A2834. Une limite singulière
Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points B0,B1,B2,B3,…Bn les uns à la suite des autres de sorte que la ligne brisée B0A0B1A1B2A2B3A3….BnAn délimite les 2n + 1 triangles OA0B0, B0A0B1, A0B1A1, B1A1B2,…., An- 1BnAn qui ont tous la même aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)
Déterminer la limite de OBn /OAn quand n tend vers l’infini
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations et préliminaires
On note OA0 = a0 OB0 = b0 A = 1/2 a0b0 , l'aire commune aux triangles définis dans l'énoncé ; et de façon générale OAn = an OBn = bn
La limite cherchée est celle du rapport Rn = OBn / OAn
En suivant exactement la ligne brisée décrite dans l'énoncé, Rn est donc défini pour (2n+1) triangles d'aire A Et ainsi aire triangle AnOBn = (2n+1) x A
donc OAn = an = (2n+1) a0b0 / bn
==> Rn = OBn / OAn = bn / an = (bn)²/ [(2n+1) a0b0] (1) → Il suffit donc (par exemple) d'expliciter bn en fonction de n
Expression de bn = OBn
Avec OA0B0 et B0A0B1 b1 = b0 + D(b0) où D(b0) = 2A / a0 → b1 = b0(1 + 1) Avec OA0B1 et A0B1A1 a1 = a0 + D(a0) où D(a0) = 2A / b1 → a1 = a0(1 + 1/2) Avec OA1B1 et B1A1B2 b2 = b1 + D(b1) où D(b1) = 2A / a1 → b2 = b1(1 + 1 /3) b1 et b2 semblent indiquer que la suite bn est de la forme
→ bn = bn-1 [1 + 1/(2n-1)] (2) En fait (a1 x b1) /2 est l'aire de 3 triangles d'aire A = a0 x b0 /2
…...
(an-1 x bn-1) / 2 est l'aire de (2n-1) triangles d'aire A d'où
Ainsi avec bn = bn-1 + D(bn-1) et où D(bn-1) = 2A /an-1 = bn-1 / (2n-1) , on a bien l'expression (2) pour bn en fonction de bn-1
D'où bn en fonction de n
bn = b0(1+1/1) (1+1/3)(1+1/5) … (1+1/(2n-1) ) (3) Limite de Rn = bn / an
Avec les relations (1) et (3)
Rn = b0/a0 [2x4x6 … x 2n ]² / [(2n+1) x (1x3x5x7 …(2n-1) ]² = (b0/a0) Pn²/ (2n+1)Qn² Pn²/Qn² = Pn4 / [(2n) !]² (4)
et Pn = 2n x (n!)
d'où Pn²/Qn² = 24n x (n!)4 / [(2n) !]² (4')
Pour obtenir le comportement pour n → ∞ de l'expression (4'), on peut utiliser la formule asymptotique suivante (de Stirling) pour la factorielle d'un entier m :
pour m >> m ! ≈ (m/e)m sqrt(2 pi m) (e base des logarithmes népériens) Ainsi 2n ! ≈ (2n/e)2n sqrt(2 pi 2n) et (2n!)² ≈ 24n (n/e)4n (2pi 2n)
(n!)4 ≈ (n/e)4n (2pi n)²
et (4') → Pn²/Qn² ≈ n x pi pour n >> Avec l'expression de Rn ci-dessus on obtient donc ==> Pour n → ∞ Rn = bn/an → (b0/a0) x pi / 2
