Traitement Numérique des Signaux
Architecture d
Architecture d’’une Chaune Chaîîne de Traitement Numne de Traitement Numéériquerique
Cadencement : Horloge fréquence fE
Acquisition Programme
de Calcul Restitution
e(t) {eN} {sN} s(t)
Analogique Numérique Analogique
Acquisition : De l
Acquisition : De l’’Analogique au NumAnalogique au Numéériquerique
Filtre passe bas (Anti repliement)
Echantillonnage blocage
Quantification CAN
Codage
e(t) {eN}
Restitution : Du Num
Restitution : Du Numéérique rique àà l’l’AnalogiqueAnalogique
Décodage
{sN} s(t)
Blocage
CNA Filtre
passe bas (Lissage)
Échantillonnage du Signal AnalogiqueÉchantillonnage du Signal Analogique
e*= e(t)×p(t)
e(t)
TE 2TE 3TE 4TE 5TE …..
p(t)
e*(t) t0 t0 1 0
0 0
e(t) e*(t)
fE
Exemples Exemples
e(t) = 5xsin(260πt) échantillonnage à 1500Hz
0 0 . 0 0 2 0 . 0 0 4 0 . 0 0 6 0 . 0 0 8 0 . 0 1 0 . 0 1 2 0 . 0 1 4 0 . 0 1 6 0 . 0 1 8 0 . 0 2
T i m e ( s) 0
- 2
- 4 2 4
V e c h V e
Signal quelconque échantillonnage à 1500Hz
0 .0 0 2 0 .0 0 4 0 .0 0 6 0 .0 0 8 0 .0 1 0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 1 6 0 .0 1 8
T i m e (s) 0
-5 5
V e c h V e
Spectre du Signal
Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé Décomposition du signal d’échantillonnage p(t) :
p(t) = <p> + p1.cosωEt + p2.cos2 ωEt + p3.cos3ωEt + … + pN.cosNωEt + … avec : <p> = t0.fE
pN= (2/Nπ).sin(Nπt0fE)
Exemple : Représenter le spectre de p(t) si fE= 8 kHz et t0= 10 µs
p10 p9 p8 p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1
<p>
Ampl (V)
Fréq (kHz)
ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Sinusoun Signal Sinusoïïdaldal e(t) =Ê.cosωt
e*= e(t)×p(t)
e*= Ê.cosωt×[<p> + p1.cosωEt + p2.cos2ωEt +…+ pN.cosNωEt ..]
Ex : e=2cos2000πt fE= 8kHz ; t0= 10µs
e*= p.Ê.cosωt + 0,5.p1.Ê[cos(ωE-ω)t+cos(ωE+ ω)t]
+ 0,5.p2.Ê[cos(2ωE-ω)t+cos(2ωE+ ω)t]
+ …..
+ 0,5.pN.Ê[cos(NωE-ω)t+cos(NωE+ ω)t] + …..
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0
F r e q u e n c y ( H z ) 0
0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 .1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6
V e c h
ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Quelconqueun Signal Quelconque
Dans le signal échantillonné, on retrouve le spectre du signal e(t), ainsi que ses répliques de part et d’autre des multiples de la fréquence d’échantillonnage
Spectre de e(t)
Spectre de e*(t)
fE 2fE
fMAX Hz
Hz V
V
Choix de la Fr
Choix de la Frééquence dquence d’’ÉÉchantillonnagechantillonnage
On doit pouvoir retrouver le spectre de e(t) à partir du spectre de e*(t)
fE> 2fMAX Bon choix
V
fE 2fE Hz
fMAX
fE< 2fMAX Mauvais choix
fE 2fE Hz
fMAX 3fE
Th de SHANNON : fEdoit au moins être égale au double de la fréquence maximale contenue dans le signal
(Claude Elwood Shannon ; 1916 – 2001)
NéNécessitcessitéé du Filtre Anti-du Filtre Anti-RepliementRepliement fE est fixée.
L’échantillonneur est précédé d’un filtre passe bas à coupure très raide.
Ce filtre élimine tous signaux de fréquence supérieure à fE/2 Il est nommé « filtre anti repliement » (anti aliasing filter)
Sans filtre anti repliement
Avec filtre anti repliement filtre anti
repliement échantillonneur échantillonneur
e(t)
e(t) e*(t)
e*(t)
spectre de e(t)
spectre de e(t) Partie basse du
spectre de e*(t)
Partie basse du spectre de e*(t)
fC fC
L’L’ééchantillonneur Bloqueurchantillonneur Bloqueur
Le bloqueur maintient la valeur de e* constante pendant TEà l’entrée du CAN
e(t) e*(t)
eEB(t)
eN
Signal analogique Signal échantillonné
et bloqué
e(t)
eEB(t) K1
C K2
RRééponse en Frponse en Frééquence du Bloqueurquence du Bloqueur
Attaqué par une impulsion, le bloqueur répond par un créneau de largeur TE
1
0
TE 1
0
TE t t
Bloqueur
e(t) = δ(t) E(p) = 1
s(t) = U(t) - U(t-TE) S(p) = (1 – e-Te.p)/p
Spectre du Signal
Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé et Bloquéet Bloqué Le bloqueur atténue fortement les répliques du spectre placées autour des multiples de fE
Réponse du bloqueur
fE 2fE Hz
fMAX
Spectre de e(t) V
Le bloqueur introduit également un retard constant de TE/2 (retard de phase proportionnel à la fréquence)
Quantification du Signal et Bruit Quantification du Signal et Bruit
En sortie du CAN, le signal échantillonné et bloqué est converti en une suite de nombres binaires, codés sur N bits.
