Application de la méthode des champs virtuels en grandes déformations pour identifier des paramètres matériaux à partir de mesures de champs cinématiques: principe et simulation
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Texte intégral
(2) $SSOLFDWLRQ. $SSOLFDWLRQGHODPpWKRGHGHVFKDPSV YLUWXHOVHQJUDQGHVGpIRUPDWLRQVSRXU LGHQWLILHUGHVSDUDPqWUHVPDWpULDX[j SDUWLUGHPHVXUHVGHFKDPSVFLQpPDWLTXHV SULQFLSHHWVLPXODWLRQ 1DWWDZLW35200$(YHO\QH72866$,17;DYLHU %$/$1'5$8'HW0LFKHO*5(',$&. Laboratoire de Mécanique et Ingénieries (LaMI-IFMA / UBP), Campus de Clermont-Ferrand - Les Cézeaux, BP 265, 63175 AUBIÈRE Cedex RESUME.. Ce papier traite de l'identification de paramètres de lois de comportement de matériaux hyperélastiques en grandes déformations à partir de la Méthode des Champs Virtuels (MCV). L'idée de base est d'exploiter des mesures de champs hétérogènes en surface d'échantillon, afin d'identifier tous les paramètres constitutifs à partir d'un seul essai. Cette méthode nécessite une stratégie de dépouillement des champs hétérogènes car aucun lien explicite n'existe entre mesures et sollicitation, contrairement aux champs de contraintes homogènes. Bien intégrée dans la communauté scientifique dans le cas des petites déformations, l'idée fondamentale de ce travail est d'appliquer cette méthode au cas des grandes déformations. L’approche est développée ici pour des matériaux hyperélastiques comme les élastomères afin de tester les performances de la méthode, l’idée étant de l’étendre ensuite à l’élastoplasticité en grandes déformations. ABSTRACT. This present paper deals with the identification of constitutive parameters of a hyperelastic law from heterogeneous stress and strain fieldsusing the Virtual Fields Method (VFM). The main idea consists in the exploitation of heterogeneous kinematic fields in order to directly identify all the constitutive parameters from only one test. The main drawback of such an approach is the fact that no direct link between displacement measurement data and unknown parameters is available in the general case. In this paper, the VFM is applied for the first time in the case of large deformations. The approach is developed here for a hyperelastic law in order to test the performances of this method, the idea will be then to test it in case of elastoplasticity in large deformations.. Méthode des champs virtuels, grandes déformations, matériau hyperélastique, loi de Mooney Rivlin. MOTS-CLES:. KEYWORDS:. law. . Virtual Fields Method, large deformations, hyperelastic material, Mooney-Rivlin.
(3) ,QWURGXFWLRQ &HW DUWLFOH WUDLWH GH O LGHQWLILFDWLRQ GH SDUDPqWUHV PDWpULDX[ K\SHUpODVWLTXHV j SDUWLU G¶XQH VHXOH PHVXUH GH FKDPS GH GpSODFHPHQWV KpWpURJqQH HQ VXUIDFH G¶pFKDQWLOORQ/D0pWKRGHGHV&KDPSV9LUWXHOV 0&9
(4) *UpGLDFet al.,
(5) VHUWGH EDVH j FH WUDYDLO /H SULQFLSDO DYDQWDJH GH OD PpWKRGH UpVLGH GDQV OD SRVVLELOLWp G¶LGHQWLILHU XQ QRPEUH LPSRUWDQW GH SDUDPqWUHV PDWpULDX[ j SDUWLU G¶XQH VHXOH PHVXUH %LHQ LQWpJUpH GDQV OD FRPPXQDXWp VFLHQWLILTXH OD PpWKRGH HVW SRXU OD SUHPLqUHIRLVGpYHORSSpHDXFDVGHVJUDQGHVGpIRUPDWLRQV/DORLGH0RRQH\5LYOLQ VHUW GH VXSSRUW DX GpYHORSSHPHQW GH OD PpWKRGH 'HV GRQQpHV G¶HQWUpH HQ GpSODFHPHQWVVRQWVLPXOpHVSDU(OpPHQWV)LQLVSRXUFHWWHSUHPLqUHDSSURFKH(OOHV SHUPHWWHQWG¶DSSUpFLHUOHVSHUIRUPDQFHVGHODPpWKRGH 0&9HQJUDQGHVGpIRUPDWLRQV 2.1 Préambule 'DQV FHWWH VHFWLRQ OD 0&9 HQ JUDQGHV GpIRUPDWLRQV HVW SUpVHQWpH DILQ GH GpWHUPLQHU OHV SDUDPqWUHV FRQVWLWXWLIV G¶XQH ORL K\SHUpODVWLTXH 2Q FRQVLGqUH XQ YROXPHV GH VXUIDFH 6 VXU OHTXHO XQFKDUJHPHQW PpFDQLTXH H[WpULHXU HVWDSSOLTXp )LJ
(6) 2QFRQVLGqUH6X ODSDUWLHGH6VXUODTXHOOHOHGpSODFHPHQW G GX HVWLPSRVpHW G 6I FHOOHRXQHGHQVLWpVXUIDFLTXHG¶HIIRUW T σ ⋅ n HVWFRQQXH n HVWODQRUPDOH VRUWDQWHH[WpULHXUHjODVXUIDFH . . V. 6 I σ 6X X. X. )LJXUHModèle mécanique (cas général) 2.2 PTV avec grandes déformations (QVWDWLTXHHWHQO¶DEVHQFHGHIRUFHVYROXPLTXHVH[WpULHXUHVOHSULQFLSHGHV WUDYDX[YLUWXHOVHQJUDQGHVGpIRUPDWLRQVV¶pFULWHQFRQILJXUDWLRQ(XOpULHQQH G G G∗ ∂U ∗ V = T σ d G ³V ∂x ³S f ⋅U dS. G ∀ U ∗ FLQpPDWLTXHPHQWDGPLVVLEOH. >@.
