Codis no lineals en Magma: construcci´o de codis perfectes

(1)

codis perfectes

Memòria del projecte de final de carrera corres- ponent als estudis d’Enginyeria Superior en In- formàtica presentat per Laura Vidal Mar´ın i diri- git per Mercè Villanueva Gay.

Bellaterra, juny de 2009

(2)

La firmant, Mercè Villanueva Gay, professora del Departament d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions de la Universitat Autòma de Barcelona CERTIFICA:

Que la present mem`oria ha sigut realitzada sota la seva direcci´o per Laura Vidal Mar´ın

Bellaterra, juny de 2009

Firmat: Merc`e Villanueva Gay

(3)

(4)

(5)

Agra¨ıments

Gràcies a la meva directora de projecte, Mercè Villanueva, aquest projecte ha tirat endavant. En tot moment m’ha guiat i ajudat, m’ha ensenyat el que calia saber per a poder treballar. I tot això ho ha fet amb la millor actitud i ganes; veritablement ha estat una directora de projecte immillorable.

També voldria agrair la participació d’en Jaume Pujol en aquest projecte, que em va proporcionar la seva ajuda amb la funció de Vasilev’ i va aportar idees per a millorar el rendiment d’algunes funcions.

Aprofitant que aquest projecte significa la conclusi´o de la carrera, agrair a totes les persones, companys, professors, amics i familiars que m’han acompa- nyat en aquest cam´ı llarg i dur, que han fet l’experi`encia millor i inoblidable.

A tots vosaltres, moltes gr`acies.

v

(6)

(7)

´ Index

1 Introducci´o 1

1.1 Objectius . . . 2

1.2 Contingut de la mem`oria . . . 3

2 Bases te`oriques 5 2.1 Codis correctors d’errors . . . 5

2.1.1 Dist`ancia m´ınima i pes m´ınim . . . 7

2.1.2 Capacitat correctora i radi de recobriment . . . 8

2.1.3 Codis lineals i codis no lineals . . . 9

2.1.4 Codis isomorfs i codis equivalents . . . 11

2.2 Rang i nucli d’un codi . . . 11

2.3 Classificaci´o i representaci´o de codis no lineals . . . 14

2.4 Codis perfectes . . . 16

2.4.1 Construccions de codis perfectes . . . 18

2.5 Teoria de dissenys . . . 20

2.5.1 Sistemes triples d’Steiner . . . 20

2.5.2 Sistemes qu`adruples d’Steiner . . . 21

2.5.3 Dissenys combinatoris . . . 21

2.5.4 Fragments . . . 22

2.5.5 Grup d’automorfismes . . . 23

3 Planificaci´o del projecte 25

vii

(8)

3.1 Objectius del projecte . . . 25

3.2 Estat de l’art . . . 27

3.3 Estudi de viabilitat . . . 28

3.3.1 Viabilitat t`ecnica . . . 28

3.3.2 Viabilitat operativa . . . 28

3.3.3 Viabilitat econ`omica . . . 29

3.3.4 Viabilitat legal . . . 29

3.3.5 Alternatives . . . 30

3.4 Planificaci´o temporal del treball . . . 30

4 Desenvolupament del projecte 35 4.1 Entorn de desenvolupament . . . 35

4.2 Implementaci´o del paquet BinaryPerfectCodes . . . 37

4.2.1 Construcci´o de codis binaris perfectes no lineals . . . . 38

4.2.2 C`alcul d’invariants de codis perfectes . . . 41

4.2.3 C`alculs amb paraules-codi . . . 41

4.3 Proves del paquet BinaryPerfectCodes . . . 44

5 Handbook of Magma functions 47 5.1 Introduction . . . 47

5.2 Construction of binary perfect codes . . . 48

5.3 Invariants of binary perfect codes . . . 52

5.4 Operations on codewords . . . 54

6 Resultats 57 6.1 Construcci´o de Vasil’ev . . . 57

6.2 Construcci´o doubling . . . 59

7 Conclusions 63 7.1 Assoliment d’objectius . . . 63

7.2 Conclusions . . . 64

7.3 L´ınies futures . . . 65 viii

(9)

A Paquet BinaryPerfectCodes 69

ix

(10)

(11)

´ Index de figures

2.1 Relaci´o entre el codi, elkernel i l’expansi´o lineal . . . 12

2.2 Representaci´o gr`afica d’un STS . . . 21

3.1 Planificaci´o temporal del projecte . . . 33

3.2 Planificaci´o real del projecte . . . 34 4.1 Graf de m´ınima dist`ancia d’un codi de Hamming de longitud 7. 43

xi

(12)

Cap´ıtol 1 Introducci´ o

Els codis correctors d’errors es poden classificar, segons les propietats alge- braiques de les seves paraules-codi, com a lineals o no lineals. Els codis lineals es poden expressar mitjan¸cant un subespai vectorial, una representació molt adient per a treballar amb ells en un ordinador, ja que permet representar un codi amb una cardinalitat considerable (és a dir, que està format per moltes paraules-codi) mitjan¸cant una base de vectors que pot generar qualsevol paraula del codi. Els codis no lineals, en canvi, no es poden representar mitjan¸cant subespais vectorials, sinó que cal emmagatzemar tot el conjunt de paraules-codi en memòria; per a codis grans, aquesta opció és inviable.

En aquest projecte treballarem amb codis correctors d’errors constru¨ıts sobre l’alfabet binari, ´es a dir, que les seves paraules-codi estan formades per zeros i uns.

Els codis també es poden caracteritzar segons la relació entre la seva capacitat correctora i el seu radi de recobriment: els codis perfectes són aquells tals que la seva capacitat correctora coincideix amb el seu radi de recobriment, és a dir, un codi que pot corregire errors i tal que qualsevol vector de la mateixa longitud que el codi estigui a una distància màxima d’e d’exactament una paraula-codi, és perfecte.

1

(13)

De codis perfectes n’hi ha de lineals i de no lineals. En aquest projecte ens centrarem en els codis binaris perfectes no lineals que poden corregir un error, anomenats 1-perfectes. Treballarem nom´es amb codis 1-perfectes perqu`e no existeixen codis binaris perfectes no lineals i no equivalents amb capacitat correctora major que 1.

Per tal de treballar amb codis no lineals amb un ordinador, existeix una re- presentació similar a la dels codis lineals per a minimitzar l’espai ocupat en memòria. Tots els codis, lineals o no, tenen un nucli (kernel) que sempre és lineal. Si coneixem el kernel d’un codi podem dividir-lo en dues parts: els vectors que formen part del kernel i els que no. Aquests darrers es poden partir en classes, i de cada classe s’escull un representant. Aix´ı, a partir dels representants escollits i delkernel es pot reconstruir el codi, tot i que no sigui lineal. Això ens permet, generalment, reduir les necessitats de memòria per a representar el codi. En el pitjor dels casos, si el kernel només conté una paraula-codi, haurem de guardar totes les paraules del codi. Aquesta repre- sentació dels codis no lineals s’anomena súper dual, i és una generalització del dual per a codis lineals.

En aquest projecte es desenvoluparà un paquet per a Magma que permeti construir codis binaris perfectes no lineals. La representació del súper dual amb Magma es va implementar en el paquet BinaryCodes, en el projecte [Ova08] el curs passat. Per tant, aprofitarem aquesta estructura a l’hora de representar els codis perfectes no lineals que es construiran amb el paquet BinaryPerfectCodes desenvolupat en aquest projecte.

1.1 Objectius

Els objectius que es van fixar a principi del projecte, i que s’han anat perfilant i ajustant al llarg del seu desenvolupament, han estat els seg¨uents:

1. Estudiar les bases te`oriques per a la realitzaci´o del projecte. La forma-

(14)

1.2. CONTINGUT DE LA MEM ÒRIA 3 ció espec´ıfica que s’ha fet ha estat general sobre codis no lineals, i més espec´ıficament sobre codis perfectes i algunes de les seves construccions.

2. Aprofitar propietats matem`atiques dels codis perfectes i dels codis no lineals per tal de poder construir codis perfectes de manera eficient.

3. Desenvolupar funcions que construeixin codis perfectes, funcions per a calcular invariants d’un codi i altres funcions de caire m´es general aplicables tant als codis no lineals qualssevol com als codis perfectes en particular.

4. Provar totes les funcions desenvolupades per tal de validar que funcio- nen correctament.

5. Escriure la documentaci´o, tant del propi paquet de funcions desenvolupat, com el cap´ıtol d’ajuda de Magma, incloent exemples.

