III. Exponentielle de matrices

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5 SoitB 2Mm(K).

SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A 2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP. Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A 2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP.

Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

Exponentielle de matrices

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6 e^A2GLm(K)

et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP. Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP.

Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

Exponentielle de matrices

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7 SoitP2GLm(K),

alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP. Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP.

Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

Exponentielle de matrices

III. Exponentielle de matrices

Proposition 5

SoitB 2Mm(K). SiAB =BA, alorse^A+B =e^Ae^B.

Corollaire 6

e^A2GLm(K)et e^{A 1}=e ^A.

Proposition 7

SoitP2GLm(K), alorsexp P ¹AP =P ¹e^AP.

Corollaire 8

det e^A =e^Tr(A).

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)

⇢Mm(C): il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1

CAP ¹2Mm(K).

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)⇢Mm(C):

il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1

CAP ¹2Mm(K).

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)⇢Mm(C): il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1

CAP ¹2Mm(K).

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)⇢Mm(C): il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1

CAP ¹2Mm(K).

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)⇢Mm(C): il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1 CAP ¹

2Mm(K).

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

A2Mm(K)⇢Mm(C): il existe des blocs de JordanJ₁, . . . ,J_r 2Mm(C) et une matrice inversibleP2GLm(C)tels que

P ¹AP = 0 B@

J₁ 0

...

0 J_r

1 CA.

Alors

e^A =P 0 B@

e^J1 0 ...

0 e^Jr

1

CAP ¹2Mm(K).

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}.

On a

J_m( ) = I_m+J_m(0). Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors

e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0).

Alors

e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors e^{Jm( )}

= e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors

e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

Exponentielle de matrices

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors

e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

IV. Calcul via la réduction de Jordan

Soient 2Cetm2N\ {0}. On a

J_m( ) = I_m+J_m(0).

Soit⌫ l’indice de nilpotence deJ :=J_m(0). Alors

e^{Jm( )} = e ^{Im +J}

= e ^Ime^J

= e Im

✓

Im +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

= e

✓

I_m +J+J²

2! +· · ·+ J^{⌫ 1}

(⌫ 1)!

◆

Exponentielle de matrices

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX ,

8>

><

>> :

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ... xm(t)

1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles X : R ! K^m

t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX

, 8>

><

>> :

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ... xm(t)

1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles X : R ! K^m

t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

Exponentielle de matrices

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX ,

8>

><

>>

:

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ... xm(t)

1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles X : R ! K^m

t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX ,

8>

><

>>

:

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ...

xm(t) 1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles X : R ! K^m

t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

Exponentielle de matrices

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX ,

8>

><

>>

:

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ...

xm(t) 1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles

X : R ! K^m t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

V. Systèmes différentiels linéaires

SoitA= (ai j)_1i,jm2Mm(K).

On considère le système différentiel linéaire (S)X⁰ =AX ,

8>

><

>>

:

x₁⁰ =a_{1 1}x₁+· · ·+a₁mxm

... ...

x_m⁰ =a_m1x₁+· · ·+a_{m m}x_m

de fonction dérivable inconnueX :

R ! K^m t 7!

0 B@

x₁(t) ...

xm(t) 1 CA

Proposition 9

Les solutions de(S)sont les fonctions vectorielles X : R ! K^m

t ! e^tAX0

avecX₀2K^m.

Exponentielle de matrices