(7) G ∂U ∗ R G HVW OD GpULYpH GHV GpSODFHPHQWV YLUWXHOV VXU OD FRQILJXUDWLRQGpIRUPpH σ ∂x HVW OH WHQVHXU GHV FRQWUDLQWHV GH &DXFK\ /H FDV G¶XQ pWDW SODQ GH FRQWUDLQWHV HVW GpYHORSSpGDQVODSUpVHQWHDSSURFKHHWO¶pTXDWLRQ>@GHYLHQW . ³. S. σ 11. § ∂U ∗ ∂U 1∗ · ∂U 1∗ ∂U 2∗ dS + ³ σ 22 dS + ³ σ 12 ¨ 2 + dS = ³ T ⋅U ∗ dS >@ ¸ S S ∂x1 ∂x2 ∂x2 ¹ e Sf © ∂x1. /DORLGHFRPSRUWHPHQWUHOLDQWFRQWUDLQWHHWGpIRUPDWLRQHVWVXSSRVpHFRQQXH(OOH IDLW LQWHUYHQLU OHV SDUDPqWUHV PDWpULDX[ j LGHQWLILHU &RQWUDLUHPHQW j XQH DSSURFKH OLQpDLUH OHV SDUDPqWUHV VRQW LGHQWLILpV j SDUWLU G¶XQH IRQFWLRQ FRW TXL GRLW rWUH PLQLPLVpH. 2.3 Fonction coût (Q QRWDQW C CCN OHV SDUDPqWUHV GH OD ORL GH FRPSRUWHPHQW RQ GpILQLW OD IRQFWLRQFRW f C CCN
(8) FRPPHVXLW G G G ∗ °½ · ∂U ∗ °§ f ( C C CN ) = ®¨ ³ σ G dV ¸ − ³ T ⋅ U dS ¾ V Sf ∂x ¹ ¯°© ¿°. . >@. &HWWHIRQFWLRQGRLWrWUHPLQLPLVpHSRXULGHQWLILHUOHVSDUDPqWUHV 3UDWLTXHPHQW SOXVLHXUV FKDPSV YLUWXHOV VRQW FKRLVLV DUELWUDLUHPHQW HW OHXU LQIOXHQFH VXU OHV UpVXOWDWVHVWWHVWpH. /RLGH0RRQH\5LYOLQ 3.1 Équations constitutives 'DQVFHWUDYDLOXQHORLK\SHUpODVWLTXHGHW\SH0RRQH\5LYOLQHVWFKRLVLH'¶XQH IDoRQJpQpUDOHOHVPDWpULDX[K\SHUpODVWLTXHVVRQWFDUDFWpULVpVSDUO¶H[LVWHQFHG¶XQH pQHUJLHGHGpIRUPDWLRQWGpSHQGDQWXQLTXHPHQWGHO¶pWDWGHGpIRUPDWLRQFRXUDQWF HWGRQWGpULYHQWOHVFRQWUDLQWHVGH&DXFK\ . σ = − pI + B. ∂W ∂B. . . . . . >@. Rp HVWSUHVVLRQK\GURVWDWLTXHTXLMRXHOHU{OHGHPXOWLSOLFDWLRQGH/DJUDQJHSRXU WHQLU FRPSWHGH O¶LQFRPSUHVVLELOLWp GX PDWpULDX B HVW OH WHQVHXU GH&DXFK\*UHHQ JDXFKH'DQVOHVGLUHFWLRQVSULQFLSDOHVGHσ, ODUHODWLRQ>@GHYLHQW §. σ i = ¨ λi ©. ∂W ∂W · − ¸− p ∂I λi ∂I ¹. . . . . >@.
