V o ~
J. RIDDER
ill GI~ONINGEN.
Einleitung.
Die von C. Curath6odory 1 aufgestellte, formule Messbarkeitstheorie fasst jedes itussere Mass als Mengenfunktion td(A) der Mengen (A) des n-dimensiona- len Euklidischen Raumes uuf; es wird welter charakterisiert dutch vier-, jedes reguliire iiussere Mass durch fiinf Axiome. Mittels eines regul~iren ~iusseren Masses litsst sich fiir die Mengen (A) ein zugehSriges regul~tres inheres Mass definieren ~, d~s zu den obengenannten fiinf Axiomen analoge Eigenschaften hat.
Diese Eigenschaf~en geniigen jedoch nieht zur vollstiindigen Churakterisierung des reguliiren inneren Masses. Die Unstimmigkeit wird hervorgerufen durch das dritte Caruth~odorysehe Axiom, welches luutet: ~>Ist V ~ A 1 + A S + ,-. § A,~ + ---, so ist stets re* (V) =< tt* (A1) + re* (A~) + ... + td(A,~) + --->> und zu welchem beim inneren Masse tt,(A) analog ist die Eigenschaft: ~>Ist S = - A ~ + A 2 + " + A , , + . . . , mit Aj. Ak leer fiir jedes P a a r (j, k) yon ungleichen natiirlichen Zahlen, so ist stets tt, (S) ~ re, (AI) + l,t, (As) + ... + #, (A,,) + ... ~. Ein von Carath@odory her- riirendes Beispiel ~ zeigt, d~ss, obwohl schon aus den zwei ersten Eigenschaften des regul~tren inneren Masses hervorgeht, (lass die mittels des inneren Masses chur~kterisierten messbaren Mengen einen K5rper bilden, diese dennoch nicht immer einen a-KSrper zu bilden bruuchen, s o g a r dann nicht, wenn alle fiinf Eigenschaften erfiillt sind. A. Rosenthal hat durum das Carath6odorysche Axio- mensystem fiir das reguliire iiussere Masse ein vSllig ~tquivalentes System an die
S i e h e C. CARATtt~ODORY, 5Tachr. G e s . W i s s . G S t t i n g e n 1914, S. 4 o 4 - - 4 2 o ; V o r l e s u n g e n fiber reelle F u n k t i o n e n , 2 e Aufl. (I927) , K ~ p . 5 u. 6.
E i n g e w S h n l i e h e s i n n e r e s M a s s w i r d y o n C A R A T H K O D O R Y n i e h t eingeffihr~..
S i e h e loc. cir. I, z w e i t e s Z i t a t , S. 3 6 7 - - 3 6 9 .
132 J. Ridder.
Seite gestelltt; welches jenes dritte Axiom nicht mehr enthiilt, daneben jedoch die MSglichkeit bietet das regul~re innere Mass selbst~ndig durch ein analog gebautes Axiomensystem zu charakterisieren.
I n den Kapiteln I u n d 2 wird man zur selbst~indigen Charakterisierung der
~usseren und der inneren Masse neue, analog gebildete Axiomensysteme finden, welche, wie es uns scheint, gegeniiber den Rosenthalschen Systemen die folgen- den Vorteile besitzen:
I ~ die Axiome I - - I V und V fiir das ~ussere Mass und ebenso die Axiome I - - I V und V' fiir das innere Mass fiihren zu einem b e s c h r ~ n k t additiven Masse; alle aus den Axiomen I - - I V ableitbaren Eigenschaften gelten somit fiir
~usseres und ffir inneres Mass beide; zu jeder aus den Axiomen I - - I V u n d V ableitbaren Eigenschaft gibt es eine aus den A x i o m e n I - - I V und V' ableitbare, zugeordnete Eigenschaft (die Beweise beider Eigenschaften lassen sich in ana- loger Weise f f h r e n oder man kann bisweilen die eine Eigenschaft in einfacher Weise aus dem schon bewiesenen, zugeordneten Eigenschaft ableiten); zu jedem
~iusseren [inneren] Masse ist ein inneres [~usseres] Mass derartig adjungiert, dass beide zu demselben KSrper yon messbaren Mengen fiihren, wobei dann die Mass- zahlen einander gleich sind;
2 o die Axiome I - - V I I fiir das ~tussere und ebenso die Axiome I - - I V , V', V I u n d V I I ' fiir das innere Mass fiihren zu einem t o t a l - a d d i t i v e n Masse; alle aus d e n Axiomen I - - I V und VI ablei~baren Eigenschaften gelten somit fiir
~iusseres und inneres Mass; zu jeder aus den Axiomen I - - V I I ableitbaren Eigen- schaft gibt es eine aus den Axiomen I - - I V . V', VI und V I I ' ableitbare, zuge- ordnete Eigenschaf~ (fiir die Beweise gilt eine gleichartige Bemerkung wie fiir die Beweise der einander unter I ~ zugeordneten Eigenschaften); zu jedem ~iusse- ren [inneren] Masse ist ein inneres [ausseres] Mass derartig adjungiert, dass beide zu demselben a-KSrper yon messbaren Mengen fiihren, wobei wieder die Mass- zahlen einander gleich sind;
3 0 das letzte Axiom (VIII) ist in beiden Axiomensystemen dasselbe; es wird am letzten eingefiihrt, da es die bisher betrachtete Analogie in den Axiomen- systemen und den beiden Gruppen yon abgeleiteten S~itzen aufhSren l~sst; denn neben: >)aus A1 < As "" < A~ .--, jedes Ak messbar, lira A k - - A, lira #* (A~-) = r162 folgt p* ( A ) = oo )) fiir das ~ussere Mass wiirde man als achtes Axiom fiir das inhere Mass erwarten diirfen: >~aus
BI~B~.." ~B~...,
jedes Bk messbar,Siehe A. ROSENTHAL, Nachr. Ges. Wiss. GSttingen 1916, S. 3o5--32I.
lim Bk ~ B, lim p. (Bk) ~ oo folgt /~, (B) : ~ >>, eine Eigenschaft, welche jedoch
k ~ Qo k ~ o0
schon dem Lebesgueschen inneren Mass nicht mehr zukommt. ~ ~ Ausserdem bemerken wir:
40 das bei Carath6odory und Rosenthal nicht vorkommende Axiom IV er- mSglicht es den Zusammenhang zwischen ~usserem und innerem Masse in anderer Weise zu definieren als in den Arbeiten dieser beiden Autoren; das bringt u. a.
mit sich, dass ~usseres und inneres Mass hier immer gleichzeitig unendlich sind.
Die Darstellung beschr~inkt sich nicht auf Masse, definiert fiir die Teil- mengen eines Euklidischen oder eines abstrakten metrischen l~aumes, sondern sie betrachtet Masse, definiert fiir die Elemente, neuerdings yon Carath~odory Somen genannt s, yon (durch Axiome n~her festgelegten)allgemeinen Strukturen. ~
Schliesslich erweitern wir, in Kapitel 3, die Riemann-Stieltjessche Integra- tionstheorie auf den Fall von abstrakten, auf Somen definierten Ortsfunktionen, und geben kurz an wie sich diese Theorie in eine Theorie des Lebesgue-Stiel- tjesschen Integrals ab~ndern l~isst, abweichend yon der in Fussn. 3 genannten Darstellung. Bemerkenswert ist hierbei, dass das Riemann-Stieltjessche Integral sich, im Gegensatze zum Lebesgue-Stieltjesschen, schon in verh~iltnism~tssig ein- fachen Strukturen (diejenigen, welche unsere Axiome I~ ~ 6~, 7~, erfiillen)und bei Benutzung yon ganz einfachen Massfunktionen (welche nur die Axiome P , I I und I I I zu erfiillen brauchen) iibertragen l~sst.
A.
30; jede
K A P I T E L 1.
T h e o r i e d e s b e s c h r ~ i n k t a d d i t i v e n M a s s e s . w I. Definitionen und Eigenschaften yon Strukturen.
Alle im folgenden betrachteten Strukturen geniigen den Axiomen 1 ~ 2 ~ Struktur ist aufgebaut aus Elementen, Somen genannt, die immer mit
1 W i e ROSENTHAL, loe. cit. I S. 132 , w 5 ( F u s s n . ) b e m e r k t , i s t e i n e vSllige A n a l o g i e i m A u f b a u n i c h t m S g l i e h .
J e d e s d e n drei e r s t e n C a r a t h 6 o d o r y s e h e n A x i o m e n g e n i i g e n d e s ~ u s s e r e s M a s s erfiillt d a d u r e h a u c h die A x i o m e I - - I I I , V I u n d V I I I .
8 S i e h e C. CARATH~.ODORY, Sitz. ber. Bayer. A k a d . W i s s . I938 , S. 2 7 - - 6 9 ; d a n e b e n a u e h CARATHI~ODORY, A n n . S e u o l a n o r m . s u p e r . P i s s (2) 8 (I939) , S. I o 5 - - I 3 o . I n d i e s e n A r b e i t e n e r w e i t e r t d e r A u t o r s e i n e a b s t r a k t e M a s s t h e o r i e a u f S o m e n ; a u s s e r d e m g i b t er e i n e T h e o r i e des L e b e s g u e - S t i e l t j e s s c h e n I n t e g r a l s yon a u f S o m e n d e f i n i e r t e n , a b s t r a k t e n O r t s f u n k t i o n e n .
