Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé de Françoise Bertrandias et Jean-Paul Bertrandias

MATHÉMATIQUES

POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ

Jean Paul et Françoise B ERTRANDIAS

Presses Universitaires de Grenoble 1997

La Collection Grenoble Sciences

La Collection Grenoble Sciences fut créée à l'Université Joseph Fourier avec un triple objectif :

• permettre d'offrir aux étudiants et usagers des ouvrages à des prix convenables,

• constituer une mémoire pour d'excellents documents qui restent souvent chez leurs auteurs,

• réaliser des ouvrages correspondant vraiment à un objectif clair, en contrepoint des ouvrages réalisés par rapport à tel ou tel programme plus ou moins officiel.

Certains documents sont publiés dans le seul cadre de l'Université Joseph Fourier. D’autres, destinés à un plus vaste public, sont sélectionnés par des referees, critiqués par un comité de lecture et édités dans cette collection spécifique des Presses Universitaires de Grenoble.

Directeur de la Collection Grenoble Sciences

Jean BORNAREL, Professeur à l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1

Comité de lecture de MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ :

Bernard CHARLES, Professeur à l’USTL - Montpellier 2

Jean-Pierre FERRIER, Professeur à l'Université Henri Poincaré - Nancy 1 Jean-René JOLY, Professeur à l’Université Joseph Fourier - Grenoble 1

Déjà parus :

Chimie. Le minimum vital - J. Le Coarer

Endocrinologie. Fondements physiologiques - S. Idelman

Minimum Competence in Scientific English - J. Upjohn, S. Blattes et V. Jans Introduction à la Mécanique statistique - E. Belorizky et W. Gorecki

Exercices corrigés d'Analyse (tomes 1 et 2) - D. Alibert Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques - J. Pelmont La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites - P. Foster

Listening Comprehension for Scientific English - J. Upjohn Electrochimie des solides - C. Déportes et al.

La Turbulence - M. Lesieur

Exercices et problèmes corrigés de Mécanique statistique - E. Belorizky et W. Gorecki La symétrie en mathématiques, physique et chimie - J. Sivardière

La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels - J.P. Franc et al.

L'Asie, source de sciences et de techniques - M. Soutif Enzymes, catalyseurs du monde vivant - J. Pelmont L'ergomotricité. Le corps, le travail et la santé - M. Gendrier

Introduction aux variétés différentielles - J. Lafontaine Analyse numérique et équations différentielles - J.P. Demailly Speaking Skills in Scientific English - J. Upjohn, M.H. Fries et D. Amadis

Thermodynamique chimique - M.A. Oturan et M. Robert

EXTRAITS

54 MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ

Si la fonction

f

est croissante (resp.

décroissante ) en chaque élément a

de

E

, on dit qu'elle est croissante (resp. décroissante ) sur l'ensemble

E

et dans les deux cas, on dit qu'elle est monotone sur l'ensemble

E.

5.2. C

ONTINUITÉ

On dit qu'une fonction

ϕ

positive de la variable

x

positive ou nulle (

x≥0

) est un

module de continuité si ϕ

est croissante à partir de

ϕ

(

0)=0

et prend des valeurs arbitrairement petites sur l'ensemble des réels strictement positifs (

x>0

).

(Pour éviter des complications inutiles dans la suite, on admet pour

ϕ

une valeur, notée

∞ , supérieure à tout nombre positif).

Exemples : les fonctions suivantes sont des modules de continuité - la fonction linéaire x ∆ kx avec k>0 ,

- la fonction x ∆ x² ,

- la fonction x ∆ kx+x² avec k>0 , - la fonction racine carrée x ∆ x , - la fonction ϕ définie par ϕ(x)=tgx si x<π

2 et ϕ(x)=∞ si x≥π 2

On dit que la fonction

f

est continue en

a

s'il existe un module de continuité

ϕ

tel que, pour tout élément

b

de

E

, on ait

|f(b)—f(a)| ≤ ϕ(|b—a|).

Si la fonction

f

est continue en chaque élément

a

de

E

, on dit que la fonction

f

est

continue sur l'ensemble E

.

Exemples

• La fonction définie par x∆ 1—x2 est continue sur R car, pour tout a réel,

|(1—b²)—(1—a²)| = |b—a| |b+a| ≤ 2|a||b—a| +|b—a| 2 .

6. CALCUL DES INTÉGRALES 95

On étend la définition de l'intégrale au cas

b<a

.