(9) ROHV λLVRQWOHVH[WHQVLRQVSULQFLSDOHVHW I HW IOHVGHX[SUHPLHUVLQYDULDQWVGH B (Q FRQWUDLQWHV SODQHV σ
(10) OD GLIIpUHQFH σL ± σ SRXU L HW
(11) SHUPHW G¶pOLPLQHUp 0DUFNPDQQ
(12) HWO¶pTXDWLRQ>@GHYLHQW . ª ∂W § · ∂W −¨ − ¸ σ i = «( λi − λ j ) ∂I ¨© λi λ j ¸¹ ∂I «¬. º » »¼. . . . >@. 3.2 Energie de déformation (W) 3RXUGHVPDWpULDX[K\SHUpODVWLTXHVLQFRPSUHVVLEOHVRXSUHVTXHLQFRPSUHVVLEOHV OHPRGqOHGH0RRQH\5LYOLQSUHQGODIRUPHSRO\QRPLDOHVXLYDQWH 0RRQH\
(13) W =. N. ¦ C (I ij. . i+ j =n. − ) ( I − ) i. j. . . . . >@. ROHVCijVRQWOHVSDUDPqWUHVPDWpULDX[TXLVRQWLFLOHVSDUDPqWUHVjGpWHUPLQHU 'DQV FHW DUWLFOH GHX[ SDUDPqWUHV GH 0RRQH\5LYOLQ VRQW FKRLVLV SRXU OD VLPXODWLRQ G¶XQ FKDPS GH GpSODFHPHQWV C 03D HW C 03D
(14) $QV\V
(15) &HV YDOHXUV VHUYHQW GH UpIpUHQFH HW O¶REMHFWLI HVW GH OHV UHWURXYHU j SDUWLU GH SRLQWV GH PHVXUH GRQQpV LFL SDU $16<6 /¶pQHUJLH : FRUUHVSRQG DX PRGqOHGH0RRQH\5LYOLQELHQDGDSWpDXFDRXWFKRXFQDWXUHOSRXUGHVGpIRUPDWLRQV PRGpUpHV LQIpULHXUHVj
(16) . $SSOLFDWLRQ 4.1 Modèle numérique / REMHFWLI GDQV FHWWH VHFWLRQ HVW G H[DPLQHU O HIILFDFLWp GX SURFpGp GpFULW FL GHVVXVSRXULGHQWLILHUGHVSDUDPqWUHVFRQVWLWXWLIV6HXOHVGHVPHVXUHVVLPXOpHVSDUOH FRGH $16<6 VRQW LFL FRQVLGpUpHV 3RXU FH WHVW SXUHPHQW QXPpULTXH OH PRGqOH JpRPpWULTXH HVW XQ UHFWDQJOH GH ORQJXHXU l PP HW ODUJHXU h PP HW G¶pSDLVVHXUXQLWp/HPRGqOHDYHFSDUDPqWUHVGH0RRQH\5LYOLQHVWHPSOR\p8QH IRUFHOLQpDLUHPHQWGLVWULEXpHHVWLPSRVpHjWRXVOHVQRHXGVVXLYDQWODOLJQHVLWXpHVXU OH ERUG GURLW /H PDLOODJH HVW pWDEOL DYHF O¶pOpPHQW ELGLPHQVLRQQHO j Q°XGV SODQH
(17) HQ pWDW GH FRQWUDLQWHV SODQHV /H PRGqOH SRVVqGH pOpPHQWV YRLU )LJXUH
(18) /HGpSODFHPHQWPD[LPXPHVWGHPLOOLPqWUHVOHORQJGH[ RXL
(19) .