6. Escriure la mem`oria del projecte.

1.2 Contingut de la mem` oria

Aquesta mem`oria es divideix en diversos cap´ıtols. A continuaci´o es descriu breument el contingut de cada cap´ıtol:

Cap´ıtol 2: Bases teòriques. Introducció al rerefons teòric del projecte.

S’estudia la teoria general de codis lineals i no lineals, propietats i construccions dels codis perfectes.

Cap´ıtol 3: Planificació del projecte. Explicació en detall dels objectius del projecte i de com han anat evolucionant al llarg del temps. També s’inclou la planificació temporal del projecte, contraposant la planifica- ció inicial amb la real, i la divisió del projecte en tasques i fites.

Cap´ıtol 4: Desenvolupament. Detalls sobre el proc´es de desenvolupament del package de Magma. Es descriuen quines eines i sistemes

(15)

s’han utilitzat i es discuteixen les decisions de disseny i implementaci´o que s’han pres al llarg del projecte.

Cap´ıtol 5: Handbook of Magma functions. Manual d’ajuda deMag- ma. Conté una llista de totes les funcions desenvolupades, amb una explicació per a cada funció i exemples. El cap´ıtol està escrit en anglès, ja que s’ha d’integrar amb el llibre d’ajuda deMagma.

Cap´ıtol 6: Conclusions i resultats. Resum dels resultats del projecte.

Estudi del comportament del paquetBinaryPerfectCodes.

Cap´ıtol 7: Conclusions. Revisi´o dels objectius del projecte, conclusions extretes a partir de la seva realitzaci´o i proposta de possibles millores a desenvolupar en futurs projectes.

Bibliografia.

Ap`endix. CD amb el codi font, proves, exemples i manual del package desenvolupat.

(16)

Cap´ıtol 2

Bases te` oriques

En aquest cap´ıtol es veur`a sobre quins fonaments te`orics es basa aquest projecte.

Els conceptes generals sobre codis s’han extret de [RH91], la representació de codis no lineals de [Hed08] i la introducció als codis perfectes està basada en les teories exposades a [Vil01]. Els conceptes bàsics de teoria de dissenys estan extrets de [Vil09].

Els exemples que il.lustren les definicions al llarg del cap´ıtol s’han realitzat ambMagma.

2.1 Codis correctors d’errors

Sigui F un cos finit. Siguin F^k i Fⁿ els espais vectorials definits sobre F de dimensió k i n, respectivament (i.e. el conjunt de tots els vectors de k (i n) coordenades sobre F, respectivament). Codificar significa transformar la informació (a₁, a₂,· · · , a_k) ∈ F^k en un vector (b₁, b₂,· · · , b_n) ∈ Fⁿ que anomenarem paraula-codi. Per tant, definim un codi C com la imatge d’una aplicació f : F^k → Fⁿ, és a dir, que transforma vectors de longitud k en vectors de longitud n: C =f(F^k)⊆Fⁿ.

5

(17)

Exemple 2.1 Codificaci´o d’un vector d’informaci´o

Suposem que tenim un codi C que transforma vectors de 4 coordenades en vectors de 8 coordenades. Aquest codi C el farem servir al llarg dels exemples dins d’aquest cap´ıtol.

Per exemple, el nostre codi C transforma el vector d’informaci´o (1 1 0 1) en la paraula-codi (1 1 0 1 1 0 0 0).

En aquest projecte es treballar`a amb codis binaris. SiguiZⁿ2 l’espai vectorial de dimensi´o n sobre el cos finit Z² =GF(2). Definim un codi binari com un subconjunt de Zⁿ2, els elements del qual s’anomenen paraules-codi.

Exemple 2.2 Conjunt de paraules-codi d’un codi

SiC ´es un codi, la comanda “Set(C)” deMagma ens retorna totes les paraules- codi d’un codi. Aquestes s´on les paraules-codi que formen el codi C.

> Set(C);

(1 0 1 1 1 1 1 1), (1 1 0 1 0 0 1 1), (0 0 0 0 0 0 0 0), (1 1 1 0 1 1 1 0), (0 0 1 1 1 1 0 1), (0 1 0 1 0 0 0 1), (0 1 1 0 1 1 0 0), (0 0 0 0 1 0 1 1),

(0 1 0 1 1 0 1 0), (0 0 1 1 0 1 1 0), (0 1 1 0 0 1 1 1), (1 0 0 0 1 0 0 1), (1 1 0 1 1 0 0 0), (1 0 1 1 0 1 0 0), (1 0 0 0 0 0 1 0), (1 1 1 0 0 1 0 1)

Suposem que volem enviar una paraula-codi a través d’un canal de comu- nicació digital. Seria d’esperar que a la sortida del canal hi trobéssim la mateixa paraula-codi, però en les comunicacions digitals es poden produir errors, que es traduiran en alteracions en les coordenades del vector rebut respecte a la paraula-codi enviada. Els codis correctors d’errors intro- dueixen redundància a les dades per tal que, en cas de produir-se errors, el receptor pugui corregir-los i obtenir la informació que s’havia enviat.

(18)

2.1. CODIS CORRECTORS D’ERRORS 7

2.1.1 Dist` ancia m´ınima i pes m´ınim

Definim ladist`ancia de Hammingentre dos vectors binarisx= (x₁,· · · , x_n), y= (y₁, y₂,· · · , y_n)∈Zⁿ2 com la quantitat de components diferents entre tots dos:

d_H(x, y) = #{i|1≤i≤n, x_i 6=y_i}.

La distància m´ınima de Hamming d d’un codi binari C és la menor de totes les distàncies entre cada parella de paraules-codi de C, és a dir: d = min{d_H(u, v)| u6=v, u, v ∈C}. Aix´ı, definim un codi binari (n, M, d) com un subconjunt deZⁿ2 amb cardinalitatM i distància m´ınima de Hammingd.

Exemple 2.3 Distància m´ınima de Hamming d’un codi La distància m´ınima del codi C és 2:

> MinimumDistance(C);

2

Ho podem provar mostrant les dist`ancies que hi ha entre totes les parelles de paraules codi diferents i buscant-ne el m´ınim:

> d := [Distance(u,v) : u,v in C | u ne v];

> d;

[ 2, 5, 3, 5, 5, 4, 4, 5, 7, 6, ..., 4, 3, 3, 2, 5, 3, 5, 2 ]

> Minimum(d);

2

Definim tamb´e el pes de Hamming d’un vector binari x ∈ Zⁿ2 com el nombre de components del vector diferents de 0, ´es a dir, w_H(x) =d_H(x,0).

Elpes m´ınim de Hammingd’un codi binari C ´es el pes de la paraula-codi de menor pes del codi: w= min{w_H(v)|v ∈C, v 6=0}.

Exemple 2.4 Pes m´ınim de Hamming d’un codi El pes m´ınim del codi C ´es 2:

(19)

> MinimumWeight(C);

2

Ho podem veure mitjan¸cant la distribuci´o de pesos del codi, que ens mostra per cada pes possible quantes paraules-codi hi ha. Excloent la paraula-codi zero, el menor pes possible ´es 2:

> WeightDistribution(C);

[ <0, 1>, <2, 1>, <3, 3>, <4, 5>, <5, 4>, <6, 1>, <7, 1> ]

2.1.2 Capacitat correctora i radi de recobriment

La capacitat correctora e d’un codi (n, M, d) dep`en de la seva dist`ancia m´ınima:

e=bd−1 2 c.

Podem pensar en un codi com un esquema on cada paraula-codi és el centre d’una esfera, i al seu voltant hi haurà tots els vectors que descodificarem com la paraula-codi donada. Aquestes esferes, de radi e, són disjuntes, però en general no recobreixen tot Fⁿ.

Anomenemradi de recobrimentd’un codi (n, M, d) al valorρ, definit com el m´ınim radi que han de tenir les esmentades esferes per tal de recobrir tot Fⁿ:

ρ= max

x∈Fⁿ

{minv∈C{d_H(x, v)}}, x∈Fⁿ, v ∈C.

La capacitat correctora del codi sempre ´es menor o igual que el radi de recobriment.

Exemple 2.5 Capacitat correctora i radi de recobriment d’un codi Calculem la capacitat correctora del codi C segons la seva dist`ancia m´ınima, calculada en l’exemple 2.3.