On a la

formule de Chasles pour les

intégrales, valable quelle que soit la position relative des trois nombres réels

a

,

b

,

c

.

f dx a

b

= — f dx b

a

f dx a

c

= f dx a

b

+ f dx b

c

2.2 R

ELATIONS ENTRE INTÉGRALE ET PRIMITIVE

Si

F

est une fonction dérivable telle que

F'=f

, on dit que

F

est une primitive de

f

.

Obtention d'une primitive de

f

La fonction Ψ

définie par l'intégrale

Ψ(x) = f(t) dt a

x

est une primitive de

f

. En effet

^{Ψ(x+h)—Ψ(x)}

h = 1

h f(t) dt

x x+h

D'après la continuité de

f

, ce rapport tend vers

f(x)

quand

h

tend vers

0

car

f(x)—ϕ(h)≤f(t)≤f(x)+ϕ(h)

donc

¹

h f(t) dt

x

x+h —f(x) ≤ ϕ(h)

.

Expression de toutes les primitives de

f

Si F

est une primitive quelconque de

f

, on a

F ( x )—F(a) = f(t) dt a

x

.

En effet la fonction définie par F(x) —

a

xf(t) dt a une dérivée nulle sur [a,b] ; elle est constante sur [a,b] d'après les propriétés des dérivées (chapitre 3

,

§ 5.3) et vaut

F(a).

Conséquences

• Si l’on connait une primitive

F

de

f

, l'intégrale de

f

sur

[a,b]

s'en déduit.

• Si l’on ne connait pas de primitive de

f

, on peut en calculer une,

Ψ

, par calcul numérique.

f ( x ) dx = F(b) —F(a) a

b

 ^{Ψ(x) = f(t) dt}

a x

Formule fondamentale du calcul intégral

La différence

F(b)—F(a)

s'appelle la variation de la fonction

F

entre

a

et

b

; elle se note aussi [

^F(x)

]

^ba

. D'après la forme des primitives de

f

, on l'exprime comme l'intégrale entre

a

et

b

de l'expression

F'(x)dx

qui est la différentielle

dF

de la fonction

F

(chapitre 3, § 5.4).

EXERCICES DU CHAPITRE 3 - FONCTIONS 211

8. C

APACITÉ VITALE

La capacité vitale est le volume d'air maximum pouvant être mobilisé par une inspiration forcée suivie d'une expiration forcée.

Le tableau ci-contre donne la capacité vitale théorique c exprimée en cm³ en fonction de l'âge g (en années) et de la taille t (en cm). Ces valeurs de c ont été obtenues aux Etats-Unis à partir de moyennes portant sur un grand nombre de mesures.

a) Ce tableau exprime ccomme fonction des deux variables g et t. Donner une représentation graphique de cette fonction sous forme de courbes de niveaux.

b) On remarque que pour un âge fixé, la capacité vitale est approximativement linéaire relativement à la taille. Représenter graphiquement le rapport c/t en fonction de g et de t ; vérifier qu'il ne dépend pratiquement pas de t et est affine en g : c/t = a +bg. Renvoi : chapitre 4, exercice 5 pour une évaluation des coefficients aetb.

c) Pour calculer la capacité vitale, on utilise aussi des approximations affines. On étudiera la suivante :

cº—19,7g+23,1t+754.

Comparer cette fonction à celle qui est représentée par le tableau.

Construire un abaque donnant c en fonction de g et de t en utilisant cette approximation.

Référence : J.GERMOUTY - La fonction respiratoire, Éditions des Laboratoires Diamant, (1963).

EXERCICES DU CHAPITRE 7 - MODÈLES MATHÉMATIQUES 251

6. D

OSAGE D

'

UN MÉDICAMENT

On injecte un certain médicament par voie intraveineuse ; on désigne par C(t) la concentration du médicament dans le sang à l'instant t. Après l'injection, la décroissance de la concentration Cobéit à la règle suivante :

∆C=—γC∆t (où γ est une constante positive).

a) Montrer que la concentration C(t)suit une loi exponentielle C(t)=Qe^—γt où Q est une constante dont on précisera la valeur.

b) On note T l'intervalle de temps nécessaire pour que la concentration baisse jusqu'au tiers de sa valeur à l'instant t, c'est- à-dire :

C(t+T)=C(t)/3.

Vérifier que T ne dépend pas de t et de C(t) ; exprimer T en fonction de γ.

c) Une dose de 200 mg est administrée à un malade et un dosage de concentration est effectué à divers instants t (l'instant t=0 correspond à la fin de l'injection).

