Feuille 6

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Licence Math. Appliquées 2004-05 Géométrie

Feuille 6

Dans la suite E d´esigne un plan affine euclidien, on note ~u .~v le produit scalaire de deux vecteurs deE. Si~ a, bsont deux points de E on note ableur distance euclidienne c’est `a dire le nombre

q h−→

ab ,−→ abi.

Exercice 1. Projections orthogonales.

Soit D une droite de E. On note p^⊥_D la projection orthogonale sur D.

1) Soitm ∈E etp=p^⊥_D(m) le projeté orthogonal dem surD. Pour n∈D, exprimer mnen fonction de mp etpn. En déduire que le projeté orthogonal dem surD est l’unique point deD réalisant le minimum de la distance àm.

2) On suppose donn´e un point ω surD, un vecteur unitaire~udans D, et un~ vecteur unitaire~v dansD. Pour tout point~ m deE exprimerωp−→en fonction deωm−−→et de u. Calculer aussi la distance dem `aDen fonction deωm−−→et~v.

Exercice 2. Sym´etries orthogonales, m´ediatrices.

Soit D une droite de E. On note σ^⊥_D la sym´etrie orthogonale par rapport `a D.

1) Soient m, m⁰ deux points distincts de E. Montrer que l’ensemble des points de E équidistants de m et m⁰ est la droite perpendiculaire à (mm⁰) passant par le milieu de m et m⁰ (droite appelée la médiatrice de m, m⁰).

Montrer que m⁰ =σ_D^⊥(m) ⇐⇒ D est la m´ediatrice de m, m⁰.

2) Montrer queσ_D^⊥ conserve les distances et que les images de deux droites perpendiculaires par σ_D^⊥ sont deux droites perpendiculaires.

3) Soit ∆ une droite, m un point, puis ∆⁰, m⁰ leurs images par σ_D^⊥. On note p le projet´e orthogonal de m sur ∆ et p⁰ celui de m⁰ sur ∆⁰. Montrer que σ_D^⊥(p) = p⁰.

4) Montrer que deux sym´etries orthogonales distinctes commutent ⇐⇒

leurs axes sont perpendiculaires. Montrer que toute sym´etrie centrale est le

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produit de deux sym´etries orthogonales. Montrer que toute translation est produit de deux sym´etries orthogonales.

Exercice 3. Composées d’isométries: pentagone régulier.

Soit a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ cinq points (num´erot´es dans ₅^Z

Z). On suppose que toutes les longueurs a_ia_i+1 sont égales et non nulles. On note alorsr_i la rotation de centre a_i envoyanta_i−1 sura_i+1. On fait l’hypothèse que toutes les rotations r_i ont le même angle θ.

1) Montrer que pour tout i il existe une r´eflexion s_i fixant a_i et ´echangeant ai−1 avecai+1. Montrer quesi envoie ai−2 surai+2.

2)Montrer que les axes dess_i sont concourants `a l’isobarycentreωdes points a_i. Montrer que les a_i sont ´equidistants de ω.

3) On suppose que a⁰₀, a⁰₁, a⁰₂, a⁰₃, a⁰₄ est une autre configuration comme ci- dessus, telle que a⁰_ia⁰_i+1 = a_ia_i+1. On suppose dans que θ = θ⁰ ; montrer qu’il existe une unique isométrie positive f telle que a⁰_i = f(a_i). Montrer maintenant que l’hypothèseθ =θ⁰ est automatiquement vérifiée.

Exercice 4. Affixes et applications.

A tout (x, y) de E on associe son affixe z =x+iy∈C.

1) Soient z_~_u, z_~_v les affixes de deux vecteurs ~u, ~v. Montrer que h~u, ~vi =

<e(z_~_uz_~_v). Montrer quez_mn⁻⁻^→=z_n−z_m puis quemn=|z_m−z_n|.

2) Soit abcd un parallélogramme de E. Vérifier que les triangles abc, bcd, cda, dab sont tous de même sens. On considère alors les points p, q, r, s tels que les triangles apb, bqc, crd, dsasont isocèles rectangle en p, q, r, set tous de même sens que abc. Trouverz_p, z_q, z_r, z_s en fonction dez_a, z_b, z_c, z_d (pour les calculs on pourra supposer abc direct).

En déduire que pqrs est un carré de même sens que abcd.

Exercice 5. Introduction d’isométries (ou d’autres applications affines) pour résoudre des problèmes de géométrie.

1) Etant donné trois droites concourantes D, D⁰, D⁰⁰, construire un triangle dont les côtés ont pour médiatrices les droites D, D⁰, D⁰⁰. Indication : car- actériser les sommets des triangles qui sont solution du problème à l’aide des symétries orthogonales d’axes D, D⁰, D⁰⁰.

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montrer que chaque sommet introduire les sym´etries orthogonales par rapport aux trois droites

Mˆeme question avec “bissectrices”.

2) Etant donné deux droites sécantes D et D⁰ et un point a extérieur à ces droites, construire deux points b et c tels que b ∈ D, c ∈ D⁰ et tels que le triangle abc est équilatéral.

3) Etant donn´´ e un triangle abc, montrer qu’il existe un unique triangle pqr tel que p ∈ (ab), q ∈ (bc), r ∈ (ac), et tel que (pq) ⊥ (bc), (qr) ⊥ (ac), (pr)⊥(ab).