ÉLECTRICITÉ : Calcul de l'Accumulateur nécessaire pour une Installation

40 L A H O U I L L E B L A N C H E

É L E C T R I C I T É

Calcul de l'Accumulateur nécessaire pour u n e Installation

O n observe f r é q u e m m e n t q u e les batteries d'accu sont insuf- fisantes p o u r remplir c o n v e n a b l e m e n t leur fonction et T o n se d e m a n d e si les m é t h o d e s e m p l o y é e s p o u r leur calcul p a r les ingé- nieurs q u i les o n t installées, n e sont p a s e x a g é r é m e n t approxi- m a t i v e s .

V u les prix prohibitifs actuels d e ces appareils, il est indispen- sable d e serrer d e près la question. C'est le b u t des d e u x m é t h o d e s suivantes.

L BATTERIE D'ACCU, INDÉPENDANTE 1. C e p r e m i e r cas correspond a u x h y p o t h è s e s suivantes : L a b a t

décharge.

L a batterie sera entièrement chargée a v a n t le d é b u t d e la

L a figure 1 représente le c o u r a n t à fournir p a r la batterie, e n fonction d e l'heure ; le c o u r a n t m a x i m u m est lm.

L a figure 2 est¹ la figure 1 transformée e n c o u r b e m o n o t o n e . O n sait q u ' u n d i a g r a m m e m o n o t o n e est; déduit d u d i a g r a m m e réel e n p r e n a n t , c o m m e abscisse c o r r e s p o n d a n t à u n e o r d o n n é e q u e l c o n q u e /³, p a r e x e m p l e ) , u n e l o n g u e u r égaie à la s o m m e d e s s e g m e n t s interceptés p a r l'horizontale i3. Ainsi l'abscisse i³ F ' d e la figure 2 est égale à A B ~| D E + E F + F G ( q u a n d les échelles sont les m ê m e s ) .

Il résulte d e cette construction q u e la projection a ¡3 d'un^

s e g m e n t G~6' d u d i a g r a m m e m o n o t o n e est égale à la s o m m e des projections des s e g m e n t s 11J -|- N P interceptés sur le d i a g r a m m e

lettres

Fîg. 3 Fig. 5

Elle n e recevra a u c u n e charge p e n d a n t les interruptions réel p a r les o r d o n n é e s limitant ce s e g m e n t . D o n c , si o n déchar- m o m e n t a n é e s d e son utilisation.

U n conjoncteur-disjoncteur a u t o m a t i q u e ajoutera o u retran- chera le n o m b r e d'éléments voulu, d e m a n i è r e q u e le potentiel d e la batterie soit, à c h a q u e instant, celui qui convient à l'appel d u courant d u m o m e n t .

geait la batterie e n suivant le d i a g r a m m e 1 2 3 4 a u lieu du d i a g r a m m e réel d e la figure 1, o n produirait c h a q u e valeur ins- t a n t a n é e d u courant (i⁶ p a r e x e m p l e ) p e n d a n t le m ê m e temps dt d a n s les d e u x cas. C e s d e u x m o d e s d e d é c h a r g e sont donc équivalents. E n d'autres t e r m e s , le calcul d'une batterie indé Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1925009

L A H O U I L L E B L A N C H E 4 1 pendante peut se faire a u m o y e n d u d i a g r a m m e m o n o t o n e

déduit d u d i a g r a m m e réel d e c o n s o m m a t i o n .

L a surface limitée p a r le d i a g r a m m e d e la figure 2 représente le n o m b r e total d ' A H ; d e d é c h a r g e ; soit N ce n o m b r e ; le cou-

N

rant m o y e n est = I (puisque l'abscisse m a x i m u m repré- sente une d u r é e d e 7 J130).

O n c o m m e n c e r a p a r choisir, d a n s u n catalogue d e fabricant d'accus, u n e batterie d o n t la capacité m o y e n n e d e décharge soit a p p r o x i m a t i v e m e n t N p o u r u n r é g i m e I, et d o n t le courant m a x i m u m admissible p a r la d é c h a r g e soit plus petit q u e - ï^m.

2. COMMENT RECONNAÎTRE SI CETTE BATTERIE EST SUFFISANTE L e catalogue d u fabricant fait connaître les régimes d e décharge p o u r les durées d e 1 heure, 2 heures, 3 heures, etc. ; il p e r m e t d o n c d e construire le d i a g r a m m e caractéristique d e la Batterie choisie (figure 3, trait plein).

