D IPLÔME NATIONAL DU BREVET
S ESSION 2020
M ATHÉMATIQUES
S ÉRIE GÉNÉRALE
N
OUVELLE-C
ALÉDONIE14
DÉCEMBRE2020
Durée de l’épreuve : 2h00 100 points
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il soit complet.
Il comporte 6 pages numérotées de la page 1 sur 6 à la page 6 sur 6.
L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé L’usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé
Exercice no1 18 points Exercice no2 8 points Exercice no3 11 points Exercice no4 16 points Exercice no5 7 points Exercice no6 14 points Exercice no7 15 points
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Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
EXERCICEno1— Un QCM à six questions 18 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Propositions Réponse A Réponse B Réponse C
1. 5 3−1
3×3
2 est égal à : 2
3 2 7
6
2. L’écriture scientifique de 245×10−5est : 245×5 2,45×10−3 2,45×10−7
Voici les durées en minutes entre différents arrêts d’une ligne de bus : 3 ; 2 ; 4 ; 3 ; 7 ; 9 ; 7
3. La durée moyenne en minutes entre les différents arrêts est : 3mi n 4mi n 5mi n
En considérant à nouveau la série statistiques précédente : 4.
La durée médiane en minutes entre les différents arrêts est : 3mi n 4mi n 5mi n
Un jeu de 32 cartes comporte 4 rois.
5. On tire au hasard une carte du jeu. 1
8
1 32
3 Quel est la probabilité d’obtenir un roi. 32
6. Une ville située sur l’équateur peut avoir pour coordonnées : (45˚N, 45˚E) (78˚N, 0˚E) (0˚N, 78˚E)
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EXERCICEno2— La facture 8 points Un prix TTC (Toutes Taxes Comprises) s’obtient en ajoutant la taxe appelée TGC (Taxe Générale sur la Consom- mation) au prix HT (Hors Taxes).
En Nouvelle-Calédonie, il existe quatre taux de TGC selon les cas : 22 %, 11 %, 6 % et 3 %.
Alexis vient de faire réparer sa voiture chez un carrossier.
Voici un extrait de sa facture qui a été tâchée par de la peinture.
Les colonnes B, D et E désignent des prix en francs.
A
A BB CC DD EE
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
Référence Prix HT TGC (en %) Montant TGC Prix TGC
Phare avant 64 000 22 % 14 080 78 080
Pare choc 18 000 22 % 21 960
Peinture 11 700 11 % 1 287 12 987
Main d’œuvre 24 000 1 440 25 440
TOTAL À RÉGLER 138 467
1.Quel est le Montant TGC pour le pare choc?
2.Quel est le pourcentage de la TGC qui s’applique à la main d’œuvre?
3.La facture a été faite à l’aide d’un tableur.
Quelle formule a été saisie dans la cellule E6 pour obtenir le total à payer?
EXERCICEno3— Programmes de calcul 11 points
On donne les deux programmes de calcul suivants : Programme A
— Choisir un nombre;
— Soustraire 5 à ce nombre;
— Multiplier le résultat par le nombre de départ.
Programme B
— Choisir un nombre;
— Mettre ce nombre au carré;
— Soustraire 4 au résultat.
1.Alice choisit le nombre 4 et applique le programme A.
Montrer qu’elle obtiendra−4.
2.Lucie choisit le nombre−3 et applique le programme B.
Quel résultat va-t-elle obtenir?
Tom souhaite trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calculs donneront le même résultat. Il choisitxcomme nombre de départ pour les deux programmes.
3.Montrer que le résultat du programme A peut s’écrirex2−5x.
4.Exprimer en fonction dexle résultat obtenu avec le programme B.
5.Quel est le nombre que Tom cherche?
Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.
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EXERCICEno4— La régate 16 points
Sur la figure suivante, on donne les distances en mètres : AB=400m, AC=300m, BC=500met CD=700m.
Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
B+
+
C
+
D
+
A
+ E 1.Calculer la longueur DE.
2.Montrer que le triangle ABC est rectangle.
3.Calculer la mesure de l’angleABC. Arrondir au degré près.
Lors d’une course les concurrents doivent effectuer plusieurs tours du parcours représenté ci-dessus. Ils partent du point A puis passent par les points B, C, D et E dans cet ordre puis de nouveau par le point C pour ensuite revenir au point A.
Mattéo, le vainqueur, a mis 1h48mi npour effectuer 5 tours du parcours. La distance parcourue pour faire un tour est 2880m.
4.Calculer la distance totale parcourue pour effectuer les 5 tours du parcours.
5.Calculer la vitesse moyenne de Mattéo. Arrondir à l’unité.
