6.8 F.S.O Session ordinaire 2008/2009

6.8 F.S.O Session ordinaire 2008/2009

Exercice I

Soienth =β−^αavecαetβ∈ [a,b]et g une fonction de classeC⁴([a,b]). Montrer que :

1) Z β

α g(x)dx = ^h

2{^g(α) +g(β)}+ ^h

2

12

g^′(α)−^g′(β) + ¹ 24

Z β

α (x−^β)²(x− α)²g⁽⁴⁾(x)dx

2) Z β

α g(x)dx = ^h

2{^g(α) +g(β)}+ ^h

2

12

g^′(α)−^g′(β) + ^h

5

720g⁽⁴⁾(θ)avecθ ∈ [α,β]

3) On suppose que[a,b]est subdivisé en n sous intervalles [xi,xi+1],i=0, 1, ...,n−¹

Montrer que : Z b

a g(t)dt = ^h

2{^g(a) +2[g(x1) +g(x2) +...g(xn−1)] +g(b)}+ h²

12

g^′(a)−^g′(b) + (b−^a)⁵

720 g⁽⁴⁾(λ)oùλ∈[a,b]eth= xi+1−^xi;

(Justifiez bien vos réponses pour montrer la différence entre g⁽⁴⁾(x),g⁽⁴⁾(θ)et g⁽⁴⁾(λ))

4) On prend g(x) = exp(−^x2) et on donne g(1) = 0.368, g(¹

2) = 0.779 et g^′(1) =−^0.736

En prenant max

0≤t≤1

g⁽⁴⁾(t) = 12 , donner une approximation de Z ₁

0 exp(−^x2)dx avec précision 10⁻²

Exercice II

Soientδetε∈]0, 1[et g une fonctionC⁴([a,b])aveca <b.

On considèreαetβ∈[a,b]avecα<βet on poseh=β−^α

SoitP^ε,δ(x)le polynôme interpolantgaux pointsα,α+ε,β, etβ+δ 1) ExprimerP^ε,δ(x)dans la base de Newton

2) Donner l’expression de l’erreur d’interpolation :e^ε,δ(x) =g(x)−^Pε,δ(x) 3) On définit :

[g(α),g(α)] =lim

ε→0[g(α),g(α+ε)]et[g(β),g(β)] =lim

δ→0[g(β),g(β+δ)]

Montrer que :

i)[g(α),g(α),g(β)] = ¹ h

g(β)−^g(α)

h −^g′(α)

ii)[g(α),g(α),g(β),g(β) = ¹ h²

g^′(α)−^2g(β)−^g(α)

h +g^′(β) 4) SoitH(x) = lim

ε,δ→0P^ε,δ(x)etM4 = max

α≤t≤β

g⁽⁴⁾(t)

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Montrer que|^g(x)−^H(x)|= lim

ε,δ→0

e^ε,δ(x) ≤ ^h4M4

384 ∀^x∈[α,β] Exercice III

On définit la fonctionh(x) = ¹

1−^{x pourx}∈[0 , 1[ 1) ClaculerH(x) =

Z _x

0 h(t)dt oùx <1 et donner la valeur deH(² 3)

2) Donner l’expression du polynôme de LagrangeQ(x)interpolanthen 0, 1 3 et 2

3 3) Trouver les coéfficientsC0 ,C1, C2 tels que pour tout polynôme Pde degré

≤ ² on ait :

Z 2 3

0 P(t)dt=C0P(0)+C1 P(¹

3) +C2P(² 3) (E)

4) Utiliser l’égalité(E)pour donner une valeur approchée deLog(3)

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