L’apprentissage de la numération est un domaine nouveau, auquel les élèves n’ont pas été confrontés avant l’arrivée en CP. Certes, il poursuit la formation commencée en maternelle dans le domaine numérique: on y a généralement appris à désigner, de diverses manières, de petites quantités (par exemple en utilisant des dés à constellations pour se déplacer sur une piste à cases, en indiquant verbalement le nombre d’objets d’une collec- tion, en écrivant la date...). Toutefois les connaissances et les compétences à acquérir dans les deux dernières classes du cycle des apprentissages fondamentaux ne sont pas un simple prolongement de ce qui a été déve- loppé précédemment : il y a en particulier un saut conceptuel dont il ne faut pas minimiser l’importance.
Les difficultés des élèves sur la numération peuvent avoir deux origines : – une fragilité du bagage acquis en maternelle dans le domaine numérique qu’il faut essayer de détecter le plus tôt possible dans l’année; nous propo- sons ci-après des moyens de repérage, les trois premiers chapitres de cette partie étant consacrés à des activités permettant d’y faire face;
– des malentendus ou des incompréhensions portant sur les apprentissages nouveaux; c’est l’objet des trois derniers chapitres.
À l’entrée du CP, détecter les élèves fragiles dans le domaine numérique
En début d’année, il est important de repérer rapidement les élèves qui arrivent avec un bagage très limité dans le domaine numérique. En effet, il va falloir consolider et étendre ces acquis pour que chaque élève puisse rapidement disposer d’un socle de savoirs numériques communs à tous.
Pour cette évaluation, vérifier qu’aucun affichage numérique n’est visible dans la classe. La recherche d’informations porte sur:
– la connaissance de la suite des noms des nombres entiers (comptine numérique);
– la compétence en dénombrement;
– la capacité à lire ou à utiliser l’écriture chiffrée des premiers nombres entiers.
En principe, la plupart des enfants devraient quitter la maternelle en ayant
acquis ces compétences sur le domaine [1-10], voire sur un domaine plus étendu.
L’enseignant peut prévoir une évaluation diagnostique spécifique sur ces compétences pour l’ensemble des élèves de sa classe, ou déterminer, par l’observation des réponses aux premières activités qu’il propose, un nombre restreint d’élèves pour lesquels il éprouve le besoin de cerner plus précisément les acquis et les manques. Les exemples ci-dessous peuvent être utilisés de manière individuelle à cette fin.
La connaissance de la comptine numérique
• Est-ce que tu sais compter?
Au besoin amorcer : « un, deux... »; mémoriser à quel nombre se produit la première anomalie et, lorsque l’élève s’arrête, prendre un papier, un crayon et lui demander de reprendre : « Je voudrais noter ce que tu sais, veux-tu recommencer, s’il te plaît? » Marquer sur la feuille jusqu’où la comptine est conforme à l’ordre croissant et semblable d’une récitation sur l’autre (partie dite stable et conforme), le segment éventuellement identique lors des répétitions mais pas conforme à l’ordre naturel (c’est un phénomène courant en maternelle, qui peut encore persister en CP), les autres noms de nombres énoncés.
• Peux-tu compter jusqu’à « n »?
L’enseignant choisit pour n une valeur au plus égale au dernier nombre de la partie stable et conforme. Noter s’il y a effectivement arrêt au nombre indiqué, ou, dans le cas, fréquent, où l’élève va plus loin, s’il se rend compte qu’il a dépassé la valeur cible.
• Peux-tu compter à l’envers?
Partir d’une valeur n choisie de la même manière que précédemment, et au besoin amorcer, par exemple : « huit, sept... »
La compétence en dénombrement
Préparer plusieurs bacs contenant un petit nombre d’objets (différent à chaque fois et au plus égal à la moitié de la plus grande valeur de la partie stable et conforme de la récitation de la comptine numérique), un plateau comportant sept1 petits jetons (ou cubes) bleus et cinq autres rouges plus grands, ainsi qu’une boîte contenant une trentaine de petits cailloux, coquillages ou autres menus objets de même nature.
• Montrer les bacs les uns après les autres, dans un ordre aléatoire (c’est- à-dire autre que croissant ou décroissant), et noter pour chaque valeur si l’élève sait indiquer combien d’objets il y a dedans, s’il se trompe ou s’il ne répond pas.
1. Valeur minimum, même si l’élève ne compte pas jusque-là. Si l’on choisit une valeur supérieure à 7, garder un écart de deux unités entre les deux bacs.
• Pour chacune des valeurs qui ont fait l’objet d’une bonne réponse à l’exercice précédent, demander, à nouveau dans un ordre aléatoire, de prendre ce nombre d’objets dans la boîte. Noter les réponses correctes et les erreurs.
• Demander s’il y a plus de jetons (cubes) bleus ou de jetons (cubes) rouges.
• Prendre dans la boîte, sans que l’élève regarde, une quantité d’objets égale à la plus grande valeur reconnue correctement à la première étape de l’activité, et autant de jetons. Les placer dans deux dispositions différentes.
Voici un exemple pour la valeur 6 (notons que cette vérification de la simultanéité de la quantité et de la quotité n’a pas grande signification pour une valeur inférieure).
Dans le cas où les deux valeurs indiquées par l’élève sont égales, lui demander s’il y a plus de cubes, plus de jetons, ou autant des deux.
Le phénomène de « quotité sans quantité », où l’élève, face à deux valeurs égales, n’en déduit pas qu’il y a autant d’objets dans chacune des deux collections, a été mis en évidence par Pierre Greco. Il disparaît progressi- vement, quand les élèves ont eu suffisamment d’occasions de procéder à la vérification de leur choix leur permettant de déterminer si les deux ensembles ont autant d’éléments ou si l’un en contient plus que l’autre.