EXERCICEno5— La corde 7 points
Le triangle ABC rectangle en B ci-après est tel que AB=5met AC=5,25m.
1.Calculer en mètre la longueur de BC. Arrondir au dixième.
A+ B+
+
C
Une corde non élastique de 10,5mde long est fixée au sol par ses extrémités entre deux poteaux distants de 10m.
2.Melvin qui mesure 1,55mpourrait-il passer sous cette corde sans se baisser en la soulevant par le milieu?
Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.
EXERCICEno6— Les étiquettes 14 points
1.Justifier que le nombre 102 est divisible par 3.
2.On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de 85 : 85=5×17.
Décomposer 102 en produit de facteurs premiers.
3.Donner 3 diviseurs non premiers du nombre 102.
Un libraire dispose d’une feuille cartonnée de 85cm×102cm. Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées. Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure.
4.Les étiquettes peuvent-elles avoir 34cmde côté? Justifier votre réponse.
5.Le libraire découpe des étiquettes de 17cmde côté. Combien d’étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas?
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EXERCICEno7— L’habitation 15 points Nolan souhaite construire une habitation.
Il hésite entreune caseetune maisonen forme de prisme droit.
La case est représentée par un cylindre droit d’axe (OO′) surmontée par un cône de révolution de sommet S.
Les dimensions sont données sur les figures suivantes.
xreprésente à la fois le diamètre de la case et la longueurABdu prisme droit.
+
O
+
O′
+
S
x O′S=1m
OO′=2m
A+
B+
5m x 2m
1m
Partie 1
Dans cette partie, on considère quex=6m.
1.Montrer que le volume exact de la partie cylindrique de la case est 18πm3. 2.Calculer le volume de la partie conique. Arrondir à l’unité.
3.En déduire que le volume total de la case est environ 66m3.
Cylindre de rayonret de hauteurh
r
h
Volume=π×r2×h
h
r
Cône de rayonr et de hauteurh
Volume=1
3π×r2×h
Partie 2
Dans cette partie, le diamètre est exprimé en mètres, le volume en m3.
Sur l’Annexe, on a représenté la fonction qui donne le volume total de la case en fonction de son diamètrex.
1.Par lecture graphique, donner une valeur approchée du volume d’une case de 7mde diamètre.
Tracer en pointillés permettant la lecture.
La fonction qui donne le volume de la maison en forme de prisme droit est définie par V(x)=12,5x.
2.Calculer l’image de 8 par la fonction V.
3.Quel est la nature de la fonction V ?
4.Sur l’Annexe, tracer la représentation graphique de la fonction V.
Pour des raisons pratiques, la valeur maximale dex est de 6m. Nolan souhaite choisir la construction qui lui offrira le plus grand volume.
5.Quelle construction devra-t-il choisir? Justifier.
EXERCICEno8— Scratch 11 points
Le script suivant permet de tracer un carré de côté 50 unités.
1.Sur l’Annexe, compléter le script pour obtenir un tri- angle équilatéral de côté 80 unités.
quand estliqué
s'orienterà 90 degrés
styloenpositiond'ériture
avanerde 50
tourner de 90 degrés répeter 4 fois
On a lancé le script suivant :
2.Entourer sur l’Annexela figure obtenue avec ce script.
quand estliqué
s'orienterà 90 degrés
mettre longueur à 40
styloenpositiond'ériture
avanerde longueur
tourner de 90 degrés
ajouterà longueur 10 répeter 12 fois
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ANNEXES à rendre avec votre copie
Exercice 7
Partie 2: Questions 1 et 3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur x en mètres
Volume en m
3Exercice 8 Question 1
quand est liqué
s'orienterà 90 degrés
stylo en positiond'ériture
avanerde
tourner de degrés
répeter fois
Question 2
T Corrigé proposé sous licence ATTRIBUTION- PARTAGE DANS LES MÊMES CONDITIONS4.0 (CC-BY-SA) U
Merci de m’indiquer les erreurs et les coquilles éventuelles en me laissant un commentaire à l’adresse https://pi.ac3j.fr/brevet — F. ARNAUD
✂ – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
B REVET — 2020 — N OUVELLE -C ALÉDONIE — S ÉRIE GÉNÉRALE
CORRECTION Un sujet assez complet qui mélange la plupart des thèmes de troisième.
L
EXERCICEno1— Un QCM à six questions 18 points
Fractions — Écriture scientifique — Moyenne — Médiane — Probabilités — Coordonnées géographiques Un exercice classique avec six questions à choix multiples. Une question assez rare sur les coordonnées géographiques.
1.A=5 3−1
3×3
2donc A=5 3−1×3
3×2 A=5
3−1
2et A=5×2 3×2−1×3
2×3 A=10
6 −3
6d’où A=7
6ainsi 1.Réponse C .
