M1 IM/MPA : TD EDP et Diff´erences finies.
Feuille 3 : Equation de la chaleur.
Ex 1. Cas de la convergence en norme 2
On suppose queu∈ C4([0, T]×[0,1]). On consid`ere le sch´ema explicite pour l’´equation de la chaleur donn´e en cours.
1) Montrer que ce sch´ema est consistant d’ordre 2 en espace et 1 en temps, en norme 2 discr`ete en espace et norme infinie en temps.
2) Montrer que si ∆t h2 ≤ 1
2 alors ce sch´ema est stable en norme 2 discr`ete en espace et norme infinie en temps.
3) Montrer que si l’hypoth`ese ∆t h2 ≤ 1
2 est v´erifi´ee alors ce sch´ema converge en norme 2 discr`ete en temps et norme infinie en espace `a l’ordre 1 en temps et 2 en espace.
Ex 2. Sch´ema de Crank-Nicolson
On s’int´eresse `a la r´esolution du probl`eme discret suivant : CCNh,∆t
Pour tout n∈[0, N],trouver (uni)i∈{0,···,J+1} solution de
• un+1i −uni
∆t = un+1/2i+1 −2un+1/2i +un+1/2i−1
h2 , pour touti∈ {1,· · · , J},
• un0 = 0,unJ+1= 0, pour tout n∈ {0, ..., N},
• u0i =u0(xi), pour touti∈ {0, ..., J + 1}.
o`u un+1/2i = uni +un+1i
2 , pour touti∈ {0, ..., J + 1}.
1) Ce sch´ema est il explicite ou implicite ?
2) Montrer la stabilit´e de ce sch´ema en norme 2 discr`ete en espace et norme infinie en temps. On pourra supposer dans un premier temps queu∈ C∞([0, T]×[0,1]), puis on pourra ensuite affiner cette hypothse.
Ex 3. Une g´en´eralisation
En s’inspirant des sch´emas vus en cours proposer un sch´ema num´erique pour l’´equation
∂tu=κ∂xx2 u+f avec κ >0 et f ∈C∞([0,1]).
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