Bornes pour les parties de N

Bornes pour les parties de N

D´edou

Avril 2010

Parties non vides de N

Notation

On va noterP^∗(N) l’ensemble des parties non vides deN.

Minimum d’une partie non vide de N

Voici la carte de visite de ce minimum min : P^∗(N) → N

P 7→ min(P) Pour la formule, voir plus bas.

D´ efinition du minimum

Voici ce qu’on a l’habitude de dire

SoitP une partie non vide deN. Alors P admet un ´el´ement plus petit que tous les autres, qu’on appelle minP.

Ce qu’il faut comprendre :

min ={(P,m) :P^∗(N)×N|m∈P et∀n :P,m≤n}.

Cette relation deP^∗(N) dans Nest une application.

Bien entendu il faut d´emontrer le second point, `a savoir : Version naturelle : toute partie non vide deN admet un

´

el´ement plus petit que tous les autres.

Version formelle : ∀P :P(N), si P est non vide alors

∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≤p.

Preuve de

∀P :P(N), si P est non vide alors

∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≤p.

Ce qu’on dit

On montre par r´ecurrence sur n que siP∩[0..n] est non vide, alors P admet un ´el´ement plus petit que tous les autres.

Pourn= 0, on voit que 0 est dans P et il est ´evidemment plus petit que tout autre ´el´ement de P.

Pourn quelconque, si P admet un ´el´ement plus petit que n, l’hypoth`ese de r´ecurrence permet de conclure. Dans le cas

contraire, commeP contient un ´el´ement inf´erieur `an+ 1, on voit que cet ´el´ement ne peut ˆetre quen+ 1 et qu’il est inf´erieur `a tous les autres ´el´ements de P.

La preuve

On veut raisonner par r´ecurrence mais notre ´enonc´e ne commence pas par∀n...

Alors on en forge un autreR plus fort.

C’est la tactique Observer, il faudra prouverR etR ⇒E.

PourR,on prend

∀n:N,∀P :P(N),

P∩[0..n]non vide⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≤p.

Preuve de R ⇒ E

(∀n:N,∀P :P(N),

P∩[0..n]non vide⇒ ∃!m:N,m∈P et∀p :P,m≤p)

⇒

∀P :P(N),P non vide⇒ ∃!m:N,m∈P et∀p :P,m≤p.

Preuve

ImpB, ForallB (P), ImpB, ReecC (est non vide), ExistC(n), ForallC[n], ForallC[P], ImpC, ReecC (est non vide), ExistB[n], ReecB(∩), EtB, Hyp, Facile (n∈[0..n]) ...

Exercice

a) Trouvez la faute de frappe dans la preuve pr´ec´edente.

b) Ecrivez l’objectif courant apr`es ce d´ebut de preuve, et la tactique qui le torche.

Preuve de R

∀n:N,∀P :P(N), si P ∩[0..n]est non vide alors

∃m:N,m∈P et ∀p :P,m≤p.

La preuve Rec,

ForallB (P), ImpB, ExistB[0], ReecC(est non vide), ExistC(t), ReecC(∩), ReecC(∈[0..0)), RessC(t≤0⇒t = 0), ReecB(t=0), EtB, Hyp, ForallB(p), RessB(0≤t)

ForallB(n), ImpB, ForallB(P), ForallC[P], ImpB, Selon[P∩[0..n] non vide],

1-ImpC, Hyp, Hyp

2- ReecC(est non vide), ExistC(t), ReecC(∩), EtC, ExistB[t], EtB, Hyp, ForallB(p), ForallC[p] ...

Exercice

Ecrivez l’objectif courant apr`es ce d´ebut de preuve.

Les propri´ et´ es caract´ eristiques du minimum

Proposition

SiP est une partie non vide de N, alors minP est dans P et tout

´el´ement deP lui est sup´erieur.

Et maintenant le maximum

Et maintenant le maximum !

Parties born´ ees de N

Notation

On va noterP_f(N) l’ensemble des parties major´ees deN (f comme finies, les parties born´ees sont les parties finies...) et P_f^∗(N)

l’ensemble des parties major´ees non vides de N.

Maximum d’une partie non vide de N

Voici la carte de visite de ce maximum max : P_f^∗(N) → N

P 7→ max(P) Pour la formule, voir plus bas.

D´ efinition du maximum

Voici ce qu’on a l’habitude de dire

SoitP une partie major´ee non vide deN. Alors P admet un

´el´ement plus grand que tous les autres, qu’on appelle maxP.

Ce qu’il faut comprendre :

max ={(P,m) :P_f^∗(N)×N|m∈P et∀n :P,m≥n}.

Cette relation deP_f^∗(N) dans Nest une application.

Et comme pour le min il faut d´emontrer le second point, `a savoir : Version naturelle : toute partie major´ee non vide deNadmet un ´el´ement plus grand que tous les autres.

Version formelle : ∀P :P(N),

P non vide et major´ee⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≥p.