4 S i e h e V. GLIVENKO, T h 6 o r i e g 6 n 6 r a l e d e s s t r u c t u r e s , Act. sci. P a r i s 1938. - - S i n d die S t r u k t u r e n I ~ a m e , in w e l e h e n die offenen M e n g e n d e f i n i e r t s i n d , so l ~ s s t s i e h n o e h a l s l e t z t e s A x i o m die M e s s b a r k e i t d i e s e r M e n g e n k l a s s e f o r d e r n .
134 J. Ridder.
k l e i n e n B u c h s t u b e n a n g e d e u t e t werden. D e r einzige G r u n d b e g r i f f ist der Begriff
>>Teil von~, a n g e d e u t e t d u r c h das Ze~chen < . A x i o m 1~ a) a ~ a;
fl) aus a < b u n d b < c f o l g t a < c ; die S e m e n sind teilweise geordnet.
D e f i n i t i o n . a = b , falls a < b u n d b < a . S a t z 1,
S a t z 2.
S a t z 3.
D e f i n i t i o n . E i n S o m a a b wird Produkt des g e o r d n e t e n S o m e n p a a r e s a, b g e n a n n t , falls: a) ab ~ a; fl) ab ~ b; 7) aus c ~ a u n d c ~ b i m m e r f o l g t c ~ ab.
a = a (die Gleichheitsrelation ist reflexly).
Aus a = b f o l g t b = a (die R e l a t i o n ist symmetrisch).
Aus a = b u n d b = c f o l g t a--~ e (die R e l a t i o n ist tra,J~sitiv).
S a t z 4. H a t das g e o r d n e t e S o m e n p a a r a, b ein P r o d u k t , so ist dieses ein- d e u t i g bestimmt, d . h . zwischen zwei Semen, d e r e n jedes, gem~iss l e t z t e r Defini- tion, uls P r o d u k t yon a u n d b b e t r a c h t e t w e r d e n kann, gilt i m m e r die R e l a t i o n der Gleichheit.
A x i o m 20: Fiir jedes g e o r d n e t e S o m e n p a a r a, b gibt es ein P r o d u k t ab. 1 D e f i n i t i o n . E i n S o m a a + b wird Summe des g e o r d n e t e n S o m e n p a a r e s a, b g e n a n n t , falls: a) a ~ a + b; fl) b ~ a § b; 7) aus a ~ c u n d b ~ c i m m e r f o l g t a + b ~ c .
S a t z 5. H a t ein g e o r d n e t e s S o m e n p a a r eine Summe, so ist diese e i n d e u t i g bestimmt.
A x i o m 30: Fiir j e d e s g e o r d n e t e S o m e n p a a r a, b g i b t es eine S u m m e a + b. ~
t A x i o m 2 0 i s t u n a b h ~ n g i g y o n A x i o m i ~ B e i s p i e l : d i e S e m e n s i n d d i e o f f e n e n K r e i s e d e r E u k l i d i s c h e n E b e n e ; a ~ b f a l l s d i e P u n k t e y o n a z u b g e h S r e n ; A x i o m I ~ i s t e r f i i l l t , d a g e g e n n i c h t A x i o m 2 o .
E i n e S t r u k t u r s e i a u f g e b a u t a n s d e n r e e l l e n Z a h l e n (x) m i t - - I ~ x < o u n d d e n d r e i Z e i c h e n
a,b,c. E s s e i x 1 ~ x 2 i n d e n f o l g e n d e n F ~ l l e n : I ~ - - I ~ x ~ x ~ d o ; 2 0 ) - - I ~ x t < o u n d x 2 ~ - a o d e r b o d e r c; 3 e) x l ~ a , x 2 ~ a o d e r c; 4 e) x ~ b , x~-~b o d e r c; 5 e) x 1 u n d x 2 ~ c . Z w i s e h e n a u n d b s e l l k e i n e O r d n u n g s r e l a t i o n b e s t e h e n . E s g i b t f i i r j e z w e i S e m e n i m m e r e i n e S u n ] m e ; d a g e g e n h a b e n d i e S e m e n a u n d b, d e r e n S u m m e c i s t , k e i n P r o d u k t . D a s A x i o m 2 0 i s t s o m i t u n a b h ~ n g i g v o n d e n A x i o m e n I ~ 3 o . D a s s A x i o m 3 0 n i c h t v o n d e n A x i o m e n I ~ 2 0 a b h f i n g t , f o l g t a u s e i n e m B e i s p i e l , w e l c h e s a u s d e m v o r i g e n e i n f a c h d a d u r c h h e r v o r g e h t , d a s s m a n i n a l i e n F~illen l ~ 0 d i e R e l a t i o n x 2 ~ x 1 z w i s c h e n x~ u n d x~, d a n e b e n w i e d e r k e i n e R e l a t i o n z w i s c h e n a a n d b a n n i m m t .
S a t z S a t z S a t z S a t z S a t z S a t z S a t z S a t z S a t z g e k e h r t .
E r s t e s D u a l i t a t s p r i n z i p . Zu j e d e m T h e o r e m P, h e r v o r g e h e n d aus den Axi- omen I ~ 20 , 30 , g i b t es ein duales, das m a n erhs w e n n in d e m T h e o r e m P iiberall: ~) x < y d u r c h y < x, u n d somit: ~) x y d u r c h x + y, u n d u m g e k e h r t , e r s e t z t wird.
A u c h die S~tze 4 u n d 5 s t e h e n e i n a n d e r dual gegeniiber. Zwei d e r a r t i g z u s a m m e n h s S{itze sind im f o l g e n d e n d u r c h dieselbe arabische Ziffer, o h n e bzw. m i t A k z e n t , angedeute~.
(3. Aus a ~ b f o l g t i m m e r a c - - - - b e . (3'. Aus a = b folgs i m m e r a + c = b + c .
~l'. (a + b) + c = a + (b + c).
8 , 8 ' . a b - - - - b a ; a + b ~ b + a . 9 , 9 ' . a a - ~ a ; a + a ~ a .
10. Aus a < b f o l g t a b = a, u n d u m g e k e h r t . 10'. Aus b < a folg~ a + b----a, u n d umgekehr~.
11. Aus a < b f o l ~ t die E x i s t e n z eines a, m i t a + al b, u n d urn-
S a t z 11'. Aus b < a f o l g t die E x i s t e n z eines a2 m i t a a2 ~ b, u n d u m g e ~ e h r t . B. D e f i n i t i o n . Eine S t r u k t u r S besitzt ein kleinstes Soma, leeres So,ha g e n a n n t u n d angedeu~e~ d u r c h o, falls o < a ffir jedes S o m a a yon S.
S a t z 12. G i b t es ein leeres Soma, so ist dieses e i n d e u t i g b e s t i m m t .
1Wehmen wir als S o m e n alle offenen, ]inearen I n t e r v a l l e m i t e i n e m f e s t e n M i t t e l p u n k t a n d b e t r a c h t e n wir a < b, falls alle P u n k t e von a auch zu b ge- hSren, so sind die A x i o m e I ~ 2 ~ 30 erfiillt; es gibt k e i n kleinstes Soma.
D e n n o c h beweist m a n l e i c h t den
S a t z 13. E n t h ~ l t eine den A x i o m e n I ~ 2 ~ 30 gens S t r u k t u r S k e i n kleinstes Soma, so e n t s t e h t eine neue, diesen Axiomen geniigende S t r u k t u r 2~, falls m a n zu den S o m e n y o n S ein einziges S o m a o h i n z u f f i g t u n d : c~)ftir je zwei E l e m e n t e a, b yon S m i t a < b diese R e l a t i o n u m g e s beibeh~ilt, /9) d a n e b e n ffir jedes Soma a yon Z o < a a n n i m m t . I n 2 ist d a n n i m m e r a . o - - - - o . a - - - - o u n d a + o ~ - o + a ~ - a ; fiir .]e zwei zu S g e h S r e n d e S o m e n a, b ist das Soma a + b, ebenso wie das Soma a . b, i n S u n d in 2~ dasselbe.
136 J. Ridder.
A x i o m 40: E s g i b t ein k l e i n s t e s (leeres) S o m a o.
D e f i n i t i z a . Zwei S e m e n a, b heissen einander fremd, falls a b ~-o.
S a t z 14. I s t a ~ b u n d sind a u n d b e i n a n d e r f r e m d , so i s t a : o . S a t z 15. I s t c ~ b u n d sind a u n d b e i n a n d e r f r e m d , so s i n d a u c h a u n d c e i n a n d e r f r e m d .
D e f i n i t i o n . E i n e S t r u k t u r S b e s i t z t ein grSsstes Soma, a n g e d e u t e t d u r c h I, fails a ~ I fiir j e d e s S o m a a y o n S.
Obiges Beispiel zeigt ebenfalls, dass eine d e n A x i o m e n 1 ~ 2o, 30 g e n i i g e n d e S ~ r u k t u r n i c h t i m m e r ein g r 5 s s t e s S o m a en~h~ilt.
Setzt m a n die S e m e n o u n d I e i n a n d e r d u a l g e g e n i i b e r , so f o l g t a u s d e n S~tzen I2 u n d I3:
S a t z 12'. G i b t es ein grSsstes S o m a , so ist dieses e i n d e u t i g b e s t i m m t . S a t z 13'. E n t h ~ l t eine d e n A x i o m e n 1 ~ 2 ~ 3 0 g e n i i g e n d e S t r u k t u r S k e i n grSsstes Soma, so e n t s t e h t eine neue, diesen A x i o m e n g e n i i g e n d e S t r u k t u r ~, f a l | s m a n zu d e n S o m e n v o n S ein einziges S o m a I h i n z u f f i g t u n d : a) ffir je zwei S e m e n a, b yon S m i t a ~ b diese R e l a t i o n unge~nder~ beibeh~il~,/1) d a n e b e n fiir jedes S o m a a v o n 2 a ~ I a n n i m m t . I n ~ ist d a n n i m m e r a 4 - I - - - I + a : I u n d a . I = I 9 a ~ a; fiir je zwei zu S g e h S r e n d e S e m e n a, b ist das S o m a a . b , e b e n s o wie d a s S o m a a + b, in S u n d in 2 dasselbe.