P o u r u n r é g i m e q u e l c o n q u e d e d é c h a r g e i, la durée d e décharge totale d e cette batterie, c o m p l è t e m e n t chargée a u préalable, sera l'ordonnée T C O / » d u point z correspondant à l'abscisse o I = i.

Si la décharge a u r é g i m e i n e d u r e q u ' u n t e m p s d t, cette batterie dt

aura p e r d u — d e sa c h a r g e totale.

Ainsi :

p o u r i = f6, /6 = a ¡5 (fig. 2), la fraction d e la charge qui aura disparu p e n d a n t la d é c h a r g e depuis le point représentatif 6 jusqu'au point représentatif 6', sera (1) ;

^ = ï i (fig.2et3)

quand les échelles du temps sont les mêmes dans ces deux figures.

Si K est le rapport des échelles, la fraction de la charge disparue, du point 6 au point 6', est :

Je dis que la fraction totale de charge disparue correspondant

1

K " o t,

*3

Pendant que le courant aura la valeur if, la fraction de charge disparue sera :

i

K " o î,

La fraction totale disparue correspondant au segment 6 — 7' est

I K ' o í8

1

K "

K •

De m ê m e la fraction totale disparue correspondant a u seg- m e n t 6 — 8' est :

1 1 / , O 4

K *

C*6 ç a »

K ' . o U K', o ti K ' . o L

. R6ye - A-. > ,Q

X7 y7 = K . 0 ¿7

x% a = * • & a b SA ß V, tí c v 8

(î) O n p e u t dire q u e la• décharge, à u n régime q u e l c o n q u e /, d u r e kk p e n d a n t u n t e m p s dt tel q u e soit le coefficient angulaire

<te la tangente m point TARRISPOUDBMIT d e Ifi c o u r b e m m i a t o n e .

s e g m e n t 6 — 8' est :

E n effet : x8 a1 ^ 8

x^Q a a* V _^8

a! b ~ a r7 Í/7 " 0 /7

^8 VS

d'où : d'où : z

D o n c :

P a r c o n s é q u e n t : XG C ítg c í¡

í/s K .

a;8 a = % ß : a" Y = 3-

1

J_

K ' o L

0_4

* oí, o L

o Z, O 4

o L

oT

+ '

' o Z⁷

Cette expression est bien identique à celle trouvée précé- d e m m e n t .

&e Jcjr ces TC

Fig. 4

E n o p é r a n t ainsi p o u r les projections d e tous les s e g m e n t s , depuis 1-1' jusqu'à 15-15' o n obtiendra, p a r u n e série d e cons- tructions identiques à celle d e la figure 4, l'intégrale des frac- tions partielles d e charge dépensées à c h a q u e instant.

Si cette intégrale est plus petite q u e l'unité, le point t e r m i n u s représentatif sera entre c x et c y.

Si elle est plus g r a n d e q u e l'unité, il sera à l'extérieur d e cet angle.

D a n s le 1^ER cas l'accu choisi est trop fort.

D a n s le 2E cas, il est trop faible.

L'accu e x a c t e m e n t suffisant correspondrait à u n point feprê*

sentatif t o m b a n t sur c ij.

3, CONSTRUCTION DÛ GRAPHIQUE D'ESSAI.

L a construction indiquée ci-dessus d o n n e r a le g r a p h i q u e sui- v a n t :

S u r la figure 3, tracer u n e droite q u e l c o n q u e ¿ ¿ (1). P r o - longer les horizontales telles q u e iz jusqu'en leur rencontre z a v e c cette droite.

R e p o r t e r le point ¿ sut ex d e la figure 5, a u m o y e n d'une ligne d e rappel z' x¡ ; c x^ est ainsi proportionnel k o t.

P r e n d r e x\ ij{ = o t à l'échelle des t e m p s d e la figure 2. Joindre c gi et prolonger.

O n a ainsi réalisé sur la figure 5 la construction c % cz/6 d e la figure 4 .

(1) L ' e m p l a c e m e n t d e cette droite a été choisi d e m a n i è r e q u e la figure reste d a n s les limites d e la feuille*

4 2 L A H O U I L L E B L A N C H E E n faisant la m ê m e construction p o u r zv i>, rs..., o n obtient

les droites xx yï9 ;r2 y2i x3 y,...,

S u r c h a c u n e d'elles il faut projeter le s e g m e n t d u d i a g r a m m e m o n o t o n e d u « d i » correspondant.