2.245×10−5=2,45×102×10−5donc 245×10−5=2,45×10−3ainsi 2.Réponse B . 3.3+2+4+3+7+9+7
7 =35
7 =5 donc 3.Réponse C .
4.Il y a sept valeurs dans cette série statistiques. La médiane est donc la quatrième (3+1+3=7) quand on les classe dans l’ordre croissant.
Voici le classement : 2 ; 3 ; 3 ;4; 7 ; 7 ; 9 et ainsi 4.Réponse B .
5.Nous sommes dans une situationd’équiprobabilitéoù chaque issue se réalise avec la même fréquence.
Il y a 32 cartes et 4 rois.
La probabilité cherchée est donc 4
32=1×4 8×4=1
8donc 5.Réponse A .
6.La première coordonnée correspond à lalatitudec’est à dire le décalage nord ou sud par rapport à l’équateur.
La seconde coordonnée correspond à lalongitudec’est à dire le décalage est ou ouest par rapport au méridien de Greenwich.
Au niveau de l’équateur, la latitude est donc égale à 0 ˚. Ainsi 6.Réponse C .
L
EXERCICEno2— La facture 8 points
Pourcentage — Tableur
Un exercice très simple qui utilise les pourcentages et le tableur.
1.Il faut calculer les 22 % de 18000. 18000× 22
100=396000
100 =3960.
Le montant TGC pour le pare choc est 3960.
2.Le montant TGC de la main d’œuvre est 1440 pour un prix HT de 24000.
On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
Montant HT 24000 100
Montant TGC 1440 100×1440÷24000=6
Ou encore 1440
24000=0,06
Le poucentage de TGC pour la main d’ œuvre est de 6 %.
3.Dans la cellule E6 a été faite la somme des cellules E2, E3, E4 et E5.
On a saisi la formule :=E2+E3+E4+E5 ou=SOMME(E2 : E5).
L
EXERCICEno3— Programmes de calcul 11 points
Programmme de calcul — Calcul littéral — Équation
Deux programmes de calcul intéressants. L’équation finale contient un terme en x2dans chaque membre, c’est une difficulté rare dans un sujet de brevet.
1.En partant du nombre 4 dans le Programme A on obtient successivement : 4 puis 4−5= −1 et−1×4= −4.
On obtient bien−4 en partant de 4 avec le Programme A.
2.En partant du nombre−3 dans le Programme B on obtient successivement :
−3 puis (−3)2=9 et enfin 9−4=5.
On obtient 5 en partant de−3 avec le Programme B.
3.En partant d’un nombre génériquexavec le Programme A on obtient successivement : xpuisx−5 et (x−5)×x.
Or (x−5)ti mesx=x2−5x.
Le Programme A peut donc s’écrirex2−5x.
4.En partant d’un nombre génériquexavec le Programme B on obtient successivement : xpuisx2et enfinx2−4.
Le Programme B peu donc s’écrirex2−4.
5.Pour trouver le nombre que Tom cherche il faut résoudre l’équation :
x2−5x=x2−4 x2−5x−x2=x2−4−x2
−5x= −4 x=−4
−5 x=4
5 x=0,8
Vérifions :
Avec le Programme A on obtient : 0,8−5= −4,2
−4,2×0,8= −3,36
0,82=0,64 0,64−4= −3,36
Le nombre cherché par Tom est 0,8.
L
EXERCICEno4— La régate 16 points
Théorème de Thalès — Réciproque du théorème de Pythagore — Vitesse
Un exercice qui mèle théorèmes de géométrie et vitesse. Pas de difficulté majeur, intéressant 1.
Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C, les droites (AB) et (DE) sont parallèles, D’aprèsle théorème de Thalèson a :
CA CE=CB
CD=AB ED 300m
CE =500m
700m=400m ED En utilisant la règle de trois on obtient :
ED=400m×700m
500m d’où ED=280000m2
500m et ED=560m.
DE=560m.
2.Comparons AB2+AC2et BC2:
AB2+AC2 4002+3002 160000+90000
250000
BC2 5002 250000
Comme
AB2+AC2=BC2
, d’aprèsla réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A . 3.Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
On peut calculer le cosinus, le sinus ou la tangente de l’angleABC.
cosABC=AB BC cosABC=400m
500m cos ABC=4
5 cosABC=0,8
sinABC=AC BC sinABC=300m
500m sinABC=3
5 sinABC=0,6
tanABC=AC AB tanABC=300m
400m tan ABC=3
4 tanABC=0,75 Dans tous les cas, à la calculatrice on trouve ABC≈37◦à 1◦près.
4.Cinq tours de 2880mchacun. 2880m×5=14400m.