> e := Floor((MinimumDistance(C)-1)/2);

> e;

(20)

2.1. CODIS CORRECTORS D’ERRORS 9 0

Aix`o vol dir que el codi C no pot corregir cap error.

Calculem el radi de recobriment del nostre codi C (8,16,2):

> CoveringRadius(C);

2

Com veiem, la capacitat correctora e del codi ´es menor que el seu radi de recobriment.

2.1.3 Codis lineals i codis no lineals

Els codis binaris lineals s´on aquells que, a m´es de ser un subconjunt deZⁿ2

són un subespai vectorial. Tot codi binari lineal té una dimensió k com a subespai de Zⁿ2 i tindrem que la cardinalitat del codi és M = 2^k. Un codi binari lineal es denota per [n,2^k, d], per tant M = 2^k. Qualsevol codi lineal, per tant, contindrà la paraula 0. Els codis no lineals, en canvi, no són un subespai vectorial.

Definim la matriu generadora G d’un codi binari lineal com una matriu les files de la qual formen una base del codi com a subespai vectorial, i per tant ens permet generar qualsevol paraula-codi. La matriu generadora d’un codi binari lineal C [n,2^k, d] t´e n columnes i k files.

Donat un codi binari linealC[n,2^k, d] definim elcodi ortogonal(o eldual) a C com C^⊥ = {x ∈ Zⁿ2 | x·v = 0, ∀v ∈ C} (on “·” denota el producte escalar). Donat un codi binari lineal C [n,2^k, d] el seu codi ortogonal C^⊥ és també un codi binari lineal C^⊥ [n,2^n−k, d⁰]. Una propietat del codi dual és la següent: (C^⊥)^⊥ =C.

La matriu generadora H del dual C^⊥´es lamatriu de controldel codi C, i ens permet saber si un vector pertany al codi C, ja que els elements del codi s’anul.len en ser operats amb la matriu H. De la mateixa manera, la matriu

(21)

generadora G del codi C ´es la matriu de control del codi ortogonal o dual C^⊥. La matriu de control d’un codi binari lineal C [n,2^k, d] t´e n columnes i n−k files.

Els codis binaris lineals, doncs, pel fet de ser un subespai vectorial, es poden representar mitjan¸cant una base d’aquest subespai, és a dir, a partir de la matriu generadora. A l’hora de treballar amb codis en un ordinador, aquesta propietat resulta molt interessant, ja que és una representació molt compacta.

Suposem, per exemple, un codi de longitudn i cardinalitat M = 2^k:

• Si el codi ´es lineal, podem representar-lo mitjan¸cant una base de vectors (la matriu generadora), de manera que necessitarem emmagatzemar k vectors de n coordenades, ´es a dir,n×k valors.

• Si el codi ´es no lineal, haurem de guardar totes les seves paraules- codi, de manera que necessitarem emmagatzemarM = 2^k vectors den coordenades, ´es a dir,n×2^k valors.

Per an i M prou grans, els codis no lineals no els podrem emmagatzemar a memòria i per tant no hi podrem treballar. Tanmateix, més endavant veurem que si estudiem les propietats dels codis no lineals podrem, en alguns casos, trobar una representació més compacta per al codi.

Exemple 2.6 Matriu generadora i matriu de control d’un codi lineal

Comprovem que el codi C ´es lineal:

> IsLinear(C);

true

Podem conèixer més informació sobre el codi:

> C;

[8, 4, 2] Linear Code over GF(2) Generator matrix:

[1 0 0 0 0 0 1 0]

(22)

2.2. RANG I NUCLI D’UN CODI 11 [0 1 0 1 0 0 0 1]

[0 0 1 1 0 1 1 0]

[0 0 0 0 1 0 1 1]

Com ja hem calculat abans, veiem queCés un codi binari de longitud 8, dimensió 4 i distància m´ınima 2. Tot i que aquesta comanda ja ens mostra la matriu generadora, la podem calcular amb la comanda ”GeneratorMatrix(C)”. Calculem també la matriu de control amb la comanda ”ParityCheckMatrix(C)”:

> GeneratorMatrix(C);

[1 0 0 0 0 0 1 0]

[0 1 0 1 0 0 0 1]

[0 0 1 1 0 1 1 0]

[0 0 0 0 1 0 1 1]

> ParityCheckMatrix(C);

[1 0 0 0 1 1 1 0]

[0 1 0 0 1 0 0 1]

[0 0 1 0 0 1 0 0]

[0 0 0 1 1 1 0 1]

La matriu generadora t´e mida n×k = 8×4, i la matriu de control t´e mida n×(n−k) = 8×4.

2.1.4 Codis isomorfs i codis equivalents

Dos codis binarisC₁ iC₂ de longitud n s´on isomorfssi existeix una permutaci´o de coordenades π ∈S_n tal que C₂ =π(C₁) = {π(v)|v ∈C₁}.

Dos codis binarisC₁ iC₂ de longitudn s´on equivalentssi existeix x∈Zⁿ2 i una permutaci´o de coordenades π ∈S_n tal que C₂ ={x+π(c)|c∈C₁}.

2.2 Rang i nucli d’un codi

El rang i el nucli d’un codi ens permeten decidir si un codi ´es lineal o no, com veurem a continuaci´o.

L’expansi´o lineal o span d’un codi C, denotada per hCi, ´es el conjunt de

(23)

totes les combinacions lineals que es poden fer amb les paraules-codi de C.

L’expansi´o lineal d’un codi sempre ´es lineal.

Elrang r d’un codi C és la dimensió de l’expansió lineal de C.

El nucli o kernel d’un codi C de longitud n es defineix com K(C) = {x ∈ Fⁿ2|C = C +x}, en altres paraules, el kernel est`a format per tots aquells vectors de Fⁿ2 que deixen el codi C invariant per translaci´o.

Elkernel d’un codi, que conté el zero, sempre és lineal, i la seva dimensió es denota per k.

El rang i la dimensió delkernel sóninvariantsd’un codi, és a dir, paràmetres del codi que no canvien encara que sotmetem el codi a transformacions iso- morfes.

En el cas dels codis lineals, elkernel coincideix amb el codi i amb l’expansi´o lineal, ´es a dir,K(C) = C =hCi. Per als codis no lineals, en canvi, K(C)⊂ C ⊂ hCi.

〈C〉

C

K(C)

(a) Codis no lineals

K(C) = C =〈C〉

(b) Codis lineals

Figura 2.1: Relaci´o entre el codi, elkernel i l’expansi´o lineal

El fet que qualsevol codi (inclús els no lineals) tingui el kernel lineal ens ajudarà a l’hora de trobar una representació més compacta per als codis no lineals.

(24)

2.2. RANG I NUCLI D’UN CODI 13 Exemple 2.7 Kernel d’un codi lineal

Calculem el nucli o kernel del codi C:

> K := {c: c,d in C | c+d in C};

> K;

{ (1 0 1 1 1 1 1 1), (1 1 0 1 0 0 1 1), (0 0 0 0 0 0 0 0), (1 1 1 0 1 1 1 0), (0 0 1 1 1 1 0 1), (0 1 0 1 0 0 0 1), (0 1 1 0 1 1 0 0), (0 0 0 0 1 0 1 1), (0 1 0 1 1 0 1 0), (0 0 1 1 0 1 1 0), (0 1 1 0 0 1 1 1), (1 0 0 0 1 0 0 1), (1 1 0 1 1 0 0 0), (1 0 1 1 0 1 0 0), (1 0 0 0 0 0 1 0), (1 1 1 0 0 1 0 1) }

Com veiem, la paraula-codi zero pertany alkernel. Com queC ´es un codi lineal, el seu kernel hauria de coincidir amb el propi codi:

> K eq Set(C);

true

A m´es, tant el kernel, com el codi, com l’expansi´o lineal de C han de coincidir:

> span := sub<VectorSpace(GF(2),8) | C>;

> Set(span) eq Set(C);

true

> Set(span) eq K;

true

> Set(C) eq K;

true

En canvi, en un codi no lineal, trobem que K(C) ⊆ C ⊆ hCi. Per a veure el seg¨uent exemple, utilitzarem el paquet deMagma BinaryCodes i generarem un codi aleatori no lineal de longitud 8 i 31 paraules-codi:

> Attach("BinaryCodes.m");

> D := BinaryRandomCode(8,31);

> IsBinaryLinearCode(D);

false

(25)

> D‘Kernel;

[8, 0, 8] Cyclic Linear Code over GF(2)

> kernelD := Set(D‘Kernel);

> kernelD;

{

(0 0 0 0 0 0 0 0) }

> setD := BinarySet(D); // Conjunt de paraules-codi de D

> spanD := sub<VectorSpace(GF(2),8) | setD>;

Comprovem que el kernel, l’expansi´o lineal (span) i el codi no coincideixen:

> Set(spanD) eq setD;

false

> kernelD eq Set(spanD);

false

> kernelD eq setD;

false

I que elkernel és un subconjunt del codi, i aquest és un subconjunt de l’expansió lineal:

> kernelD subset setD;

true

> setD subset Set(spanD);

true

2.3 Classificaci´ o i representaci´ o de codis no lineals

Per a poder utilitzar els codis no lineals quan treballem en un ordinador hem de trobar una representaci´o que ens permeti emmagatzemar el codi a

(26)

2.3. CLASSIFICACI Ó I REPRESENTACI Ó DE CODIS NO LINEALS 15 memòria.

Una primera opció és guardar la llista de totes les paraules-codi, però això

és inviable per a codis grans. A continuació veurem una segona opció.