A x i o m 5~ Es g i b t ein g'rSsstes S o m a i.
J e d e s d e r A x i o m e z ~ ~ ist yon d e n iibrigen u n d A x i o m I ~ unabhi~ngig.
Z w e i t e s D u a l i t ~ t s p r i n z i p . Zu j e d e m T h e o r e m P, h e r v o r g e h e n d a u s den A x i o m e n I ~ ~ g i b t es ein duales, das m a n erh~tlt, w e n n m a n in d e m Theo- r e m P, n e b e n d e n s c h o n i m e r s t e n D u a l i t ~ t s p r i n z i p a n g e g e b e n e n E r s e t z u n g e n , die E r s e t z u n g y o n o d u r c h I, u n d u m g e k e h r t , iiberall d u r c h f i i h r t .
Zwei S e m e n a, b h e i s s e n einander ergd~zend, falls a + b ~ I . I s t b ~ a u n d erg~inzen a u n d b e i n a n d e r , so ist a - - - - I .
I s t b ~ c u n d erg~s a u n d b e i n a n d e r , so t u n dies a u c h D e f i n i t i o n .
Satz 14'.
Satz 15'.
a u n d c .
D e f i n i t i o n . I s t a ~ b, so w i r d komplementSres Soma erster A r t g e n a n n t u n d a n g e d e u ~ e t d u r c h b - - a j e d e s zu a f r e m d e E l e m e n t x m i t
a §
D e f i n i t i o n . I s t b ~ a, so wird komplement&-es Soma zweiter A r t t g e n a n n t u n d a n g e d e u t e t d u r c h b : a jedes a erg~nzende E l e m e n t y mit
a y = b .
W i r b e m e r k e n , dass die letzte Definition sich a u c h geben l~sst, falls es kein leeres S o m a gibt; die v o r l e t z t e a u c h dann, falls es kein grSsstes Soma gibt.
Sind die S o m e n einer S t r u k t u r die T e i l m e n g e n eines a b s t r a k t e n R a u m e s , die leere ]~enge u n d den R a u m einbegriffen, so existieren die k o m p l e m e n t ~ r e n S o m e n beider A r t e n i m m e r und sind d a n e b e n e i n d e u t i g b e s t i m m t ; a ~ b soll dabei bedeuten, dass a eine T e i l m e n g e y o n b ist.
S a t z 16, 16'. J e d e s S o m a I - - c ist auch ein Soma o : c ; u n d u m g e k e h r t . D e f i n i t i o n . E i n S o m a I - - c = o : c wird Kompleme~t yon c g e n a n n t u n d d u r c h c' a n g e d e u t e t .
C. E i n e S~ruk~ur, d e r e n S o m e n die offenen I n t e r v a l l e eines E u k l i d i s c h e n R a u m e s sind, die leere M e n g e u n d den g a n z e n R a u m einbegriffen, u n d bei welcher a ~ b b e d e u t e t >>a ist T e i l m e n g e y o n b~, geniigt d e n A x i o m e n 1~ ~ j e d o c h n i c h t dem
A x i o m 6 ~ ~. a c + b c - = (a + b)c. ~
Aus den A x i o m e n I ~ ~ 6~ l~isst sich a b l e i t e n 3 die R e l a t i o n
(a + + = +
U m g e k e h r t f o l g t 3 aus dieser R e l a t i o n u n d den A x i o m e n 1~ wieder das A x i o m 6]. D a d u r c h h a b e n wir:
Das erste Dualith'tsprinzip gilt auch fiir alle aus den Axiomen 1~ ~ 6~ ab- leitbaren Sdtze, das zweite fiir alle aus den Axiomen i ~ ~ 6~ ableitbare~ Sdtze.
Die Si~tze 13, 13' b e h a l t e n ihre Giiltigkeit, w e n n m a n den A x i o m e n I ~ ~ das A x i o m 6~ hinzufiigt.
J e d e s der A x i o m e 4 0 , 5 ~ ist yon d e m a n d e r n u n d den A x i o m e n 1~ 0 , 6~, 6~, u n a b h g n g i g .
i Dieser Begriff r i i h r t y o n G. BERGMANN her. S i e h e BERGMANI~, M o n a t s h . ftir M a t h . u.
P h y s : 35 (1929) , S. 2 5 9 - - 2 8 4 ; a u c h GLIVE~KO , loc. cit. 4 S. 133 , S. I 4 - - I 6 .
2 A u c h n i c h t d a s w e l t e r u n t e n f o l g e n d e A x i o m 6~. D u r c h E r w e i t e r u n g d i e s e s B e i s p i e l s erhiilt m a n Beispiele, w e l c h e a u s s e r d e n A x i o m e n 6a~ 6~ a u c h die A x i o m e 4 ~ 50 oder e i n e s y o n b e i d e n n i c h t erfiillen, d a g e g e n w o h l die A x i o m e I ~ ~
S i e h e loc. cir. 4 S. I33 , S. 32.
138 J. Ridder.
Eine S~ruktur, deren Somen die abgeschlossenen Mengen eines Euklidischen l~aumes sind, die leere Menge u n d den l~aum einbeffriffen, und bei welcher a ~ b bedeutet >>a ist Teilmenge y o n b% geniigt den Axiomen I~ ~ 6~ jedoeh n i e h t dem A x i o m 7~ Zu jedem Soma c gibt es ein K o m p l e m e n t c ' = I - - c = o : c ; u n d auch n i c h t dem
A x i o m 7~,: Zu jedem P a a r yon Somen, a u n d b, m i t a < b, gibt es ein komplement~res Soma erster Art, b - a. 1
.Das zweite Dualitdtspri~zip gilt fiir alle aus den Axiomen I~ ~ 6~ u~d 7~
ableitbaren Siitze (d. h. in einer s o g e n a n n t e n Algebra yon Boole).
$ a t z 17, 17'. I n jeder den Axiomen x ~ ~ 6~ u n d 7 ~ geniigenden S t r u k t u r f o l g t aus a < b die Existenz u n d eindeutige B e s t i m m t h e i t der komplement~iren Somen beider Arten, u n d zwar ist
b - - a = a ' b u n d a : b = a + b'. ~
Umgekehr~ f o l g t aus den Axiomen x~ ~ 6~ u n d 7~, auch Axiom 7~ m a n n e h m e n u r in A x i o m 7~ a ~ c u n d b ~ I.
Die Axiomensysteme I~ ~ 6 ~ 7 ~ und I~ ~ 6 ~ 7~ sind somit 5quivalent.
A x i o m 6~: Aus a l b = o u n d a2b : o f o l g t (a 1 + a~)b : o.
S a t z 18. I n einer S t r u k t u r m i t den A x i o m e n I ~ ~ 6~ u n d 7~ f o l g t aus c < a + b, u n d c u n d b e i n a n d e r fremd, dass c ~ a. 8
Die Axiomensysteme I ~ ~ 6~ 7~ und I ~ ~ 6~, 7~ sind 5quivaleut," somit auch die aus diesen durch Hinzufiiguug yon Axiom 5 ~ entstehe~den Systeme.
B e w e i s . B e t r a c h t e n wir eine Struktur, in welcher die Axiome I ~ ~ 7~ gelten. Es ist u n m i t t e l b a r klar, dass d a n n Axiom 6~ erfiillt ist, sobald dies m i t Axiom 6~ der Fall ist.
N e h m e n wir u m g e k e h r t an, dass A x i o m 6~ erfiillt sei. Fiir die willkfirlich g e w s Somen a, b u n d c ist d a n n
E i n Beispiel yon GL1VENKO, ]oc. cit. S. 4 I53, S. I6, erffillt die Axiome I ~ ~ 7 ~ das weiter u n t e n folgende Axiom 6~, dagegen nicht die Axiome 6 ~ und 7~. Der projektive Raum (siehe GLIVENKO, ]oc. cir., S. 7, I4 u. 33) liefert ein Beispiel einer Struktur, welche die Axiome I ~ ~ und 7~, dagegen n i c h t die Axiome 6 ~ 6~ erffillt. Jedes der Axiome 50 , 6~, 7~ isr yon den
andern und den Axiomen I~ ~ unabh~ngig.
Siehe loc. cit. S. 4 I33, S. 24, 54, 35. Die eindeutige B e s t i m m t h e i t yon b--a, falls es ein derartiges Soma gibt, folgt schon aus den Axiomen I ~ ~ 6~
s Zum Beweise vergleiche man loc. cit. S. 3 133, erstes Zitat, S. 37.
a c < a ~ a + b und b c < b ~ a + b , somit auch
(,)
D a n e b e n is~
somit auch (2)
Aus (I) und (2) folgt (3)
a c + b c < a + b . a c < c u n d b c < c ,
a c + b c ~ c .
ac + bc < (a + b)c.
