M ATHEMATIQUES 3

COURS DE LICENCE 2–SCIENCES ECONOMIQUES COURS D’ANNIECLARET

M ATHEMATIQUES 3

PRISE DE NOTE PAR :PLASMAN SYLVAIN –SERIE 7 ANNEE 2010-2011

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Chapitre I

Les suites

SECTION I-LES SUITES, GENERALITES

I. Les suites, généralités A. Définition

B. Notation C. Exemples

D. Opérations sur les suites E. Suites convergentes

II. Théorème de convergence pour les suites réelles A. Définitions

B. Théorème (admis) C. Exemples

D. Étude de

SECTION II-LES SUITES RECURRENTES LINEAIRES

I. Généralités II. Equation d’ordre 1

A. Résolution de (2)

B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples (2)

III. Equation d’ordre 2 A. Résolution de (2)

B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples

E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson

SECTION III–ESPACES VECTORIELS

I. Etude de la structure de R² II. Espaces Vectoriels

A. Définition B. Exemples

C. Premières propriétés III. Sous espace vectoriels

A. Définition B. Propositions C. Exemples D. Propositions

E. Somme de 2 sous espaces vectoriels F. Sous espaces vectoriels supplémentaires IV. Dépendance et interdépendance linéaire

A. Définition B. Exemples C. Propriétés

D. Théorème (admis)

E. Base d’un espace vectoriel F. Dimension d’un espace vectoriel

G. Dimension des sous espaces vectoriels de E

Chapitre II

Applications linéaires SECTION I-GENERALITES

I. Généralités sur les applications linéaires A. Définition

B. Proposition C. Exemples D. Remarque E. Propriétés

F. Image et noyau d’une application linéaire

Annexes

AUTRES

Bibliographie

Chapitre I

Les suites

SECTION I–LES SUITES, GENERALITES

I. Les suites, généralités

A. Définition

Soit , (ensemble)

On appelle suite définie sur à valeurs réelles toute application de vers (réel)

B. Notation

= Ensemble des termes de la suite : Terme de rang

C. Exemples

- Suite définition terme à terme

- Suite définie par récurrence Suite arithmétique (

Suite géométrique ( )

Si ou , pour tout Si et

D. Opérations sur les suites

R étant muni des deux lois + et *, l’ensemble des suites définies sur A à valeurs réelles, est muni de + et *

Egalité

Multiplication

E. Suite convergentes ( (nombre entier)) Définitions :

Exemple :

Soit , existe-t-il tel que

– ? Or

Il suffit de choisir , entier, et strictement supérieur à

Alors , soit

II. Théorème de convergence pour les suites réelles ( ) : Sens de variation d’une suite

A. Définitions

1. Sens de variations des suites : Suite à valeurs réelles

 Suite croissant : Avec

Suite strictement croissante : Ex :

 Suite décroissante

Suite strictement décroissante 0

Ex :

2. Borner les suites

 Suite majorée : Ex :

 Suite minorée Ex :

 Suite bornée : majorée et minorée

Ex :

B. Théorème (admis) : Suite à valeurs réelles

Si est croissante majorée, alors elle converge Si est désormais minorée, alors elle converge Les réciproques sont fausses

C. Exemples

Par récurrence : un > = 0 pour tout n appartient à N Ce qui veut dire : est minorée par 0 , d’où

Comme elle est minorée par 0, elle converge

D. Étude de définie par

, f continue Si la suite converge, sa limite est un point fixe de Preuve : f continue

Application à l’exemple :

Soit , f continue sur

Si f est croissante, ( ) est monotone

a) Si , alors ( ) est croissante Par récurrence : pour

Conclusion : ,

b) Si est décroissante

Si est décroissante, la suite se décompose en deux sous suites et monotones et de sens de variations contraires

1) (o = rond = image de)

La croissance de entraine la monotonie des deux sous suites

2) Supposons ( ) croissante,

SECTION II–SUITES RECURRENTES LINEAIRES (voir fiche) I. Généralités

La variable entière est notée (temps, intervenant dans les modèles économiques) Soient

Pb : recherche de la suite vérifiant :

L’équation (1) s’appelle « Equation récurrente d’ordre p à coefficients constants » « Suite récurrente linéaire »

1) L’équation : est l’équation de récurrence d’ordre à coefficients constants appelée équation homogène associée à l’équation complète (1) 2) L’ensemble des solutions de (2) est parfaitement déterminé par la connaissance de p

solutions indépendantes de cette équation.