(20) 4.2 Fonction coût, influence des champs virtuels / LQIOXHQFH GX FKRL[ GX FKDPS YLUWXHO VXU OD IRQFWLRQ FRW HVW H[DPLQpH GDQV FHWWHVHFWLRQSDUO¶LQWHUPpGLDLUHGHGHX[FKDPSVGHGpSODFHPHQWVYLUWXHOVDUELWUDLUHV GpILQLVSDUOHVpTXDWLRQVHW § π x · U x∗
(21) = U x∗
(22) = VLQ ¨ ¸ © L ¹. . . . . >@. xy U y∗
(23) = L. . . . . > @. U y∗
(24) =. . 'DQV FKDTXH FDV OD IRQFWLRQ FRW DVVRFLpH SUpVHQWH OD IRUPH G¶XQH YDOOpH GDQV O¶HVSDFH &&
(25) 3DUFRQVpTXHQWDXFXQPLQLPXPJOREDOQ¶HVWDWWHLQW&HSHQGDQWFHV YDOOpHV SUpVHQWHQW GHV RULHQWDWLRQV GLIIpUHQWHV G¶XQ FKDPS YLUWXHO j XQ DXWUH 3DU FRQVpTXHQW O LGpH HVW GH FRPELQHU OHV GHX[ IRQFWLRQV FRW SUpFpGHQWHV HQ OHV DMRXWDQW/DFDUWHGHIRQFWLRQFRWILQDOHHVWSUpVHQWpHVXUOD)LJ&HWWHQDSSHHVW REWHQXHHQFDOFXODQWODIRQFWLRQFRWORUVTXHCHWCGpFULYHQWXQLQWHUYDOOHFKRLVL DXWRXU GHV YDOHXUV GH UpIpUHQFH /HV YDOHXUV GHV SDUDPqWUHV FRQVWLWXWLIV FRUUHVSRQGDQWDXPLQLPXPGHODIRQFWLRQFRWVRQWSUpVHQWpHVGDQVOH7DEOHDX y. h0 C1 03D
(26) . force distribuée. . . x l0 C 03D
(27) . . )LJXUHModèle mécanique (configuration étudiée
(28) . )LJXUH Carte de fonction coût finale . 4.3 Identification avec fminsearch 8QHDXWUHIDoRQGHFDUDFWpULVHUOHVSDUDPqWUHVPDWpULDX[HVWG¶XWLOLVHUODIRQFWLRQ GHPLQLPLVDWLRQIPLQVHDUFKGLVSRQLEOHGDQV0DWODE/HSRLQWGHGpSDUW CC
(29) HVW LFL 03D03D
(30) /HVUpVXOWDWVREWHQXVVRQWSUpVHQWpVGDQVOH7DEOHDX .
(31) 7DEOHDX&RPSDUDLVRQGHVSDUDPqWUHV . C03D. C03D. 5pIpUHQFH. . . )RQFWLRQFRWILQDOH. . . pFDUW
(32) . -0.68 %. 0.56 %. ,GHQWLILpSDUfminsearch. . . pFDUW
(33) . -0.68 %. 0.67 %. . &RQFOXVLRQ &H SDSLHU SUpVHQWH OD SUHPLqUH DSSOLFDWLRQ GH OD 0&9 DX FDV GHV JUDQGHV GpIRUPDWLRQVHQXWLOLVDQWXQHORLPDWpULHOOHK\SHUpODVWLTXH'DQVXQSUHPLHUWHPSV XQH ORL VLPSOH GH 0RRQH\5LYOLQ DYHF SDUDPqWUHV HVW FRQVLGpUpH /HV GRQQpHV QXPpULTXHVVHUYHQWGHGRQQpHG¶HQWUpHHWLOOXVWUHQWODSHUIRUPDQFHGHFHWWHPpWKRGH 'DQV XQH SURFKDLQH pWDSH XQ EUXLW VLPXOp VHUD DMRXWp SXLV O¶LGHQWLILFDWLRQ VHUD HIIHFWXpH VXU GHV GRQQpHV H[SpULPHQWDOHV REWHQXHV VXU GHV pFKDQWLOORQV GH IRUPHV GLIIpUHQWHV HW SRXU GHV PRGqOHV GH ORLV GH FRPSRUWHPHQW SUpVHQWDQW GDYDQWDJH GH SDUDPqWUHV. 5HPHUFLHPHQWV &HSURMHWHVWVRXWHQXSDUOH0LQLVWqUHGHOD5HFKHUFKHGXJRXYHUQHPHQW)UDQoDLV GDQV OH FDGUH GX SURMHW $15 Q TXL LPSOLTXH OH /D0,,)0$8%3 GH &OHUPRQW)HUUDQG OH /07(16 GH &DFKDQ HW OH /03)(16$0 GH &KkORQVHQ &KDPSDJQH. 5pIpUHQFH $QV\V,QF+\SHUHODVWLFLW\$QV\V5HOHDVH 'RFXPHQWDWLRQ *UpGLDF07RXVVDLQW(3LHUURQ)©6SHFLDOYLUWXDOILHOGVIRUWKHGLUHFWGHWHUPLQDWLRQRI PDWHULDO SDUDPHWHUV ZLWK WKH YLUWXDO ILHOGV PHWKRG 3ULQFLSOH DQG GHILQLWLRQ ª ,QWHUQDWLRQDO-RXUQDORI6ROLGVDQG6WUXFWXUHV
(34) ± 0DUFNPDQQ*&RQWULEXWLRQjO¶pWXGHGHVpODVWRPqUHVHWGHVPHPEUDQHVVRXIIOpHV7KqVHGH 'RFWRUDW(FROH&HQWUDOHGH1DQWHV 0RRQH\0©$WKHRU\RIODUJHHODVWLFGHIRUPDWLRQª-$SSO3K\V9RO ± .
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