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measurements and constrained inputs
Swann Marx
To cite this version:
Swann Marx. Stabilization methods of nonlinear systems with partial measurements and constrained inputs. Automatic. Université Grenoble Alpes, 2017. English. �NNT : 2017GREAT040�. �tel-01689840�
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DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
ALPES
Spécialité : Automatique et Productique Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
Swann MARX
Thèse dirigée par Christophe PRIEUR et codirigée par Vincent ANDRIEU
préparée au sein du
laboratoire GIPSA-LAB
dans l’école doctorale Électronique, Électrotechnique, Automatique et Traitement du Signal
Méthodes de stabilisation de
systèmes non-linéaires avec des
mesures partielles et des entrées
contraintes
Thèse soutenue publiquement le 20 Septembre 2017, devant le jury composé de:
Jean-Michel CORON, Président
Professeur, Université Pierre et Marie Curie Sophie TARBOURIECH, Rapporteur Directeur de recherche, LAAS-CNRS Fabian WIRTH, Rapporteur Professeur, Université de Passau Yacine CHITOUR, Examinateur Professeur, Université Paris-Sud
Emmanuelle CRÉPEAU, Examinateur Maître de conférences, Université de Versailles Christophe PRIEUR, Directeur de thèse Directeur de recherche, GIPSA-lab CNRS
Vincent ANDRIEU, Co-directeur de thèse Chargé de recherche, LAGEP CNRS
Eduardo CERPA, Invité
"Muchos años después, frente al pelotón de fusilamiento, el coronel Aureliano Buendía había de recordar aquella tarde remota en que su padre lo llevó a conocer el hielo." Cien años de soledad, Gabriel García Marquez.
"Moi j’y connais rien à ces choses-là, mais ce que je sais c’est que ce n’est pas un espace-temps à venir au monde, avec tout le solide en train de valdinguer à blinde sur de l’instable." La Ballade de Gin & Bobi, Léo Henry et Stéphane Perger
Trois années de thèse exigent de l’abnégation. Il s’agit de plonger dans des eaux profondes et troubles. Alors, on s’étouffe, on finit enseveli sous des trombes d’informations et de respons-abilités, et on peut perdre parfois tout espoir de revoir un jour la lumière du soleil. C’est à ce moment-là qu’une main se tend, celle des directeurs de thèse, de l’entourage scientifique, des collègues, des amis, de la famille.
Mes premiers remerciements vont bien sûr vers Christophe, Vincent et Eduardo, qui ont su chacun leur tour me faire part de leurs idées fourmillantes et m’enseigner la rigueur exigée par le métier de chercheur. Ils ont été des soutiens sans faille et se sont montrés toujours très ouverts aux idées farfelues que je pouvais parfois avoir - au point même que certaines d’entre elles ont été publiées dans des journaux ! J’ai pu, grâce à eux, voyager à travers le monde, du Chili jusqu’en Autriche. Les nombreux workshops et conférences auxquels ils m’ont permis d’assister ont grandement contribué à ma culture scientifique et au petit réseau de collègues et d’amis que j’ai aujourd’hui - et dont ils font désormais partie pour, je l’espère, de nombreuses années.
Je suis extrêmement reconnaissant à l’égard du jury qu’ils ont composé et qui m’a fait l’honneur de venir assister à ma soutenance. Je remercie Jean-Michel Coron d’avoir présidé le jury, Sophie Tarbouriech et Fabian Wirth d’avoir endossé avec autant de rigueur le rôle de rapporteurs, Emmanuelle Crépeau et Yacine Chitour d’avoir examiné ma thèse. Je réalise bien entendu l’honneur d’avoir eu un jury aux thématiques aussi variées, aux qualités scientifiques et humaines indéniables. Je voudrais adresser quelques mots en particulier à Yacine, qui me connaît depuis maintenant le Master 1 (6 ans !) et qui m’a, tout au long de ces années, montré toute sa confiance et son amitié. Je suis ravi aujourd’hui de compter parmi ses collaborateurs. Si le GIPSA-lab est un lieu de convivialité, ce n’est pas seulement grâce aux montagnes qui l’entourent, mais aussi grâce à ses membres. Comme il est de coutume pour les remerciements de thèse, il est temps désormais d’énumérer avec le plus d’exhaustivité possible tous les col-lègues et amis qui ont marqué mon passage au GIPSA-lab. Craignant d’en oublier certains, je prends mon souffle et je me lance.
Merci à Sonia, Cyndie et Fanny d’avoir éclairé le labyrinthe administratif que représente parfois la vie de chercheur, à Patricia pour les discussions nombreuses et passionnantes que j’ai pu avoir avec elles, à Olivier Sename, Hayate Khennouf, Christophe Bérenguer, Ahmad Hably et Antoneta Iuliana Bratcu de m’avoir formé au métier d’enseignant, à Nicolas Marchand pour son humour noir et son indécrottable optimisme, à Delphine Bresch-Pietri pour ses encouragements, à Mirko Fiacchini pour sa gentillesse, à Nassim pour sa passion sans faille pour Cyril Hanouna, à Insaf pour avoir supporté mes blagues de mauvais goût, à Matthieu et Etienne (a.k.a Esteban) pour les déjeuners à la cafétéria, les soirées à la Bobine et les débats animés concernant la saison 3 de Twin Peaks, qui, sans conteste, est la meilleure des trois, n’est-ce pas Matthieu?, à Sophie (Cerf) pour sa bonne humeur et le road trip mythique auquel elle a participé !
Bien sûr, quelques mots à part doivent être dits à propos de mes collègues et amis de bureau. Tout au long des deux premières années, Bruno s’est révélé être un ami à l’écoute -de mes blagues surtout ! -, apte à répondre du tac au tac aux absurdités qui sortent parfois de ma bouche, une gageure ! Dès notre première rencontre, il n’y a eu aucun moment où j’ai douté de la gentillesse et de l’amitié de Nicolás. C’est un très grand honneur pour moi d’être son ami. Gracias parcero por todo que lo hiciste para mi ! Il est rare de trouver une personne comme Miguel aux qualités humaines et scientifiques extraordinaires. Gracias Miguel, pero no te olvides que soy el unico que hizo tu postdoctorado. Y gracias por haber tenido pereza de aprender francés, mi español se volvió mejor ! Il faut du courage et de l’abnégation pour trouver des qualités à Yashank, mais elles sont bien là, plus lumineuses qu’on n’aurait pu le penser. Thanks Yashank for allowing me to make fun of you that much ! Don’t forget: go to PhD defenses before eating at the "pot" !
N’oublions pas les amis de Grenoble, bien sûr. Merci à Nithida d’avoir été présente tout au long de la thèse et d’avoir tendu son oreille lorsque j’avais des soucis, à Maxime pour ses mots si drôles, à Vincent pour les longs appels téléphoniques où l’on refait le monde, à Axel pour m’avoir permis de louer son appartement, pour les séances de cinéma et les discussions animées que nous avons pu avoir par la suite sur le 7ème art, à Simon et Lola pour les cafés le dimanche après-midi, à Seb et Ben pour former un duo façon Laurel et Hardy, à Pierre-Olivier pour les discussions autour de la théorie du contrôle, à François pour les nombreuses soirées qu’il a organisées chez lui et les débats sur Daredevil, à Charles pour les discussions "littéraires" que l’on a pu avoir - ainsi que les bières ! -, à Agathe pour sa constante bonne humeur et son absence de filtre, à Pedro pour m’avoir rappelé cette belle année passée à Valparaíso - eri un amigo verdadero, asi seas weon, au chamo Nestor à qui je dois une bandeja paisa - vos sois el unico que sabe porque, chamo !-, à Matteo, Luciano et Nahuel pour bien vouloir sortir avec un doctorant du Gipsa-lab, à Stan et Airi pour tout le soutien qu’ils m’ont apporté, pour les bons moments passés à discuter des difficultés à être en couple avec un/une étranger/ère et le bonnet Pikachu.
No me puedo olvidar de los amigos de Valparaíso que me apoyaban un montón, asi esten lejos. Empezamos con el Cecio, que pasó un par de meses en Grenoble y cuyo buen humor es contagioso. Con él, aprendí a tener paciencia - parece que no tenemos los mismos horarios ! Gracias weon, fuiste mas que un amigo, un compadre ! Andrei pasó solamente un par de dias en Grenoble, seguramente por flojera, pero pudimos discutir seguido por Facebook et esas conversaciones siempre me ponian de buen humor - sobre todo cuando no tenian sentido. Muchas gracias por jugar conmigo ! Gracias tambien al Pato por ser tan raro como yo y mas ñoño que yo, lo que es complicado ! Espero que podamos colaborar alguna vez.
