Liveclass du 05/10 et 19/10 : Correction calcul littéral et résolution d équation

Liveclass du 05/10 et 19/10 :

Correction calcul littéral et résolution d’équation

Exercice 1 :

𝐴 = 3𝑥² − (4𝑥²− 7) 𝐴 = 3𝑥²− 4𝑥²+ 7 𝐴 = −𝑥²+ 7

𝐵 = 2𝑥(4𝑥 − 7) + (3𝑥 − 1)7

𝐵 = 2𝑥 × 4𝑥 − 2𝑥 × 7 + 3𝑥 × 7 − 1 × 7 𝐵 = 8𝑥²− 14𝑥 + 21𝑥 − 7

𝐵 = 8𝑥²+ 7𝑥 − 7

𝐶 = 4 − (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 3)

𝐶 = 4 − (3𝑥 × 5𝑥 + 3𝑥 × 3 − 2 × 5𝑥 − 2 × 3) 𝐶 = 4 − (15𝑥²+ 9𝑥 − 10𝑥 − 6)

𝐶 = 4 − (15𝑥²− 𝑥 − 6) 𝐶 = 4 − 15𝑥²+ 𝑥 + 6 𝐶 = −15𝑥²+ 𝑥 + 10

Exercice 2 :

𝑫 = 4𝑥 + 20 𝐷 = 4 × 𝑥 + 4 × 5 𝐷 = 4(𝑥 + 5)

𝐸 = 3𝑥² − 27𝑥 𝐸 = 3𝑥 × 𝑥 − 3𝑥 × 9 𝐸 = 3𝑥(𝑥 − 9) 𝐹 = −12𝑥 − 40

𝐹 = −4 × 3𝑥 − 4 × 10 𝐹 = −4(3𝑥 + 10)

1. Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre Multiplier par 2

Calculer son double Ajouter 1

Multiplier les deux termes Ajouter 9

a. Effectuer le programme de calcul en choisissant 2 comme nombre de départ et montrer qu’on obtient 29.

2

2 × 2 = 4 2 × 2 = 4

4 + 1 = 5

5 × 4 = 20 20 + 9 = 29

b. Quel résultat obtient-on en choisissant 2

3 comme nombre de départ ? 2

2 3

3× 2 =⁴

3 ²

3× 2 =⁴

3

4

3+ 1 =⁷

3

7 3×4

3=28 9 28

9 + 9 =28 + 81 9 =109

9

c. Exprimer le résultat obtenu avec ce programme de calcul en prenant 𝑥 comme nombre de départ.

𝑥

𝑥 × 2 = 2𝑥 2𝑥

2𝑥 + 1

(2𝑥 + 1) × 2𝑥 = 4𝑥²+ 2𝑥 4𝑥²+ 2𝑥 + 9

2. On teste un autre programme de calcul avec le logiciel Scratch :

a. Effectuer le programme de calcul en choisissant 2 comme nombre de départ et montrer qu’on obtient 25.

2

2 + 3 = 5 Le résultat est 25.

5 × 5 = 25

b. Quel résultat obtient-on en choisissant 1,5 comme nombre de départ ? 1,5

1,5 + 3 = 4,5 Le résultat est 20,25.

4,5 × 4,5 = 20,25

c. Exprimer le résultat obtenu avec ce programme de calcul en prenant 𝑥 comme nombre de départ.

𝑥 𝑥 + 3

(𝑥 + 3) × (𝑥 + 3) = 𝑥²+ 3𝑥 + 3𝑥 + 9 = 𝑥²+ 6𝑥 + 9

3. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de 𝑥 les deux programmes donnent le même résultat. Justifier la réponse.

4𝑥²+ 2𝑥 + 9 = 𝑥²+ 6𝑥 + 9 4𝑥²− 𝑥²+ 2𝑥 − 6𝑥 + 9 − 9 = 0

3𝑥²− 4𝑥 = 0 𝑥 × (3𝑥 − 4) = 0

𝑥 = 0 ou 3𝑥 − 4 = 0

3𝑥 = 4

𝑥 =⁴

3

Les deux programmes donneront le même résultat quand 𝑥 = 0 ou 𝑥 =⁴

3.

En période 4, les élèves décident de planter des pieds de salade. Dans le commerce, plusieurs tarifs sont proposés :

Tarif A : prix d’une barquette de 5 plants : 1,20 €

Tarif B : prix d’un plant : 0,25 €, et à partir de 50 plants une réduction de 5 % est faite sur l’ensemble de la commande

Tarif C : achat de carte de fidélité : 3 €, puis 0,20 € le plant

1. Quel tarif va être le plus avantageux pour l’achat de 40 plants ? 40 ÷ 5 = 8. Il faut donc 8 barquettes.

𝐴 = 8 × 1,20 = 9,60. Ils paieront 9,60€ avec le tarif A.

40 < 50. 𝐵 = 0,25 × 40 = 10. Ils paieront 10€ avec le tarif B.

𝐶 = 3 + 0,20 × 40 = 3 + 8 = 11. Ils paieront 11€ avec le tarif C.

