Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Laurent Guyard.

8 septembre 2016

Table des matières

1 Introduction 1

2 Rappels 1

3 La borne supérieure 2

4 Demonstration du TVI 3

4.1 Par la borne supérieure . . . 3 4.2 Par dichothomie . . . 4

5 Corrolaires 5

1 Introduction

Le théorème des valeurs intermédiaires en abrégé TVI et son corollaire, le théorème de la bijection sont deux résultats importants du programme de terminale. En pratique, ils permettent de montrer l’existence de solutions à des équations de la formef(x) =Kouf est une fonction réelle d’une variable réelle. Le théorème ne donne certes pas la valeur des solutions, mais il plus confortable de rechercher quelque chose quand on est assuré de son existence...

Le théorème des valeurs intermédiaires est intuitivement simple à comprendre. Sa démonstration n’est en revanche pas facile, raison pour laquelle elle n’est abordée que dans l’enseignement supérieur. L’idée est ici, d’en exposer deux démonstrations s’appuyant sur les outils dont dispose un élève de terminale.

Ces demonstrations permettent notamment d’utiliser les définitions formelles des limites de suites, de fonctions et de la continuité.

Il y a plusieurs énoncés équivalents pour le théorème des valeurs intermédiaires. Celui proposé ci-après est sans doute proche de celui d’un cours de terminale.

Théorème I

Soit f une fonction de R dans R et D_f son domaine de définition. Soient I un intervalle, a et b deux points de I tels que a < b. Si f est continue sur I alors quelque soit k∈ [f(a), f(b)], il existe c∈[a, b] tel que f(c) =k.

Ce théorème est du au mathématicien Bernard Bolzano (5 octobre 1781 – 18 décembre 1848). Il signifie que l’équation f(x) = k a des solutions dans l’intervalle I, il signifie également que, sur l’intervalle [a, b],f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).

2 Rappels

Commençons par quelques rappels sur les limites de suite, les limites de fonction et la continuité. Les propositions ci-après sont des résultats connus des élèves de terminale. Si la formulation ne vous est

3 LA BORNE SUPÉRIEURE

pas familière, il est important d’y réflechir et de faire le lien avec les théorèmes et définitions de votre cours.

Définition 1 (Suite convergente)

Soit (x_n) une suite numérique. La suite (x_n) converge vers` si et seulement si

∀ >0 ∃n₀ ∈N ∀n > n₀ |x_n−`|<

Soit f une fonction réelle d’une variable réelle et D_f son domaine de définition.

Définition 2 (Limite)

On dit que la fonction f admet la limite `au point x0 et on note

x→xlim0

f(x) =` Si

∀ >0 ∃α >0 ∀x∈D_f |x−x₀|< α⇒ |f(x)−`|<

Note : ∀signifie « quelque soit » et ∃signifie « il existe ».

Définition 3 (Continuité)

On dit que f est continue au point x0 si

x→xlim0

f(x) =f(x₀)

La limite de la fonction enx0 est égale à la valeur de la fonction enx0.

Les fonctions continues transforment les suites convergentes en suites convergentes. Soit (x_n) une suite convergeant vers `. Sif est continue, la suite (f(x<sub>n</sub>)) converge vers f(`).

f est continue en `se traduit par

∀ >0 ∃α >0 ∀x∈D_f |x−`|< α⇒ |f(x)−f(`)|<

La suite (x_n) converge vers `donc

∀α >0 ∃n₀ ∈N ∀n > n₀ |x_n−`|< α On aura donc pour tout n > n<sub>0</sub> |f(x<sub>n</sub>)−f(`)|< puisque|x_n−`|< α.

En résumé,

∀ >0 ∃n₀∈N ∀n > n₀ |f(xn)−f(`)|<

La suite (f(x_n)) converge donc vers f(`).