Mes amis de Paris ont été également un rouage essentiel dans le bon déroulement de cette thèse. Pierre Lissy, que j’ai rencontré au Chili, s’est révélé être un excellent ami, à la radicalité qui frôle le manque de diplomatie. Il m’a aussi beaucoup soutenu pendant la thèse, et j’ai eu l’honneur de travailler avec lui, parfois. Ludovick Gagnon, rencontré aussi au Chili, a su accueillir mes blagues nulles avec philosophie, n’hésitant pas à décortiquer chacune d’entre elles. Je n’aurais pas pu imaginer plus bizarre qu’Iván Moyano, chevauchant un vélocipède, ce qui apporte une sorte de réconfort intérieur. N’oublions pas mes amis de l’ENS, Manon (un bon
soutien de tous les instants et une bonne source d’informations pour les ragots), John (le roi de l’embrouille), Elise (meilleure source de ragots, en fait), Alice (toujours au top !), Chapeau (silent and smiley man), Kenan (qui, je l’espère, aura enfin compris les implications du terme "dimension infinie"), Pierre (ChardBlan, le seul fanatique de Gialli que je connaissance, c’est assez rare pour être souligné), Irtimid Niruak (toujours aussi intéressant de discuter avec lui, mais attention au mal de tête), Pierre (Le Vice, ou Double-Face, merci pour l’invitation à la bergerie et le soutien), Vincent (Rodger, l’homme qui ne savait pas prendre de décisions), Matthieu (Limbert, un vrai frérot, malgré sa propension à ne pas prendre de serviette quand il va chez des gens), Val (Ted toujours aussi motivé pour un verre de pastis), Alexandre (Terrand-Jeanne, même chose que Matthieu, mais avec qui je peux toujours me plaindre et dont la capacité à être désordonné m’étonnera toujours), Touski (sacrées pyramides ! merci à toi pour ton soutien indéfectible et pour ces longues conversations parsemées de vraies morceaux d’absurde), Aurélien (je ne connais personne avec un humour noir aussi sophistiqué), Zahm (même si j’ai failli étudier méca par ta faute !), Arthur (a.k.a. Canard: Je ne comprends pas toujours ce que tu dis, mais tu as l’air plutôt sympa !) et Jonathan (Laporte: merci de m’avoir transmis ta passion pour la cuisine !). Les amis de toujours, Alexandre Mansur (a.k.a Morsure), Alexandre Perraud (a.k.a l’asperge), les frères Mendy (les rois du chill ), Lauriane Gauthier (même si on ne voit pas si souvent, c’est toujours un plaisir de te voir), qui seront toujours dans un coin de la tête, même si je ne les vois que trop rarement !
Merci aussi à ma famille, ma mère, David et Yves qui ont montré tout au long de la thèse un amour et un soutien indéfectibles. Il n’y a pas de mots pour décrire tout ce que vous m’avez apporté et tout ce que vous m’apporterez.
Et enfin, j’aimerais remercier Rosario. Tu es une femme formidable, aux qualités humaines innombrables et à l’humour presque aussi nul que le mien. Tu as su prendre à bras le corps toutes mes névroses et guérir la plupart d’entre elles. C’est une grande fierté pour moi de t’avoir à mes côtés, de voir dans tes yeux tout l’amour que tu me portes. Sans toi, ces trois années de thèse auraient été beaucoup plus difficiles, et je t’en suis éternellement reconnaissant. Courage, quelques mois difficiles à passer et nous serons à nouveau ensemble !
Nombre de phénomènes physiques sont modélisés par des équations différentielles. Dans le cadre de la théorie des systèmes, on parle de systèmes dynamiques. Parmi tous ces systèmes dynamiques, il y en a quelques uns qui comportent des variables sur lesquels on peut agir (une tension, une force, une pression, etc...). Ces variables sont désignées sous le nom de contrôle. Le reste des variables, sur lesquelles on ne peut agir, sont désignées sous le nom d’état.
L’objet de la théorie du contrôle est d’étudier de construire ce contrôle de manière à donner au système dynamique un comportement désiré établi par un cahier des charges. L’une des propriétés recherchées pour le système dynamique est la stabilité globale asymptotique d’un de ses points d’équilibre. Une telle propriété est en fait la somme des deux propriétés suivantes :
• (Attractivité) Un point équilibre est dit globalement attractif si, pour toutes conditions initiales, toutes les trajectoires du système dynamique convergent vers cet équilibre; • (Stabilité de Lyapunov) Un point équilibre est dit stable selon Lyapunov si, plus la
condition initiale est proche du point d’équilibre, plus les trajectoires qui en résultent s’approchent du point d’équilibre.
Ce problème s’appelle le problème de stabilisation. Cette thèse s’intéresse particulièrement à ce problème.
L’un des moyens d’atteindre un tel objectif est de construire une loi de rétroaction, aussi connue sous le nom de la loi de feedback. Une loi de feedback est un contrôle qui dépend de l’état entier ou d’une partie de ce dernier. L’un des avantages de cette méthode est qu’elle permet au contrôle de réagir lorsque le système est sujet à des perturbations. En effet, notons que la stabilité de Lyapunov permet d’obtenir des propriétés de robustesse par rapport à des petites perturbations. En d’autres termes, si un tel contrôle existe, alors il est capable de rejeter des perturbations de petite amplitude.
On parle de système en boucle ouverte lorsque le contrôle ne dépend pas de l’état et de système en boucle fermée lorsqu’il en dépend.
Il existe aujourd’hui beaucoup de travaux sur la stabilisation de systèmes linéaires de di-mension finie, c’est-à-dire de systèmes modélisés par des équations aux dérivées ordinaires. De nombreuses méthodes efficaces et faciles à implémenter permettent aujourd’hui de sta-biliser beaucoup de systèmes qui apparaissent dans de nombreux domaines industriels. Pour-tant, physiquement, il n’est pas réaliste de s’intéresser à de tels systèmes. La plupart des phénomènes physiques sont non-linéaires. Un nombre non négligeable d’entre eux sont égale-ment modélisés par des équations aux dérivées partielles, qui représentent une large classe de système de dimension infinie. L’objectif de cette thèse est d’apporter des méthodes d’analyse ou de stabilisation de systèmes non-linéaires de dimension finie ou infinie.
Nous nous intéresserons dans un premier temps au problème des contrôle contraints. La plupart des contrôles sont en effet sujet à des restrictions. Notons notamment l’exemple des systèmes issus de l’électronique, qui demandent aux contrôles de ne pas dépasser un certain voltage. De tels phénomènes, qui sont purement non-linéaire, peuvent être modélisés notamment par ce que l’on appellera dans cette thèse une non-linéarité bornée dans un cône. Il est désormais connu depuis longtemps que négliger de tels phénomènes peut entraîner des instabilités pour le système en boucle fermée. Une bonne introduction à ce problème se trouve dans [94].
Il existe alors deux manières d’aborder ce problème. La première se fait en deux étapes : dans un premier temps, une loi de feedback est construite en ne prenant pas en compte les limitations du contrôle; puis, dans un second temps, on analyse la stabilité asymptotique du système en boucle fermée, lorsque la saturation agit. La deuxième manière consiste à prendre en compte cette contrainte lors de la construction de la loi de feedback.
Dans cette thèse, nous nous intéresserons à la première démarche. Nous l’appliquerons notamment sur des systèmes non-linéaires de dimension infinie. Nous répondrons alors à la question suivante :
Question 1 : Étant donnée une loi de feedback stabilisante pour un système non-linéaire de dimension infinie, sous quelles conditions le système reste-t-il globalement asymptotiquement stable lorsque l’on modifie la loi de feedback via une nonlinéarité bornée dans un cône ?
À notre connaissance, les articles pionniers sur ce sujet sont [84] et [81]. Ces articles utilisent la théorie des semigroupes non-linéaires pour prouver la stabilité asymptotique de systèmes de dimension infinie avec une loi de feedback stabilisante modifiée avec une non-linéarité bornée dans un cône. Notons que la théorie des semigroupes non-linéaires vise à généraliser les exponentielles de matrices dans des espaces de Banach ou de Hilbert.
Dans cette thèse, nous donnerons des résultats complémentaires à ces résultats pour des systèmes linéaires abstraits et nous étudierons une équation aux dérivées partielles non-linéaire particulière, à savoir l’équation de Korteweg-de Vries, qui modélise les mouvements de vagues dans des canaux de faible profondeur.