Sigui x∈Fⁿ i A⊆Fⁿ. Direm que el subconjunt x+A ={x+y|y∈A} és un traslladat del conjunt A. A més, el vector x és un representant o l´ıder de la classe x+A.

Podem expressar un codi no lineal com la uni´o del kernel i els traslladats del kernel (o classes): C =

t

[

i=0

(K(C) +c_i), on c_i s´on els representants de les classes.

Definim elsistema de paritatdeCcom la matriu (H|S) de mida (n−k)× (n+t) tal que:

• H ´es la matriu generadora del dual del kernel de C,K(C)^⊥.

• S´es el producte escalar d’Hpels representants de les classes delkernel: (H·c^t₁, H ·c^t₂,· · · , H ·c^t_t).

Diem que la matriu (H|S) és una generalització de la matriu de control per a codis no lineals, ja que ens permetrà saber si un vector x pertany al codi no lineal C: x∈C siH·x^t = 0 o béH·x^t és una columna de S. A més, si C és lineal, la matriu (H|S) coincideix amb la matriu de control H deC.

La matriu (H|S) és la matriu generadora del super dualdel codiC, que és una generalització del codi dual per a codis no lineals. Notem, però, que

SuperDual(SuperDual(C))6=C,

a diferència dels codis lineals, on (C^⊥)^⊥ = C. La dimensió del kernel d’un codiC (n, M, d) amb matriu de control generalitzada (H|S) ésk =dim(H)−

n, i el rang del codi ´es r=k+dim(S).

Aquesta representació dels codis no lineals, aix´ı com el càlcul del kernel, està implementada en el paquet de Magma BinaryCodes, desenvolupat en

(27)

el projecte [Ova08].

2.4 Codis perfectes

Els codis perfectes són aquells codis tals que la seva capacitat correctora coincideix amb el radi de recobriment. En altres paraules, un codi C de longitud n és perfecte si per algun e ≥ 0 cada vector de l’espai vectorial sobre el qual està definit el codi (en el nostre cas, pels codis binaris, sobre Zⁿ2) està a distància menor o igual ae d’exactament una paraula-codi de C.

Els codis perfectes poden corregir e errors, i s’anomenen e−correctors o e−perfectes.

Els codis binaris perfectes de longitudn que existeixen s´on els seg¨uents:

• Codis trivials:

– Per e= 0, el codi format per tots els vectors de longitud n.

– Per e=n, el codi format per una sola paraula de longitud n.

• Codi de repetici´o: e= n−1

2 , amb n senar.

• Codi de Golay: amb capacitat correctora e= 3 i longitud n = 23.

• Codis 1-perfectes: e = 1 i longitud n = 2^m − 1, on m s’anomena par`ametre del codi. Els codis 1-perfectes lineals s’anomenen codis de Hamming.

Els únics paràmetres pels quals existeixen codis binaris perfectes no lineals i no equivalents són e= 1 i n= 2^m−1 perm≥4.

Els codis binaris 1-perfectes de longitudn= 2^m−1 tenen 2^n−mparaules-codi i distància m´ınima de Hamming 3. Per un codi binari 1-perfecte C tenim que C^⊥ ⊆ K(C) i que k+r ≥ n+ 1, on k és la dimensió del kernel i r el rang del codi, o dimensió de l’expansió lineal del codi.

(28)

2.4. CODIS PERFECTES 17 Exemple 2.8 Codi perfecte

Sigui Ch un codi de Hamming de par`ametre m= 3 definit sobre GF(2):

> Ch := HammingCode(GF(2),3);

> Ch;

[7, 4, 3] "Hamming code (r = 3)" Linear Code over GF(2) Generator matrix:

[1 0 0 0 1 1 0]

[0 1 0 0 0 1 1]

[0 0 1 0 1 1 1]

[0 0 0 1 1 0 1]

Comprovem que el codi ´es perfecte:

> IsPerfect(Ch);

true

Comprovem les propietats dels codis perfectes, com ara que la capacitat correctora coincideix amb el radi de recobriment:

> e := Floor((MinimumDistance(Ch)-1)/2);

> e eq CoveringRadius(Ch);

true

També podem veure que té distància m´ınima 3, i2^n−m = 2⁴ paraules-codi:

> MinimumDistance(Ch);

3

> #Ch;

16

(29)

2.4.1 Construccions de codis perfectes

A continuaci´o presentem una s`erie de construccions de codis binaris 1-perfectes.

Les construccions de codis perfectes, permeten, a base de fer operacions i transformacions a les paraules-codi d’un o m´es codis perfectes, obtenir un nou codi perfecte.

Construcci´o de Vasil’ev

Donatx∈Fⁿ2 siguip(x) =w_H(x) mod 2. SiguiC_n un codi binari 1-perfecte de longitud n = 2^m−1. Sigui f : C_n → {0,1} una aplicació arbitrària tal quef(0) = 0 i f(c₁) +f(c₂)6=f(c₁+c₂) (és a dir, que no sigui lineal) per a c1, c2, c1+c2 ∈Cn.

El codi C_2n+1 ={(x|x+u|p(x) +f(u)) : x ∈ Fⁿ2, u∈ C_n}, on (·|·) denota la concatenació, és binari 1-perfecte de longitud 2n+ 1 = 2^m+1−1, i aquesta manera de construir-lo s’anomenaconstrucció de Vasil’ev.

Existeixen exactament 19 codis de Vasil’ev de longitud 15 no equivalents, tal i com es demostra a [Her82].

Construcci´o de Mollard

La construcció de Mollard és una generalització de la de Vasil’ev.

Siguix= (x₁₁, x₁₂, . . . , x_1n₂, x₂₁, x₂₂, . . . , x_n₁_n₂)∈Fⁿ2¹ⁿ². Definim les funcions de paritat generalitzades, p₁(x) = (σ₁,· · · , σ_n₁) ∈ Fⁿ2¹, on σ_i =

n2

X

j=1

x_ij, i p2(x) = (σ⁰₁,· · · , σ_n⁰₁)∈Fⁿ2², on σ⁰_j =

n1

X

i=1

xij.

Siguin C₁ i C₂ dos codis binaris 1-perfectes de longitud n₁ i n₂, respectivament. Sigui f :C₁ →Fⁿ2² una aplicaci´o arbitr`aria.

(30)

2.4. CODIS PERFECTES 19 El codiF ={(x|c₁+p₁(x)|c₂+p₂(x) +f(c₁)) :x∈Fⁿ2¹ⁿ², c₁ ∈C₁, c₂ ∈C₂}´es un codi binari 1-perfecte de longitudn1n2+n1+n2. El codi F s’ha obtingut mitjan¸cant la construcci´o de Mollard.

Construcci´o doubling

Igual que amb les dues construccions anteriors, amb la construcci´o doubling obtenim codis de longitud 2n+ 1 a partir de codis de longitud n.

Siguie_iun vector tal que totes les seves coordenades s´on 0 excepte lai-`esima, que val 1.

Definim la suma directa X⊕Y ={(x, y) :x∈X, y ∈Y} per X, Y ⊂Fⁿ2. S’anomena codi extès d’un codiC al codi C^∗ constru¨ıt de tal manera que a cada paraula-codi se li afegeix una coordenada al final que val 0 si la paraula- codi tenia pes parell i 1 si tenia pes senar. SiguiC₁ un codi binari 1-perfecte de longitud n i C₂^∗ un codi 1-perfecte estès de longitud n+ 1. Sigui π una permutació en el conjunt {1,2, . . . , n}.