3 La borne supérieure

La notion de borne supérieure n’est pas abordée en terminale. Elle est pourtant essentielle pour comprendre les propriétés de R. Précisons donc cette notion. Soit E une partie majorée de R. La borne supérieure de E est le plus petit des majorants. E majorée signifie qu’il existe un réel M tel que :

∀x∈E x < M

Soit mla borne supérieure de E.m est le plus petit majorant, donc pour tout >0m− n’est plus un majorant de E, donc il existe des éléments de E plus grand que m−. Plus formellement, écrit avec des quantificateurs, cela donne :

∀x∈E x≤m et ∀ >0 ∃x∈E m− < x < m (1)

4 DEMONSTRATION DU TVI

Ce qui est une caractérisation de la borne supérieure. La première inégalité traduit le fait quemest un majorant, la deuxième que c’est le plus petit. DansRtoute partie non vide majorée, admet une borne supérieure. C’est une propriété fondamentale de R, c’est même la propriété qui permet de construire R. R est le seul corps totalement ordonné présentant cette propriété. Pour comprendre la portée de cette propriété, il faut par exemple considérer l’ensemble suivant :

{x ;x∈Q; x² <2}

Dans Qcet ensemble est non vide, il est majoré mais il n’a pas de borne supérieure !

Revenons à notre partie E et sa borne supérieure m. On en déduit immédiatement que toute partie non vide minorée admet une borne inférieure. En effet, soit E un ensemble minoré parM

∀x∈E x≥M

L’ensemble des opposés est alors non vide majoré, il admet donc une borne supérieure. L’opposé de cette borne supérieure sera la borrne inférieure deE.

La caractérisation (1) étant valable pour tout , on peut choisir,= 1/net l’on obtient la propriété

∀n∈N ∃x∈E m− 1

n < x < m

Parmi, cesxcompris entrem−1/netmnous pouvons en choisir un que l’on notex_n. Cette possibilité

« de choisir » n’est pas anodine et résulte de l’axiome du choix. On construit ainsi une suite (x_n) de points deE telle que :

∀n∈N m− 1

n < xn< m

Le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite (x_n) converge vers m. On obtient ainsi une suite qui converge versmla borne supérieure deE. On vient donc d’obtenir un premier théorème qui nous sera utile pour la suite.

Théorème II

SoitE une partie majorée de Retmsa borne supérieure. Il existe une suite d’éléments deE conver- geant versm.

On démontre de même que pour un ensemble non vide minoré, il existe une suite d’éléments de l’ensemble convergeant vers la borne inférieure.

4 Demonstration du TVI

4.1 Par la borne supérieure

Théorème III

Soit f une fonction de Rdans R. SoitI un intervalle et aet b deux points deI tels que a < b. Si f est continue sur I alors quelque soitk∈[f(a), f(b)], il existec∈[a, b]tel que f(c) =k.

Sif(a) =f(b) alors k=f(a) =f(b). En prenantc=a on a bienf(c) =k! Considérons donc le cas ou f(a)6=f(b). On peut alors supposer que f(a)< f(b) sans perte de généralité. En effet, si ce n’est pas le cas, il suffit de considérer la fonction −f. Soit E l’ensemble défini par :

E={x |x∈[a, b] f(x)≤k} L’ensembleE est

1. non vide.aappartient à E

2. majoré.x appartenant à l’intervalle [a, b]x est plus petit queb

4.2 Par dichothomie 4 DEMONSTRATION DU TVI

L’ensemble E est non vide majoré, il admet une borne supérieure que l’on notera c dans la suite.

D’après ce que nous avons montré précédement, il existe une suite (xn) de points de E qui converge vers c. Lesx_n appartiennent àE doncf(x_n)≤kpar définition de l’ensemble E.

∀n∈N f(xn)≤k

f étant continue, la suite f(x_n) converge versf(c), donc en passant à la limite, on a f(c)≤k

Il nous reste à montrer que f(c) ≥ k. Supposons c < b, c est la borne supérieure donc pour tout x∈]c, b]f(x)≥k. L’ensemble ]c, b] est non vide minoré. Il admet donc une borne inférieure qui est c et il existe une suite (yn) de points de ]c, b] convergeant vers la borne inférieure donc versc.

∀n∈N f(y_n)≥k

f est continue donc la suite f(yn) converge vers f(c). En passant à la limite on a f(c)≥k

Et donc finalement

f(c) =k Dans le cas ouc=b,f(b)≥k et donc finalement f(c) =k.