N a c h Axiom 7~ gibt es Somen a - - a c und b - - b e , und es is~
(4) a c + b e + ( a - - a c ) + ( b - - b c ) = a + b.
a - - a c is~ fremd zu ac, somit ( a - - a c ) a c = o oder auch {(a--ac)a} c : ( a - - a c ) c = o . D a ebenso ( b - b c)c = o ist, folgt mit Axiom 6~
(5) { ( a - - a c ) + ( b - - b c ) } e = o . Aus (5) und (a -F b) c < c folgt nach Satz 15
(6) {(. - a e) + (b - b e)}. (a + ~) e = o.
D a ( a + b) c < a + b, folgt, nach Satz I8, aus (4) und (6)
(7) (a + b)e < a e + be.
(3) und (7) liefern die in Axiom 6 ~ e n t h a l t e n e B e h a u p t u n g .
Satz 18'. I n einer S t r u k t u r mit deu Axiomen I~ , 60, 70 folg~ aus a b < c, u n d c und b einander erg~nzend, dass a < c.
S a t z 19, 10'. I n einer den Axiomen I~ ~ 6 ~ 7 ~ geniigenden S t r u k t u r ist i m m e r (c')' = e.
S a t z 20, 9.0'. I n einer den Axiomen I ~ ~ 60, 7 ~ geni~genden S~ruktur
I ~ ~ 60, 70 geniigenden S t r u k t u r
(a b ) ' = a' + b'.
folgt aus a ~ b i m m e r b' ~ a'.
S a t z 21, 21'. I n einer den Axiomen gilt fiir jedes S o m e n p a a r a, b:
(a + b)' = a ' b ' und
S a t z 22. Geniigt eine S t r u k t u r S den Axiomen I ~ ~ 6~ (oder 6~ 7~, jedoch nicht den Axiom 5o, 1 so l~sst sich diese S t r u k t u r durch tIinzuffigung
t Beispiel: Die S t r u k t u r , deren Somen die leere Menge u n d die a u s endlich vielen P u n k t e n a u f g e b a u t e n T e i l m e n g e n eines u n e n d l i c h viele P u n k t e e n t h a l t e n d e n , a b s t r a k t e n R a u m e s sind u n d in welcher a ~ b b e d e u t e t ,,a ist T e i l m e n g e yon be,.
140 J. R i d d e r .
y o n S o m e n d e r a r t i g e r w e i t e r n zu e i n e r d e n A x i o m e n I ~ ~ ~o 6.~, 7~, o d e r , w a s a u f d a s s e l b e h i n a u s k o m m t , d e n A x i o m e n I ~ 1 7 6 5 ~ 6~, 7~ g e n i i g e n d e n S t r u k t u r
~ , d a s s d a b e i d i e R e l a t i o n e n z w i s e h e n d e n u r s p r i i n g l i c h e n S o m e n u n g e ~ i n d e r t b l e i b e n .
B e w e i s . J e d e m S o m a c y o n S f i i g e m a n d a s n e u o S o m a ~ h i n z u ; s t a r t s c h r e i b e m a n I. E s sei a < 6 d a n n u n d n u r d a n n , w e n n i n S a c = o i s t ; e s s e i 6~ ~ 6~ d a n n u n d n u r d a n n , w e n n i n S c~ < c~ g i l t ; 6 < a s o l l n i c h t v o r k o m m e n . I n s b e s o n d e r e i s t n u n o < 6 < I u n d o < c ~ I. D a s A x i o m I ~ i s t e r f f i l l t ~ ; e b e n s o d i e A x i o m e 4 0 u n d 5 0 .
E s i s t i m m e r m S g l i c h P r o d u k t e a n d S u m m e n , i n w e l c h e n d i e n e u e n S o m e n v o r k o m m e n , d e r a r t i g e i n z u f i i h r e n , d a s s a u c h d i e A x i o m e 2 o u n d 3 o i n ~ e r f i i l l t s i n d ; m a n w i t h l e : a b = [J a = a - - a b; (t [~ -= a + b; d a n e b e n a + [~ ~ - [~ + a = b - - a b;
F f i r S o m e n a u n d b, w e l c h e zu S g e h S r e n u n d m i t a < b, sei b - - a d a s s e l b e S o m e w i e i n d e r S t r u k t u r S ; w e i t e r sei i n :~ t ~ - - a = a + b , f a l l s a < b, u n d - - ~ = a - - b , f a l l s ~ < b ; ~ < b k a n n , n a c h A n n a h m e , n i c h t v o r k o m m e n ; d a s A x i o m 7~, i s t i n ~ e r f i i l l t .
S c h l i e s s l i c h l ~ s s t s i c h d i e G i i l t i g k e i t y o n A x i o m 6~ b e w e i s e n ; s e e h s F K l l e l a s s e n s i e h d a b e i u n t e r s c h e i d e n ? N e h m e n w i r z . B . d e n F a l l : ~ b = o, a~ b = o.
D a n n i s t
(8) (~1 + a~) b = a~ - - a I a2" b = b - - b ( a l - - a , a~).
A u s a l b = o f o l g ~ b - a~b = o ; a l s o is~
( b - - a l b ) + a l b = b o d e r a l b = b o d e r b ( a 1 A u s a.~ b = o f o l g t
N a e h S a t z I 8 i s t s o m i t b < a ~ A u s (8) f o l g t d a d u r e h
- ~ a j a.~ + ( a 1 - - a I a,,).
(al a~) b = o.
- - a l a ~ o d e r b ( a l - - a l a ~ ) = b .
(al 4- a ~ ) b ~ - b - - b ~ o .
z Die Relation a ( b zwischen zwei Somen yon S bleibe in ~ ungeiindert.
Fiir zwei Somen a und b yon S sei a + b dasselbe Soma in ,9 und in ~ ; das gleiche gelte fiir ab.
s Von diesen fallen die beiden: d ~ b = a ~ b = o und d t b ~ 5 . . , b ~ o fort. Denn dann miisste a l + b = o , also ein nenes Soma gleich einem Soma yon S sein, was nicht der Fall ist (siehe den Anfang des Beweises).
w 2 Definition und Eigensehaften des beschr~nkt additiven Masses.
W i r b e t r a c h t e n eine S t r u k t u r S, welcbe den A x i o m e ~ I ~ ~ 6~, 7~ geniigt.
Fiir jedes S o m a x y o n S sei ei ne (reellwertige) Somenfit~ktio,n m ~ definiert.
D e f i n i t i o n . E i n S o m a a heisse m ~ (x)-messbar oder messbar in bezug a u f m ~ (x), wenn fiir jedes Soma w, m i t m~ endlich
m ~ (w) = a) + O(w - w a)
ist.
Die B e d i n g u n g i m p l i z i e r t die E n d l i c h k e i t yon m ~ u n d yon m ~ a).
W ~ r e i m m e r m ~ ~ + 0r o d e r - - ~ , so f o l g t e d a r a u s M e s s b a r k e i t eines j e d e n Somas, o h n e dass es m5glich w~ire etwas weiteres zu finden; wir schliessen d a t u m diesen Fall aus. E b e n s o den Fail, in welchem i m m e r m ~ o w~re;
auch d a n n f o l g t e die M e s s b a r k e i t eines j e d e n Somas. Also:
A x i o m I ~. N i c h t i m m e r ist m ~ (x) = o ; ~icht i m m e r ist m ~ (x) = + or oder - - ~ . A u c h n e h m e n wit an:
A x i o m II. D a s leere Soma ist m ~ (x)-messbar.
S a t z 9.3. m ~
U m g e k e h r t f o l g t das A x i o m I I aus dem p o s t u l i e r t e n Satz 23.
Es liegt a u f der H a n d zu f o r d e r n :
A x i o m III. A u s a ~ b f b l g t i m m e r m ~ (a) < m ~ (b).
S a t z 24. F i i r jedes Soma a ist m ~ >= o.
Es w~tre n u n n o c h mSglich, dass m ~ e n t w e d e r N u l l oder + ~r w~ire ohne identisch N u l l o d e r identisch + ~r zu sein; auch d a n n wfire jedes S o m a messbar.
Um diesen F a l l auszuschliessen iindern wir das A x i o m I a ab u n d f o r d e r n : A x i o m P . E s gibt ein Soma w mit m ~ (w) e~Tdlich u m t ~ o.
Jedes der A x i o m e I t~. H u n d I I I ist yon den iibrigen u~abhd'ngig.
S a t z 25. D i e m~ Somen ei~er den A x i o m e n I ~ ~ 6~, 7~ ge- niigenden S t r u k t u r bilden ei~en R i n g , d . h . S u m m e und P r o d u k t yon je zwei
m~ S o m e n sind m~
B e w e i s . a u n d b seien m~ Aus der m~ yon a
folg~ bei willkiirlich gew/ihltem S o m a w, m i t m~ e n d l i c h :
(9) m ~ b ) } = m ~ § b) a} + m ~ b ) - - w ( a + b) a}.
D a a + b = a + {a b + (b - - a b)}
142 J. Ridder.
ist, l~sst sich schreiben:
(IO)
w ( a + b ) = w a a + w a b + w ( b - - a b ) - ~ w a ( a + b ) + w ( b - - a b ) .
D a n e b e n ist(Ii) w a ( a + b ) • 2 1 5
Aus (Io) u n d ( i i ) f o l g tw o d u r c h (9) sich ~tndern lgsst in:
(12) m ~ {w (a + b)} ---~ m ~ + m ~ {w(b - - a b)}.
W e g e n tier m ~ (x)-3lessbarkeit y o n b iS~
( I 3 ) m~ w~) = m~ w~)b} + m~ w ~ ) - ( w - wa)b}.
