Algorithmique 4. Cours 3

(1)

Algorithmique 4. Cours 3

Marie-Pierre B´eal d’apr`es Maxime Crochemore

http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/mac/TSP/index.html

Recherche d’un motif dans un texte

(2)

Chaˆınes de caract`eres

Alphabet : un ensemble fini de lettres. A={a,b,c, . . . ,}.

Mots : A^∗ suites finies de lettres. Le mot vide est not´eε.

La longueur d’un mot x est not´ee|x|.

Notation x=x[0]x[1]· · ·x[|x| −1] =abaaabababa.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x[i] a b a a a b a b a b a

(3)

Chaˆınes de caract`eres

Pr´efixe : x est pr´efixe dey s’il existe un mot z tel quey =xz.

Suffixe : x est suffixe de y s’il existe un mot z tel quey =zx.

Facteur : x est facteur dey s’il existe des mot z,t tel quey =zxt.

Positions : x apparaˆıt dansy en positioni si y =uxv et|u|=i, ou encore si x =y[i]y[i + 1]...y[i+|x| −1] =y[i,i+|x| −1].

(4)

P´eriodes et bords

Soit x un mot non vide etp un entier tel que 0<p ≤ |x|.

p est une p´eriode dex si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est satisfaite.

1 x[i] =x[i+p], pour 0≤i <|x| −p.

2 x est pr´efixe dey^k, pour un entierk>0,|y|=p.

3 x =yw =wz, pour des motsy,z,w avec|y|=|z|=p. Une telle chaˆıne w est appel´ee unbordde x.

La période dex,period(x), est sa plus petite période (peut être

´egale `a |x|).

Le bord dex est son plus long bord (peut ˆetre le mot vide) P´eriodes et bords de abacabacaba

4 abacaba

8 aba

10 a 11 ε

(5)

Recherche d’un motif dans un texte

texte

pattern

✲

✛

position de l’occurrence

Probl`eme

Trouver toutes les occurrences du motif (ou pattern)x de longueurm dans le textey de longueurn.

Plusieurs solutions selon que l’on consid`ere que

Le pattern est fix´e : solutions avec un pr´e-traitement du pattern.

Le texte est fix´e : solutions bas´ees sur la construction d’un index.

(6)

”Pattern matching”

Etant donn´e un pattern´ x, trouvertoutes les positions dex dans n’importe quel texte y.

Pattern : une suite x dem symboles.

t a t a

Texte : une suite y den symboles.

c a c g t a t a t a t g c g t t a t a Occurrences en positions 4, 6, 15.

c a c g t a t a t a t g c g t t a t a

t a t a t a t a

t a t a

Op´eration de base: comparaison de symboles (=,6=)

(7)

Strat´egie de la fenˆetre glissante

textey

patternx

✞ ☎

fenˆetre

scan . . . scan . . . scan

✲

d´ecalage✲ d´ecalage

Scan et d´ecalage de la fenˆetre

mettre la fenêtre au début du texte whilefenêtre est sur le texte do

scan:iffenêtre = patternthen enregistrer une occurrence décalage: décaler la fenêtre vers la droite et mémoriser des informations pour les scans et décalages futurs

(8)

Algorithme na¨ıf

c a c g t a t a t a t g c g t t a t

t a t a

Principe

On ne mémorise rien. On décale de 1 position à droite Complexité

temps O(m×n), espace suppl´ementaireO(1) Nombre de comparaisons de symboles

au maximum≈m×n en moyenne ≈2×n

sur un alphabet `a deux lettres avec des sources sans m´emoire

´equiprobables et ind´ependantes.

(9)

Algorithme na¨ıf

u u

τ

0 σi m−1

0 pos j n−1

y

x

RechercheNa¨ıve (stringx,y; integerm,n) pos ←−0

whilepos ≤n−m do i ←−0

whilei <m and x[i] =y[pos +i]do i ←−i + 1

ifi =m then output(”x apparaˆıt dansy en position”,pos) pos ←−pos+ 1

(10)

Recherche du motif avec un automate

(11)

On utilise l’automate d´eterministe minimal A(x) acceptantA^∗x, o`u Aest l’alphabet de y