Le tarif le plus avantageux pour 40 plants est donc le A.

2. L’école dispose d’un budget de 30 €. Quel tarif permet d’acheter le plus de pieds de salade ?

Soit 𝑥 le nombre de plants.

Pour le tarif A :

𝐴(𝑥) = (𝑥 ÷ 5) × 1,20 = 0,24𝑥

0,24𝑥 = 30

𝑥 = 30 ÷ 0,24 = 125

Avec 30€ et le tarif A ils pourront acheter 125 plants.

Pour le tarif B :

Si nous supposons que nous sommes en dessous des 50 plants nous obtenons : 𝐵(𝑥) = 0,25𝑥

0,25𝑥 = 30 𝑥 = ³⁰

0,25= 120

Nous obtenons donc 120 plants ce qui est une contradiction de notre hypothèse.

Nous sommes donc au-delà des 50 plants, ce qui nous donne : 𝐵(𝑥) = 0,25 × 𝑥 × 0,95 = 0,2375𝑥

0,2375𝑥 = 30 𝑥 = ³⁰

0,25≈ 126,3

Avec 30€ et le tarif B ils pourront acheter environ 126 plants.

Pour le tarif C : 𝐶(𝑥) = 3 + 0,20𝑥

3 + 0,20𝑥 = 30 0,20𝑥 = 27

𝑥 = 27 ÷ 0,20 = 135

Avec 30€ et le tarif C ils pourront acheter 135 plants.

3. A partir de l’achat de combien de plants le tarif C devient-il plus intéressant que le tarif B ? Dire que le tarif C est plus intéressant que le tarif B se traduit par :

𝐶(𝑥) < 𝐵(𝑥) Distinguons deux cas :

0 ≤ 𝑥 < 50

𝐵(𝑥) = 0,25𝑥 et 𝐶(𝑥) = 3 + 0,20𝑥

3 + 0,20𝑥 < 0,25𝑥 3 < 0,25𝑥 − 0,20𝑥

3 < 0,05𝑥

3 0,05< 𝑥

60 < 𝑥

Et : 𝑥 ≥ 50

𝐵(𝑥) = 0,2375𝑥 et 𝐶(𝑥) = 3 + 0,20𝑥

3 + 0,20𝑥 < 0,2375𝑥 3 < 0,2375𝑥 − 0,20𝑥

3 < 0,0375𝑥

3

0,0375< 𝑥 80 < 𝑥

Le tarif C est donc plus intéressant à partir de 81 plants.

Pour calculer de tête le carré d'un nombre entier se terminant par 5 :

- On prend le nombre de dizaines et on le multiplie par l’entier qui suit ce nombre de dizaines, cela donne le nombre de centaines du résultat ;

- On écrit ensuite 25 à droite du nombre de centaines pour obtenir le résultat.

Par exemple, 105 est composé de 10 dizaines et 5 unités, son carré s'obtient :

- Étape 1 : en calculant 10 × 11 = 110, ce qui donne le nombre de centaines du résultat ; - Étape 2 : on écrit ensuite 25 à droite de 110 pour obtenir le résultat.

On a donc 105² = 11025.

1. Montrer comment calculer mentalement 45². 4 × 5 = 20

45²= 2025

2. Soit n un nombre entier se terminant par 5, n peut s’écrire : 10d + 5 avec d le nombre de dizaines.

Établir la relation : n² = 100d(d + 1) + 25.

𝑛²= (10𝑑 + 5)²

𝑛²= (10𝑑 + 5) × (10𝑑 + 5) 𝑛²= 100𝑑²+ 50𝑑 + 50𝑑 + 25 𝑛²= 100𝑑²+ 100𝑑 + 25 𝑛²= 100𝑑 × 𝑑 + 100𝑑 × 1 + 25 𝑛²= 100𝑑(𝑑 + 1) + 25

3. Expliquer en quoi le résultat de la question 2 permet d’établir la technique de calcul mental présentée dans l’énoncé.

Nous retrouvons la technique de calcul présentée dans l’énoncé car on multiplie le nombre de dizaine d par l’entier qui suit d + 1 pour obtenir le nombre de centaine de n², auquel on ajoute 25.

4. Comment, par extension de la technique de calcul mental présentée, calculer mentalement le carré de 3,5 ?

3,5 =³⁵

10 donc 3,5² = (³⁵

10)²= ^35²

100

Il suffit donc d’appliquer la technique à 35 puis diviser le résultat par 100.

35²= 100 × 3 × 4 + 25 = 1225 3,5²= 12,25

Exercice 6 :

Voici un programme de calcul, appliqué sur un tableur :

1. a. Vérifier qu’on obtient 33 en choisissant 4 comme nombre de départ.

4

4 + 3 = 7 7²= 49

49 − 4²= 49 − 16 = 33

Nous obtenons bien 33 en choisissant 4 comme nombre de départ.

b. Quel résultat obtient-on si on choisit 4,2 comme valeur de départ ? 4,2

4,2 + 3 = 7,2 7,2²= 51,84

51,84 − 4,2²= 51,84 − 17,64 = 34,2

Nous obtenons 34,2 si nous choisissons 4,2 comme nombre de départ.

c. Quel résultat obtient-on si on choisit ₁₀⁷ comme valeur de départ ? On donnera le résultat sous la forme la plus simple possible.