Es ist
w b - ~ w a b + ( w - - w a ) b
u n dw a b . ( w - - w a ) b - ~ - o ,
alsow b - - w a b = (w-- wa)b,
u n d somit auchw b - - w a b = ( b - - a b ) w .
W i r e r h a l t e n(I4) (w -- ~r a) b = (b - - a b) w.
W e i t e r ist
o d e r
w = w ~ + w (b - ~ b) + { w - w (~ + b)}.
w a
ist f r e m d zu j e d e r der b e i d e n l e t z t e n Somen, also auch zu i h r e r Summe.D a d u r c h f o l g t :
(I5) w--- w a - = w ( b - - ab) + {w-- w(a +
b)}.I n (I5) sind die beiden l e t z t e n S o m e n e i n a n d e r f r e m d , w o d u r e h
(~6)
is~.
(~7)
(w - - w ~) - - ,~ ( b - ~ b) = w - - ,~ (~ + b)
A u s ( I 3 ) , ( r 4 ) u n d ( I 6 ) folgt;
~ o (,~ _ ~,~.) = ~ o {,,, (b - - . ~,)} + ,no {,,~ _ ~ ( . + b)}.
S u b s t i t u t i o n des aus (I7) f o l g e n d e n W e r t e s yon m ~ { w ( b - a b)} in (I2) l i e f e r t
oder, wegen tier m~ yon a,
m ~ ~ b)} + m ~ + b)}.
A u c h a + b ist somit m ~ (x)-messbar.
Ebenso l~sst sich beweisen, class ab m~ ist. l
S a t z 26. Die m~ Somen einer den Axiomen I ~ ~ 6g, 7~ ge- niigenden Struktur bilden einen K&Ter; das soll heissen: fiir je zwei m~ - b a r e n Somen, a u n d b, sind ihre S u m m e u n d i h r P r o d u k t m~ und, falls a < b oder b ~ a, auch ihre k o m p l e m e n t ~ r e n S o m e n beider Arten.
B e w e i s . W i r b r a u c h e n n u r n o c h zu zeigen, dass aus a ~ b u n d der m ~ M e s s b a r k e i t yon a u n d b folgt, dass b - - a u n d a : b m ~ sin& Es ist
b - a = b ( ~ - - a ) ~ n a ~ : b = ( o : b ) + a .
S o m i t wird es geniigen zu zeigen, dass a' = I - - a -= o : a m ~ (x)-messbar ist. D a z u muss fiir jedes w, m i t m~ endlich,
m ~ (w) = ~ o (w ~') + m ~ (w - - ~
~')
oder, in a n d e r e r F o r m ~,
~ o (~) = m o ( ~ _ w ~) + ~ o (w
~)
sein; a b e r das ist die B e d i n g u n g fiir die m~ yon a selbst.
K o r o l l a r . I n einer den Axiomen I~ ~ 6~, 7~ geuiigenden Struktur ist das grSsste Soma I m~
D e n n n a c h A x i o m I I ist das leere S o m a m ~ u n d es ist o'~-- I.
Fiir die G r u p p e der S~tze, welche sich ausschliesslich aus den A x i o m e n I ~ ~ 6~, 7g u n d Satz 26 ableiten lassen, grit wieder das zweite Dualit~ts- prinzip.
S a t z 2~/. ~'iir die Somen einer Struktur S, welche den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~ geniigt, sei ei~e Somenfunktion m ~ (x) definiert, welche die Axiome I b, II, I l l erfidlt. ~Es ist mSglich die Struktur S dutch HinzuJ~igung yon Somen derartig zu
1 Vergl. loc. cir. I S. I3I , zweites Zitat, S. 248, 249.
Es ist wa'=w(I--a)=w. I--wa, und w--wa'=w--w(I--a)=w--(w--wa):wa.
(i8)
ist.
144 J. Ridder.
erweitern zu einer den Axiome~z i ~ ~ 6~, 7~ gem;igenden Struktur 2~ und dabei fiir die neuen Somen m~ derartig zu definieren, dass: a) die Strukturrelationen zwischen den urspriingliche~ Somen ungeh)~dert bleiben, fl) m ~ (x) in 2~ die Axiome I ~, II, I I [ e~fiillt, und: 7) die zu S geh6renden und in der neuen Slruktur 2~ m~
messbaren Somen zusammenfallen mit den zu S gehSrenden und in S m ~ (x)-messbaren Some~2.
B o w e l s . Die im Beweise von Satz 22 eingefiihrte E r w e i t e r u n g :~ yon S geniigt s c h o n d e r B e d i n g u n g a). W i r w e r d e n zeigen, dass auch g) u n d 7) erfiillt sind, wenn m a n ftir jedes Soma c yon S
m~ = obere Grenze von m ~ fiir alle a E S, m i t a < ~t
n i m m t . O h n e Miihe l~sst sich beweisen 2, dass m~ in ~ die Axiome I h, I I , I I I erfiillt.
Es sei a s S u n d a m ~ in S. D a n n wird a auch in Z m ~ sein, wenn fiir jedes 5, m i t m ~ (~) endlich,
~ o (~) =
.~0 (~ ~)
+ ~ o (~ _ ~~)
Bei willkiirlich p o s i t i v e m V gibt es ein wl s m i t w 1 < ~ u n d o ~ m ~ ~
a ist m~ in S; also ist
,~~
(w,) = m ~ ( ~ l a ) , ,~o (,~, _ w l a).W i r finden
m ~ ( r - v < mo (w~) _-< mo
(~ ~) + ~o (~
_ ~a)
oder, da ~ willkiirlich positiv ist,
(I 9) m ~ (~) ~ m ~ (e a) + m ~ (e -- e a).
Bei positivem V gibt es auch S o m e n w~, ws E S m i t
D a e a u n d e - - e a e i n a n d e r f r e m d sind, ist aueh
w~ w S = O,
A u s s e r d e m gilt
w~-~ w s < e .
1 S i e h e d i e E i n f i i h r u n g y o n ~ i m B e w e i s e d e s S a t z e s 22.
S i e h e d a b e i d e n e r s t e n A b s a t z d e s B e w e i s e s y o n S a t z 22,
Da weiter a in S m ~ (x)-messbar u n d w~ a < (5 - - ~ a) a ~ (~ - - ~ a). ~ a = o ist, f o l g t m~ :--- m ~ + ~ ) = m ~ I(~,~ + ~ ) " } + ,~o l("'-~ + ~ ) - ( ~ + ~,~) a}
= ~ o ( ~ a) + m ~ {(~'~ + ~ ) - ~ a}
= .~o ( ~ ) + , , o ( ~ )
> m ~ (~.) + m ~ (~ - ~ a) -- ~, oder, bei ~ -~ o,
(~o)
(19) u n d (20) l i e f e r n (I8).
D a es sofor~ klar
,~o (~) _> mo (~ a) + .~o ( ~ _ ~ a).
ist, dass aus m~ yon a in ~ f o l g t m~ - Messbarkeit yon a in S, ist auch die B e h a u p t u n g 7) bewiesen.
Aus den S~tzen 26 u n d 27 f o l g t eine E r w e i t e r u n g yon Satz 25:
S a t z 28. _Fiir die Somen einer Struktur S, welche den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~ geniigt, sei else Somenfitnktion m ~ (x) definiert, welche die Axiome I b, I f , I I I erfiillt. Dann bilden die m~ Someu yon S eineu KSrper; das soll heissen: ftir je zwei m~ Somen, a u n d b, sind ihre S u m m e u n d ihr P r o d u k t m ~ und, falls a ~ b oder b < a, auch ihr komplement~ires S o m a e r s t e r Art, b - - a bzw. a - - b .
w 3- S a t z 29. S geniige den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~; die SomenfunktioJ~ m~
geniige in S den Axiomen I b, IY, I I I . Ist damon a ein m~ u~d b ein beliebiges Soma, mit m~ endlich, so ge~ffigt m~ der Relation
.~o (a + b) = ,n ~ (a) + m ~ (b) - - .,o (a ~).
D e r Beweis verl~uft wie beim J o r d a n s c h e n Mass in einem E u k l i d i s c h e n R a u m e . K o r o l l a r . S, m~ seien defi~iert wie in Satz 29. Sind a m~d b, mit a < b, m~ u~d ist m ~ (b) endlich, so gilt
m O ( b - a ) = m O ( b ) - YI~ O(a). 1
I n tier Euklidischen Ebene bilden die beschriinkten Teilmengen (x) eine den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~ geniigende S t r u k t u r S, falls
a ~ b
b e d e u t e t,a
ist Teilmenge yon b,,, Bei willkiir- lich p o s i t i v e m ~ a n d eiaem Soma x yon S b e t r a c h t e n wir eine endliche A n z a h l yon geradlinigen Segmenten [Pj,Qj] ~j=I, 2 ... n),
m i t den E n d p u n k t e n(Pj), (Qj),
zu deren jedem eine positive ZahlOj<e
gehSrt, derart, dass es zu jedem P u n k t e R des Somas x ein Segment [PJ(R),Qj(R)]
gibt,das einen P a n k t e n t h ~ l t m i t A b s t a n d zu R k l e i n e r als 0j(R)- Bilden wir d a n n die Summe
n
Z ( P j Qj+
2pj), wobei P jQj
der A b s t a n d yonPj
a n dQj
ist, und n e h m e n wit bei festem e die j = l10
146 J. Ridder.
w 4. D e f i n i t i o n . F~ir jedes S o m a a, m i t m~ endlich, zu w e l e h e m es ein m~ S o m a b m i t a < b und m ~ gibt, lege m a n der zu m~
adjungierten F u n k t i o n "~o(X) den W e r t
bei. Fiir jedes S o m a a mit m ~ sei a u c h mo(a ) = + ~ .
