1
D.S. commun II de mathématiques 1
èreS
Samedi 6 février de 10h15 à 12h15 Calculatrices autorisées, 5 exercices
Ce sujet est à rendre avec la copie.
La rédaction, la rigueur et la clarté de la rédaction seront essentielles. Les étapes intermédiaires de calcul et de raisonnement doivent figurer sur la copie. A défaut, le correcteur est en droit de ne pas attribuer de points à tout ce qui figure sur la copie sans justification et qui peut être fait par une calculatrice1, et ceci quel que soit le modèle de votre calculatrice.
Les téléphones portables doivent être éteints durant le DS et rester dans les sacs.
Toute fraude entraînera une note de zéro pour tous les élèves impliqués (aussi bien celui qui a copié que celui qui a laissé copier) assorti de sanctions plus importantes en cas de fraude aggravée (préméditation par exemple).
Nom : . . . Prénom : . . . Classe : . . .
Note
Exercice 1 , / 4,5 Exercice 2 , / 5,5 Exercice 3 , / 3 Exercice 4 , / 3 Exercice 5 , / 4
Note / 20
Exercice 1.
Soit f la fonction définie par
1 4 5 ) 3
(
2
+ + +
= − x
x x x
f et soit cf sa courbe représentative.
1) Déterminer la dérivée de f après avoir précisé son domaine de définition et son ensemble de dérivabilité.
2) Déterminer les variations de f sur son domaine de définition. Les résultats obtenus pourront être résumés par une phrase ou un tableau de variations.
3) Déterminer l’équation de la tangente T à cf au point d’abscisse 0.
4) Déterminer l’abscisse de tous les points de cf pour lesquels cf admet une tangente parallèle à la droite d’équation y=−2x.
Exercice 2.
ABC est un triangle équilatéral de côté 5cm, G est le centre de gravité de ce triangle et H est le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 2).
1) Construire les points G et H.
2) Déterminer et construire les ensembles suivants :
a) l’ensemble E des points M du plan vérifiant : MA MBuuur+uuur+MCuuuur = MAuuur+2MBuuur , b) l’ensemble F des points M du plan vérifiant : MA MBuuur+uuur+MCuuuur
colinéaire à MAuuur+2MBuuur , c) l’ensemble G des points M du plan vérifiant : MAuuur+2MBuuur = MA MBuuur−uuur
1 La TI 89 par exemple factorise et développe les expressions, calcule les dérivées et les limites des fonctions, donne leur tableau de variation …etc.
4,5
5,5
1,5
1
1 1
1
1,5 1,5 1,5
2 Exercice 3.
Soit a un réel donné. Décomposer a en une somme de deux nombres dont le produit est maximal.
Exercice 4.
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ( , , )O i jr r . Soient A et B les points de coordonnées polaires respectives A[3,
6 5π
− ] et B[2, 3
π ] dans le repère
polaire (O,i) r
.
1) Déterminer les coordonnés cartésiennes de A dans le repère ( , , )O i j r r
. Donnez la valeur exacte des coordonnées, Effectuez tous les calculs et simplifiez vos résultats autant que possible.
2) Déterminer la mesure principale de (
→
OA ;
→
OB ).
3) Déterminer les coordonnés polaires de D ( 3 ; −1) dans le repère polaire (O,i) r
.
Exercice 5.
ABC est un triangle. I, J et K sont les points définis par : I est le symétrique de B par rapport à C,
J est tel que
→
AJ = 2 5
→
AC ,
K est le symétrique du milieu de [AB] par rapport à A.
1) Faire la figure puis exprimer I comme barycentre des points B et C, J comme barycentre de A et C et enfin K comme barycentre de A et B.
2) Montrez que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.
4 3 3
2,5
1,5 1
1 1