El codiC = (C1⊕C₂^∗)

n

[

i=1

((C1+ei)⊕(C2+e_π(i))^∗) ´es un codi binari 1-perfecte de longitud 2n+ 1, i la manera com s’ha obtingut s’anomena construcci´o doubling.

Construcci´o switching

Donat un codi binari 1-perfecteC, de longitudn, podem obtenir un nou codi C⁰ mitjan¸cant la construcci´o switching intercanviant un conjunt seleccionat de paraules-codi, S ⊂C per un altre conjunt de vectorsS⁰,

C⁰ = (C\S)∪S⁰.

(31)

Els conjunts S i S⁰ han de complir que

{x∈F₂ⁿ:d_H(x, S)≤1}={x⁰ ∈F₂ⁿ:d_H(x⁰, S⁰)≤1},

entenent que la distància d’un vector x a un conjunt S és el m´ınim entre totes les distàncies d’x a tots els elements d’S. En altres paraules, l’espai que recobreix el conjunt d’esferes de radi 1 al voltant dels elements d’S ha de ser igual a l’espai recobert pel conjunt d’esferes de radi 1 al voltant dels elements d’S⁰.

El codi C⁰ ´es un nou codi 1-perfecte de longitud n.

2.5 Teoria de dissenys

2.5.1 Sistemes triples d’Steiner

Un sistema triple d’Steiner (STS)´es una parella ordenada (V,B), on V

´es un conjunt finit de punts iB´es un conjunt de subconjunts de 3 elements de V, anomenats triples, tal que cada parella d’elements diferents de V apareix junta en exactament un triple deB.

L’ordre d’un STS (V,B) ´es la mida del conjuntV, denotada per|V|. Escrivim ST S(v) per a denotar un STS d’ordre v.

Un STS (V,B) es pot representar gràficament. Hi ha una equivalència entre unST S(v) i una descomposició del graf d’ordre v, Kv, en triangles, tal que cada s´ımbol deV correspon a un vèrtex, i cada triple {a, b, c} es representa com a un triangle que uneix els vèrtexs a, b i c. Com que cada parella de s´ımbols apareix en exactament un triple de B, cada aresta pertany a exactament un triangle. Aleshores, un STS és equivalent a un graf complet K_v, on |V|=v, en el qual les arestes es particionen en triangles.

Nom´es existeixen STS per v ≡1 o v ≡3 (mod6).

(32)

2.5. TEORIA DE DISSENYS 21 Exemple 2.9 Sistemes triples d’Steiner

El sistema triple d’Steiner definit pels conjunts V ={1,2,3,4,5,6,7} i

B={{1,2,4},{2,3,5},{3,4,6},{4,5,7},{5,6,1},{6,7,2},{7,1,3}}t´e ordre 7 i es pot representar amb el graf de la Figura 2.2.

1

2

3

4 5

6 7

{1,2,4}

{2,3,5}

{3,4,6}

{4,5,7}

{5,6,1}

{6,7,2}

{7,1,3}

Figura 2.2: Representaci´o gr`afica d’un STS

2.5.2 Sistemes qu` adruples d’Steiner

Un sistema quàdruple d’Steiner (SQS) és una parella ordenada (V,B), on V és un conjunt finit de punts i B és un conjunt de subconjunts de 4 elements deV, anomenats quàdruples, tal que cada subconjunt de 3 elements diferents de V és un subconjunt d’exactament un quàdruple deB.

L’ordre d’un SQS (V,B) ´es la mida del conjuntV, denotada per|V|. Escrivim SQS(v) per a denotar un SQS d’ordre v.

Nom´es existeixen SQS perv = 1 o v ≡2 o 4 (mod6).

2.5.3 Dissenys combinatoris

Per enters positius t ≤ k ≤ v i λ, un t −(v, k, λ) disseny és una parella (V,B), on V és un conjunt finit de punts iBés un conjunt de subconjunts de

(33)

kelements deV anomenats blocs, tal que qualssevoltpunts estan continguts en exactament λ blocs.

Unt−(v, k,1) disseny s’anomena t-disseny d’Steiner. Un 2−(v, k,1) disseny tal que |V|=|B| s’anomena disseny quadrat o sim`etric.

Exemple 2.10 Relaci´o entre dissenys i sistemes d’Steiner

Un ST S(v)´es un 2−(v,3,1)disseny, i un SQS(v)´es un 3−(v,4,1)disseny.

2.5.4 Fragments

Donat unST S(v), ambv ≥7, a [Gib76] es defineix un fragment F com a un conjunt de blocs del sistema triple de la seg¨uent forma:

F ={{x1, x3, x5},{x1, x4, x6},{x2, x3, x6},{x2, x4, x5}}.

Si considerem el conjunt de punts de l’STS,S ={x₁,· · · , x₆}, aleshoresF ´es un fragment a S, i es representa per les parelles ordenades (x₁, x₂),(x₃, x₄), (x₅, x₆), anomenades parelles representatives. El fragmentF es pot reconstruir totalment a partir de les seves parelles representatives.

Un intercanvi de qualsevol parella representativa constitueix una transfor- mació invariant del sistema triple. Independentment de com s’ordenin les parelles ordenades que formen un fragment, sempre es generarà el mateix fragment. Tot i això, si canviem l’ordre dins les parelles ordenades generarem 4 triples diferents.

Existeixen 80 STS d’ordre 15 no isomorfs, que es poden classificar comptant els seus fragments i observant el patr´o de quants fragments contenien un punt particular.

(34)

2.5. TEORIA DE DISSENYS 23

2.5.5 Grup d’automorfismes

Grup d’automorfismes d’un disseny

Si D1 = (V1,B1) i D2 = (V2,B2) són dos t-dissenys, aleshores una aplicació bijectiva α : V₁ −→ V₂ s’anomena isomorfisme de D₁ sobre D₂ si B ∈ B₁ ⇐⇒α(B)∈ B₂. Aleshores, els dissenys D₁ iD₂ sónisomorfs.

Un isomorfisme d’un disseny D sobre ell mateix s’anomena automorfisme.

El conjunt de tots els automorfismes d’un disseny D forma un grup sota composici´o, el grup d’automorfismesdeD.

Grup d’automorfismes d’un graf

El grup d’automorfismes d’un graf G < v|a >, on v és el conjunt de vèrtexs deGiael seu conjunt d’arestes, és el conjunt de tots els isomorfismes del graf amb ell mateix, és a dir, de les aplicacions v −→ v, tal que el graf resultant

´es isomorf amb G.

Dos grafs G1 < v1|a1 > i G2 < v2|a2 > són isomorfs si, i només si, existeix una bijeccióφ:v₁ →v₂ que conserva les adjacències i les no adjacències. En tal cas, es diu que φ és un isomorfisme i G₁ ∼=G₂.

Es una forma de simetria en la qual es preserva la connectivitat entre arestes´ i v`ertexs.

Grup d’automorfismes d’un codi

El grup d’automorfismes d’un codi ´es el conjunt de totes les transformacions que fan que el codi, un cop transformat, sigui el mateix. Aquestes transformacions poden ser permutacions de coordenades o translacions del codi (sumar un vector a totes les paraules del codi).

(35)

El grup d’automorfismes d’un codi perfecte C coincideix amb el grup d’automorfismes del graf de distàncies m´ınimes de C. De fet, el codi C es pot reconstruir a partir del seu graf de m´ınimes distàncies, tal com es demostra a [M ÖPS08].

(36)

Cap´ıtol 3

Planificaci´ o del projecte

En aquest cap´ıtol aprofundirem en els objectius del projecte que s’han co- mentat en la introducció. També veurem la planificació temporal establerta al principi del projecte i en què ha derivat finalment.

3.1 Objectius del projecte

L’objectiu principal del projecte ´es desenvolupar un paquet de funcions per Magma per a treballar amb codis binaris perfectes no lineals, anomenat BinaryPerfectCodes. Algunes de les funcions que contindr`a el paquet serviran per a

• Fer construccions de codis perfectes (construcció de Vasil’ev, construc- ciódoubling i construccióswitching).

• Fer funcions per a calcular invariants d’un codi binari no lineal, com ara el rang, el nucli, els fragments, el grup d’automorfismes o els STS (Sistemes Triples d’Steiner).