Exemple x =abaa,A={a,b}

0 a 1 b 2 a 3 a 4

b a

b b

b a

Recherche de abaadans

b a b b a a b a a b a a b b a ·

´etat 0 0 1 2 0 1 1 2 3 4 2 3 4 2 0 1 ·

(12)

Algorithme de recherche du motif

Simple scan du texte avec l’automate A(x)

RechercheParAutomate (stringx,y; integerm,n) (Q,A,initial,{terminal}, δ) est l’automateA(x) q←− ´etat initial

ifq est terminal then enregistrer une occurrence dex dansy while notfin de y do

σ←− symbole suivant de y q ←−δ(q, σ)

ifq est terminal then enregistrer une occurrence dex dansy

(13)

Construction de l’automate A( x )

automate ConstructionAutomate(string x) Soitinitial un nouvel ´etat

Q←− {initial} terminal ←−initial

forallσ in Ado δ(initial, σ)←−initial while notfin de x do

τ ←− symbole suivant de x r←−δ(terminal, τ)

ajouter un nouvel ´etats `aQ δ(terminal, τ)←−s

forallσ inA doδ(s, σ)←−δ(r, σ) terminal ←−s

return(Q,A,initial,{terminal}, δ)

(14)

Complexit´e

Pattern x de taille m, texte y de taille n

Avec un automate implémenté par matrice de transitions Pré-traitement de x temps O(m×card(A))

espace O(m×card(A))

Recherche dans le texte y temps O(n)

espace O(m×card(A))

D´elai temps constant

Am´elioration (plus difficile)

On peut calculer l’automate A(x) en temps et espace O(m) ind´ependamment de la taille de l’alphabet.

Animation de Thierry Lecroq

http ://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/mac/TSP/DOC/Thierry-Lecroq- sma.pdf

(15)

Algorithme de Boyer-Moore

(16)

Rappel : l’algorithme na¨ıf fait un scan de gauche `a droite

a a c a a a a a b a b a a b a b . . a b a a a a

a b a a a a a b a a a a

. . .

(17)

Scan de droite `a gauche : exemple 1

a a c a a a a a b a b a a b a b . . a b a a a a

a b a a a a a b a a a a

. . .

(18)

Scan de droite `a gauche : exemple 2

a b a b a a a b a b b a a b a b . . a b a a a b a b

a b a a a b a b a b a a a b a b

a b a a a b a b . . .

(19)

Scan de droite `a gauche et d´ecalage

texte · · · c g c t c g c g c t a t c g · · ·

pattern c g c t a g c

c g c t a g c

r`egle de d´ecalage (fonction d) dite du ”bon suffixe”

règle de décalage dite du ”mauvais caractère”

whilefenˆetre est sur le texte do

u←− plus long suffixe commun à fenêtre et pattern ifu= pattern thenenregistrer une occurrence décaler la fenêtre ded(u) positions à droite

(20)

u u u τ σ i

? pos

textey

patternx _✛d´ecalage_✲

u u τ σ i pos

textey

patternx _✛ d´ecalage _✲

Pré-calcul des occurrences les plus à droite des motsu :O(m) Le décalage de type 2 est la période de x

Le tableau D implémente une règle de décalage dite règle ”du bon suffixe” :

d´ecalage=d(u) =D[i]

(21)

Algorithme de Boyer-Moore (r`egle ”du bon suffixe”)

u u τ σ

0 i m−1

0 pos j n−1

textey

patternx

BM(stringx,y; integer m,n) pos ←−0

whilepos ≤n−m do i ←−m−1

whilei ≥0 andx[i] =y[pos +i] doi ←−i−1 ifi =−1then

output(”x apparaˆıt dansy en position”,pos) pos ←−pos+period(x)

else

pos ←−pos+D[i]

(22)

Calcul du d´ecalage

Fonction de d´ecalage d :

d(u) = min{|z|>0|(x suffixe deuz) ou

(τuz suffixe dex et τu n’est pas suffixe de x, pourτ ∈ A)}

Tableau des d´ecalages D :

D[i] =d(x[i + 1,m−1]), pouri = 0, ..,m−1

x σ u

z^′′

τ u

z^′ u

Note 1 : u est un bord de uz^′′

Note 2 : |z^′|est une p´eriode de uz^′ (et donc |z^′|est une p´eriode de x)

(23)

Complexit´e de Boyer-Moore Phase de pr´e-traitement

calcul du tableau D O(m) (voir plus loin) Phase de recherche (de toutes les occurrences)

temps de calcul O(n×m)

nombre minimum de comparaisons n/m nombre maximum de comparaisons n×m

(24)

Calcul de la table des suffixes

Calcul d’un tableau Sufde taille m

Suf[i] = longueur du plus long suffixe dex qui est un bloc se terminant en position i dans x

Suf[i] i patternx

Complexit´e

La complexit´e en temps et espace du calcul deSuf sur un pattern de taillem est O(m).