4.2 Par dichothomie

Supposons que f(a)< f(b). Si ce n’est pas le cas, on utilise alors la fonction−f. Soitc le milieu de [a;b] etf(c) son image. Soit f(c)≤k, dans ce cas on pose a1 =cetb1 =b. Soitf(c)≥k, dans ce cas on pose a1 =a et b1 = c. Dans les deux cas, on a un nouvel intervalle [a1, b1] inclus dans [a;b]. On peut recommencer et on obtient ainsi une suite d’intervalles emboités, c’est-à-dire tels que :

[a;b]⊃[a1;b1]⊃ · · · ⊃[an;bn]

Pour construire l’intervalle suivant, on prendc_n le milieu de [a_n;b_n] et si f(c_n)≤kalorsa_n+1=c_net bn+1=bn, sif(cn)≥kalorsan+1 =anetbn+1 =cn. On a donc deux suites (an) et (bn) vérifiants les propriétés suivantes :

— La suite (a_n) est croissante

— La suite (b_n) est décroissante

— bn−an tend vers 0. En effet, on montre facilement par récurrence que : bn−an= b−a

2ⁿ

— ∀n∈N^? a₀< an< bn< b₀

Les suites (an) et (bn) sont adjacentes. Elles sont donc convergeantes et ont même limite c. Sans faire appelle à la notions de suites adjacentes, on peut remarquer que (an) est croissante et majoré donc convergent vers une limite `<sub>a</sub>, (b<sub>n</sub>) est décroissante et minorée, donc convergent vers une limite `_b.

n→∞lim bn−an= 0 et lim

n→∞bn−an`b−`a

donc`<sub>a</sub>=`_b, la limite des deux suites est la même. On notec cette limite commune.

f(an)≤k≤f(bn) Par construction, on a

∀n∈N f(an)≤k≤f(bn)

5 CORROLAIRES

En passant à la limite

n→∞lim f(an)≤k≤ lim

n→∞f(bn) La continuité def permet d’écrire

f( lim

n→∞a_n)≤k≤f( lim

n→∞b_n) et finalement

f(c)≤k≤f(c) On en conclut donc que f(c) =k, CQFD.

5 Corrolaires

Théorème IV (de la bijection)

Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a;b] et k un nombre appartenant à [f(a);f(b)]. Alors, l’équation f(x) =k admet une solution unique sur [a;b].

La fonction est continue sur [a, b]. Le théorème des valeurs intermédiaires nous assure de l’existence d’unx₀ tel quef(x₀) =k. Cet x₀ est unique. En effet, supposonsf strictement croissante. Pour tout x de [a, b] différent dex0, soitx < x0 et alors f(x) < f(x0), soit x0 < x et alors f(x0) < f(x). Dans les deux cas, f(x) 6= f(x0) c’est-à-dire f(x) 6= k. Il y a bien unicité. Si f est décroissante, alors la fonction−f est croissante et le résultat s’applique à −f et donc à f.

Vous trouverez également l’énoncé suivant du théorème de la bijection.

Théorème V

Si fest une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection de[a, b]sur l’intervalle fermé [f(a);f(b)]

Soit f une fonction de E dans F. f est une bijection si tout élément de F a un antécédent unique par f. Ainsi, dès que l’on choisit un élément de F, on peut lui associer son unique antécédent. On définit ainsi une nouvelle fonction, puisque à un nombre, on associe un nombre unique. Cette nouvelle fonction, définie deF versE est appelée fonction réciproque def et est notée f⁻¹. On a alors :

f◦f⁻¹=Id_E f⁻¹◦f =Id_F

Pour ceux qui l’aurait oublié,◦désigne la composition des applications. Soitf une fonction deE dans F etg une fonction de F dans G, alorsg◦f est une fonction deE dansGdéfinie par

g◦f(x) =g[f(x)]

Id_E est l’identité deE, la fonction qui a toutx de E associex,Id_F est l’identité deF. Théorème VI

Soitf une fonction continue sur un intervalleI. Alors l’image deI parf notéf(I)est un intervalle.

Rappelons d’abord la définition de f(I). L’image d’un point x est f(x). L’image de I est l’ensemble de toutes les images des points de I

f(I) ={y; ∃x∈I y =f(x)}

Montrons donc quef(I) est un intervalle. Soienty₁ ety₂ deux points de f(I), tels que y₁ < y₂. Nous devons monter que tous les points entre y1 et y2 sont dans f(I). Soit donc y un point compris entre y1 ety2 (y1 < y < y2).y1 appartient àf(I) donc il existeatel que f(a) =y1, de même, il existeb tel quef(b) =y₂.y appartient à l’intervalle [f(a);f(b)]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existec∈I tel quef(c) =y, ce qui signifie que y appartient àf(I).f(I) est donc bien un intervalle.