La capacité à lire ou à utiliser l’écriture chiffrée des premiers nombres entiers
• Préparer une série de cartons portant chacun une écriture chiffrée (allant au plus jusqu’à la plus grande valeur reconnue lors de la première épreuve de la série précédente), les présenter un à un en ordre aléatoire et demander à chaque fois à l’élève de dire ce qui est indiqué dessus.
• Placer les bacs utilisés précédemment en ordre aléatoire, donner à l’élève les cartons avec les écritures chiffrées qu’il a reconnues au cours de l’exercice ci-dessus (il peut éventuellement y avoir plus de bacs que de cartons à écriture chiffrée). Lui demander d’indiquer avec les cartons combien il y a d’objets dans les bacs (par exemple, en mettant le carton à côté du bac correspondant ou dedans).
Combien de cubes? Combien de jetons?
Les trois premiers chapitres de cet ouvrage sont consacrés à ces difficultés qui doivent être prises en charge dès le début du CP, parce qu’elles correspondent à des compétences primitives habituellement travaillées en maternelle sur lesquelles prennent appui les apprentissages relatifs à la numération. La fragilité des acquis en ce domaine résulte souvent de réussites obtenues grâce à des algorithmes comportementaux:
il est donc essentiel de donner à l’élève de nombreuses occasions de se confronter à des questions réelles à sa mesure, de ne pas lui faire reproduire une méthode donnée en modèle mais éventuellement de le conduire à observer plusieurs procédures pertinentes différentes employées par des camarades et de s’assurer que les stratégies qu’il met en place sont porteuses de sens pour lui.
D é t e c t e r l e s d i f f i c u l t é s p o r t a n t s u r l e s a p p r e n t i s s a g e s s p é c i f i q u e s e n n u m é r a t i o n
Les élèves doivent apprendre à reconnaître, produire et utiliser des nombres entiers, de la première centaine en CP jusqu’aux milliers en CE1, en les désignant de diverses manières. Pour cela, ils prennent conscience que l’on peut coder les quantités discrètes en fonction de plusieurs systèmes. Deux d’entre eux sont particulièrement importants :
– La numération écrite, c’est-à-dire l’écriture à l’aide des chiffres dits arabes. C’est une numération de position de base dix, dont la maîtrise nécessite de comprendre la distinction entre chiffre et nombre1 (que bien des adultes, même cultivés, ignorent), le principe de groupement par dix et le fait qu’un chiffre n’a pas une valeur immuable, mais qu’elle change selon sa place dans l’écriture du nombre.
– La numération orale, c’est-à-dire la manière usuelle de dire le nom du nombre. Ce système est complexe et ne coïncide pas, en français, avec la numération écrite2. Pendant l’année de CP, nous ne considérons pas comme primordiale l’utilisation par l’élève de la dénomination courante du nombre: il nous paraît bien plus important qu’il soit en mesure d’in- diquer ses caractéristiques en termes de dizaines et unités, ce qui permet de les exploiter (ordre, opérations); il peut tout aussi bien en épeler l’écri- ture chiffrée. En revanche, l’enseignant reformule systématiquement le nom du nombre, ou demande à un autre élève de le faire : progressivement, la mémorisation se met en place.
En plus, l’élève doit apprendre à situer un nombre parmi d’autres: compa- raison, rangement, intercalation et encadrement, d’abord à l’aide d’une
1. Voir les chapitres sur les difficultés relatives à l’écriture chiffrée (pp. 55-80) et au système de numération décimale de position (pp. 81-108).
2. Cette difficulté est plus particulièrement traitée dans le chapitre 5.
matérialisation des quantités ou de la suite des entiers naturels, puis simplement en se référant, directement ou indirectement, à leur valeur ou à leur écriture.
C’est aux problèmes relatifs à la numération stricto sensu (écrite et orale) et à l’ordre, que sont consacrés les trois chapitres suivants.
En regard de chaque difficulté fondamentale figure l’indication du moment dans la scolarité à partir duquel une vigilance s’impose. En effet, s’il est normal que les élèves soient amenés à fournir des efforts au cours d’un apprentissage, en revanche il est anormal que les jours passent sans que la situation s’améliore : il est indispensable d’agir assez rapidement, d’une part pour éviter que l’élève ne se décourage et de l’autre pour ne pas avoir à faire face à une accumulation d’incompréhensions successives.
Pour chaque difficulté fondamentale, plusieurs dispositifs d’aide sont proposés, de manière à permettre aux enseignants de reprendre l’appren- tissage à plusieurs reprises, si besoin est, sans qu’il en résulte pour l’élève une impression de « réchauffé ». Lorsque l’on recommence des activités déjà réalisées avec un matériel donné, en changeant de support, l’impor- tant n’est pas d’obtenir de l’élève un simple transfert de comportements s’adaptant aux nouveaux objets, mais de repérer s’il établit des liens entre les deux situations, malgré la différence d’apparence: c’est à cela que l’on identifie un début de modélisation, de conceptualisation.
La plupart des activités sont prévues pour une exploitation individuelle ou en petits groupes; parfois elles peuvent être menées en classe entière.
Chaque élève doit disposer de matériel en quantité suffisante pour pouvoir procéder lui-même aux manipulations nécessaires; il est généralement souhaitable que l’enseignant se procure aussi du matériel, mais de grande taille. Il n’y a que des avantages à organiser régulièrement une plage de travail par petits groupes : les groupes satellites permettent en autonomie une activité d’entraînement sur une ou des compétences déjà en bonne voie d’acquisition, alors que le groupe dirigé est celui où l’enseignant se consacre aux élèves qui ont besoin d’une aide particulière sur une compé- tence donnée.