S a t z 30. D u t c h obige Definition ist in einer den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~ ge-
~ffigenden Struktur S die zu einer Some,funktion m~ u, elehe die Axiome I b, I f , I I I e;fiillt, hdjungierte _Funktion n~o(x ) eindeutig bestimmt fiir alle Semen, fiir die sie existiert.
B e w e i s . I s t mo(a ) endlich u n d gibt es m e h r e r e S e m e n (b) wie in obiger Definition, so muss bewiesen werden, dass (2I) n i c h t yon der W a h l yon b abhfingt.
Es wird genfigen dies zu t u n fiir zwei d e r a r t i g e S e m e n bl, b~ m i t b~ < be. An- w e n d u n g yon Satz 29 u n d des zugehSrigen K o r o l l a r s l i e f e r t
,,,to ([92) _ hie (b$ - - a) = {~q~o (b] - - hi) -q- T/~ ~ (bt)} - - {Tn ~ (b2 - - h i ) ~- ,,~o (b I _ a)};
d a r a u s f o l g t die B e h a u p t u n g .
A x i o m IV. Z u jedem Soma a m i t m ~ (a) endlieh gibt es ein m ~ (x)-messbares Soma b m i t a < b und m~ ebe,falls endlieh.
A x i o m I I ist eine Folgerung arts den A x i o m e , 1 ~ und I V . D e n n n a c h A x i o m I b gibt es ein Som~ c mit m ~ endlich u n d ~ o. N a c h A x i o m I V g i b t es somit a u c h ein m~ S o m a d mit m~ endlich. D a d u r c h muss
m o (d) = (d d) + ,,o (d - - d d), also
= o
sein; die leere M e n g e o ist m~
u n t e r e G r e n z e g (x; 8) a l l e r d e r a r t i g e n S u m m e n , so definiere der ( i m m e r e x i s t i e r e a d e ) e n d l i c h e o d e r t m e n d l i c h e G r e n z w e r t lira g ( x ; e) die S o m e n f u n k t i o n m~ Diese erffillt d a n n die A x i o m e I b, I I ,
e ~ 0
I I I u n d f i i h r t s o m i t z u e i n e m K 5 r p e r y o n m ~ M e n g e n . O b g l e i c h fiir j e d e s S e g m e n t [P, Q] m ~ Q]} = P Q ist, i s t s c h o n e i n e solche M e n g e n i c h t m e h r m ~ N i m m t m a n d a g e g e n die y o n a l l e n T e i l m e n g e n d e r E b e n e g e b i l d e t e S t r u k t u r u n d h a t d a b e i a < b die g l e i e h e B e d e u t u n g wie o b e n , so e r f i i l l t d i e s e S t r u k t u r die A x i o m e I ~ 20 , 30 , 40 , 50 , 6~, 7~ (siehe w 7).
) [ n d e r t m a n d a n e b e n die D e f i n i t i o n yon m ~ d a d u r c h ab, d a s s a u c h S u m m e n E ( P j Qj+ 2 oj)mit
(j)
:~ b z ~ i h 1 b a r u n e n d 1 i c h v i e l e n G l i e d e r n z u g e l a s s e n w e r d e n , so erhttlt m a n e i n e n a - K 5 r p e r yon m ( x ) - m e s s h a r e n M e n g e n , w e l c h e die K l a s s e der r e k t i t i z i e r b a r e n J o r d a n - K n r v e n u m f a s s t ; die Lfinge o e i n e r d e r a r t i g e n K u r v e ftillt m i t i h r e m m ~ z u s a m m e n . S i e h e w 9; m a n v e r g l e i c h e a n c h S. SAKS, T h e o r y of t h e i n t e g r a l , 2 e Allfl. (I937) , S. 53 u. 52.
Dagegen ist jede8 der Axiome Ib, I I I m~d I V yon den iibrigen unabhdngig.
Die S t r u k t u r S, deren Somen die Teilmengen des abgeschlossenen Intervalls [o, I] sind, geniigt den Axiomen I ~ ~ 68, 7~. E sei eine Teilmenge yon [o, I], nicht messbar im Lebesgueschen Sinne. Fiir jede Teilmenge H yon [o, I], welche E nicht ganz umfasst, sei m~ gleich ihrem iiusseren Lebesgueschen Mass;
auch m~ sei gleich dem ~iusseren Lebesgueschen Mass von E ; fiir alle iibrigen Teilmengen (X) sei m ~ D a n n ist E auch nicht m~ das Axiom I V ist nicht erfiillt (jede E umfassende, m~ Menge hat das m~ ~r dagegen wohl die Axiome P , ([I) und I I I .
W i r b e t r a c h t e n ein zwei~es Beispiel. rn ~ sei gleich dem iiusseren Lebes- gueschen Mass yon X, falls X zum abgeschlossenen Intervall 11 [o =< x =< 89 ge- hSrt, und gleich dem entgegengesetzten W e r t e des ~usseren Lebesgueschen Masses yon X, fails X zum halboffenen I n t e r v a l l T~ [~ < x ~ I], gehSrt; schliessllch sei m ~ (o) : o und sei m ~ (X) gleich m ~ + m ~ (X./2), falls X sowohl mit Ij wie mit Ie P u n k t e gemein hat. D a n n geniigt m~ den Axiomen I b und IV, jedoch nicht dem Axiom I [ I . 1
G i b t man schliesslich m ~ fiir alle Teilmengen yon [o, I] den W e r t :Null, so sind die Axiome l I I und I V erfiillt, dagegen nicht das Axiom P .
S a t z 31. S geTdige den Ax~omen i ~ ~ 6~, 7"~, m~ den Axiomen I ~, II1, I V . Dann geniigt die zu m~ adjungierte Some~funktio, mo(X ) ebenfalls den Axiomen f', l l i und IV. Jedes m ~ (x)-messbare Soma ist auch m o (x)-messbar, m~d un~gekehrt;
fib" jedes aerartoe Soma a ist m~ Die zu n,o(x) cuOungierte Fu,ktio~
(mo)o(x) fdltt mit m ~ (x) z usamme~G wir kSnnen somit sagen: m ~ (x) und ~% (x)sind zueinander adjungiert.
B e w e i s . Man zeigt leicht, dass mo(x ) die Axiome P , I I und I I [ erfiillt.
Ist a m~ so ist ffir jedes Soma w mit m~ endlich ( ~ ) .,o (.,) = mo (w ~) + ~ o (,~ _ ,~. a).
a wird mo(x)-messbar sein, falls fiir jedes v mit mo(V ) endlich -,o (~) = .~o (~ ~) + "~o (~ - ~ ~)
folgt die Existenz eines m ~ Somas u mit (23)
ist. Aus mo(V ) endlich v < u, m~ endlich und
(24) "~o (v) = ,~o (,) _ ,~o (u - v).
1 Siehe auch das in w 5 gegebene BeispieL
148 J. Ridder.
Es sind a u c h u a u n d u - u a m~ w o d u r c h n o (v a) = m ~ (u a) - - m ~ (u a - v a) u n d
mo(v -- v a ) = m ~ u a ) - - m ~ {(u - - u a) -- ( v - - va)}
is~. S t a r t (23) l~isst sich s o m i t s c h r e i b e n
~O(u) - ~ 0 (u - v) = ~ o (. ~) _ ~ o (u a - , ~) + m o ( u - u ~ ) - mo { ( u - u a) - ( , - v a ) } o d e r auch, w e g e n d e r m ~ (x)-])Iessbarkeit y o n a u n d u,
~ ~ v) - m O { ( ~ _ , ) ~ } + n o { ( ~ _ v) - (u - v ) ~ } . D i e s f o l g t j e d o c h a u s (22) m i t w - ~ u - - v ; a ist a u c h mo(x)-messbar.
I s t a u s s e r d e m
mo(a )
endlich, so l~sst sich in (24) v = u - - a n e h m e n , u n d m a n erh~.l~(25) mo (~) = ~ o (~);
ist
no(a)
unendlieh, so g i l t dasselbe y o nm~
u n d m a n h a t w i e d e r (25).D i e zu
mo(X )
a d j u n g i e r t e F u n k t i o n (no)o(X) l~isst sich fiir ]edes S o m a ein- d e u t i g b e s t i m m e n . I s tmo(c )
endlich fiir das S o m a c, so g i b t es ein m~ - b a r e s S o m a d m i t c < d u n d m ~ endlich, u n d es ist"~o (e) - - ,,o (d) - - m ~ (d - - e).
A u s d e m s c h o n B e w i e s e n e n folgt, dass d a u c h m o(x)-messbar ist, m i t
n o (d) = m ') (d).
(mo(X)
erfiillt das A x i o m IV). Somi~ l i e f e r t die D e f i n i t i o n d e r a d j u n g i e r ~ e n F u n k t i o n(,~o)o (~) = ,~o (d) - - ~ o (~ - c)
= ~o (d) - {~o (~) _ m o (~)} = .~o (~).
I s t mo(C ) ----~, so ist n a c h j e n e r D e f i n i t i o n (mo)o(C)= ~r A u c h
m~
gleich or u n d m a n h a t w i e d e r(mo)o (~) = ~ o (~).