• Construir una base de dades de codis perfectes no equivalents, utilitzant els invariants anteriors.

25

(37)

Per tal d’assolir l’objectiu principal del projecte caldrà complir tot un conjunt de sub-objectius: entendre què són els codis no lineals i com es representen, comprendre què són les construccions de codis perfectes, entendre altres conceptes teòrics (com ara el grup d’automorfismes d’un codi o els STS, entre d’altres) i familiaritzar-se amb l’entorn de treball.

Una gran part d’aquest projecte consistirà a estudiar les bases teòriques que fonamentaran el desenvolupament del paquet. Tanmateix, el projecte també inclou el desenvolupament (disseny, programació, proves i elaboració del manual d’usuari) delpackage per Magma.

El paquetBinaryPerfectCodes ha de tenir les seg¨uents funcionalitats:

• Construccions de codis perfectes:

– Construcci´o de tots els codis de Vasil’ev no equivalents de longitud 15.

– Construcci´o de Vasil’ev.

– Construcci´o doubling.

– Construcci´o switching.

• Base de dades de codis perfectes no equivalents de longitud 15.

• Comprovació de l’equivalència o no equivalència de dos codis perfectes de longitud 15 mitjan¸cant els grups d’automorfismes dels codis.

• Calcular invariants d’un codi:

– STS.

– SQS.

– Grup d’automorfismes.

– Fragments.

Caldr`a desenvolupar tot un seguit de proves per al paquet.

(38)

3.2. ESTAT DE L’ART 27 El paquet es desenvoluparà d’una banda respectant les convencions impo- sades per Magma pel que fa a l’estructura de directoris, documentació i proves, i de l’altra respectant els criteris d’estil de programació del CCG, documentats al CCG Style Guide [dg09].

La documentació del paquet seguirà el format deMagma, que consisteix en manuals en PDF editats en LÂTEX. Les funcions s’organitzaran per temes, i s’inclourà una breu introducció teòrica al principi i exemples al final de cada tema.

3.2 Estat de l’art

Els membres del Grup de Combinatòria i Codificació (CCG), del Departa- ment d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions treballen, entre d’altres projectes, per a estudiar les propietats de fam´ılies de codis no lineals, com ara els codis perfectes, Hadamard o Reed-Muller.

El programa Magma no contempla aquest tipus de codis, per la qual cosa va ser necessari desenvolupar un paquet, BinaryCodes, expressament per a emmagatzemar i manipular aquests tipus de codis no lineals. El paquet BinaryCodes va ser creat pel projectista V´ıctor Ovalle Arce en el seu projecte final de carrera “C´odigos binarios no lineales en Magma” [Ova08], el curs 2007-2008.

En aquest projecte s’utilitzar`a el paquet BinaryCodes per a poder treballar amb codis no lineals.

D’altra banda, el projectista Joan Cuadros treballar`a durant aquest curs sobre el paquet BinaryCodes, ampliant-lo per a afegir-hi caracter´ıstiques que permetran que el paquet BinaryPerfectCodes pugui aprofitar certes propietats per codis perfectes no lineals.

(39)

3.3 Estudi de viabilitat

3.3.1 Viabilitat t` ecnica

Els requisits indispensables per a poder realitzar el projecte són disposar d’accés a un ordinador amb el programaMagma i una llicència en vigor.

El Departament d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions pro- porciona als projectistes la possibilitat de treballar en un laboratori amb ordinadors que disposen de connexió a Internet. Des d’aquests ordinadors es pot connectar remotament al servidor macwilliams, que té el programa Magma instal.lat i en vigor. També es permet accedir als ordinadors del laboratori remotament, sense necessitat d’estar al laboratori de projectistes.

Es disposa de tots aquests recursos, per tant, el projecte ´es viable t`ecnicament.

3.3.2 Viabilitat operativa

Per a poder desenvolupar satisfactòriament el projecte caldrà un suport teòric continuat, doncs les funcions que es programaran dins el paquetBinaryPer- fectCodes requeriran trobar solucions pràctiques a les propietats teòriques dels codis perfectes no lineals. Aquest assessorament teòric és proporcionat pel grup CCG i sobretot per la directora d’aquest projecte, Mercè Villanueva.

D’altra banda, si bé no és un requisit indispensable, es té prevista la integració del paquetBinaryPerfectCodes amb el paquetBinaryCodes que modificarà el projectista Joan Cuadros. Per tant, l’èxit d’aquesta part del projecte va lligat a l’acompliment dels terminis i els objectius plantejats en el seu projecte per part d’en Joan Cuadros. La planificació d’aquest projecte s’ha fet concordar amb la de l’altre projectista per tal que es puguin integrar els dos paquets sense problemes.

Es disposa de l’assist`encia del professorat del CCG, per tant en aquest sentit

(40)

3.3. ESTUDI DE VIABILITAT 29 el projecte és viable. Tanmateix, cal considerar el risc que suposaria que les funcionalitats del paquetBinaryCodes necessàries per a la integració dels dos paquets no estiguin acabades a temps.

3.3.3 Viabilitat econ` omica

Per a determinar si el projecte ´es viable econ`omicament tindrem en compte les necessitats de software ihardware per al projecte.

Pel que fa alsoftware es necessita una llicència deMagma, que té un cost de 1200e per tres anys, però no cal adquirir-la perquè el Departament d’Engi- nyeria de la Informació i de les Comunicacions ja en disposa d’una en vigor.

La resta d’eines que s’utilitzaran (el sistema operatiu GNU/Linux i l’editor de text Gedit) tenen llic`encia GPL i no tenen cap cost.

Pel que fa als requeriments dehardware, no es requereix cap altre equipament a banda d’un ordinador convencional del qual ja es disposa.

Per tant, no cal fer cap inversió econòmica espec´ıfica per a aquest projecte, i podem afirmar que aquest és viable econòmicament.

Pressupost

A la Taula 3.1 s’adjunta un pressupost per al projecte, tenint en compte el salari base per als titulats de grau superior, regulat pel conveni col.lectiu d’inform`atica [con09], que ´es d’uns 9.8 e/hora.

3.3.4 Viabilitat legal

Magma és un intèrpret orientat al llenguatge matemàtic. És un programa amb llicència privada, del qual el Departament d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions disposa.

(41)

Concepte Hores Preu Estudi dels fonaments te`orics 28 274.4 e Elaboraci´o de l’informe previ 3 29.4 e

Disseny de funcions 42.25 414.05 e

Disseny de tests 14 137.2 e

Implementaci´o de funcions en Magma 85 833 e

Test 40 392 e

Elaboraci´o de la mem`oria 70 686 e

Total 282.25 2766.05e

Taula 3.1: Pressupost per al projecte

El paquet BinaryPerfectCodes tindrà llicència de software lliure GPLv3. No hi ha incompatibilitats entre les llicències del paquet i del propi Magma. Per tant, el projecte és viable legalment.

3.3.5 Alternatives

Tot i l’existència de programari similar aMagma, com ara GAP o SAGE, el grup CCG està treballant ambMagma, i per tant s’utilitzarà aquest programa per tal que els investigadors del grup puguin utilitzar el paquet. D’altra banda, el paquet BinaryCodes també es va desenvolupar amb Magma.

3.4 Planificaci´ o temporal del treball

La planificació inicial del treball va comen¸car a finals d’octubre de 2008, quan es van plantejar els objectius i caracter´ıstiques del projecte. La data prevista de finalització, fins a la data d’entrega de la memòria, era el 17 de juny de 2009. En total, es van planificar 280 hores de feina. A la Figura 3.1 es mostra la planificació inicial del projecte i la Taula 3.2 és un resum de les fites més importants.

A la pr`actica, per`o, els objectius del projecte van variar lleugerament, de

(42)

3.4. PLANIFICACI ´O TEMPORAL DEL TREBALL 31

Tasca Termini

Presentaci´o del projecte i definici´o dels objectius

24/10/2008 Estudi dels fonaments te`orics del pro-

jecte

Octubre a gener Elaboraci´o de l’informe previ Desembre Entrega de l’informe previ 16/01/2009

Disseny de les funcions del paquet Finals de desembre - finals de gener Disseny dels tests del paquet Finals de gener - Mitjans de mar¸c Codificaci´o de les funcions del paquet Mitjans de febrer - abril

Test del paquet Abril

Elaboració de la memòria i la presenta- ció

Finals de novembre - finals de juny (per fases)

Entrega de la mem`oria 17/06/2009 Taula 3.2: Tasques principals del projecte manera que:

• Vam decidir desenvolupar nom´es les construccions Vasil’ev i doubling, deixant per a futures amplicacions la switching.