3) Obtention de la solution de (1) Soit Soit

Donc :

La solution générale de l’équation complète (1) s’obtient en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène de (2) une solution particulière de l’équation complète (1)

Remarque : la donnée de conditions initiales entraîne l’unicité de la solution de (1) 4) Equation

On résout séparément :

Soit

Soit

Conclusion : Exemple

Toutes les solutions s’écrivent



Remarquons :



Remarquons :

Alors

II. Equation récurrente d’ordre I (E.C) : Equation complète

(E.H) : Equation homogène

(E.C) , (1) (E.H) (2)

A. Solution de (2)

L’ensemble des solutions de (2) est engendré par 1 solution non nulle (p=1) On la cherche sous la forme

( )

L’équation s’appelle « équation caractéristique » associée à l’équation (1) ou (2)

B. Comportement des solutions de (2) Solution d’équilibre : solution constante

0 est choisi comme solution d’équilibre si , on dit qu’il y a équilibre stable

(Condition de stabilité)

C. Solutions particulières de (1)

Où et P polynôme de degré p

 Si µ n’est pas racine de

On cherche sous la forme : avec

 Si µ est racine de

On cherche sous la forme : avec

D. Exemples (2)

(1) (E.H) –

,

S.P de (1) :

D’où

D’où –

<->

Et –

La donnée de fixe

–

D’où

Et –

– (1)

(E.H) – –

S.P de (1),

–

Remarque : solution générale de l’E.H, il suffit de chercher sous la forme

Ici :

III. Equation récurrente d’ordre 2 (E.C) (1)

(E.H) (2)

A. Résolution de (2)

L’ensemble des solutions de (2) est engendré par deux solutions indépendantes (non proportionnelles). Ces deux solutions se cherchent sous la forme :

,

Est l’équation caractéristique associée à l’équation (1) –

a) admet deux racines distinctes . ( ) Solution de (2) :

b) , une racine double λ

(2) :

Solution de (2) :

c) , racines complexes conjugués, La solution est :

On montre alors que sont deux complexes conjugués Alors =2 parties réelles ( ), (Re = parties réelles)

B. Comportement des solutions de (2)

Selon la nature de et (racines simples ou doubles, réelles ou complexes) la convergence de se fera de façon monotone ou non, comportant des composantes oscillatoires ou non.

Equilibre stable si : Soit si | |< 1 et | |<1

C. Solutions particulières de (1) , P polynôme de On cherche sous la forme

, Q polynôme

 Si µ n’est pas racine de

 Si µ est racine simple de

 Si µ est racine double de

D. Exemples

1) E.H :

Conditions initiales :

 2) a) (E.H)

b)

µ=2, racine simple de ;

c)

3)

(E.H)

SP de (1) Ici

D’où



4)

(E.H)

 Solution particulière de l’équation complète (SPEC) : (-2) non racine de (*)

E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson = consommation

= revenu national

= investissement induit par les variations de la consommation = investissement autonome

Remarque : SP de (1)

:

1 non racine de



Problème : étude de la stabilité du modèle

Résolution de (2)

–

1)

Deux racines réelles distinctes 2)

Une racine double lambda 3)

Deux racines complexes conjuguées

Comportement des solutions de (2)

 Propriété : les racines de sont de modules strictement inférieurs à 1 si et seulement si

Ici

Il faut donc comparer a :

1) d’une part à

2) d’autre part à Etude de g(k) pour k>0

0 1

4 + 0 -

0

1

0

Courbe sur photocopie donnée en cours (Voir « Le PACK »)

SECTION III–ESPACE VECTORIELS

I. Etude de la structure de R²

C’est une loi de composition interne vérifiant :

① + est commutative

Pour tous couples

② + est associative

Pour tous

En effet :

③ + admet un élément neutre : le couple nul

④ Tout élément de admet un symétrique : le couple

⑤ est un groupe commutatif

Vérifiant :

① En effet :

② En effet :

③ En effet :

④

En effet :

II. Espace vectoriel K = R ou K=C

E : Ensemble A. Définition

On dit que E à une structure d’espace vectorielle sur K si sur E sont définies deux fois : 1) Une loi de composition interne

2) Une loi de composition externe Vérifiant :

a) ( ) groupe commutatif

b) Pour tout éléments de E, pour tout éléments de K :









B. Exemples

+ :

Groupe commutatif Neutre

Symétrique de = b) l’ensemble des suites à valeurs de R

Car

L’ensemble des fonctions définies sur R à valeurs réelles est un espace réelles est un espace vectoriel sur R,

–

C. Premières propriétés

Supposons

(3^ème point)

(4^ème point)

Conséquence :

1)

2)

III. Sous espace vectoriel

A. Définition

F est un sous ensemble vectoriel de E si, muni des lois + et , il a une structure d’espace vectoriel sur K.

B. Proposition

a) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si :





 (F stable pour )

b) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si : 1)

2) (F stable par combinaison linéaire)

Remarque : F étant un sous espace vectoriel

C. Exemples

2) Soient

P est un s.e.v de P : plan vectoriel

D. Proposition

L’intersection de deux sous espaces vectoriels de E est un sous espace vectoriel de E

La réunion de deux sous espaces vectoriels de E n’est pas un sous espace vectoriel de E, en général.