Les résultats sont donnés dans le tableau (t en heures, C en µg/ml):

t 0 1 2 4 6 8 12 16 20 24

C 11,0 10,2 9,5 8,2 7,0 6,1 4,5 3,4 2,5 1,8

Représenter graphiquement C en fonction de t en coordonnées régulières et en coor- données semi-logarithmiques.

Vérifier que C suit approximativement une loi exponentielle dont on évaluera les constantes.

Évaluer l'intervalle de temps T.

d) Pour que le médicament soit efficace sans être toxique, sa concentration doit toujours rester comprise entre un seuil minimum Cmin et un seuil maximum Cmax, c'est-à-dire :

Cmin≤C(t)≤Cmax.

Pour le médicament considéré, on a : Cmin=5 µg/ml,Cmax=15µg/ml.

• Indiquer quelle quantité de médicament il faut injecter au malade considéré pour que la concentration à l'instant initial t=0 soit la concentration maximum Cmax.

• Au bout de combien de temps la concentration descend-elle alors au-dessous de la concentration minimum Cmin ?

e) On veut définir une posologie pour un traitement de longue durée avec ce médicament. Déterminer, pour le patient considéré, le nombre de piqûres à effectuer chaque jour et la dose à injecter ; on désire faire le moins de piqûres possibles, ces piqûres étant faites aux mêmes heures tous les jours. L'augmentation de la concentration au moment de chaque injection de médicament est proportionnelle à la quantité de médicament injectée.

f) On se propose de déterminer automatiquement la posologie pour traiter tout nouveau malade devant être soigné avec le médicament considéré.

Pour cela, on fait subir à chaque nouveau malade le test décrit dans la question c) et on note les concentrations correspondantes C(0), C(1),....

Écrire un programme permettant, en entrant les données obtenues au moyen du test, d'afficher les horaires des piqûres et leur dosage.

Rédiger un mode d'emploi de ce programme, en vue de son utilisation dans un service hospitalier.

252 MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ

7. É

TUDE D

'

UN MÉDICAMENT ANTIÉPILEPTIQUE

Le médicament étudié dans l'exercice précédent était un antiépileptique, médicament dont les caractéristiques générales sont les suivantes :

• l'utilisation du médicament est prévue pour des traitements de très longue durée ; l'effet du médicament est corrélé à la concentration plasmatique du médicament ;

• la concentration plasmatique doit être supérieure à un certain seuil C_min

(sous peine d'inefficacité du traitement) ;

• la concentration plasmatique ne doit pas dépasser un certain plafond C_max

(assez proche de la concentration C_tox considérée comme toxique).

En période d'expérimentation, un nouveau médicament de ce type est essayé sur 1 2

patients.

Une dose de 200 mg est administrée par injection intraveineuse et un dosage de la concentration plasmatique (exprimée en µg/ml) est effectué à divers instants t (en heures) à partir de l'instant 0 correspondant à la fin de l'injection. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant (données fictives).

t 0 1 2 4 6 8 12 16 20 24

n° 1 11.0 8.5 7.0 5.5 4.7 4.4 3.7 3.1 2.6 2.2

n° 2 10.4 8.1 6.7 5.4 4.7 4.3 3.5 2.9 2.4 2.0

n° 3 12.0 8.6 7.2 5.8 5.3 4.7 4.2 3.3 2.8 2.4

n° 4 10.1 7.9 6.5 5.2 4.5 4.0 3.3 2.7 2.3 1.9

n° 5 10.5 8.0 6.7 5.2 4.6 4.1 3.4 2.8 2.3 1.9

n° 6 9.0 7.0 5.9 4.8 4.2 3.7 2.9 2.4 2.0 1.5

n° 7 10.2 7.9 6.5 5.2 4.6 4.2 3.4 2.8 2.4 2.0

n° 8 11.2 8.4 7.0 5.7 5.0 4.5 3.9 3.6 2.8 2.4

n° 9 10.4 8.0 6.6 5.3 4.6 4.3 3.6 2.9 2.4 2.0

n° 10 9.9 7.5 6.2 4.9 4.4 3.9 3.0 2.5 2.0 1.8

n° 11 10.6 8.1 6.7 5.4 4.7 4.3 3.5 2.9 2.4 2.0

n° 12 10.5 8.2 6.9 5.7 5.0 4.4 3.6 3.0 2.6 2.0

a) Pour chaque instant t, calculer la moyenne C(t) et l'écart-type de la concentration plasmatique.

b) Tracer en coordonnées semi-logarithmiques la courbe représentative de C en fonction de t et vérifier que C peut être considérée comme somme de deux exponentielles.