7 10

7

10+ 3 =³⁷

10 (³⁷₁₀)²=¹³⁶⁹₁₀₀

1369 100 − (⁷

10)²=¹³⁶⁹

100 − ⁴⁹

100= ¹³²⁰

100 = 13,2 Nous obtenons 13,2 si nous choisissons ⁷

10 comme nombre de départ.

de calcul ? B3 : = B2 + 3 B4 : = B3*B3 B5 : = B4-B2*B2

3. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est exacte et justifier la réponse.

a. Affirmation 1 : « Aucun nombre ne permet d’obtenir 0 comme résultat final. »

Soit 𝑥 le nombre de départ, nous avons donc : 𝑥

𝑥 + 3

(𝑥 + 3)² = 𝑥²+ 6𝑥 + 9 𝑥²+ 6𝑥 + 9 − 𝑥²= 6𝑥 + 9

Pour répondre à l’affirmation 1 il suffit de résoudre : 6𝑥 + 9 = 0

6𝑥 = −9 𝑥 =⁻⁹

6 = −³

2= −1,5

Si nous choisissons -1,5 comme nombre de départ nous obtiendrons 0.

L’affirmation 1 est donc fausse.

b. Affirmation 2 : « Si on prend un nombre entier positif, le résultat est toujours divisible par 3. »

En choisissant 𝑥 comme nombre de départ nous avions trouvé comme résultat final 6𝑥 + 9

Or 6𝑥 + 9 = 3 × 2𝑥 + 3 × 3 = 3 × (2𝑥 + 3)

Donc si nous prenons entier positif comme nombre de départ, le résultat sera toujours divisible par 3.

L’affirmation 2 est vraie.

e

𝑇

Exercice 7 : Extrait CRPE 2019 G3

L'Indice de Masse Corporelle (IMC) est une grandeur qui permet d’estimer la corpulence d’une personne en fonction de sa taille et de sa masse corporelle afin d’évaluer les risques liés au surpoids.

Partie A - Utilisation et interprétation de l’Indice de Masse Corporelle chez l’adulte.

Pour prévenir les risques liés aux problèmes de poids, l’Organisation Mondiale de la Santé a défini les intervalles standards suivants :

IMC (kg/m²) Interprétation

moins de 16,5 anorexie

de 16,5 à moins de 18,5 maigreur

de 18,5 à moins de 25 corpulence normale de 25 à moins de 30 surpoids

de 30 à moins de 35 obésité modérée de 35 à moins de 40 obésité sévère

plus de 40 obésité morbide

(Source : http://inpes.santepubliquefrance.fr/50000/pdf/docIMCAd.pdf)

1. Claire mesure 160 cm et pèse 53 kg. Calculer son IMC. Quelle interprétation peut-on en faire ?

𝐼𝑀𝐶 = 53

1,60²≈ 20,7 Claire est de corpulence normale.

Voici la formule permettant de calculer l’Indice de Masse Corporelle :

dans laquelle :

IMC désigne l'Indice de Masse Corporelle exprimée en kilogramme par mètre carré (kg/m²) ; 𝑃 désigne la masse exprimée en kilogramme (kg) ;

𝑇 désigne la taille exprimée en mètre (m).

On obtient le tableau suivant :

a. Quelle formule a pu être écrite en D2 puis étirée jusqu’en D9 pour calculer l’IMC ?

D2 : =B2/(C2*C2)

b. Parmi ceux qui ont été interrogés, quel est le pourcentage d’hommes « obèses » ou « en surpoids » ?

D’après le tableau nous avons 3 personnes ayant un IMC supérieur à 25.

3

8× 100 = 37,5 Il y a 37,5% des hommes interrogés en surpoids ou obèses.

3. Une personne a un IMC de 28 et pèse 70 kg. Combien de kilogrammes doit-elle perdre pour avoir un IMC de 25 ?

Cherchons tout d’abord la taille au carré de cette personne :

70

𝑇² = 28 𝑇²= ⁷⁰

28= 2,5

Puis maintenant le poids que devrait faire cette personne pour atteindre un IMC de 25 :

𝑃

2,5= 25 𝑃 = 25 × 2,5 = 62,5

Maintenant, calculons le poids à perdre.

70 − 62,5 = 7,5

Cette personne doit perdre 7,5Kg.

4. Quelle masse minimale et quelle masse maximale peut avoir une personne mesurant 1,72 m pour avoir une « corpulence normale ».

18,5 ≤ 𝐼𝑀𝐶 ≤ 25

18,5 ≤ 𝑃

1,72²≤ 25

18,5 ≤ 𝑃

2,9584≤ 25 18,5 × 2,9584 ≤ 𝑃 ≤ 25 × 2,9584

54,7304 ≤ 𝑃 ≤ 73,96

Cette personne pourra peser minimum 54,7304Kg et maximum 73,96Kg pour être de corpulence normale.