Cette thèse apporte également des contributions dans le domaine du problème de la sta-bilisation par retour de sortie. Récemment, de nombreux outils pour construire des lois de feedback ont été développés. Cependant, beaucoup d’entre eux nécessitent la connaissance de l’état entier. Dans la pratique, les capteurs ne peuvent pas mesurer tout l’état. Cela peut être imputé aussi bien à des coûts de production qu’à des impasses technologiques. On ne peut avoir accès qu’à une mesure partielle de l’état, que l’on nommera sortie.
Lorsqu’une loi de feedback dépend de la sortie, on parle alors de retour de sortie. On oppose ce terme à celui de retour d’état, qui correspond à une loi de feedback qui dépend de l’état tout entier. Pour construire un retour de sortie, il semble naturel de ne faire inter-venir dans la loi de feedback que la sortie. Une telle loi de feedback est alors appelée retour de sortie statique. Cependant, la construction d’un tel contrôle exige au système de
sat-isfaire des propriétés algébriques contraignantes, et il est donc fructueux de faire appel à un observateur.
Dans le cadre de la théorie du contrôle, un observateur se définit comme étant un système dynamique, dépendant de la sortie du système de contrôle, et qui est construit de manière à faire converger son état vers celui du système à contrôler. L’existence de ce système dynamique dépend d’une propriété d’observabilité que doit satisfaire le système de contrôle.
Une fois que l’on est capable de construire un retour d’état et un observateur, on doit analyser le système en boucle fermées lorsque l’état de l’observateur est injecté dans la loi de commande par retour d’état. On parle alors d’un retour de sortie dynamique, puisque la loi de feedback dépend désormais d’une dynamique supplémentaire.
On peut désormais établir une seconde question :
Question 2 : Étant donnés un observateur et un retour d’état pour une équation de Korteweg-de Vries, le retour de sortie dynamique qui en résulte stabilise-t-il l’origine du sys-tème en boucle fermée?
Cette seconde question est liée au principe de séparation, qui est satisfait pour les systèmes linéaires de contrôle à temps invariant et de dimension finie. En d’autres termes, si un tel système est stabilisable et observable, alors un observateur et un retour d’état peuvent être construits séparément pour construire un retour de sortie dynamique stabilisant. Notons qu’il n’existe pas de résultats généraux pour les systèmes linéaires de contrôle de dimension infinie. Un résultat est établi dans [26], où les opérateurs de contrôle et de sortie sont bornés. Cela signifie que le contrôle et la sortie ne se trouvent pas au bord de l’équation aux dérivées partielles.
Il est établi depuis longtemps déjà que le principe de séparation n’est pas satisfait pour les systèmes non-linéaires de dimension finie. L’article [3] rassemble quelques contre-exemples. Cependant, il existe d’autres résultats généraux permettant de construire des retours de sortie dynamique. L’un des plus connus, prouvé dans [97], établit le résultat suivant : si le système de contrôle satisfait une propriété d’observabilité, connue sous le nom d’observabilité complète uniforme, and si de plus il satisfait une propriété de stabilisabilité, alors on dit que le système de contrôle est semi-globalement stabilisable au moyen d’un retour de sortie. Cette propriété peut se décrire de la manière suivante : si la condition initiale appartient à un compact, un observateur dépendant de ce compact peut être construit conjointement avec un retour d’état dans le but de rendre asymptotiquement stable l’origine du système en boucle fermée avec un bassin d’attraction contenu dans le compact.
Cette thèse apporte un résultat pour le cas des systèmes de contrôle pour lesquels il existe un retour d’état hybride. Une telle loi de commande est une loi de commande dynamique qui a un comportement à la fois continu et discret. Ces commandes se sont avérées très utiles, car il existe des restrictions pour certains systèmes de contrôle. L’une des restrictions les plus connues est la condition de Brockett, qui établit que si un système ne satisfait pas certaines conditions, alors il ne peut pas être stabilisé au moyen d’une loi de commande continue. La
seule manière de stabiliser de tels systèmes consiste soit à utiliser une loi de commande à temps variant [21, Chapitre 11], soit à utiliser une loi de commande hybride. Nous ne nous intéresserons qu’à la seconde stratégie de commande.
De ces définitions, une troisième question s’impose :
Question 3 : Si un système de contrôle est complètement uniformément observable et s’il existe un retour d’état hybride stabilisant pour ce système, sous quelles conditions le système est-il semi-globalement stabilisable?
L’objectif de cette thèse est donc de répondre à ces trois questions. Le manuscrit de thèse est divisé en quatre chapitres. Le Chapitre 1 et 2 répondent à la Question 1. Le Chapitre 3 répond à la Question 2. Enfin, le Chapitre 4 répond à la Question 3.
Voici un résumé précis des chapitres de cette thèse: Résumé des chapitres
• Le Chapitre 1 traite des systèmes de contrôle abstraits non-linéaires. Il débute par l’introduction de notions essentielles pour la théorie des semigroupes non-linéaires et par l’établissement de quelques résultats connus, utiles pour le développement des ré-sultats obtenus lors de la thèse. Deux théorèmes sont présentés : le premier concerne le caractère bien posé d’un système de contrôle abstrait non-linéaire lorsqu’on le boucle avec une loi de commande stabilisante saturée. Une section est également consacrée au positionnement de nos résultats par rapport à la littérature qui traite de ce sujet. Quelques conditions sur le système en boucle fermée et sur la non-linéarité bornée dans un cône sont données pour prouver le caractère bien posée du système en boucle fermée ainsi que la stabilité asymptotique de l’origine de cette dernière. Deux exemples sont présentés. Le premier est une équation de Korteweg-de Vries linéarisée, tandis que le second est une équation de la chaleur non-linéaire;
• Le Chapitre 2 analyse l’équation de Korteweg-de Vries, dans le cas où son contrôle est saturé par deux types de saturation. Quelques résultats sur la stabilité de l’équation sont donnés. Notons que nous n’avons pas cherché à appliquer ici les résultats du Chapitre 1, car la théorie de semigroupes non-linéaires exige aux non-linéarités considérés de satisfaire des propriétés restrictives que ne satisfait pas la non-linéarité l’équation de Korteweg-de Vries. Nous établissons deux résultats: le premier sur le caractère bien posé du système en boucle fermée, le second sur la stabilité asymptotique de l’origine du système en boucle fermée. Le caractère bien posé est prouvé grâce au théorème du point fixe de Banach et quelques estimées déjà établis dans des articles, tandis que la preuve de la stabilité asymptotique est séparée en deux cas : i) quand le contrôle agit sur tout le domaine, une fonction de Lyapunov ainsi qu’une condition de secteur décrivant l’entrée saturée sont utilisées pour établir la stabilité asymptotique; ii) lorsque le contrôle est localisé, nous prouvons le résultat avec un raisonnement par l’absurde. Un schéma numérique est donné ainsi que des simulations illustrant la stabilité asymptotique du système non-linéaire en boucle fermée de dimension infinie;
• Le Chapitre 3 traite du problème de stabilisation par retour de sortie pour deux équations de Korteweg-de Vries. La première est linéaire, tandis que la seconde est non-linéaire. La construction des retours de sortie est basée sur la méthode de backstepping, qui est in-troduite dans le livre [85]. Cette méthode consiste à trouver une transformation bijective qui lie un système en boucle ouverte instable à système cible dont on choisit l’origine globalement asymptotiquement stable. Elle permet notamment de construire des re-tours d’état et des observateurs. Le caractère bien posé de l’équation non-linéaire est prouvé en appliquant le théorème de point-fixe de Banach, tandis que celui de l’équation linéaire est prouvé en faisant appel à quelques résultats basiques de la théorie des semi-groupes linéaires. La stabilité exponentielle des systèmes en boucle fermée est prouvée avec quelques fonctions de Lyapunov. Des simulations numériques ont été faites pour illustrer nos résultats théoriques;
• Le Chapitre 4 traite de la stabilisation semi-globale de systèmes non-linéaires de dimen-sion finie pour lesquels il existe un retour d’état hybrid régularisant. Une hypothèse de stabilisabilité hybride locale ainsi qu’une hypothèse d’observabilité complète uniforme permettent de construire une loi de commande qui stabilise d’un ensemble d’équilibre avec un retour de sortie hybride. Une propriété de timer est exploitée pour la construc-tion explicite de telles lois de commande. Le résultat est illustré avec un système linéaire de dimension finie sujet à des contrôles saturés à reset.