Ainsi, sur:r6 y6 o n projettera a (3 qui d o n n e r a p6, sur .r7 y~ o n projettera 0 y qui d o n n e r a p7, sur x8 ys o n projettera y o qui d o n n e r a p8.

L e point /c t o m b a n t e n dehors d e ci/, l'accu choisi sera épuisé sans q u ' o n ait p u fournir les A H c o r r e s p o n d a n t a u x parties h a c h u r é e s des figures 1 et 2.

O n cherchera alors u n autre a c c u d'une capacité d e d é c h a r g e égale à la précédente a u g m e n t é e d'une quantité a u m o i n s égale a u n o m b r e d ' A H . représentés p a r cette surface h a c h u r é e . O n r e c o m m e n c e r a p o u r ce d e u x i è m e a c c u la m ê m e construction.

s e ? 3 , e /0 // se /3 /* /s /6 s? /6 /s #o e/ ee

E n s u i t e :

porter e n xx a la projection pl f

joindre a c ; o n obtiendra le point a\

porter e n a' b la projection p2, joindre 6 c ; o n obtient ainsi le point b \ porter e n V d la projection p3.

etc.

E n continuant ainsi, o n obtient les points d'e e'/ fg cjh Kj fJc

Fig. 7

Il est vraisemblable q u e d e u x essais suffisent d a n s la plupart d e s cas.

Remarque. — Voici c o m m e n t les figures 3 et 5 seront m o d i - fiées p a r u n e a u g m e n t a t i o n d e capacité :

L a c o u r b e z s'élève ; si la feuille d e papier e m p l o y é e est assez g r a n d e , o n p e u t conserver la m ê m e droite zy z \

A l o r s c h a q u e o r d o n n é e zy correspond à u n Xi plus grand que p r é c é d e m m e n t , cij étant restée la m ê m e , les s e g m e n t s pl9

F.'3 6

L A H O U I L L E B L A N C H E 43 p³ se sont d o n c éloignés d e cette droite limite. C o m m e les

longueurs d e s projections p^x p^% p³... n'ont p a s c h a n g é , le point terminus s'est a v a n c é d a n s la direction d e c.

I L BATTERIE-TAMPON.

1. Soit (fig. 6 ) , le d i a g r a m m e d u débit journalier. L'horizon- taie H représente le débit constant des génératrices.

L e s surfaces h a c h u r é e s S au-dessus d e H , sont d e s périodes d e décharge d e la batterie ; les surfaces h a c h u r é e s s, en-dessous d e II sont des périodes d e charge. P a r différence o n a u r a u n e surface d o n n a n t u n e première a p p r o x i m a t i o n d a la capacité N d e la batterie.

O n c o m m e n c e r a p a r choisir d a n s u n catalogue u n e batterie de capacité m o y e n n e N et d o n t les courants m a x i m a admissibles p o u r la d é c h a r g e et la c h a r g e soient inférieurs a u x o r d o n n é e s m a x i m a des d e u x surfaces ci-dessus. Soit (fig. 3, trait plein) sa caractéristique.

Soit N10 sa capacité d e d é c h a r g e e n 1 0 heures. O n p e u t a d m e t t r e q u e le r e n d e m e n t , e n A H , est d e 0,85 p o u r u n e d é c h a r g e d e 10 heures. L a capacité d e charge n o r m a l e est alors = N^c.

0,o a

2. S u r la figure 3, construisons l'hyperbole équilatère: it = Nc. P u i s q u e la d é c h a r g e a u régirru i d u r e u n t e m p s t^t c'est q u e , à ce régime, toute la m a t i è r e active, f o r m é e p e n d a n t la c h rge n o r m a l e c o m p l è t e , est d é c o m p o s é e e n u n t e m p s /.

O r u n e c h a r g e n o r m a l e c o m p l è t e faite e n u n t e m p s / exigerait u n courant V (fig. 3 ) tel q u e Y i = NC. D o n c , e n u n t e m p s d U le courant d e d é c h a r g e I détruit a u t a n t d e m a t i è r e active q u e n'en aurait f o r m é F p e n d a n t d L

E n d'autres t e r m e s Idtperdu serait c o m p e n s é p a r Ydtgagné.

