de quart machine et de chef mécanicien 8000 kW 2017 A. P. M. E. P.
3. Soient deux réelsaetbstrictement positifs, vérifiantab=e Déterminerf(a) en fonction dea, puisf(b) en fonction dea.
En déduire quef(a)+f(b)=0.
4. Déterminerf′(x), et en déduire le tableau de variations def(x).
5. Déterminer l’équation de la tangente à¡ Cf¢
au point d’abscisse e.
5eQUESTION (valeur = 4,5)
La durée de vie d’un appareil est une variable aléatoireXqui suit une loi exponentielle de paramètre λavecλ>0. Ainsi, pour tout réeltpositif, la probabilité qu’un appareil ait une durée de vie inférieure àtannées, notéeP(X6t) est donnée par :p[X6t]=
Zt
0 λe−λxdx.
1. Démontrer quep[X6t]=1−e−λt. 2. Déterminerλsachant queP(X>5)=0,4.
3. Dans cette question on prendraλ=0,18.
Sachant que la durée de vie de l’appareil dépasse 10 heures, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 20 heures ?
Nota :
1. Aucun document n’est autorisé.
2. Délits de fraude : « Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l’application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics ».
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