D a (mo)o(X) m i t
m~
zusammenfifllt, i s t jedes m o (x)-messbare S o m a uuchm~ -
m e s s b a r .D a s iiussere ffordansche Mass der T e i l m e n g e n eines I n t e r v a l l e s im E u k l i d i s c h e n R a u m e i s t sowohl eine F u n k t i o n
m~
wie eine a d j u n g i e r t e F u n k t i o n n o ( X ) ( d e si n n e r e n J o r d a n s c h e n Masses); eine a n a l o g e B e m e r k n n g g i l t fiir d a s i n h e r e J o r - d a ~ s c h e M a s s j e n e r M e n g e n . Setzt m a n fiir die n i c h t b e s c h r i i n k t e n T e i l m e n g e n eines E u k l i d i s c h e n R a u m e s sowohl iiussers wie i n n e r e s J o r d a n s c h e s Mass gleich + ~ , so sind a u c h die so e r w e i t e r t e n i~usseren u n d i n n e r e a Masse a d j u n g i e r t e F u n k t i o n e n v o n e i n a n d e r .
w 5. A x i o m V. Fib" jedes Soma a mit m~ endlieh ist m ~ (a) gleich der untere~ Gre~ze der Werte m~ fiir alle m ~ (x)-messbaren Somen (~.) mit a < ~.
Da*" Axiom V ist u~abhdlzgig yon den Axiomen I b, I I I und I V , wie a u s e i n e m Beispiel y o n C a r a t h 6 o d o r y h e r v o r g e h t . 1
Axiom I V folgt aus Axiom V.
Jedes der Axiome I b, I I I und V ist vo~ den ~Tbrigen unabhdngig, wie aus d e m e r s t e n u n d d e m d r i t t e n Beispiel y o n w 4 u n d f o l g e n d e m Beispiel folgt. E i n R a u m e n t h a l t e n u r zwei P u n k t e A, B, u n d es sei m ~ m~ oo, m ~ ((B)) ~ m ~ ((A + B)) ~ I. I n d i e s e m Beispiel sind die A x i o m e I b u n d V erfiillt, d a g e g e n n i c h t das A x i o m I I I .
S a t z 3 2 . I n einer den Axiome~z I ~ ~ 6~, 7~ gem'igenden Struktur S e~'ille eine Somenfunktion m ~ (x) die Axiome I b, I I I und V. Dann ist fiir jedes Soma a, mit einem endlichen lVerte der zu m~ adjungierten Funktion mo (x), dieser end- lithe W e f t mo (a) gleich der oberen Gre~ze der Werte mo(~ ) fiir alle mo(x)-mess- bare~ Somen (:~) mit 2 < a.
B o w e l s . Aus m o(a) endlich f o l g t die E x i s t e n z eines m ~ S o m a s b, m i t a < b u n d m~ endlich; d a b e i ist
(26) m o (a) ~- m ~ (b) - - m ~ (b - - a).
N a e h A x i o m V ist
m ~ a ) = u n t e r e G r e n z e a l l e r m~ d e r j e n i g e n m ~
S o m e n (~), fiir die b - - a < ~, o d e r auch, n a c h A x i o m I ] I u n d S a t z 28,
= u n t e r e G r e n z e aller m ~ d e r j e n i g e n m ~
S o m e n (~), fiir die b - - a < 9 < b.
D a r a u s u n d a u s S a t z 31 u n d d e m K o r o l l a r v o n w 3 f o l g t , class sich s t a r t (26) s c h r e i b e n l~tsst
Siehe loc. cir. I S. 131, zweites Zitat, S. 363, 364; zu jeder Mellge A, mit v~(A) endlicb, gibt es eine A umfassende, offene und somit v~-messbare Menge B mit v~(B) endlich.
150 J. Ridder.
(27) too(a) = obere Grenze yon m 0 ( b - 2) fiir alle n~ o (x)-messbaren Somen (2) m i t b - - a ~ 2 ~ b . Aus b -- a ~ 2 u n d (b - - 2 ) . 2 = o folgt, nach Satz 15,
(b - a ) . (b - - 2 ) - o.
Dies u n d b - - 2 < b, b -= (b -- a) + a liefern, n a c h Sa~z 18, b - - ~ < a .
D a d u r c h l~sst sich stat~ (27) schreiben:
too(a) ~-obere Grenze aller m0(~)-Werte derjenigen mo(y)-messbaren
Somen (9) m i t ~ ~ a.
w 6. A x i o m V'. Fit)" jedes Soma a mit m~ endlich ist m~ gleich der oberen Grenze der Werte m ~ (~) fiir alle m ~ (x)-messbaren Somen (2) mit ~ ~ a.
Definition. I n einer den Axiomen I ~ ~ 6~, 7~, geniigenden S t r u k t u r S soll eine Somenfunk~ion eine dussere bzw. eine innere Somenfunktion g e n a n n t werden, wenn sie die Axiome lib, I I I , (IV) u n d V bzw. die Axiome I b, I I I , I V u n d V' erfiillt.
S a t z 33. I n einer den Axiomcn l ~ ~ 6~, 7~ geniigenden Struktur S ist die adjungierte Funktion einer dusseren Somenfio~tion eine innere Somenfunktion, uud umgekehrt.
Die erste Hiilffe is~ eine u n m i t t e l b a r e F o l g e r u n g aus den Siitzen 3/ u n d 32;
der Beweis der zweiten H ~ l f t e ist n u n evident.
Das Axiom V' ist unabhdngig yon den Axiomen I b, I I I und I V . Das zeig~
die in Fussn. I S. I49 g e n a n n t e , yon Carath6odory konstruierte F u n k t i o n rs(A ).
Die zu v.~(A) a d j u n g i e r t e F u n k t i o n erfiillt, nach Satz 3 I, die Axiome P , I I I und ]~V; sie k a n n jedoch das Axiom V' n i c h t erfiillen, da d a n n ihre a d j u n g i e r t e Funk- tion, d. h., n a c h Satz 3I, va(A ) selbst, das Axiom V erfiillen miisste, wie aus Satz 33 hervorgeht. Das ist d e n n o c h n i c h t der Fall.
Das Axiom I V ist unabhdngig .yon den Axiomen I ~, I I I und V'. A n d e r t m a n das erste Beispiel yon w 4 d e r a r t i g ab, dass iiberall ))inneres Lebesguesches Mass)) start ))/iusseres Lebesguesches Mass~) gelesen wird, so sind die Axiome P , I I , I I I u n d V' erfiillt, d a g e g e n nicht das Axiom IV.
Das Axiom I I I ist unabh(h~gig von den Axiomen I b, I V und V'. Man erh~ilt eln Beispiel, wenn m a n das Beispiel yon w 5 in folgender Weise ab~indert:
m ~ (o) = o, m ~ ((a)) = ~ , m ~ ((B~) = o, m ~ + B ) ) - - ~ .
Schliesslich zeigt das dritte Beispiel yon w 4, dass das A x i o m I b u,~abhlisgig ist von den Axiome,z I I I , I V u n d V'.
Die in w 4 betrachteten, erwei~erten ~iusseren und i n n e r e n J o r d ~ n s c h e n Masse sind i~ussere u u d innere S o m e n f u n k t i o n e n , welche zueinander adjungier~ sind.
Zu den E i g e n s c h a f t e n der i~usseren S o m e n f u n k t i o n e n lassen sich A n a l o g a fiir die i n n e r e n S o m e n f u n k t i o n e n formulieren (und umgekehrt); ist ein derartiges Analogon ebenfalls beweisbar, so verl~iuf~ sein Beweis analog an dem Beweise der urspriinglichen E i g e n s c h a f t oder es ist mSglich das A n a l o g o n in einfacher W e i s e aus der urspriinglichen E i g e n s c h a f t abzuleiten.
8 a t z 34, 34'. I,s,t fib" die ffussere Somenfit~ktiou m ~ (7~) m~ + b) endlich, so gilt
.t ~ (a +
~,) --<
m ~ (a) + m ~ (t,);ist f i b . die i , ~ e r e Some~fu,,ktion ~o(X) ,~o(a + b) endlich I u ~ d ist a b = o, so gilt .~o (a +
~) >--
mo (a) + "~o (b).B e w e i s . I s t , t ~ + b) endlich, so gibt es, nach den Axiomen I I I u n d V u n d Satz 28, F o l g e u yon m~ Somen, {xn} u n d {Yn}, m i t a < x~, b < y , , m ~ (xn § yn) endlich, m ~ (x,,) -§ m ~ (a) u n d m ~ (y,,) -~ m ~ (b) f i i r n --> r162 Aus a + b < x,~ + y,~ u n d m ~ + y~) endlich folff~, nach Axiom I I I u n d Satz 29,
.~o (a + b) <~ m ~ (x,, + .V.) = m ~ (x.) + .~o (g.) _ mo (~. y.), u n d daraus u n d aus Satz 24
~o (~ + ~) __< mo (~.) + m o (y.).
Dies wird fiir n ~ :
,no (a +
~) -<
~ o (a) + ~ o (b).Der Beweis der zweiten B e h a u p t u n g ergibt sich durch U m b i l d u n g des Vorigen.
S a t z 35. F i i r z w e i z u e i n a n d e r adju~gierte, iiussere u nd i n h e r e Somen]unk- tio~e~, m ~ (x) bzw. mo (x), gilt fib" j e d e s Soma a m i t m ~ (a) - - ode,', was auf dasselbe h i n a u s k o m m t , m i t m o (a) e~tdlieh die R e l a t i o n
(2s) ~ o (a) --<_ ~ o
(~).