• Es va substituir tot el bloc de funcions referents a la creaci´o d’una base de dades de codis perfectes no equivalents de longitud 15 per un bloc de funcions complement`aries per a treballar amb codis no lineals.

L’eliminaci´o de la construcci´o switching del paquet va ser motivada per la manca de temps, doncs les construccions de Vasil’ev i doubling van ocupar la major part de l’etapa de desenvolupament.

La substitució del bloc de base de dades de codis pel grup de funcions de manipulació de codis no lineals es va fer per un major interès en disposar d’aquestes funcions que no pas de les de la base de dades.

A més, l’execució de la planificació temporal del projecte s’ha vist alterada en alguns casos, ja sigui per dificultats en la implementació d’algunes parts com per l’aparició d’imprevistos en la disponibilitat temporal de la projectista.

A la Figura 3.2 es pot veure la planificaci´o real del projecte en contraposi-

(43)

ció amb la planificació estimada després del canvi de requisits del paquet.

Els blocs de temps de colors més saturats corresponen a l’execució real del projecte, mentre que els blocs de colors més pastel són la planificació inicial.

Com es pot veure a la figura, tot i la desviaci´o d’algunes tasques, s’han pogut assolir els objectius plantejats a temps.

(44)

3.4. PLANIFICACI ´O TEMPORAL DEL TREBALL 33

PFC Presentació del projecte i definició d'objectius24/10/08 11:00 Estudi dels fonaments teòrics del projecte (28h) Elaboració de l'informe previ (3h) Entrega de l'informe previ16/01/09 11:00 Disseny de les funcions Construccions (10,25h) Codis equivalents (10h) Base de dades (10h) Invariants (12h) Disseny dels tests Construccions (6h) Funcions complementàries (2h) Invariants (6h) Codificació de les funcions Construccions (70h) Funcions complementàries (10h) Invariants (5h) Test (40h) Elaboració de la memòria i presentació Introducció (2h) Bases teòriques (13h) Planificació, viabilitat, entorn de desenvolupament (3h) Desenvolupament (16h) Resultats (13h) Conclusions (2h) Handbook of Magma functions (8h) Revisió: maquetació, agraïments, ... (12h) Elaboració de la presentació (12h) Lliurament de la memòria17/06/09 11:00

Tr. 4/2008Tr. 1/2009Tr. 2/2009Tr. 3/2009 Figura3.1:Planificaci´otemporaldelprojecte

(45)

PFC

Presentació del projecte i definició d'objectius24/10/08 11:00

Estudi dels fonaments teòrics del projecte (28h)

Elaboració de l'informe previ (3h)

Entrega de l'informe previ16/01/09 11:00

Disseny de les funcions

Construccions (10,25h)

Funcions complementàries (5h)

Invariants (7h)Disseny dels tests

Construccions (6h)

Invariants (6h)

Codificació de les funcions

Construccions (70h)

Invariants (5h)

Test (40h)Elaboració de la memòria i presentació

Introducció (2h)

Bases teòriques (13h)

Planificació, viabilitat, entorn de desenvolupament (3h)

Desenvolupament (16h)

Resultats (13h)

Conclusions (2h)

Handbook of Magma functions (8h)

Revisió: maquetació, agraïments, ... (12h)Elaboració de la presentació (12h)

Lliurament de la memòria17/06/09 11:00 Tr. 4/2008Tr. 1/2009Tr. 2/2009Tr. 3/2009

Figura3.2:Planificaci´orealdelprojecte

(46)

Cap´ıtol 4

Desenvolupament del projecte

En aquest cap´ıtol es farà una explicació de l’entorn de treball amb el qual s’ha realitzat el projecte i es veuran els detalls de la implementació del paquet per Magma.

4.1 Entorn de desenvolupament

Per a realitzar aquest projecte, el Departament d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions va posar a disposició de la projectista un ordinador a la sala de projectistes del departament, i un compte en un servidor del Grup de Combinatòria i Codificació.

L’ordinador de la sala de projectistes és un Intel Pentium 4 a 2.00 GHz, amb 2GB de RAM i sistema operatiu Fedora 5. Des de qualsevol ubicació es pot accedir per connexió SSH a aquest ordinador. El servidor Macwilliams també és accessible per SSH, però només des de l’ordinador de projectistes.

Aquest servidor té un processador de doble nucli i 2GB de RAM. És en aquest servidor on està instal.lada la còpia de Magmaque s’ha utilitzat per a fer el projecte.

Magma [CE08] ´es un software privatiu de gran qualitat desenvolupat per 35

(47)

una universitat australiana. T´e moltes funcionalitats en diferents camps, com poden ser la teoria de n´umeros, geometria algebraica, teoria de grafs i teoria de codis. El llenguatge que s’utilitza per a treballar amb Magma

és molt proper al llenguatge formal matemàtic, cosa que el fa especialment adequat als matemàtics. Algunes de les caracter´ıstiques més importants de Magma són:

• Magmano té interf´ıcie gràfica, sinó que és per l´ınia de comandes. Això no ha suposat cap problema en aquest projecte, ja que no es necessitava la interf´ıcie gràfica en cap cas.

• Magmaté un suport limitat per a la computació numèrica i integració simbòlica. L’usuari final no pot definir els seus propis tipus de dades.

• Magma permet guardar totes les operacions que s’han fet durant una sessi´o de treball, per`o no hi ha cap manera d’emmagatzemar a disc un objecte concret que s’hagi creat.

• La llibreria de Magma ´es gran i molt optimitzada. ´Es molt potent i

´

util per a la investigació en determinats camps, com ara la teoria de codis. Com que la majoria del programa està escrit en C, es podri- en utilitzar les funcionalitats d’algunes llibreries de C existents, però aquest enlla¸cat només es pot fer recompilantMagma, per la qual cosa es requereix el codi font de l’aplicació. En ser un programa privatiu, els usuaris finals no poden fer aquest procés. A més, pel mateix motiu, hi podria haver problemes a causa de restriccions de llicència d’algunes llibreries lliures.

ActualmentMagmadóna suport a funcionalitats bàsiques per a codis sobre cossos finits i codis sobre anells d’enters i anells de Galois. Tots aquest tipus de codis són lineals. A més,Magmadisposa de funcions per al cas particular dels codis binaris lineals.

En el projecte [Ova08] es va desenvolupar un paquet per Magma, Binary- Codes, que permet treballar tamb´e amb codis no lineals, i que es far`a servir

(48)

4.2. IMPLEMENTACI ´O DEL PAQUET BINARYPERFECTCODES 37 en aquest projecte.

A m´es, el projectista Joan Cuadros ha ampliat la funcionalitat del paquet BinaryCodes amb algunes funcions que seran necess`aries en aquest projecte.

4.2 Implementaci´ o del paquet BinaryPerfectCodes

El paquet BinaryPerfectCodes desenvolupat en aquest projecte es divideix en tres grans blocs de funcions:

• Construcci´o de codis binaris perfectes no lineals.

• C`alcul d’invariants de codis perfectes.

• C`alculs amb paraules-codi.

La metodologia de desenvolupament que s’ha portat a terme ha estat la seg¨uent:

1. Divisi´o del paquet en diverses funcions.

2. Disseny de cada funció del paquet: decidir el nom, paràmetres d’entra- da i retorn de la funció, descripció del funcionament de la funció.

3. Disseny de proves per a cada funció: estudiar com ha de ser el comportament de la funció respecte els paràmetres, i especificar quines condicions i propietats ha de complir el resultat de la funció. A més, en alguns casos ha resultat interessant estudiar el temps d’execució de les funcions.

4. Implementaci´o en Magma de cada funci´o del paquet i de les seves funcions de prova corresponents.

5. Executar totes les funcions de prova per a cada funci´o, per tal de comprovar-ne el correcte funcionament.

(49)

A continuaci´o aprofundirem en el desenvolupament de cada bloc del paquet BinaryPerfectCodes.