D o n c (fig. 6) :

dj> ^ I d t é q u i v a u t à d S + rfS' = Y dt.

P o u r connaître la charge d e la batterie à u n m o m e n t quel- c o n q u e 0^} il f a u d r a faire la s o m m e :

d s— j ( d S + d S') c'est-à-dire r e m p l a c e r la partie réelle d u d i a g r a m m e (fig. 6, trait continu) p a r u n d i a g r a m m e fictif (traits i n t e r r o m p u s ) d o n t c h a q u e o r d o n n é e Y est déduite d e I c o m m e il a été indiqué ci^

dessus a u m o y e n d u t e m p s total / d e d é c h a r g e a u r é g i m e I (fig. 3 ) 3. T r a ç o n s d e u x a x e s d e c o o r d o n n é e s (fig. 7 ) ; p o r t o n s e n abscisse les t e m p s d e la figure 6, e n o r d o n n é e s les quantités

(/*„(«+««-/•„<<.)

déduites d e la figure 6.

Soit A 0 u n point arbitraire représentant l'état initial; n o u s obtenons le d i a g r a m m e A⁰ bede³ fghjk* mn'

L e point le plus b a s étant d, n o u s serons d a n s les meilleures conditions d'utilisation si la c h a r g e est c o m p l è t e à l'heure corres- p o n d a n t e ô^r

P r e n o n s alors & -/ = N0.

L a batterie sera e n t i è r e m e n t d é c h a r g é e à l'heure On corres- p o n d a n t a u point d e rencontre x d e l'horizontale x a v e c le d i a g r a m m e A ⁰ b c d

P o u r q u e la batterie essayée soit la batterie optimum, il e u t fallu q u e l'ordonnée x fut l é g è r e m e n t supérieure à l'ordonnée finale u ( n o n figurée) c o r r e s p o n d a n t a u pL U d e la figure 6.

Il faut alors choisir u n e autre batterie telle, qu'en r e c o m m e n - ç a n t les constructions d e s p a r a g r a p h e s 2 et 3 ci-dessus, o n obtienne u n point t e r m i n u s satisfaisant à cette condition.

Remarque. — Si o n voulait e m p l o y e r la m é t h o d e d u § T, il faudrait, p o u r construire le g r a p h i q u e d e la figure 5, utiliser directement les projections des s e g m e n t s successifs d u d i a g r a m m e réel d e c o n s o m m a t i o n , sans le transformer a u préalable e n m o n o - tone, ce dernier n e p e r m e t t a n t p a s d e suivre les modifications d e l'état d e la Batterie d a n s le t e m p s réel.

L a construction serait la suivante (fig. 8 ) : D é t e r m i n e r , c o m m e o n T a fait p r é c é d e m m e n t (fig. 3 et 5), sur la droite c x, les points x^x x² x³... correspondants a u x valeurs d u courant d e la figure 6, et la position d e la droite c y.

se I

Fig, 8

S u r l'ordonnée xx yx d u c o u r a n t le plus voisin d e l'horizontale H (fig. 6), porter u n e longueur x¹ d^x telle q u e :

xx dx _ s ( B C D ) x^x y^x ~ NC

L e s s e g m e n t s d e la partie A B d u d i a g r a m m e d e la figure 6 d o n n e n t les projections :

«oai a \ b i b \ dx.

xa est le point, c o r r e s p o n d a n t a u c o u r a n t initial, aQ est choisi d e telle sorte q u e la dernière projection d e la portion A B se ter- m i n e e n d^x.

L a p r e m i è r e recharge partielle 5 ( B C D ) r a m è n e d e d^x e n x^A, sur ex, parce q u e la charge y est complète.

x^x a' e^x f^x correspondent à la portion D E F d e la figure 6.

P r e n d r e ensuite u n e longueur f^t h^x telle q u e : /x/ i1 = s ( F G H )

L a d e u x i è m e recharge partielle 5 ( F G H ) r a m è n e d e fx e n hx ; hx jx kx correspond à la partie H J K M .

P r e n d r e ensuite u n e l o n g u e u r kx nx telle q u e ; k t n t _ s ( M )

^ 1 Ui NC

L à troisième recharge partielle 5 ( M ) r a m è n e e n nx ; nx px cor- r e s p o n d à la portion N P d e la figure 6 ; le point d e rencontre a v e c cy indique u n e d é c h a r g e c o m p l è t e .