Liste des publications relatives à ce manuscrit
• Journaux
1. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Semi-global stabilization by an output feed-back law from a hybrid state controller." In: Automatica 74 (2016), pp. 90-98. 2. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with saturating distributed control."SIAM J. Control Optim. 55(3) (2017), pp. 1452–1480.
3. S. Marx, and E. Cerpa. "Output Feedback Control of the Korteweg-de Vries Equa-tion." To be published in Automatica (2017).
4. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Cone-bounded feedback laws for m-dissipative operators on Hilbert space. Submitted to Mathematics of Control, Signals and Systems.
• Conférences
1. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Using a high-gain observer for a hybrid output feedback: finite-time and asymptotic cases for SISO affine systems." In: American Control Conference. Portland, OR, 2014, pp. 4637-4642. 2. S. Marx, and E. Cerpa. "Output Feedback Control of the Linear Korteweg-de Vries
equation." In: Proceedings of the 53rd IEEE Conference on Decision and Control. Los Angeles, CA, 2014, pp. 2083-2087.
3. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Stabilization of a linear Korteweg-de Vries equation with a saturated internal control." In: Proceedings of the European Control Conference. Linz, AU, 2015, pp. 867-872.
4. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with a distributed control saturated in L2-norm." In: 10th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2016), Monterey, CA, 2016.
Introduction 1
1 Cone-bounded controllers for m-dissipative operators 5
1.1 Semigroup theory . . . 6 1.2 Stabilization of nonlinear systems with a cone-bounded controller . . . 13 1.3 Conclusion . . . 33
2 Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with saturating
dis-tributed control 35
2.1 About the Korteweg-de Vries equation . . . 36 2.2 Stabilization of a Korteweg-de Vries equation with a distributed control . . . . 41 2.3 Simulations . . . 64 2.4 Conclusion . . . 71
3 Output feedback stabilization of Korteweg-de Vries equations 73
3.1 A short discussion on output feedback laws for finite-dimensional linear systems 74 3.2 Output feedback law for some Korteweg-de Vries equations . . . 77 3.3 Simulation . . . 102 3.4 Conclusion . . . 105
4 Semi-global stabilization by an output feedback law from a hybrid state
controller 109
4.1 Complete uniform observability and hybrid controllers . . . 110 4.2 Semi-global stabilization by an output feedback law from a hybrid state controller115 4.3 Conclusion . . . 130
Conclusion 133
A Precompactness of the operator given by the KdV equation with a
cone-bounded feedback law 137
B Nonlinear heat equation: m-dissipativity and precompacity 139
B.1 Proof of the m-dissipativity of the nonlinear heat equation . . . 139 B.2 Precompacity of the nonlinear heat equation with a cone-bounded nonlinearity 141
C Successive approximation method. Application to the kernel existence
prob-lem 143
C.1 Presentation of the method . . . 143 C.2 Application of the method [14] . . . 144
1.1 Red line: 2s; Blue line: ˜σ(s) with us= 1.5 . . . 15
1.2 Solution z(t, x) with the control u(t, x) = σ (1Ωz) (t, x) where us = 1.5. . . 31
1.3 Solution z(t, x) with the control u(t, x) = σ (1Ωz) (t, x) where us = 1.5. . . 31
1.4 Control u(t, x) = σ (1Ωz) (t, x) where us= 1.5. . . 31
1.5 Time-evolution of the Lyapunov functions kzk2L2(0,L) and k˜zk2L2(0,L) . . . 31
2.1 x ∈ [0, π]. Red: satL2(0,L)(cos)(x) and us = 0.5, Blue: satloc(cos)(x) and us= 0.5, Dotted lines: cos(x). . . 44
2.2 Solution zw(t, x) with the control f = a0zw where Ω = [0, L] . . . 66
2.3 Solution z(t, x) with the control f = satL2(0,L)(a0z) where Ω = [0, L], us= 0.5 . 66 2.4 Control f = satL2(0,L)(a0z)(t, x) where Ω = [0, L], us= 0.5 . . . 67
2.5 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) with a saturation us = 0.5 and a0= 1. Red: Time evolution of the theoretical energy kz0k2L2(0,L)e−2µt. Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw and a0 = 1. . 67
2.6 Solution zw(t, x) with a localized feedback law without saturation . . . 67
2.7 Solution z(t, x) with a localized feedback law saturated; us= 0.5 . . . 67
2.8 Control f = satloc(az)(t, x) where Ω = 1 3L, 2 3L, us= 0.5 . . . 68
2.9 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) with a saturation us = 0.5, a0 = 1 and Ω = 1 3L, 2 3L. Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw with a0= 1 and Ω = 1 3L, 2 3L. . . 68
2.10 Solution z(t, x) of the linearized Korteweg-de Vries equation. . . 69
2.11 Blue: Logarithmic time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) of the linearized Korteweg-de Vries equation; Red: Logarithmic time evolution of kzk2 L2(0,L)e−µ1t; Dotted red line: Logarithmic time evolution of kzk2L2(0,L)e−µ2t . 69 2.12 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) with a saturation u0 = 0.1 and a0 = 1. Red: Time evolution of the theoritical energy kz0k2L2(0,L)e−2µt. Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw and a0 = 1. . 70
2.13 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) with a saturation u0 = 1 and a0 = 1. Red: Time evolution of the theoritical energy kz0k2L2(0,L)e−2µt.
Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw and a0 = 1. . 70 2.14 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L) with a saturation u0 = 1
and a0 = 1. Red: Time evolution of the theoritical energy kz0k2L2(0,L)e−2µt.
Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw and a0 = 1. . 71 2.15 Blue: Time evolution of the energy function kzk2L2(0,L)with a saturation u0 = 1,
a0 = 1 and Ω = 1
3L, 2
3L. Dotted line: Time evolution of the solution without saturation zw with a0 = 1 and Ω =
1 3L,
2
3L. . . 71
3.1 Solution to the closed-loop system (3.14)-(3.68) . . . 103 3.2 Time evolution of the L2-norm of the plant (blue line) and of the observer (red
line). . . 104 3.3 Time evolution of the L2-norm for the observation error z − ˆz and of
Ck˜z0k2L2(0,L)e−µt . . . 104
3.4 Solution to the closed-loop system (3.16) and (3.81) . . . 106 3.5 Time evolution of the L2-norm of the plant (blue line) and of the observer (red
line). . . 106 3.6 Time evolution of the L2-norm for the observation error z−ˆz and of k˜z0k2L2(0,L)e−µt107
4.1 Case 1: j = 0 . . . 123 4.2 Case 1: j = 1. Continuous lines stand for flows. Dotted lines stand for jumps. . 123 4.3 Time evolution of zp1 (blue plain line) and ˆzp1 (red dashed line). . . 131
• Let c ∈ C, Re(c) (resp. Im(c)) denotes the real part (resp. the imaginary part) of c; • A function α : R≥0 → R≥0 is said to be a class K function if α is nonnegative, increasing
and vanishing at 0. It is said to be a class K∞function if moreover it satisfies lim
s→+∞α(s) = +∞;
• A function β : R≥0×R≥0→ R≥0is said to be a class KL function if, for each nonnegative value s, the function r → β(r, s) is a class K function and, for every positive value r, the function s → β(r, s) is strictly decreasing and satisfies
lim
s→+∞β(r, s) = 0.
• The identity operator associated to a Hilbert space Z is denoted by IZ;
• Given a Hilbert space Z equipped with the scalar product h·, ·iZ, a sequence (zn)n∈N∈ Z weakly converges to z if, for all ˜z ∈ Z
lim
n→+∞hzn, ˜ziZ = hz, ˜ziZ. (1)
We use the following notation
zn*Z z;
• Given a positive value L, let (t, x) ∈ R≥0× [0, L] → z(t, x) be a sufficiently smooth function. The term zt(respectively zx) stands for the partial derivative of z with respect to t (respectively with respect to x). Similarly, zxxx stands for the third derivative of z with respect to x. When the function z depends only on x, z0 (respectively z000) denotes the first (repectively the third) spatial derivative of z. When the function z depends only on t, dtdz denotes the time derivative of z;
• Let Z be a Hilbert space and let ˜Z ⊂ Z be a Hilbert space. The closure of ˜Z in Z is denoted by closZ( ˜Z) with respect to the topology of Z;
• Let Z and E be Hilbert spaces and A : E → Z a linear operator. The term Ran(A) denotes its range;
• Given a positive value T ∈ [0, ∞), the space of continuous functions on [0, T ] is denoted by C(0, T ). Given k ∈ N?, a function f is said to be of class Ck(0, T ) if dtdllf (t), where
l ∈ {1, . . . , k}, belongs to the space C(0, T );
• Let Z be a Hilbert space. Let T ∈ [0, ∞]. The function f belongs to the set C(0, T ; Z) if, for all z ∈ Z, the function
[0, T ] → Z t 7→ f (t, z) is continuous;
• Given n ∈ N, the norm of the space Rn is denoted by | · |;
• Given two Hilbert space Z and ˜Z, the space of continuous linear operators from Z to ˜Z is denoted by L(Z, ˜Z). When ˜Z = Z, then the notation that is used is L(Z);
In recent decades, a great deal of effort has been dedicated to the development of tools for the design of stabilizing feedback laws either for finite-dimensional or infinite-dimensional systems. The general problems under consideration in this thesis are the analysis of control systems with restrictions on the input and the design of feedback laws with partial measurement of the state.