Si E est la pleine échelle à l’entrée du CAN, le quantum q vaut q = E/(2N– 1)
Entrée Sortie
Erreur
q
q 0
0
Signal échantillonné
et bloqué
Bruit de quantification
Signal numérisé
Le rapport signal/bruit est d’autant meilleur que le nombre de bits de codage est élevé
Bruit de Quantification Exemples Bruit de Quantification Exemples
Signal codé sur 8
niveaux (3 bits) Signal codé sur 32
niveaux (5bits)
Le Calcul Num Le Calcul Numéériquerique
L’unité de calcul traite la suite binaire {eN} et élabore la suite binaire {sN}, grâce à un programme.
Opérations réalisables :
Addition eN
eP
eN+ eP
K
eN sN= KeN
TE
eN sN= eN-1 Multiplication par
une constante
Retard d’une période d’échantillonnage
L’ÉL’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence
L’équation de récurrence définit le nombre de sortie du calculateur à la date nTE (soit sN) en fonction de nombres d’entrée présents ou antérieurs (eN, eN-1…) et éventuellement de nombres de sortie antérieurs (sN-1, sN-2 ….)
sN= 0,5.eN+ 0,5.eN-1 sN
eN
0,5 TE
Algorithme non récursif : Ne dépend que des échantillons d’entrée
eN
TE
TE 0,5
sN
sN= eN+ eN-1+ 0,5.sN-1 Algorithme récursif : Dépend des échantillons d’entrée et d’échantillons de sortie antérieurs
Tests de l
Tests de l’é’équation de rquation de réécurrencecurrence
On teste l’équation de récurrence par des séquences de nombres particulières : (Généralement causales)
Séquence impulsion unité : N=0 ; e0= 1 N ≠0 ; eN= 0
Séquence échelon unité : N<0 ; eN= 0 N ≥0 ; eN= 1
Séquence sinusoïdale : N<0 ; eN= 0
N ≥0 ; eN= a.sinωNTE
1
N eN
1
N eN
N eN
RéRéponse Impulsionnelle des Systponse Impulsionnelle des Systèèmes Nummes Numéériquesriques
Algorithme non récursif : Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) sN=0,5.eN+eN-1+0,2.eN-2
Algorithme récursif : Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)
eN
sN N
N
sN=eN+0,8.sN-1 eN
sN
N
N
ÉÉquation de rquation de réécurrence vs currence vs ÉÉquation Diffquation Difféérentielle rentielle Équation différentielle Équation de récurrence
(monde analogique) (monde numérique)
Exemple de la Dérivation
e(t) eN
tps Analogique:
S(t) =K.de/dt
Numérique sN= K.(eN-eN-1)/TE
Algorithme de dérivation numérique : Du type sN= a.eN– a.eN-1
Transform
Transforméée en Z de en Z d’’une Sune Sééquence de Nombresquence de Nombres
Soit la séquence causale suivante
Séquence impulsion 1
xN
0 2 4 N
La transformée en Z de cette séquence est le polynôme de la variable (complexe) z défini par :
X(z) = x0.z0 + x1.z-1+ x2.z-2+ x3.z-3+ … + xN.z-N+ … =
Σ
xN.z-NSéquence échelon 1
1
N eN
1
N eN
Transform
Transforméée en Z vs Transforme en Z vs Transforméée de Laplacee de Laplace
Un signal échantillonné x* s’écrit comme une somme d’impulsions de Dirac de hauteurs xNet retardées de N.TE:
x* = x0.δ(t) + x1. δ(t-TE) + x2. δ(t-2TE) + … + xN. δ(t-N.TE) + … Sa transformée de Laplace est:
X*(p) = x0.1 + x1.1.e-pTe+ x2.1. e-2pTe + … + xN.1. e-NpTe+ …
Avec le changement de variable : z ⇔epTe on retrouve la transformée en Z X(z) = x0.z0 + x1.z-1+ x2.z-2+ x3.z-3+ … + xN.z-N+ … =
Σ
xN.z-NTransformée en Z et transformée de Laplace ont des propriétés mathématiques équivalentes
Transformée de Laplace Transformée en Z (monde analogique) (monde numérique)
Table de Transform
Table de Transforméées en Zes en Z
Fonction de Transfert en Z Fonction de Transfert en Z
Soit un système numérique générant une séquence de nombres {sN} à partir d’une séquence {eN}
{eN} Système Numérique
{sN}
(E(z)) (S(z))
La transmittance en Z est définie par : T(z) = S(z) / E(z) - c’est un rapport de 2 polynômes en z
- le polynôme de degré le plus élevé donne l’ordre du système - les racines du numérateur se nomment les zéros
- les racines du dénominateur se nomment les pôles
Exemple: Filtre passe-bas du 1erordre T(z) = 0,1.(z-1)/(z-0,8)
Stabilit
Stabilitéé dd’’un Systun Systèème Numme Numéériquerique
Rappel : En analogique, un système de transmittance T(p) est stable si les pôles de T(p) sont à partie réelle négative.