[ s t m o (a) = ~ ode; i s t m ~ (a) = ~ , so s i n g beide Some,~fit,&tionen fi'ir a u~endlieh.
Diese Bedingung darf weggelassen werden.
152 J. Ridder.
B e w e i s . A u s d e r E n d l i c h k e i t y o n m ~ (a) o d e r m o (a) folgt, n a c h A x i o m I V u n d S a t z 3 I , die E x i s t e n z eines m ~ (x)- u n d m o (x)-messbaren S o m a s w m i t m ~ mo(W ) endlich. D a b e i ist
(g9) m0 (a) = m ~ (w) - - m ~ (w - - a).
D e r v o r i g e S a t z g i b t
(3o) ,~O(w ) =< ,~o (a) + mO (,~ _ a).
Aus (29) u n d (3 o) f o l g t (28).
S a t z 3 6 . Sind m~ u nd mo(X ) zueinander adjungierte, &~ssere bzw. in~ere Some,fu~ktion, so ist notwendig
oder too(a) endlich, m~ - oder, sei, dass
8e~. 1
und hinreichend, damit das Soma a, m i t m ~ (a) was a u f d a s s e l b e h i n a u s k o m m t , n~o(X)-messbar
B e w e i s . D i e N o t w e n d i g k e i ~ f o l g t aus S a t z 3 I.
D i e B e d i n g u n g ist a u c h h i n r e i c h e n d . N a c h d e n A x i o m e n I I I , V u n d V' g i b t es m ~ u n d m o(x)-messbare S o m e n (at) u n d (bk), k = I, 2, . . . , d e r a r t dass
(3 I) bk ( a ( ak, bk ( bk+l, ak+l ( ak, u n d lim mO(ak) : l i r a m O ( b k ) : m~ = mo(a ) ist; m~ u n d m~ d i i r f e a d a b e i fiir j e d e s k e n d [ i c h a n g e n o m m e n w e r d e n .
Bei w i l l k i i r l i c h e m w m i t m~ e n d l i c h ist d a n n ffir j e d e s k:
( 3 2 ) . z ~ = + m ~ - = m ~ + m ~ -
A u c h ist, n a c h A x i o m I I I , S a t z 34 u n d dem K o r o l l a r zu S a t z 29, fiir j e d e s k:
(33) o _--< ,~o (,~ ~ ) _ mO (~v bk) =< ,~o {~v (a~ _ b~.)} _--< ,~o (a~ _ b~) = m ~ (a~) -- ,~~ (t~.).
Aus (3I) u n d (33) f o l g t :
(34) lira m ~ (w at) = lim m ~ (w bk) ---- m ~ (w a),
k~ao k~oo
u n d d a m i t aus (32) u n d (3I):
(35) lira m ~ (w - - w ak)--- lira m ~ (w - - w b k ) = ~o (w - - w a).
k~co k ~
(32), (34) u n d (35) l i e f e r n sehliesslieh
I J e d e s S o m a a mi~ m~ i s t s o m i t m ~ dies b r a u c h t n i c h t m e h r w a h r zu s e i n , w e n n m~Ix) z w a r die A x i o m e I b, I I I u n d IV, j e d o c h n i c h t d a s A x i o m V erfiillt.
m ~ (~) = m ~ (w a) + m ~ (,~ - - ,~, a),
d. h. die m ~ y o n a.
W i r f i i g e n n o c h d i e f o l g e n d e n Si~tze h i n z u ~ :
S a t z 3 7 , 3 7 ' . Ist fiir die zuei~mnder adjungierten , ffussere and innere Somen- fm~ktionen m ~ (x), m o (x) und fiir die einander fi'emden Somen a u~d b m~ + b)
oder m o (a + b) endlich so gilt:
,.o (a + b) ~ too(a) + m ~ (b) <= ,,o(a + b).
S a t z 3 8 , 3 8 ' . Ist fiir die zueina,nder adjungierten, dussere and i~mere Somen- f , nktionen m ~ die Summe a + b vo~t eina~Mer fi'emden Somen a, b m~ - and m o (x)-messbar and ist m ~ (a + b) oder m o (a + b) endh'ch, so ist f i i r die m ~ (x)- und mo(X)-~/Iessbarkeit yon a und b notwendig , o d hi~reichend, dass ei~w der beiden
Gleichungen
~tnd e~fiillt sei.
S a t z 3 9 , 3 9 ' .
~ o (a + ~ ) = m ~ (.) + m ~ (b) mo (a + b ) = mo (a) + mo (b)
Sind m~ (x), mo (X) zueinander adjungierte, dussere bzw. innere Some~funktione~, so ist es zur m ~ (x)- und m o (x)-3lessbarkeit eines Somas a notwendig und hinreiche~d, dass entweder fffr jedes m ~ (x)-messbare Soma w m i t m ~ (w) e~dlich
(36) m ~ (w) = m ~ (w a) + m ~ (w - - w a), oder fiir jedes mo (x)-messbare Soma w mit m o (w) endlich (37) m o (w) - - mo (w a) + m o (w - - w a) sei. ~
S a t z 4 0 . Jedes nicht m~ und mo(X)-messbare Soma a enthdlt ein Teilsoma b mit m~ (and too(b) ) e n d l i c h , das nicht m~ - u n d mo(x)-messbar ist.
S a t z 41, 41'. S i n d die Somen bl, b 2 , . . . , bn einander fi'emd and m ~ (x)- und m o (x)-messbar, wobei m ~ (x), m o (x) zueinander adjungierte, 5ussere bzw.
1 Zum Beweise vergleiche man loc. cir. ! S. I3I , zweites Zitat, S. 263--268, 273, 274.
Man sieht sofort ein, dass (36) und (37) einander aequivalent sind; es geniigt somit den Bewei8 fiir eine yon beiden Bedingungen zu liefern.
154 J. Ridder.
i n n e r e S o m e n f i t n k t i o n e n s i n d , i s t w e i t e r ak < b~: (k = I, 2, . . . , ~ ) u n d i s t m ~ (b~ + + b,~ + . . . + bn) oder mo(b~ + b~ + . . . + b,,) e n d l i c h , so g i l t
m~ ("1 + "2 + ' " + an) = 'nO (al) + }9~~ ("~_) + " " + .~0 (an)
"~0("1 "~- a2 + " ' " - ~
"n)-- ~0("1)
-~ T~I0(a2) -4- . . . . ~ ~'0(an) .1w 7. D e f i n i t i o n e n u n d E i g e n s c h a f t e n yon S t r u k t u r e n (Fortsetzung).
Definition. Ein Som~ ~ aj wird S~omne der S o m e ~ f o l g e a~, a~, . . . , aj . . . . j ~ l
2
g e n a n n t , fMls: ~) jedes aj < ~', a~; fl) aus aj < b (j = ~, 2 , . . . ) folgt aj < b.
j = l j = l
S a t z 49.. t f a b e n die Somen der Folge a 1, a ~ , . . . , a j , . . , eine Summe, so ist diese eindeutig bestimm~.
A x i o m ~o: Zu jedem g e o r d n e t e n Somenpaar gibt es eine Summe; fiir jede Folge yon Somen: a~, a ~ , . . . , a j , . . , gibt es elne Summe Z a J " ~
(j)
Die S t r u k t u r , deren Somen die E l e m e n t e des projektiven l~aumes sind, ein leeres E l e m e n t u n d den R a u m einbegriffen, u n d bei der a < b b e d e u t e t >>a ist in b enthalten,), 3 geniigt den Axiomen I ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 7~ und 7~, dagegen n i c h t den Axiomen 6~, 6~ u n d u m s o m e h r n i c h t
u n d
: ~ ( . j t) = I), '
A x i o m 6~: aj .
j = l
A x i o m 6~: Aus a / b : o ( j - - I, 2 . . . . ) folgt a~" . b = o .
1 A u c h die T h e o r i e des beschriinkt- (ebenso wie die des total-) a d d i t i v e n Masses, in w e l c h e r d a s Mass auch n e g a t i v e W e r t e h a b e n k a n n , lfisst sich a u f S t r u k t u r e n iibertragen. V e r g l e i c h e J. RIDDER, F u n d . M a t h . 24(I935) , S. 73--87; die loc. cit. b e h a n d e l t e n T h e o r i e e n l a s s e n sich sogar in solcher W e i s e fibertragen, dass sie sich in i h r e r n e u e n F o r m d e n B e t r a c h t u n g e n u n s e r e r j e t z i g e n A r b e i t u n t e r o r d n e n .
Das A x i o m ~0 i s t unabh/~ngig yon d e n A x i o m e n I ~ ~ 6~ 7 ~ wie h e r v o r g e h t aus e i n e m Beispiel, das m a n erhitlt d u r c h E r w e i t e r u n g gemfiss Satz 22 eines bei O. HAUPT, Differential- u n d I n t e g r a l r e c h n u n g , I938 , B a n d I I I , S. 8 betri~chteten M e n g e n k S r p e r s .
8 Siehe loc. cir. 4 S. I33 , S. 7, I4 u. 33.
E s w i r d d e u t l i c h sein w i e m a n d i e S~tze 13, I 3 ' ~ b z u g n d e r n h a t bei B e t r a c h t u n g yon --o ..
S t r u k t u r e n n n d E r w e i t e r u n g e n dieser S t r u k t u r e n , w e l c h e d e n A x i o m e n I ~ 2 ~ ~o u u d 6a g e n u g e n bzw. genfigen solIen.