(25)

i fix´e :Suf[j] connu pouri <j ≤m−1

k = min{j −Suf[j]|i <j <m} (pos. la plus à gauche déjà vue) σ 6=τ;σ^′ 6=τ^′;Suf[i+m−j −1] =|u^′|

0 k i j i+m−j−1 m−1

x τ u σ u

τ^′ u^′ τ^′ u^′ σ^′ u^′

Si Suf[i+m−j−1]<i−k :Suf[i] =Suf[i+m−j −1]

0 k i j i+m−j−1 m−1

x τ u σ u

u^′ τ^′ u^′ σ^′ u^′

Si Suf[i+m−j−1]>i−k :Suf[i] =i−k

0 k i j i+m−j−1 m−1

x τ u σ u

u^′ σ u^′ σ^′ u^′

Si Suf[i+m−j−1] =i−k : trouverSuf[i] en scannant`a partir de la position k. Donne un nouveau k et un nouveau j (=i)

(26)

Calcul linaire du tableau Suf , puis de D `a partir de Suf

Compute Suf(stringx; integerm)

Suf[m−1]←−m;k ←−m−1 ; j ←−m−1 ; fori ←−m−2 downto0 do

ifi >k andSuf[i+m−j−1]6=i −k then Suf[i]←−min{Suf[i +m−j −1],i−k}

else

j ←−i;k ←−min{i,k};

while k ≥0 andx[k] =x[k+m−j −1] do k ←−k−1 ;

Suf[i]←−j−k returnSuf

(27)

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x[i] a b a a a b a b a b a

Suf[i] 1 0 3 1 1 0 3 0 5 0 11

Initialisation deD en utilisant les p´eriodes de x

Suf[2] = 3 =⇒ période 8 ; Suf[0] = 1 =⇒ période 10 ; période 11

8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 11

Calcul du tableauD `a partir de Suf

Suf[3] = 1 =⇒ D[9]≤7 ; Suf[8] = 5 =⇒D[5]≤2

8 8 8 8 8 /8 8 /8 10 //10 //11

2 /8 //10 /9

4 7/ /5

6 /3 1

D[i] 8 8 8 8 8 2 8 4 10 6 1

(28)

Calcul de D `a partir de Suf

Compute D(stringx; integerm; table D) j ←−0 ;

fori ←−m−2 downto−1 do ifi =−1orSuf[i] =i+ 1then

while j <m−i−1do D[j]←−m−i−1 ; j ←−j+ 1 ;

fori ←−0 tom−2 do

D[m−Suf[i]−1]←−m−i−1 ; returnD

(29)

Algorithme de Boyer-Moore Horspool

Le décalage de la fenêtre est contrôlé par la règle dite du ”mauvais caractère”.

z u u τ σ i τ pos

textey

patternx _✛d´ecalage_✲

✲

✛

DA[τ]

On définit une tableDA indicée par les caractères.

La table DAv´erifie :

DA[τ] = min{|z|>0|τz suffixe dex} ∪ {|x|}

d´ecalage=DA[τ]− |u|=DA[τ]−m+i+ 1

(30)

Algorithme de Boyer-Moore Horspool

Calcul de la tableDA

Compute DA(stringx; integerm) forallσ in Ado

DA[σ] =m

fori ←−0 tom−2 do DA[x[i]] =m−i −1 returnDA

(31)

Algorithme de Boyer-Moore

BM(stringx,y; integer m,n) ; pos ←−0

whilepos ≤n−m do i ←−m−1

whilei ≥0 andx[i] =y[pos +i] do i ←−i −1

ifi =−1then

output(’x occurs in y at position ’, pos) pos ←−pos+period(x)

else

pos ←−pos+ max{D[i],DA[y[pos+i]]−m+i+ 1}