4.2.1 Construcci´ o de codis binaris perfectes no lineals

Construcci´o de Vasil’ev

La construcci´o de Vasil’ev a partir d’un codi C_n de longitud n es defineix com:

C_2n+1 ={(v|v +c|σ(v) +f(c)) :v ∈Fⁿ2, c∈C_n},

on (x|y) denota la concatenació d’x i y, σ(v) és el pes del vector v mòdul 2, if(c) és una aplicació f :C_n−→Z2.

La funció BinaryVasilevCode es va desenvolupar inicialment seguint l’ex- pressió anterior. Aquesta seria una versió exhaustiva de fer la construcció de Vasil’ev, doncs es generen totes les paraules del codi.

Per a codis de cardinalitat elevada aquesta és una opció inviable, ja que tant el temps de càlcul com la quantitat de memòria necessària per a emmagatzemar totes les paraules-codi són molt grans. El paquet BinaryCodes disposa d’una funció que a partir de totes les paraules del codi genera una estructura BinaryCode que no emmagatzema totes les paraules-codi, sinó que calcula el súper dual del codi. Per tant, el problema no és en s´ı emmagatzemar el nou codi Vasil’ev sinó guardar tota la llista de paraules-codi que es passaran al constructor de l’estructura BinaryCode.

Per tant, cal buscar una manera alternativa de calcular els codis de Vasil’ev.

La solució és estudiar el kernel dels codis de Vasil’ev i veure si hi ha alguna particularitat que puguem aprofitar per a construir-los més eficientment.

Efectivament, els codis de Vasil’ev compleixen les seg¨uents propietats:

• Si la imatge de la funci´of val zero per a qualsevol paraula del codi C_n,

(50)

4.2. IMPLEMENTACI ´O DEL PAQUET BINARYPERFECTCODES 39 aleshores coneixem tot el kernel del codi C_2n+1:

K(C_2n+1) ={{(v|v|σ(v)) :v ∈Zⁿ2} ∪ {(0|k|0) : k ∈K(C_n)}}

• Si la imatge de la funció f és f(c) = bi ∀c ∈ K(Cn) +xi, és a dir,

´es la mateixa per a totes les paraules-codi pertanyents a una mateixa classe del kernel del codi C_n, aleshores el kernel del codi C_2n+1 cont´e el conjunt anterior

{{(v|v|σ(v)) :v ∈Zⁿ2} ∪ {(0|k|0) :k ∈K(Cn)}} ⊆K(C2n+1).

• Si la funcióf és qualsevol, aleshores elkernel del nou codiC_2n+1 conté el conjunt

{(v|v|σ(v)) :v ∈Zⁿ2} ⊆K(C2n+1).

D’aqu´ı ve la necessitat de disposar d’una funció capa¸c de construir una estructura BinaryCode a partir d’un subconjunt del kernel i un subconjunt dels l´ıders del nou codi. Aquesta funció l’ha fet el projectista Joan Cuadros en la seva ampliació del paquet BinaryCodes.

Aprofitant aquestes propietats dels codis de Vasil’ev es va desenvolupar la versi´o no-exhaustiva de la funci´oBinaryVasilevCode.

A més de la construcció de Vasil’ev en general, es va fer una funció per a construir els 19 codis de Vasil’ev de longitud 15 no equivalents a partir de la classificació de Hergert [Her82]. Aquesta funció consisteix en l’adaptació a Magma d’un algorisme desenvolupat per en Jaume Pujol en GAP.

(51)

Construcci´o doubling

La construcci´o doubling a partir de dos codis C₁ i C₂ de longitud n, i una permutaci´o de coordenades π es defineix com

C = (C₁⊕C₂^∗)

n

[

i=1

[(C₁+e_i)⊕(C₂+e_π(i))^∗],

onei és un vector les coordenades del qual són totes zero excepte la i-èsima que val 1.

La funció BinaryDoublingCode del paquet BinaryPerfectCodes es va desenvolupar inicialment seguint aquesta expressió matemàtica. Aquesta versió

és exhaustiva, donat que es generen totes les paraules del codi. Com es pot intuir, això és inviable per a codis de cardinalitat elevada, tant pel que fa al temps de càlcul com a les necessitats d’emmagatzematge.

Aix´ı doncs, es van estudiar les propietats dels codisdoubling per tal de trobar alguna possible millora. Si observem les caracter´ıstiques delkernel dels codis doubling, en funci´o dels par`ametres amb el qual els constru¨ım, veiem que:

• Si la permutaci´o ´es la identitat,π =Id, aleshores coneixem tot elkernel del nou codi:

K(C) = (K₁ ⊕K₂^∗)[

i∈I

[(K₁+e_i)⊕(K₂+e_π(i))^∗],

on K₁ ´es el kernel de C₁, K₂ el kernel de C₂, T_i denota el subespai lineal generat per les paraules de pes m´ınim de C que tenen un 1 a la coordenada i-`esima, iI ={i:T_i ⊆K₁∩K₂}.

• Si la permutació no és la identitat, aleshores el kernel del nou codi C conté

(K₁⊕K₂^∗)⊆K(C).

Aprofitant que coneixem algunes paraules-codi que formen part del kernel

(52)

4.2. IMPLEMENTACI Ó DEL PAQUET BINARYPERFECTCODES 41 del nou codi, s’ha desenvolupat una versió no-exhaustiva de la funció Bi- naryDoublingCode.

4.2.2 C` alcul d’invariants de codis perfectes

Dins el bloc de funcions per al c`alcul d’invariants de codis perfectes incloem les seg¨uents funcions:

• C`alcul dels STS i SQS d’un codi perfecte i perfecte est`es, respectivament.

• C`alcul del grup d’automorfismes d’un codi perfecte.

Les funcions de càlcul dels sistemes d’Steiner (STS i SQS) d’un codi han estat senzilles d’implementar, perquè el Magma ja disposa de funcions per a calulart-dissenys a partir d’un conjunt de vectors. Aix´ı doncs, les funcions de càlcul dels STS i SQS calculen un disseny a partir de les paraules de pes m´ınim del codi.

El grup d’automorfismes d’un codi perfecte es pot calcular a partir del seu graf de m´ınima distància [M ÖPS08]. Magma disposa d’una funció per a calcular el grup d’automorfismes d’un graf, i com s’ha vist al Cap´ıtol 2, el grup d’automorfismes d’un codi perfecte coincideix amb el del seu graf de distàncies m´ınimes. Per tant, la feina per aquesta funció ha estat construir el graf de m´ınimes distàncies d’un codi, que veurem a la Secció 4.2.3.

4.2.3 C` alculs amb paraules-codi

Les funcions per a treballar amb paraules-codi que s’han desenvolupat s´on les seg¨uents:

• Obtenir el conjunt de totes les paraules d’un codi.

(53)

• Obtenir un conjunt de paraules-codi d’un cert pes, i calcular el nombre de paraules amb aquest pes que hi ha al codi.

• Calcular el pes m´ınim d’un codi.

• Obtenir una paraula de pes m´ınim, o totes les paraules de pes m´ınim d’un codi.

• Construir el graf de m´ınimes dist`ancies d’un codi.

El graf de m´ınimes distàncies d’un codi és un graf tal que els seus vèrtexs es corresponen amb cada una de les paraules del codi, i hi ha una aresta que uneix dues paraules-codi si la distància entre elles es correspon amb la distància m´ınima del codi.

Exemple 4.1 Graf de m´ınima dist`ancia d’un codi

Suposem que tenim un codi de HammingCde longitud 7, format per les seg¨uents paraules-codi:

(1 1 1 0 0 1 0) (0 1 1 1 0 0 1) (0 0 1 0 1 1 1) (1 1 1 1 1 1 1) (1 0 1 0 0 0 1) (0 1 1 0 1 0 0) (1 0 1 1 1 0 0) (0 0 1 1 0 1 0) (0 1 0 0 0 1 1) (1 1 0 0 1 0 1) (0 1 0 1 1 1 0) (1 0 0 1 0 1 1) (1 1 0 1 0 0 0) (0 0 0 0 0 0 0) (0 0 0 1 1 0 1) (1 0 0 0 1 1 0)

Podem construir el seu graf de m´ınima dist`ancia, que es pot representar gr`aficament com a la Figura 4.1.

A banda d’aquestes funcions, s’ha ampliat la funcióBinaryMinimumDistance del paquetBinaryCodes per tal que si el codi és invariant per distància (com

és el cas dels codis perfectes) es pugui calcular la distància m´ınima a partir del pes m´ınim, un càlcul bastant més lleuger que el de la distància m´ınima.