Évaluer les demi-vies correspondant à ces deux exponentielles : estimer la demi-vie la plus courte et soustraire l'exponentielle correspondante de C(t) puis estimer l'autre demi-vie (méthode de l'épluchage exponentiel).

c) La valeur de l'élimination urinaire du médicament a été déterminée : on a trouvé (pour la période de 24 heures étudiée) une dose moyenne de 92 mg (écart-type = 1 0

mg).

En déduire une interprétation des deux demi-vies et proposer un modèle d'échange entre plusieurs compartiments (sang, reins, liquide interstitiel, ...).

d) Sachant que, pour ce médicament, les concentrations plasmatiques limites sont

C_min = 5µg/ml , C_max= 15 µg/ml, C_tox = 20 µg/ml

proposer une posologie pour un traitement de longue durée en indiquant le nombre d'injections par jour et dosage de chaque injection (voir exercice précédent).

EXERCICES DU CHAPITRE 8 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 263

3. É

QUILIBRE PROIES

-

PRÉDATEURS

La mise en équation de l'équilibre proies - prédateurs étudié au chapitre 7 (§ 4) est basée sur des relations entre accroissements des deux variables qui sont le nombre de proies L

et le nombre de prédateurs R ; on peut utiliser directement ces relations pour évaluer de proche en proche les deux populations pour des intervalles de temps régulièrement espacés :

DL=aLDt—bLRDt,

DR=—pRDt+qLRDt. (1) c'est exactement la méthode d'Euler appliquée au système de Volterra :

L'=aL—bLR,

R'=—pR+qLR. (2)

On cherche des approximations de L et de R connaissant leurs valeurs initiales L₀ et R₀

pour t = t₀ (qu'on supposera égal à 0). Les valeurs successives (L₁,R₁), (L₂,R₂), … de (L,R)

pour t₁=t₀+h, t₂= t₁+h, … sont approchées par:

t t₀ t₁=t₀+h t₂=t₁+h …

L L₀ L₁=L₀+hL₀ (a—bR₀) L₂=L₁+hL₁(a—bR₁) …

R R₀ R₁=R₀+hR₀(qL₀—p) R₂=R₁ +hR₁(qL₁—p) … On obtient de meilleures approximations des solutions L, R du système de Volterra en adaptant au système différentiel du premier ordre la méthode de Heun.

Les valeurs approchées (L₁,R₁), (L₂,R₂), … de (L,R) pour t₁=t₀+h, t₂ = t₁+h, … sont obtenues par correction à partir des valeurs (L₁,R₁), (L₂,R₂), … prévues par la méthode d'Euler.

t t₀ t₁=t₀+h t₂=t₁+h …

L ₁=L₀+hL₀(a —bR₀) L ₂=L₁+hL₁(a—bR₁) … R ₁=R₀+hR₀(q L₀—p) R ₂=R₁+hR₁(qL₁—p) … L L₀ L₁=L₁—h

2L₀(a —bR₀)+h

2L₁(a —bR₁) L₂=L₂—h

2L₁(a—bR₁)+h

2L₂(a—bR₂) … R R₀ R₁=R₁—h

2R₀(q L₀—p)+h

2R₁(q L₁—p) R₂=R₂—h

2R₁(qL₁—p)+h

2R ₂(qL₂—p) … a) Programmation

Pour chacune des deux méthodes, écrire un programme en Pascal permettant d'afficher les valeurs successives de L et R à partir de leurs valeurs initiales lues au clavier ainsi que les valeurs des constantes a,b, p et q. La valeur du pas sera aussi lue au clavier de manière à pouvoir expérimenter sur la précision des méthodes.

b) Expérimentation

Exécuter ce programme avec les données suivantes :

a = 0,6 ; b = 0,01 ; p = 2,5 ; q = 0,01

;

^L(0)=200 ; R(0)=50.

Relever dans un tableau les valeurs prises par L et R pour t par pas de 0,2 entre 0 et 6. Représenter les fonctions L et R de la variable t dans les mêmes axes.

Représenter graphiquement les couples (L,R) ainsi obtenus, ainsi que le point E de coordonnées (_{q ,} ^{p a}

b) ^. Calculer le maximum et le minimum de L et de R.

Calculer la durée d'un cycle et la comparer à l'évaluation de la période T = 2π obtenue par linéarisation (chapitre 7, § 4.4). ap

264 MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ

4. V

ALEURS DE LA FONCTION DE

G

AUSS On considère l'équation différentielle y'=ty+1. a) Trouver les solutions de cette équation.