The restrictions on the input can be modeled with a cone-bounded nonlinearity, which is a bounded and continuous function satisfying a sector condition. One of the most famous is the saturation function (see [94] for a good introduction to this topic). This thesis aims at giving some contributions to this topic in the context of infinite-dimensional systems. From this problem, a question arises.
Question 1: Given a linear stabilizing feedback law for a nonlinear infinite-dimensional control system, under which conditions does the system remain globally asymptotically stable when modifying the feedback law via a cone-bounded nonlinearity?
Even for linear finite-dimensional systems, it is already known that saturating a stabilizing feedback law can lead to catastrophic behavior for the stability of the closed-loop system. In fact, in general, the origin of such systems is locally asymptotically stable. The global asymptotic stability of saturated control systems can be obtained if the open-loop system satisfies some stability conditions.
At the best of our knowledge, this topic started in [84], [81], [52] and [44]. These articles use nonlinear semigroup theory to tackle the asymptotic stability of infinite-dimensional sys-tems with a stabilizing feedback modified via a cone-bounded nonlinearity. In this thesis, we aim at giving complementary results for nonlinear abstract control systems and at studying a particular nonlinear partial differential equation, namely the Korteweg-de Vries equation, which models waves on shallow water surfaces.
This thesis aims also at contributing in output feedback stabilization problems. In recent decades, some tools for the design of feedback laws have been found. Some of these feedbacks needs the full-state of the system to be known. Note that the state is referred to as the solution to the system. Hence implementing them requires to have a measure of all the variables of the system.
However, in most of the cases, sensors can measure only a part of the state. This partial measurement is called the output. In this case, designing a feedback law requires sometimes to build an observer, which is a dynamical system whose state converges to the state of the control system. This thesis aims at contributing in this topic for two Korteweg-de Vries equations for which there exists a stabilizing state feedback law. Hence, a second question arises.
Question 2: Given an observer and a state feedback law for a Korteweg-de Vries equation, 1
does the resulting output feedback law stabilize the origin of the closed-loop system?
This question is referred to as the so-called separation principle, which applies for linear time-invariant finite-dimensional control systems. In other words, if such a system is stabiliz-able and observstabiliz-able, then an observer and a state feedback law can be designed separetely to build a stabilizing output feedback law.
We already know that for nonlinear finite-dimensional systems, the separation principle does not hold anymore. Note that the survey [3] collects some counter-examples. If the control system satisfies an observability property, namely the complete uniform observability, and if moreover it satisfies a stabilizability property, then we say that the control system is semi-globally stabilizable by means of an output feedback. Roughly speaking, it means the following: if the initial condition belongs to a compact set, an observer depending on this compact set can be designed jointly with the state feedback in order to make asymptotically stable the origin of the closed-loop system with a basin of attraction contained in the compact set. This well-known result is provided in [97].
We aim at contributing in this topic for control systems for which there exists a hybrid state feedback. A hybrid state feedback is a feedback law which has a mixed continuous/discrete behavior. Such controllers are useful for some systems that cannot be stabilized by means of a continuous feedback law. Now, a third and last question can be stated.
Question 3: If a control system is completly uniformly observable and if there exists a stabilizing hybrid state feedback law for this system, under which conditions is this system semi-globally stabilizable?
The manuscript is divided into four chapters. Chapters 1 and 2 tackle Question 1. Chapter 3 solves Question 2. Finally, Chapter 4 answers Question 3.
Here is the precise outline of the thesis.
Outline
• Chapter 1 deals with nonlinear abstract control systems. After an introduction to semigroup theory and a short recall of some existing results, some conditions on the open-loop system and on the cone-bounded nonlinearity are given in order to prove the well-posedness and the asymptotic stability of the closed-loop system. Two illustrative examples are provided;
• Chapter 2 tackles the case of the Korteweg-de Vries equation. Two different types of saturated controls are considered. The well-posedness is proven applying a Banach fixed point theorem, using some estimates of this equation and some properties of the saturation function. The proof of the asymptotic stability of the closed-loop system is separated in two cases: i) when the control acts on all the domain, a Lyapunov function together with a sector condition describing the saturating input is used to
conclude on the stability; ii) when the control is localized, we argue by contradiction. Some numerical simulations illustrate the stability of the closed-loop nonlinear partial differential equation;
• Chapter 3 deals with the output feedback stabilization of two Korteweg-de Vries equa-tions. The first one is linear, the second one is nonlinear. The design of the output feedback laws is based on the backstepping method (see [50] for a good introduction on this topic) and the introduction of an appropriate observer. The exponential stability of the closed-loop systems is proven with some Lyapunov functions. Some numerical simulations are performed to illustrate our theoretical results;
• Chapter 4 is about the semi-global stabilization of nonlinear system for which there exists a regularizing hybrid state feedback law. A local hybrid stabilizability and a complete uniform observability are assumed to achieve the stabilization of an equilibrium set with a hybrid output feedback law. Timer property is exploited to propose a design method for such feedbacks. The result is illustrated for a linear system with reset saturated control.
List of Related Publications
• Journals
1. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Semi-global stabilization by an output feed-back law from a hybrid state controller." In: Automatica 74 (2016), pp. 90-98. 2. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with saturating distributed control."SIAM J. Control Optim. 55(3) (2017), pp. 1452–1480.
3. S. Marx, and E. Cerpa. "Output Feedback Control of the Korteweg-de Vries Equa-tion." To be published in Automatica (2017).
4. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Cone-bounded feedback laws for m-dissipative operators on Hilbert space. Submitted to Mathematics of Control, Signals and Systems.
• Conferences
1. S. Marx, V. Andrieu, and C. Prieur. "Using a high-gain observer for a hybrid output feedback: finite-time and asymptotic cases for SISO affine systems." In: American Control Conference. Portland, OR, 2014, pp. 4637-4642. 2. S. Marx, and E. Cerpa. "Output Feedback Control of the Linear Korteweg-de Vries
equation." In: Proceedings of the 53rd IEEE Conference on Decision and Control. Los Angeles, CA, 2014, pp. 2083-2087.
3. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Stabilization of a linear Korteweg-de Vries equation with a saturated internal control." In: Proceedings of the European Control Conference. Linz, AU, 2015, pp. 867-872.
4. S. Marx, E. Cerpa, C. Prieur, and V. Andrieu. "Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with a distributed control saturated in L2-norm." In: 10th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2016), Monterey, CA, 2016.
Cone-bounded controllers for
m-dissipative operators
Contents
1.1 Semigroup theory . . . 6 1.1.1 Strongly continuous semigroups of contractions and m-dissipative operators 6 1.1.2 Cauchy Problem and Lyapunov stability . . . 10 1.1.3 Asymptotic stability for abstract systems . . . 11
1.2 Stabilization of nonlinear systems with a cone-bounded controller . . 13
1.2.1 Problem statement and existing results . . . 13 1.2.2 Contributions . . . 17 1.2.3 Proofs of the results . . . 22 1.2.4 Application to a linear Korteweg-de Vries equation . . . 29 1.2.5 Application to a nonlinear heat equation . . . 32 1.3 Conclusion . . . 33
This chapter deals with systems composed by a feedback interconnection of a plant and a cone-bounded nonlinearity. The study of such systems has received considerable attention in recent decades (see e.g., [94], [101], or [45]). Indeed, in most of systems, the control input has a nonlinear dynamic. Nowadays, it is well known that neglecting these nonlinearities can lead to undesirable and even catastrophic behaviors for the stability of closed-loop system. Without any assumption on the open-loop system, only a local stabilization result can be obtained. A classical research line is then to analyze the basin of attraction or to obtain a better one using anti-windup techniques in the case of saturated controls ([37] or [25]).