Preuve : F et G sont deux s.e.v de E s.e.v de E. En effet :

Soient Soient

Définition :

On appelle espace vectoriel engendré par une partie A de E le plus petit espace vectoriel de E contenant A. C’est l’intersection de tous les sous espaces vectoriels de E contenant A.

Exemple : L’espace engendré par dans , c’est

E. Somme de deux sous espaces vectoriels

Définition

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On appelle sommes des deux s.e.v F et G

Propositions

F+G est un sous ensemble vectoriel de E Preuve : 1)

Définition

Soit E’=F+G

Tout vecteur de s’écrit si, pout tout , cette décomposition est unique on dit que la somme F+G est directe et on note

E’=F+G

Propriété :

1) E’=F + G

Soit

L’unicité de la décomposition exige

Donc

F. Sous espaces vectoriels supplémentaires

Définition

Deux sous espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E sont dit supplémentaires Si E = F + G

Exemples 1)





IV. Dépendance et interdépendance linéaire

A. Définitions

1) A est une famille libre ou linéairement indépendante si toute combinaison linéaire de vecteurs de A égale à 0-> implique que tous les coefficients sont nuls.

Si Dans le cas contraire, A s’appelle une famille liée.

Les vecteurs de A sont dits linéairement dépendants.

2) A est une famille génératrice de E si tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de A

B. Exemples E=R²

1) est libre (mais non génératrice de R²) Car

B = est génératrice de R² Soit

B n’est pas libre

Il suffit de choisir

On obtient une combinaison linéaire des éléments de B dont les coefficients sont non nuls .

C. Propriétés a) b) Si

c) Toute sur-famille d’une famille liée est liée.

Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice Toute sous-famille d’une famille libre est libre

D. Théorème (admis)

Si est une famille génératrice et une famille libre,

E. Base d’un espace vectoriel

Définitions

Une base de E est une famille de E à la fois libre et génératrice.

Proposition Soit B une famille génératrice.

B est une base si et seulement si tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de B de manière unique.

Preuve :

1) On suppose B libre : B = Soit tel que

B libre

donc la décomposition est unique 2) On suppose :

Tout s’écrit (avec ) de façon unique

B est libre

Exemples

Dans

1)

2)

F. Dimension d’un espace vectoriel Propriétés

Dans un espace vectoriel, toutes les bases ont les même nombre d’éléments.

Soit B et B’ deux bases de cardinaux respectif n et n’

B libre et B’ génératrice B libre et B’ génératrice

Définition

Le cardinal commun à l’ensemble de toutes les bases de l’ E s’appelle la dimension de l’ E.

Remarque est un espace vectoriel de dimension

Conséquences Soit un de dimension :

Tout système libre d’ordre est une base, tout système générateur d’ordre est une base.

G. Dimension des sous espaces vectoriels de E

Rang d’une famille de vecteurs

Définition : A étant une famille de vecteurs de E et F le de E engendré par A, on appelle rang de A la dimension de F

Exemple :

Dans 1) A = … A est libre

F engendré par A : A système générateur de F.

A base de F, Rang A = 2

2) B , base de

Espace engendré par B : Rang B = 3

3) C =

Droite vectorielle de base Rang C = 1

Théorème (admis)

F et G étant deux d’un espace vectoriel E : –

Cas particulier : Si

Exemple Dans

1) est un plan vectoriel (connu) –

2) est un plan vectoriel

3) est une droit vectorielle

4)





Chapitre II

Applications linéaires

SECTION I–GENERALITES

I. Généralités sur les applications linéaires

A. Définition

E et F étant deux espaces vectoriels sur K, une application est dite linéaire si :

B. Proposition

F est linéaire si et seulement si :

C. Exemples 1)

a)

b)

2) et

Soient

Remarque :



Symétrie par rapport à , parallèlement à

D. Remarque

Pour toute application linéaire

On sait : pour tout pour tout Choix

Donc Ex :

Notations : L : ensemble des applications linéaire de E vers F

L : ensemble des applications linéaires de E vers lui même

E. Propriétés

1) On définit sur L une addition et une multiplication externe.

Addition : +

L , L , L

Multiplication externe : *

L , L :

L espace vectoriel sur

2) Soit L et L . Alors L

F. Image et noyau d’une application linéaire

Signé par :

(^)(^) (= ^{^} - ^{^} =) (‘’) (‘’)

POOKI POOKI

votre fidèle serviteur …

Bibliographie :

« Mathématique schématisées » DAMERON Jean Claude, Economica

« Analyse mathématique pour économistes » GUERRIEN, B – ARCHINARD, Economica

« Algèbre linéaire pour économistes »GUERRIEN, B, Economica

« Algèbre Exercices corrigés avec rappel de cours » LECOUTRE J.P. – PILIBOSSIAN P., Masson

« Algèbre linéaire pour économiste » PILLIER Alain, (Maxima)

« Cours de mathématiques pour économistes » MICHEL Philippe, Economica