Preuve de

∀P :P(N),

P non vide et major´ee⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≥p.

Ce qu’on dit

On montre par r´ecurrence sur n que siP est non vide et major´e parn, alors P admet un ´el´ement plus grand que tous les autres.

Pourn= 0, on voit que 0 est le seul ´el´ement de P et donc aussi le plus grand.

Pourn quelconque, si P ne contient pas n+ 1, l’hypoth`ese de r´ecurrence permet de conclure. Dans le cas contraire,n+ 1 est

´evidemment le plus grand ´el´ement de P.

Une preuve plus formelle

∀P :P(N),

P non vide et major´ee⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≥p.

On veut raisonner par r´ecurrence mais

notre ´enonc´e ne commence pas par∀n... Alors va en forger un autreR plus fort. Cette fois, on fait d’abord

ForallB, ImpB, EtC, ReecC(non vide), ExistC(t), ReecC(major´ee), ExistC(M) ce sera un peu plus simple.

Et apr`es, on fait Observer

∀n:N,P major´ee parn⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p:P,m≥p.

Preuve que R gagne

(∀n:N, si P major´ee parn ⇒ ∃!m:N,m∈P et∀p :P,m≥p)

⇒ ∃!m:N,m∈P et ∀p :P,m≤p.

(on sait queP est non vide et major´ee parM) Preuve

ForallC[M], ImpC, Hyp, Hyp

Preuve de R

∀n:N,P major´ee parn⇒ ∃m:N,m∈P et∀p :P,m≥p.

(on sait queP est non vide et contient t) La preuve

Rec,

ImpB, ReecC (major´ee par), ExistB[t], EtB, Hyp, ForallB(p), ForallC(p), Facile(p ≤0⇒p ≤t),

ForallB(n), ImpB, ImpB, Selon[n+ 1∈P ],

1-ExistB[n+1], EtB, Hyp, ForallB(p), ReecC(major´ee par n+ 1), ForallC(p), Hyp,

2- ImpC, ReecB (major´ee par n), ForallB(p), ImpB, RessB

(p ≤n+ 1 et p6=n+ 1⇒p ≤n), EtB, Hyp, Contra(n+ 1∈/ P), ReecB (p=n+ 1), Hyp

Les propri´ et´ es caract´ eristiques du maximum

Proposition

SiP est une partie non vide major´ee deN, alors maxP est dansP et tout ´el´ement de P lui est inf´erieur.

La borne sup´ erieure

Voici la carte de visite de la borne sup´erieure

sup: P(N) → N

P 7→ si P est vide alors 0

sinon si P est major´ee alors max(P) sinon +∞

Rappel

Nc’est Navec un ´el´ement +∞ en plus :N:=Nq {+∞}.

Propri´ et´ e caract´ eristique de la borne sup´ erieure I

Proposition

SiP est une partie quelconque de N, alors supP est le plus petit des majorants deP (dans N).

Autrement dit

Pour prouversupP =M, il suffit de prouver

(∀p:P,p≤M) et ∀M⁰ :N,(∀p:P,p≤M⁰)⇒M ≤M⁰.

Ou encore, en contraposant

Pour prouversupP =M, il suffit de prouver

(∀p :P,p ≤M) et∀M⁰:N,M⁰ <M ⇒ ∃p :P,p >M⁰.

Propri´ et´ e caract´ eristique de la borne sup´ erieure II

Proposition

SiP est une partie quelconque deN, alors supP est caract´eris´e par la propri´et´e :

∀y :N,y ≥supP ⇔ ∀p:P,y≥p.

Autrement dit

Pour prouversupP =M, il suffit de prouver

∀y :N,y ≥M ⇔ ∀p :P,y ≥p.

La borne inf´ erieure

Voici la carte de visite de la borne inf´erieure inf : P(N) → N

P 7→ si P est vide alors +∞ sinon minP

Borne sup´ erieure et inclusion

La borne sup´erieure est croissante.

N´ecessite d’´etendre ≤`aN.

≤: N×N → B

(x,y) 7→ si y = +∞

alors V

sinon si x = +∞

alors F sinon x ≤y

Borne sup´ erieure et r´ eunion

La borne sup´erieure de la r´eunion est le max des bornes sup´erieures.

N´ecessite d’´etendre max `aN.

Exercice

Etendre max `aN.

Borne sup´ erieure et intersection

La borne sup´erieure d’une intersection est inf´erieures aux deux bornes sup´erieures.

Exercice

Prouver ¸ca avec et sans ressource.

Borne sup´ erieure et addition

La borne sup´erieure d’une somme est la somme des bornes sup´erieures.

Probl`eme

Il faut d´efinir la somme des parties et ´etendre la somme `aN.

Borne inf´ erieure et inclusion

Exercice

Enoncez et d´emontrez ce qui se passe entre borne inf´erieure et inclusion.

Probl`eme

Il faut d´efinir la somme des parties et ´etendre la somme `aN.