Tackling this kind of nonlinearities in the case of finite-dimensional systems is already a difficult problem. However, nowadays, numerous techniques are available (see e.g., [94]) and such systems can be analyzed with different techniques: an appropriate Lyapunov function and a sector condition of the saturation map, as introduced in [94] or a frequency approach, leading to the so-called Popov criterion, as reviewed in [45]. In the case of open-loop stable finite-dimensional linear systems with a chain of integrators form, a bounded feedback law can be designed using nested saturations (see e.g., [95], [92], [88] or [51]).
To the best of our knowledge, the study of this topic in the infinite-dimensional case has started with [84, 81, 52]. More recently, some new results have been stated in [44, 27, 64,
76]. This chapter aims at contributing to the study of feedback interconnection of a system (possibly nonlinear) and a cone-bounded nonlinearity in the framework of partial differential equations, more precisely for abstract control systems described using semigroup theory ([72] and [68] are good introductions to linear semigroups and nonlinear semigroups, respectively). This chapter is organized as follows. Section 1.1 is devoted to the introduction to nonlinear semigroup theory in Hilbert spaces and to some stability results in the infinite-dimensional context. Section 1.2 presents the problem of stabilizing an equilibrium point with a cone-bounded feedback law. Some existing results and some of our contributions are provided. Finally, some concluding remarks are collected in Section 1.3.
Note that the contributions of this chapter, from Section 1.2.2 until the end of the chapter, are based on two of our papers. The first one [64] has been published in a peer-reviewed con-ference (European Control Concon-ference 2015). The second one [60] is currently being reviewed in the journal Mathematics of Control, Signals, and Systems.
1.1
Semigroup theory
1.1.1 Strongly continuous semigroups of contractions and m-dissipative op-erators
Semigroup theory aims at generalizing matrix exponentials for operators in Hilbert spaces or in Banach spaces. This theory allows also to solve some infinite-dimensional Cauchy problems and some asymptotic stability problems. This section is devoted to the introduction of this theory for systems posed in a Hilbert space1. Most of the results written below are borrowed from [68].
All along this chapter, Z is a Hilbert space on R equipped with a scalar product h·, ·iZ and a norm k · kZ.
Definition 1.1 (Strongly continuous semigroup of contractions)
(i) A family of bounded linear operators (W (t))t≥0 from Z to Z is said to be a strongly continuous semigroup on Z if it satisfies the following properties
1. W (0) = IZ;
2. W (t + s) = W (t)W (s), ∀t, s ≥ 0; 3. limt→0+kW (t)z − zkZ = 0, ∀z ∈ Z.
(ii) A strongly continuous semigroup on Z is said to be a strongly continuous semigroup of
1This chapter does not aim at presenting the case of semigroups in Banach spaces. However, the reader
contractions on Z if, for all t ≥ 0
kW (t)z − W (t)˜zkZ ≤ kz − ˜zkZ, ∀z, ˜z ∈ Z. (1.1) Remark 1.1
Given n ∈ N, consider a matrix A ∈ Rn×n. The following operator
t 7→ eAt, (1.2)
is a strongly continuous semigroup. If moreover
keAtkL(Rn)≤ 1, ∀t ≥ 0, (1.3)
then t 7→ eAt is a strongly continuous semigroup of contractions. Indeed, for all z, ˜z ∈ Rn |eAtz − eAtz| =|e˜ At(z − ˜z)|,
≤keAtkL(Rn)|z − ˜z|,
≤|z − ˜z|,
where the linearity of the operator z 7→ eAtz, for all tR≥0, and (1.3) have been used in the second line and the third line, respectively.
Consider an operator (possibly unbounded and nonlinear) A : D(A) ⊆ Z → Z, where D(A) is a subset of Z defined as follows
D(A) := {z ∈ Z | Az exists}. (1.4)
The operator A is said to be closed if its graph G(A) := {(z, Az), z ∈ Z} is closed in Z × Z. Moreover, if D(A) is dense in Z2, then we can define an adjoint A?: D(A?) ⊆ Z → Z3. The domain D(A?) is defined by the following set
D(A?) := {˜z ∈ Z | there exists z?∈ Z such that hAz, ˜ziZ= hz, z?iZ for all z ∈ D(A)}. (1.5) Hence, the adjoint operator A? is defined as follows
hAz, ˜ziZ = hz, A?zi˜ Z, ∀(z, ˜z) ∈ D(A) × D(A?). (1.6)
The following definition links operators and strongly continuous semigroups. Definition 1.2
The infinitesimal generator A : D(A) ⊆ Z → Z of a strongly continuous semigroup (W (t))t≥0 on Z is defined by Az = lim t→0+ W (t)z − z t (1.7) where D(A) := z ∈ Z lim t→0+ W (t)z − z t exists (1.8) 2
D(A) is said to be dense in Z if D(A) = Z
3
Remark 1.2
Take the same example as in Remark 1.1. Then, we have lim
t→0+
eAtz − z
t = Az, (1.9)
by definition of the derivative. It means that A is the infinitesimal generator of the strongly continuous semigroup (eAt)t≥0.
Let us define the notion of dissipative operator. Definition 1.3 (Dissipative operator)
An operator A : D(A) ⊆ Z → Z is said to be dissipative if the following holds
RehAz − A˜z, z − ˜ziZ ≤ 0, ∀z, ˜z ∈ D(A). (1.10) Remark 1.3
• Note that, if A is linear, then the following inequality
RehAz, ziZ ≤ 0, ∀z ∈ D(A), (1.11)
implies that A is dissipative;
• Given n ∈ N, let us take the case of the matrix A ∈ Rn×n. The dissipativity of a matrix implies that
z>Az ≤ 0, ∀z ∈ Rn. (1.12)
This implies that all the eigenvalues of A are nonpositive. We will see that a similar result can be obtained for infinite-dimensional linear operators.
Thanks to this definition, one can define the m-dissipative operators. Definition 1.4 (m-dissipative operators)
A dissipative operator A : D(A) ⊆ Z → Z is said to be an m-dissipative operator if, for all positive values λ, the following equality holds
Ran(IZ− λA) = Z. (1.13)
The condition (1.13) might be hard to check. In fact, there exists another weaker condition. Let us state it.
Lemma 1.1 ([68], Lemma 2.13, Page 22)
A dissipative operator A : D(A) ⊆ Z → Z is an m-dissipative operator if and only if there exists a positive value λ0 such that
Ran(IZ− λ0A) = Z. (1.14)
The following theorem gives some conditions for a linear operator to be m-dissipative. Let us state it.
Theorem 1.1 ([72], Corollary 4.4, Chapter 1, page 15)
Let the operator A : D(A) ⊆ Z → Z be linear with its domain dense in Z. If A is closed and if A and A? are both dissipative, then A is an m-dissipative operator.
For linear systems, this theorem is useful, because checking whether an operator is closed and whether this operator and its adjoint are both dissipative is easier than proving (1.14).
Let us introduce the concept of the resolvent of an operator. This term comes from the resolvent set of an operator A : D(A) ⊆ Z → Z, which is defined as follows
ρ(A) := {λ ∈ C | IZ− λA is injective and (IZ− λA)−1 is bounded}. (1.15) For linear operators, the spectrum of an operator A is the complement of ρ(A) in C.
Now, we are able to define the resolvent operator of an operator. Definition 1.5 (Resolvent operator of an operator A)
Let A : D(A) ⊆ Z → Z be an operator and λ ∈ C. The resolvent operator of A is defined by Jλ : D(Jλ) → Z,
z 7→ (IZ− λA)−1z,
(1.16) where D(Jλ) := Ran(IZ− λA)
The fact that D(Jλ) := Ran(IZ− λA) comes from [68, Corollary 3.7, page 20]. Remark 1.4
When A is linear, note that the resolvent of A exists if and only if λ does not belong to the spectrum of A.
The following theorem gives a property of the resolvent operator of dissipative operators. Theorem 1.2 ([68], Corollary 2.10, page 20)
Let Z be a Hilbert space. Let A : D(A) ⊆ Z → Z be a dissipative operator with its domain dense in Z. Then, for any positive value λ, the resolvent (1.16) exists and satisfies the following inequality, for all z, ˜z ∈ D(Jλ)
kJλz − Jλzk˜ Z ≤ kz − ˜zkZ. (1.17)
In other words, this means that the set defined by {λ ∈ C | Re(λ) > 0} belongs to the resolvent set. Hence, for linear operators, this implies that the real parts of the eigenvalues are less or equal to 0. Recall that the particular case of the matrix A ∈ Rn×n has been noticed in Remark 1.3.
Thanks to these definitions, we are able to define operators generating semigroups of contraction. Indeed, the following result, borrowed from [68], links nonlinear m-dissipative operators and strongly continuous semigroups of contractions.
