D629. Partages à la chaîne
On trace quatre points A, B, C et D sur la circonférence d’un cercle de rayon unité et de centre O qui déterminent trois angles AOB = 153°, AOC = 343° et AOD = 76°.
A la règle et au compas (avec si possible le minimum de traits) : Q1 – Partager l’angle AOB en trois angles de 51° chacun, Q2 – Partager l’angle AOC en sept angles de 49° chacun,
Q3 – Partager l’angle AOD en trois angles qui sont respectivement de 1°,25° et 50°.
Nota : pour chacune des questions 1, 2 et 3, le décompte des traits part de la figure à 4 points A, B, C, D ; on ne peut pas réutiliser un point intermédiaire d'une question précédente sans compter les traits qui ont permis de le construire.
Pour les plus courageux :
Un cercle de rayon unité et de centre O est tracé.
Q4 – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360° bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en trois angles égaux exprimés également en nombre entier de degrés.
Q5 – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360° bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en k angles égaux de 1° chacun.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
AC=17° 3AC=51° on construit A'1 (51) puis A"1 (102) Q2 se traite après Q3.
Depuis F, on obtient A' (49°) puis A" (98), A"' (147), E (196), E' (245), E" (294).
Q3
Depuis D (76) on reporte A"1 (102) en F (50).
L'angle DOA'1 vaut 25°
L'angle DOA"1 vaut 26°
L'angle AOF vaut 50°
L'angle FOA'1 vaut 1°.
Q4
On sait construire à la règle et au compas tous les angles multiples de 3°.
Donc tous les multiples de 9° conviennent.
Il y en a 40.
Q5
On sait construire tous les multiples de 3.
Tous les angles non multiples de 3 en sont à une distance ±1 et conviennent donc.
Il y en a 240.
Les 120 multiples de 3 ne conviennent pas.