La distance totale parcourue mesure 14400m.
5.Mattéo a parcouru les 14400men 1h48mi n.
Calculons la vitesse moyenne en considérant que la distance parcourue et le temps sont proportionnels.
Distance 14400m 60mi n×14400m
108mi n =8000m
Temps 1h48mi n=108mi n 1h=60mi n
Comme 8000m=8km, Mattéo a effectué le parcours à la vitesse moyenne de 8km/h.
L
EXERCICEno5— La corde 7 points
Théorème de Pythagore
Un exercice original où on teste la capacité à modéliser une situation. Dans le sujet original, le personnage dessiné n’était pas Morty Smith Sr !!
1.Dans le triangle ABC rectangle en B, D’aprèsle théorème de Pythagoreon a :
BA2+BC2=AC2 52+BC2=5,252 25+BC2=27,5625
BC2=275625−25 BC2=2,5625 BC=p
2,5625 BC≈1,6 Au dixième de mètre près, BC≈1,60m.
2.Les poteaux sont distants de 10m. Melvin se place au milieu, donc à 5mdes extrémités.
Melvin se tient debout, donc son corps est perpendiculaire (vertical) au sol (horizontal).
La corde non élastique mesure 10,5mde long, sa moitié mesure donc 10,5m÷2=5,25m.
La situation peut se modéliser de la manière suivante :
A+ B+ D+
+
C
5m 5m
5,25m 5,25m
On constate qu’il s’agit de la situation géométrique de la question1.. Nous avons vu que BC≈1,60m.
Comme Melvin mesure 1,55m, un peu moins que 1,60m, Il peut passer sous la corde sans se baisser.
L
EXERCICEno6— Les étiquettes 14 points
Arithmétique
Un exercice d’arithmétique classique qui vise à déterminer un plus grand diviseur commun en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.
1.On constate que 102=3×34. 102 est donc divisible par 3 .
On peut aussi utiliser le critère de divisibilité par 3 : 1+0+2=3 et 3 est un multiple de 3.
2.
102 2
51 3
17 17
1
Ainsi 102=2×3×17
3.Il faut combiner les produits de nombres premiers de la décomposition de 102.
2×3=6; 2×17=34 et 3×17=51 sont des diviseurs non premier de 102 . 1 et 102 sont deux autres diviseurs non premiers de 102!
4.Il faut vérifier si 34 est un diviseur commun de 102 et 85.
Comme 102=34×3, 34 est un diviseur de 102.
Par contre 85=34×2+17 donc 34 ne divise pas 85.
Les étiquettes ne peuvent pas avoir un côté qui mesure 34cm.
5.17 est un diviseur commun de 102 et 85.
On a 102=17×6 et 85=17×5.
On peut donc découper 6 étiquettes sur la longueur et 5 étiquettes sur la largeur. Soit 6×5=30 étiquettes.
Il pourra découper 30 étiquettes.
L
EXERCICEno7— L’habitation 15 points
Volume du cylindre — Volume du cône — Fonction linéaire — Lecture graphique
Un exercice un peu alambiqué qui mélange géométrie, volume et lecture graphique de fonctions.
Partie 1
1.Le volume du cylindre s’obtient en calculant :π×r2×h.
Ici commex=6mon ar=3meth=OO′=2m.
Donc le volume mesure :π×(3m)2×2m=π×9m2×2m=18πm3. On a bien un volume de 18πm3.
2.Le volume d’un cône s’obtient en calculant :1
3π×r2×h.
Ici commex=6mon ar=3meth=SO′=1m.
Donc le volume mesure :1
3π×(3m)2×1m=1
3π×9m3=9π
3 m3=3πm3≈9m3 Le volume du cône mesure environ 9m3à l’unité près.
3.Le volume total de la case mesure donc : 18πm3+3πm3=21πm3≈66m3. Le volume total de la case mesure environ 66m3à l’unité près.
Partie 2
1. Pour 7mde diamètre le volume de la case mesure environ 90m3 2. V(8)=12,5×8=100
3. V est une fonction linéaire de coefficient 12,5.
4.La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
Comme V(0)=0 et que V(8)=100, la droite qui représente V passe par les points de coordonnées (0;0) et (8;100).
5.Pourx<6mla courbe de la fonction V est au dessus de l’autre courbe.
Il devra choisir la maison et non pas la case.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur x en mètres Volume en m
3L
EXERCICEno8— Scratch 11 points
Scratch
Un exercice Scratch avec peu de réponses demandées aux élèves. Pas difficile.
1.
s'orienterà 90 degrés
stylo en positiond'ériture
avanerde 80
tourner de 60 degrés répeter fois
2.Il s’agit de la figure suivante constituée de douze segments.