Theorem 1.3 ([68], Theorem 4.20, page 103)
The infinitesimal generator A : D(A) ⊆ Z → Z of a strongly continuous semigroup of con-tractions on Z is an m-dissipative operator. Conversely, if A is an m-dissipative operator, then A generates a strongly continuous semigroup of contractions.
This result is crucial. Indeed, this theorem allows to state that a Cauchy problem is well-posed and to prove that the origin of this system is Lyapunov stable. The next section is devoted to the study of Cauchy problems in the framework of abstract nonlinear systems.
1.1.2 Cauchy Problem and Lyapunov stability
Consider the following Cauchy problem d dtz = Az, z(0) = z0, (1.18)
where A : D(A) ⊆ Z → Z is a (possibly nonlinear) operator. The initial condition z0 can belong either to Z or to D(A).
An equilibrium point ze∈ Z of (1.18) is defined as follows
Aze= 0. (1.19)
One of the aims of control theory is to study the stability of such a point. Thus, we need to define what do we mean by stability. Here is the Lyapunov version of the stability.
Definition 1.6 (Lyapunov stability)
An equilibrium point ze ∈ Z of (1.18) is said to be Lyapunov stable in Z if, for any δ > 0, there exists ε := ε(δ) such that the following implication holds
kz0− zekZ ≤ ε ⇒ kz(t) − zekZ ≤ δ, ∀t ≥ 0, (1.20) for any mild (or strong) solution z(t) (1.18) with the initial condition z0.
Theorem 1.3 is a sufficient condition to obtain the well-posedness of the latter Cauchy Problem. Indeed, the following theorem allows us to obtain a well-posedness for strong and mild solutions.
Theorem 1.4 (Well-posedness and Lyapunov stability [68], Corollary 3.7, page 53) If A is an m-dissipative operator, then
• if z0∈ Z, (1.18) admits a unique mild solution z(t) ∈ C(0, ∞; Z);
Moreover, if z0 ∈ D(A), then, denoting by (W (t))t≥0 the strongly continuous semigroup of contractions generated by A, it holds that the two functions
t 7→ kW (t)z0kZ, t 7→ kAW (t)z0kZ (1.21) are non increasing. In addition, it holds that
A(0) = 0. (1.22)
Hence, we have not only well-posedness, but also Lyapunov stability of the origin, which is an equilibrium point because of (1.22). Indeed, since (W (t))t≥0 is a strongly continuous semigroup of contraction, then the following holds
kW (t)z0kZ ≤ kz0kZ, ∀t ≥ 0. (1.23)
The unique solution to (1.18) is bounded by its initial condition. Hence, (1.23) not only implies that the origin is an equilibrium, but also implies that the origin is Lyapunov stable. Some attractivity results are needed before studying the case of abstract control sys-tems. The next section is devoted to the presentation of some infinite-dimensional versions of LaSalle’s Invariance Principle.
1.1.3 Asymptotic stability for abstract systems
1.1.3.1 Attractivity and asymptotic stability
If Theorem 1.4 can be applied, Lyapunov stability of the origin holds. However, in stabilization problem, we want to make the origin of the closed-loop system globally attractive. The definition of this property is provided just below.
Definition 1.7 (Attractivity of an equilibrium)
An equilibrium point ze∈ Z is said to be locally attractive in Z if there exists a positive value δ such that
kz0− zekZ ≤ δ ⇒ lim
t→+∞kz(t) − zekZ = 0, (1.24)
for any mild (or strong) solution z(t) (1.18) with the initial condition z0. The equilibrium point ze is said to be globally attractive if δ = +∞.
The aim of the stabilization is to find a feedback law that makes an equilibrium point of the closed-loop system locally asymptotically stable or globally asymptotically stable. The following definition characterizes this property.
Definition 1.8 (Asymptotic stability)
Assume that (1.18) admits at least one solution and that ze ∈ Z is an equilibrium point. This equilibrium point is said to be asymptotically stable in Z if it is Lyapunov stable and attractive. It is said to be globally asymptotically stable if it is Lyapunov stable and globally attractive.
Lyapunov theory exists also for infinite-dimensional systems. A lot of results for finite-dimensional systems apply also for infinite-dimensional systems. Hence, as in the finite-dimensional framework, proving asymptotic stability of equilibrium points of infinite-dimensional systems reduces to finding a Lyapunov function. However, in practice, deriving such a function might be difficult. In this case, a common technique to conclude the attrac-tivity of an equilibrium point is to use the LaSalle’s Invariance Principle, which is given in the next section.
1.1.3.2 LaSalle’s Invariance Principle
Before stating the LaSalle’s Invariance Principle, let us start by giving some definitions. Definition 1.9 (Positive orbit and ω-limit set)
1. Given a strongly continuous semigroup (W (t))t≥0 over Z, the positive orbit through φ ∈ Z is defined by O+(φ) := ∪
t∈R≥0W (t)φ;
2. The weak ω-limit set of ϕ is the (possibly empty) set defined by
ωw(ψ) := {ψ ∈ Z | there exists a sequence tn→ ∞ as n → ∞ such that W (tn)φ * ψ as n → ∞};
3. The strong ω-limit set of ψ is the (possibly empty) set defined by ω(ψ) := T τ ≥0closZ S t≥τW (t)ψ .
A good introduction to the positive orbit and the ω-limit set for finite-dimensional systems is [43].
These definitions allow us to define the infinite-dimensional version of LaSalle’s Invariance Principle. This theorem is given just below.
Theorem 1.5 (LaSalle’s Invariance Principle [84], Theorem 3.1 or [38], Theorem 3) Given a strongly continuous semigroup (W (t))t≥0 on Z and φ ∈ Z, one has
(i) If O+(φ) is precompact4 , then ω(φ) is a nonempty, invariant set of Z through (W (t))t≥0 5;
(ii) If each W (t) is sequentially weakly continuous on Z 6and O+(φ) is bounded, then ωw(φ) is a nonempty, invariant set in Z through (W (t))t≥0.
4
A subset in a topological space is said to be precompact if its closure is compact.
5A set ˜Z ⊂ Z is said to be an invariant set of Z through (W (t))
≥0 if, for any w ∈ ˜Z, W (t)w ∈ ˜Z for all
t ≥ 0
6A function t 7→ W is said to be sequentially weakly continuous on Z if, for every φ
n, φ ∈ Z such that
Note that the positive orbit has to be precompact if we want to apply the first item of Theorem 1.5. For an m-positive operator A generating a strongly continuous semigroup of contraction (W (t))t≥0, proving this property reduces to proving the following claim
Assumption 1 (Precompactness of the positive orbit)
The canonical embedding from D(A), equipped with the graph norm, into Z is compact.
Indeed, supposing that Assumption 1 holds and using the fact that the two functions t 7→ kW (t)z0kZ, t 7→ kAW (t)z0kZ (1.25) are non increasing, it is straightforward that the trajectory of (1.18) defined by {z(t) = W (t)z0, t ≥ 0 and z0 ∈ D(A)} is precompact in Z.
Since all norms in finite-dimensional spaces are equivalent, note that Claim 1 holds for every finite-dimensional systems. However, when infinite-dimensional systems are studied, proving Claim 1 might be difficult to achieve.
1.2
Stabilization of nonlinear systems with a cone-bounded
con-troller
1.2.1 Problem statement and existing results
1.2.1.1 Problem statement
Let U be a Hilbert space on R equipped with the scalar product h·, ·iU and the norm k·kU. We consider the stabilization problem of the origin of the following infinite-dimensional control system
d
dtz = Az + Bu (1.26)
where u in U denotes the controlled input. We assume that the origin is an equilibrium point of (1.26) when u = 0 and that A : D(A) ⊆ Z → Z is a (possibly nonlinear and unbounded) operator which generates a strongly continuous semigroup of contractions denoted by (W (t))t≥0. Moreover, we suppose that B ∈ L(U, Z).
Assuming that the operator A − BB? generates a strongly continuous semigroup of con-tractions (WI(t))t≥0 which satisfies, for all z0 ∈ Z
lim
t→+∞kWI(t)z0kZ = 0 (1.27)
the aim of this chapter is to study the case where the control is given by
u = −σ(B?z), (1.28)
Definition 1.10 (Cone-bounded nonlinearities on U ) Let σ : U → U be a continuous operator such that
1. for all u in U , Re{hu, σ(u)iU} = 0 implies u = 0;
2. there exists a positive value ` such that, for all u ∈ U , we have kσ(u)kU ≤ `kukU; 3. for all u, v in U , we have Re{hσ(u) − σ(v), u − viU} ≥ 0.
