Enonc´e noH126 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) On peut aller jusqu’`a 9 points avec 2 suzerains seulement.
Pour construire une telle configuration, je vais dans un premier temps m’af- franchir de la condition de l’´enonc´e selon laquelle les distances mutuelles doivent ˆetre toutes diff´erentes.
Soit doncS1 etS2les deux suzerains. La distance de tout non-suzerain `a son suzerain sera l’unit´e de longueur. Alors |S1S2| = 2 cosα, α ´etant un angle (peu) sup´erieur `a π/3.
Les non-suzerains sont alors sur deux arcs de cercleC1 etC2 de centres S1 etS2, de rayon 1, mesurant chacun 2(π−α). Le plus petit arc entre deux non-suzerains, s’ils sont sur le mˆeme arc, a pour mesure β > π/3 pour que leur distance soit > 1. Comme 4(π −α) < 8π/3 < 8β, on voit qu’on ne peut placer 8 non-suzerains espac´es de β en abscisse curviligne sur les arcs de cercleC1 etC2.
Mais on peut en placer 7, par exemple avecα=β = 4π/11, en partant d’une extr´emit´e commune `aC1 etC2, pour placer 3 autres points sur chaque arc.
Comme la distance est `a mesurer en ligne droite en non en abscisse curvi- ligne, la discussion pour deux points l’un sur C1 et l’autre sur C2 est plus compliqu´ee mais je n’ai pas trouv´e de r´esultat diff´erent.
Il n’y a plus qu’`a retoucher les positions des non-suzerains en prenant cha- cun des points construits pr´ec´edemment (horsS1 etS2) comme centre d’un disque de rayonε, et en prenant un non-suzerain dans chacun de ces disques de mani`ere `a respecter la condition de distances diff´erentes.
La distance d’un de ces nouveaux points au suzerain le plus proche est dans l’intervalle (1−ε,1 +ε), alors que la distance entre deux non-suzerains peut ˆetre de 2 sin(β/2)−2εseulement.
Pour ne pas remettre en question le classement des points entre suzerains et non-suzerains, il suffira de prendreεpositif assez petit pour que
2 cosα <1−ε <1 +ε <2 sin(β/2)−2ε.
2) En pla¸cant, `a distance suffisante les unes des autres, des configurations telles que celle ci-dessus, on peut limiter le nombre des suzerains `a 2dn/9e pournpoints, par exemple `a 446 pour 2007 points (ou 2006 en supprimant un non-suzerain quelque part).
3) Reste `a voir combien de points peut avoir une configuration `a 3 suzerains.
Voyons d’abord ce que peut donner une configuration triangulaire.
Je place comme pr´ec´edemment S1, S2, S3 en triangle ´equilat´eral de cˆot´e 2 cosα. Je trace des arcs de cercle C1, C2, C3 de centres S1, S2, S3 et de rayon 1. La mesure de chacun de ces arcs est 5π/3−2α, et on peut placer en tout jusqu’`a 8 points espac´es d’arcsβ > π/3, mais non 9.
Cela donne 11 points en tout pour 3 suzerains, par exemple avecα =β = 6π/17.
1
Pour rendre les distances diff´erentes, je prends encore chacun des points construits pr´ec´edemment (horsS1etS2) comme centre d’un disque de rayon ε, et je prends un non-suzerain dans chacun de ces disques, sauf dans celui centr´e en S3 o`u je prends le 3e suzerain, toujours de fa¸con `a respecter la condition de distances diff´erentes.
La distance du 3e suzerain aux autres peut atteindre 2 cosα+ε, la distance d’un non-suzerain `a un suzerain peut aller de 1−2ε`a 1 + 2ε, et la distance entre deux non-suzerains peut tomber `a 2 sin(β/2)−2ε.
Il suffira de prendreεpositif assez petit pour que 2 cosα+ε <1−2ε <1 + 2ε <2 sin(β/2)−2ε.
4) Prenons maintenant 3 suzerains align´es.
Soit S1, S2, S3, espac´es de 2 cosα dans cet ordre. Le lieu des points ayant 1 comme plus petite distance `a un des suzerains est constitu´e de 4 arcs de cercle, 2 arcs de centres S1 et S3 et de mesure 2π−2α chacun, et 2 arcs centr´es enS2 et de mesure π−2α chacun.
Ce lieu a pour longueur totale 6π−8α <10π/3. Si l’on y prend 10 points, le plus petit arc entre deux d’entre eux sera< π/3 et la distance<1, ce qui en ferait deux autres suzerains. Mais on peut placer 9 points espac´es d’arcs de mesureβ > π/3 au moins, pour autant que 6π >8α+ 9β.
Par exemple avec α = β = 7π/20, on obtient 12 points en tout pour 3 suzerains.
On rend ensuite les distances diff´erentes par le mˆeme proc´ed´e que ci-dessus.
5) En conclusion, pourssuzerains on peut avoir par cette m´ethode – jusqu’`a 9s/2 points en s/2 configurations de 9 points si sest pair,
– jusqu’`a (9s−3)/2 points si s est impair, avec une configuration de 12 points et (s−3)/2 configurations de 9 points.
Pour npoints, on pourra descendre `a un nombre de suzerains
= 2k si 9k−6≤n≤9k,
= 2k+ 1 sin= 9k+ 1 ou 9k+ 2 ou 9k+ 3.
Ce qui se r´esume dans les formules s(n)≥min
2
n
9
,1 + 2
n−3 9
,
n≤ 9s−3(smod 2)
2 = 3s+ 3
s 2
.
2