Vérifier que la solution f telle que f(0)=0 est définie par

f(t) = e^t2/2

0

t e^—u2/2du .

b) Exprimer la fonction de Gauss φ (exercice 3 du chapitre 6) au moyen de f.

c) Calculer φ(1) en résolvant numériquement l'équation différentielle et comparer les résultats obtenus par les diverses méthodes de résolution.

Comparer avec les résultats obtenus par les méthodes de calcul numérique des intégrales.

d) Peut-on calculer l'intégrale de Gauss (exercice 2 du chapitre 6) en utilisant ces méthodes ?

Les méthodes de simulation mathématique et de visualisation, basées sur la résolution numérique des équations différentielles du premier ordre s'adaptent à la résolution des systèmes différentiels du premier ordre, comme on l'a vu dans l'exemple du système de Volterra (exercice 3). Ces méthode sont précieuses pour l'étude des phénomènes irréguliers dont un exemple typique est donné par le système de Lorenz (exercice 5) qui est l'analogue continu du comportement chaotique étudié dans le chapitre 7 (exercice 4) pour des variables discrètes.

Une équation différentielle d'ordre supérieur peut se mettre sous la forme d'un système différentiel du premier ordre pour faciliter la mise en évidence des propriétés des solutions, par exemple l'existence d'un régime permanent vers lequel tend l'évolution du système (vibrations non linéaires : exercice 6).

5. S

YSTÈMES DIFFÉRENTIELS

Les méthodes d'Euler et de Heun utilisées dans l'exercice 3 pour étudier numériquement le système de Volterra s'appliquent de la même façon à un système différentiel du premier ordre se présentant sous la forme

x'=F(t,x,y,z) y'=G(t,x,y,z) z'=H(t,x,y,z)

a) Programmation

Écrire un programme en Pascal permettant d'afficher les valeurs successives de x, y

et z à partir de leurs valeurs initiales lues au clavier. Les fonctions F, G et H seront déclarées dans le programme sous le mot-clef function.

b) Expérimentation

Un système simple de trois équations amenant à des comportements irréguliers et apparemment erratiques des variables a été proposé en 1963 par E. LORENZ pour la modélisation de mouvements de convection dans l'atmosphère. Il dépend de trois paramètres s, r et b :

x'=(y—x)s y'=rx—y—xz z'=xy—bz

304 MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE, DE LA NATURE ET DE LA SANTÉ

Fonctions puissances

^: f(t)=t^α

Variable : tstrictement positive Paramètre : α réel quelconque Relations de définition

t^—α = 1 t^α

x= t^{1/α ⇔ xα=t} avec ^x_t^>_>⁰₀ Relations fonctionnelles t^α u^α = (t u )^α

t^α t^β = t^α+β

(^tα)^{β = tαβ} Monotonie

Fonction croissante si α>0 Fonction décroissante si α<0

Limites

1^α=1 quel que soit α lim t^α =

t→•

• s i α>0 0 s i α<0 lim t^α =

t→0

0 s i α>0

• s i α<0

Dérivées (^tα)^{' = αtα—1}

Graphes

Fonctions exponentielles

: f(t)=a^t

Variable : t réel quelconque Paramètre : a strictement positif Relations de définition

À partir des fonctions puissances, échange de la variable et du paramètre.

Relations fonctionnelles a^t b^t = (ab )^t

a^t a^u = a^t+^u (a^t)^u = a^{t u} a^t = e^{tln a} e=2,71828182…

Dérivées (^at)^{' = at ln a} (^et)' ^= et

Graphes

COMPLÉMENTS B - RELATIONS ENTRE VARIABLES 305

Fonctions logarithmes

: f(t)=logat

Variable : t>0 Paramètre : a>0 a≠1 : base du logarithme Relations de définition

x= log _at ⇔ t = a^x Cas particuliers x= log _et ⇔ t = e^x (logarithme népérien, noté ln) x= log ₁₀t ⇔ t =10^x (logarithme de base 10, noté log) Relations fonctionnelles log _auv = log _au+log _av log at^α = α log at

Rapport entre bases différentes a = e^{log a}

a^x = e^{xlog a} log at = l n t

l n a log bt = log ^at log ab

Graphes

Dérivées ( l n t)' _{= 1}

t , (log t)' ₌ 1

tl n 10 ª 0,43429

t , (log _at)' ₌ 1 t l n a

Croissance comparée

(on suppose α>0)

Lorsque t augmente indéfiniment

• e^ttend vers l'infini plus vite que t^α e^t

t^a = • l i m

t→•

• t^α tend vers l'infini plus vite que lnt t^α

l n t = • l i m

t→•

Graphes