Correction de l’exercice 1 du sujet d’oral blanc n˚2

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Correction de l’exercice 1 du sujet d’oral blanc n˚2

1. En raisonnant par r´ecurrence, on d´emontre ais´ement que pour toutn∈N:u_n est bien d´efini et u_n≥0.

Soitn∈N. Alors−u_n ≤0. En appliquant l’exponentielle, qui est croissante surR, `a chaque membre de cette in´egalit´e il viente^−un≤1. Par suite :

0≤u_n+1= e^−un n+ 1 ≤ 1

n+ 1.

D’apr`es le th´eor`eme d’encadrement pour les suites, on a alorsu_n+1→0. Le comportement asymptotique d’une suite ne d´ependant pas de son premier terme, on en d´eduitu_n→0.

2. On a pour toutn∈N:

v_n+1= (n+ 1)u_n+1=e^−un.

Comme−u_n→0 et comme l’exponentielle est continue en 0, on obtient :e^−un→1.

Doncv_n+1→1 et par suite v_n→1.

3. La s´erie X

u_n est `a termes positifs, d’apr`es la question 1. D’apr`es la question 2, n u_n → 1 et donc u_n∼ 1

n. Les deux s´eriesX

u_n etX1

n ont donc mˆeme nature.

Or la s´erieX1

n est la s´erie harmonique, qui est divergente (s´erie de Riemann pourα = 1). La s´erie Xu_n est donc divergente.

4. Commeu_n ∼ 1

n, on au_n= 1 n+o

1 n

et donc :

−u_n =−1 n+o

1 n

. (1)

Or :

e^x =

x→01 +x+o(x). (2)

En composant (1) par (2), on obtient le d´eveloppement asymptotique : e^−un= 1−1

n+o 1

n

.

Doncu_n+1= e^−un n+ 1 = 1

n+ 1− 1

n(n+ 1)+o 1

n(n+ 1)

et par suite :

(−1)ⁿu_n= (−1)ⁿ1

n + (−1)ⁿ⁺¹ 1

n(n−1) +o 1

n(n−1)

. (3)

Pour toutn∈N^∗, on posea_n = (−1)ⁿ1

netb_n = (−1)ⁿu_n−a_n = (−1)ⁿ⁺¹ 1 n(n−1)+o

1 n(n−1)

. On a :

• (−1)ⁿu_n =a_n+b_n pour toutn∈N^∗;

• la s´erieX

a_n converge (crit`ere des s´eries altern´ees) ;

• b_n=O 1

n(n−1)

et doncb_n=O 1

n²

. Comme la s´erieX 1

n² converge (s´erie de Riemann pour α= 2), le theor`eme de domination pour les s´eries `a termes positifs livre que la s´erieX

|b_n|converge.

La s´erieX

b_n´etant absolument convergente, elle est convergente.

La s´erieX

(−1)ⁿu_n est donc convergente, comme somme de deux s´eries convergentes.