Ce critère reste valable pour un système échantillonné.
Soit un pôle pI= a + jb, avec a < 0 ; transposons cette condition dans l’espace Z.
Plan « p »
E E E
E
e ( a jb ) T e aT . e jbT e pT
z = = + =
Mod(z) = e aTeavec a < 0 ; donc mod (z) < 1
Critère de stabilité: Un système échantillonné est stable si les pôles de sa transmittance en z sont à l’intérieur du cercle unité (⇔ont un module < 1)
0 R 0 R
I
Plan « z » I
1 1
De lDe l’É’Équation de Rquation de Réécurrence currence àà la Transmittance en Zla Transmittance en Z Rappel : En analogique, si f(t) ⇒ F(p) alors f(t -θ) ⇒ F(p).e- pθ Dans le monde échantillonné, e- pθdevient e- pTesoit z -1.
Un retard d’une période d’échantillonnage correspond à une multiplication par z-1
Soit l’équation de récurrence : sN= a0.eN+a1.eN-1+a2.eN-2+ b1.sN-1+ b2.sN-2+ … On en prend la transformée en Z :
S(z) = a0.E(z) + a1.z-1.E(z) + a2.z-2.E(z) + b1.z-1.S(z) + b2.z-2.S(z) + … Regroupage des termes S(z) (à gauche) et E(z) (à droite) :
S(z).(1 – b1.z-1– b2.z-2…) = E(z).(a0 + a1.z-1+ a2.z-2…) D’où on tire enfin la transmittance en Z :
2 ...
z 1 b z b 1
2 ...
z 1 a z a a ) z ( E
) z ( ) S z ( T
2 1
2 1 0
− −
− −
−
− +
− +
= +
=
De la Transmittance en Z
De la Transmittance en Z àà l’Él’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence Exemple : Soit le filtre numérique de transmittance
On effectue le produit en croix:
S(z).(2 + z-1) = E(z).(1 + 2.z-1+ z-3) On développe et on isole S(z) :
2.S(z) = E(z) + 2z-1.E(z) + z-3.E(z) –z-1.S(z)
On repasse au domaine temporel (z-1 correspond à un retard de TE) : 2.sN= eN+ 2.eN-1+ eN-3– sN-1
Et finalement, l’équation de récurrence est : sN= 0,5.eN+ eN-1+ 0,5.eN-3– sN-1
z 1 2
z 3 z 1 2 1 ) z ( E
) z ( ) S z (
T + −
+ − + −
=
=
Filtres Num
Filtres Numéériquesriques
Comme en analogique, un filtre numérique est chargé de transmettre certaines fréquences et d’en éliminer d’autres.
C’est un système échantillonné qui peut présenter des propriétés calquées sur un filtre analogique modèle, ou bien posséder des caractéristiques originales, impossibles à réaliser dans le monde analogique
On rencontre des filtres numériques :
- non récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle finie (FIR filters) ex : sN= 0,2(eN+ eN-1+ eN-2 + eN-3+ eN-4) passe bas
soit T(z) = 0,2.(1 + z-1+ z-2+ z-3+ z-4)
- récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle infinie (IIR filters) ex : sN= eN+ 1,5.sN-1-0,85.sN-2 passe bande
soit T(z) = 1 / (1 – 1,5.z-1+ 0,85.z-2)
RéRéponse harmonique dponse harmonique d’’un filtre numun filtre numéériquerique Il faut disposer de sa transmittance en z.
On passe à une « transmittance harmonique » grâce au changement de variable:
z e pTe e jωTe
Exemple : Filtre moyenneur à 2 termes sN= 0,5.(eN+ eN-1) Transmittance en z : T(z) = 0,5.(1 + z-1) Transmittance en jω: T(jω) = 0,5.(1 + e-jωTe)
Factorisation de e-jωTe/2: T(jω) = e -jωTe/2.0,5.(e+jωTe/2+e-jωTe/2) Finalement : T(jω) = cos(ωTe/2).e-jωTe/2
Synth
Synthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (1)rique (1)
On se propose de trouver la transmittance d’un filtre passe-haut numérique qui répond à un échelon comme un filtre passe-haut analogique du 1er ordre, de constante de temps τ=10 ms, soit de fréquence de coupure fc = 15,9 Hz
Cette méthode s’appelle « Identification de la réponse indicielle »
On peut aussi partir de la réponse impulsionnelle; ceci consistera en la méthode
« d’identification de la réponse impulsionnelle »
Exemple de Synth
Exemple de Synthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (2)rique (2)
La fréquence d’échantillonnage doit être choisie très supérieure à 15,9 Hz ; prenons fe= 1kHz
Numérique
Analogique fe/2 = 500Hz