Such a function σ is called a cone-bounded nonlinearity. Example 1.1 (Examples of cone-bounded nonlinearities) Here are some examples of cone-bounded nonlinearities.
1. Any linear mapping σ(u) = µu, where µ is a positive value, is a cone-bounded nonlin-earity;
2. The so-called localized saturation (as considered in e.g., [94], [46]) defined by
satloc: s ∈ R 7→ satloc(s) := −us if s ≤ −us, s if − us ≤ s ≤ us, us if s ≥ us, (1.29)
with us a positive value, is a cone-bounded nonlinearity; 3. For any positive value us, the function s ∈ R 7→ ustanh s us is a cone-bounded nonlin-earity; 4. The function ˜ σ : s ∈ R 7→ satloc(ϕ(s)), (1.30)
where us> 1 and where ϕ is defined as follows
ϕ : s ∈ R 7→ −p|s| − 1 − 1 if s < −1, s if s ∈ [−1, 1], √ s − 1 + 1 if s > 1, (1.31)
takes values in a bounded set, but it is not globally Lipschitz because of the function s 7→√s in the definition of the function ϕ. Figure 1.1 illustrates the functions s 7→ ˜σ(s) and s 7→ 2s with s ∈ [−2, 2] and us= 1.5. It is clear that this function is a cone-bounded nonlinearity, as introduced in Definition 1.10.
The following sections of this chapter focus on the closed-loop system d dtz = Az − Bσ(B ?z) := A σz, z(0) = z0, (1.32)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 s ˜ σ(s) 2s
Figure 1.1: Red line: 2s; Blue line: ˜σ(s) with us= 1.5
where Aσ : D(Aσ) ⊂ Z → Z is a nonlinear operator for which we assume that D(Aσ) = D(A). Note that z0 can belong to Z or to D(A). Some results dealing with well-posedness and asymptotic stability will be provided.
1.2.1.2 Existing results
Some existing results can be found in the literature. In this section, we will focus in particular on [84] and [81]. These papers study a particular cone-bounded nonlinearity, which is
satU(s) := s for all kskU ≤ us, s kskUus for all kskU ≥ us, (1.33)
where us is a positive value. In this section only, we will assume that
σ(s) = satU(s). (1.34)
In [84], the following properties are assumed to be satisfied Assumption 2
1. We have σ(s) = satU(s);
2. The operator A is linear and generates a strongly continuous semigroup of contrac-tions denoted by (W (t))t≥0;
4. The operator B is compact; 5. For all ψ ∈ Z, the only solution to
B?W (t)ψ = 0 (1.35)
is
ψ = 0. (1.36)
Items 1., 2. and 3. allow to state the well-posedness of (1.18). Items 4. and 5. allow to apply the weak version of LaSalle’s Invariance Principle, i.e. the second item of Theorem 1.5. Note that the item 5. of these assumptions refers to a detectability property.
Under these assumptions, the following theorem is obtained Theorem 1.6
Assume that Assumption 2 holds. Then, for each z0 ∈ Z, Aσ generates a strongly continuous semigroup of contractions denoted by (WsatU(t))t≥0 and, for each z0∈ Z, there exists a unique solution to (1.18) defined for all t ∈ R≥0 and given by z(t) = WsatU(t)z0. Moreover, the
following holds, for all z0∈ Z,
z(t) *Z 0 as t → +∞. (1.37)
Only a weak attractivity is obtained on [84]. In fact, since the paper aims at finding result for a particular partial differential equation, i.e. a beam equation, a stronger result is not necessary. The control operator for the partial differential equation belongs to the space L(R, Z). Hence, another theorem which takes into account this particular case is stated in [84].
Theorem 1.7
Under Assumption 2 and assuming moreover that U = R, then Aσ generates a strongly con-tinuous semigroup of contraction denoted by (WsatU(t))t≥0 and, for each z0 ∈ Z, there exists
a unique mild solution to (1.18) denoted by z(t) := WsatU(t)z0. Moreover, the following holds,
for all z0 ∈ Z
lim
t→+∞kWsatU(t)z0kZ = 0 (1.38)
Note that in the proof of these two results it is not used the particular form of satU, but only the fact that it is globally Lipschitz, monotone and the property 1 of Definition 1.10.
In [81], a better result is stated. The assumptions are weaker than Assumption 2. Let us state them
Assumption 3
1. The operator A is linear and generates a strongly continuous of contractions de-noted by (W (t))t≥0;
2. The operator A − BB? generates a strongly continuous of contractions denoted by (WI(t))t≥0 that satisfies the following, for all z0∈ Z
lim
t→+∞kWI(t)z0kZ= 0. (1.39)
Unlike Assumption 2 provided by [84], neither the operator B nor (λIZ − A)−1 are as-sumed to be compact. Moreover, instead of assuming a detectability property as in item 5 of Assumption 2, only a stabilizability property is assumed in [81].
A stronger result than Theorem 1.6 is stated in [81]. Here is its statement. Theorem 1.8
Under Assumption 3, Aσ generates a strongly continuous semigroup of contractions denoted by (WsatU(t))t≥0 and, for each z0 ∈ Z, (1.18) admits a unique solution denoted by z(t) :=
WsatU(t)z0. Moreover, the following holds, for all z0 ∈ Z
lim
t→+∞kWsatU(t)z0kZ= 0. (1.40)
Unlike the proof of Theorem 1.6, the proof of this theorem uses the special structure of satU. Moreover, the authors of [81] derive some conditions in order to obtain a similar result for unbounded control operators. Since this chapter is devoted to the case of bounded control operators, this result will not be discussed here.
Papers [84] and [81] have inspired a lot of researchers. Among the results derived from these papers, [52] or [27] can be cited. Note that, even in the context of finite-dimensional systems, these papers have inspired some researchers (see e.g., [56]).
Next section is devoted to our contributions to the topic of infinite-dimensional systems with cone-bounded feedback laws.
1.2.2 Contributions
This section is devoted to some contributions to this topic. It is borrowed from [60]. All along this section, we focus on the system (1.32) and assume that σ is a cone-bounded nonlinearity. Let us recall that A, which generates a strongly continuous semigroup, can either be linear or nonlinear. This makes our results different from the ones written in [84] and in [81]. Note morever that B is a linear bounded operator, i.e. B ∈ L(Z, U ).
This section is divided into five parts. Sections 1.2.2.1 and 1.2.2.2 state a well-posedness and an asymptotic stability results, respectively. Sections 2.2.3.1 and 2.2.3.3 are devoted to the proofs of these results. Finally, Section 1.2.4 is the application of these results to a linear Korteweg-de Vries equation.
1.2.2.1 Well-posedness
As it has been noticed at the beginning of the chapter, A is assumed to be an m-dissipative operator. It implies that A is dissipative and that, for all positive value λ, Ran(I − λA) = Z. Since A is dissipative, from Theorem 1.2, we have that, for all λ > 0, the operator Jλ : D(Jλ) → D(A) defined by
Jλ = (IZ− λA)−1 exists and is a contraction. Moreover, we have
D(Jλ) = Ran(IZ− λA).
We are now in position to state our well-posedness result. Theorem 1.9 (Well-posedness and Lyapunov stability)
Assume that σ is a cone-bounded nonlinearity. Moreover, assume that one of the two conditions is fullfilled:
1. σ is globally Lipschitz;
2. There exists a Banach space Z0 such that D(A) ⊆ Z0 and such that (a) the canonic injection from Z0 to Z is compact;
(b) there exists a positive value N such that, for all ¯z ∈ Z, sup
z∈Z
kJ1(¯z − Bσ(B?z))kZ0 < N (1.41)
Then, for all z0 in D(A), there exists a unique strong solution to (1.32) and the operator Aσ generates a strongly continuous semigroup of contractions (Wσ(t))t≥0 such that the two functions
t 7→ kWσ(t)z0kZ , t 7→ kAσWσ(t)z0kZ are non increasing.
Remark 1.5
Unlike Theorems 1.6 and 1.8, the result provided above refers to strong solutions. However, the function (1.30) in Example 1.1 shows that a cone-bounded nonlinearity does not have to be globally Lipschitz to ensure the well-posedness of the closed-loop system, while Theorem 1.8 needs the cone-bounded nonlinearity to be equal to satU.
Remark 1.6
If A is linear, the condition (1.41) may be reduced to the following assumption: sup
z∈Z
kJ1(−Bσ(B?z))kZ0 < ∞. (1.42)
