Fonction en dents de scie
Trouver une ´equation de la fonction “en dents de scie” d´efinie par : (a) f(x) =xpour −1/2≤x≤1/2,
(b) f(x) =f(1−x) =f(x−2) pour toutx.
Solution
f(x) est d´efinie sur (−1/2,1/2) par la propri´et´e (a), puis sur (1/2,3/2) par f(x) =f(1−x), puis sur (2n−1/2,2n+ 3/2) parf(x) =f(x−2n).
Solution 1
La fonction sinπxv´erifie la propri´et´e (b) et est monotone sur (−1/2,1/2).
Cela permet d’exprimer f(x) commeg(sinπx).
Pour−1/2≤x≤1/2,t= sinπxentraˆıneg(t) =x, doncg(t) = arcsint π et l’´equationf(x) = arcsin(sinπx)
π repr´esente exactement la fonction donn´ee.
Solution 2
On note|x|la fonction valeur absolue, etbxcla partie enti`ere dexd´efinie comme l’entier relatifnv´erifiant n≤x < n+ 1.
La fonctiong(x) =x− bxc est repr´esent´ee par des segments de droite de pente 1 situ´es au-dessus de l’axe des abscisses, avec des ordonn´ees entre 0 et 1. Pour obtenir les pentes altern´ees ±1 des dents de scie, il suffit de prendre la valeur absolue de g(x)−1/2, qui varie entre 0 et 1/2. La fonction obtenue est|x− bxc −1/2|.
Pour obtenir une p´eriodicit´e 2 sans alt´erer les pentes, dilatons les abscisses et les ordonn´ees d’un facteur 2, d’o`u la fonction
2|x/2− bx/2c −1/2|=|x−1−2bx/2c|.
Seule une translation est alors n´ecessaire pour recaler la dent de scie par rapport `a l’origine (+1/2 sur l’axe des abscisses, −1/2 sur l’axe des or- donn´ees). On peut donc prendre, comme ´equation de la fonction en dents de scie,
f(x) =|x−3/2−2bx/2−1/4c| −1/2.
Solution 2 bis
Sur l’intervalle (−1/2,3/2), f(x) s’identifie `a min(x,1−x). Il suffit de se ramener `a cet intervalle en rempla¸cant x parx−2b(x+ 1/2)/2c, d’o`u f(x) = min (x−2bx/2 + 1/4c,1−x+ 2bx/2 + 1/4c).
Solution 3
La p´eriodicit´e permet de repr´esenter f(x) par une s´erie de Fourier. La d´etermination des coefficients fait appel `a un peu de calcul int´egral et fournit
f(x) =
∞
X
k=1
4 sin(2k−1)πx (2k−1)2π2 .
On peut remarquer que les fonctions v´erifiant la propri´et´e (b) sont les sin(2k−1)πx et leurs combinaisons lin´eaires.
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