Chapitre 1 : «Chapitre 1 : « Opérations sur les nombres relatifsOpérations sur les nombres relatifs »»

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I. Rappels

1/ Addition avec ou sans parenthèses

3–7=–4

–5–11=–16

–1519=4

–7,5–4,5=–12

–411=7=7 –11–23=–44 –7,38,5=1,2

19–55=–36

Règles de simplification des parenthèses

• Dans une somme, on peut supprimer les parenthèses et les symboles d'addition  . Par exemple : 8–4215 peut s'écrire 8–4215.

• On peut supprimer le signe  en début de ligne. Par exemple : 5,5–3–184 peut s'écrire 5,5–3–184 .

Lorsqu'il y a plus de deux termes A=–58–13–2

A=–5–1–283

A=–811

A=3

2/ Soustraction

Exemples

–3–7=–3–7=–10 car – suivi de  donne –.

–3–7=–3–7=–10 on a transformé la soustraction en addition en changeant de signe le deuxième nombre.

De même :

–8––4=–84=–4 car – suivi de – donne . ou bien –8––4=–84=–4

7––11=711=18 ou bien 711=18

–5–7=–5–7=–12 ou bien –5–7=–12

12–18=12–18=–6 ou bien 12–18=–6

15–9=15–9=6 ou bien 15–9=6

–1,5–6,5=–1,5–6,5=–8 ou bien –1,5–6,5=–8

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II. Multiplication

1/ Activité

On considère l'expression A=–2–2–2–2

• On sait que A=–8 .

• A peut aussi s'écrire 4×–2 ou encore 4×–2.

• Donc 4×–2=–8 : le produit d'un nombre positif par un nombre négatif semble négatif.

On sait que, dans un produit, l'ordre des facteurs n'a pas d'influence sur le résultat. Donc

–2×4 est aussi égal à –8 : le produit d'un « négatif » par un « positif » est négatif.

Lorsque les deux nombres sont positifs, on se doute bien que le résultat est positif. Par exemple : 7×8=7×8=56 .

Il reste le cas où les deux nombres sont négatifs.

Complète la suite logique :

4×–2=–8

3×–2=–6

2×–2=–4

1×–2=–2 0×–2=0

–1×–2=2

–2×–2=4

–3×–2=6 Propriété

• Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif : –3×2=–6 ;

6×–2=–12 .

• Le produit de deux nombres de même signe est positif : 7×6=42 ;

–3×–7=21 . Propriété bis

• – par  donne –

 par – donne –

•  par  donne  – par – donne 

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Propriété ter

• Les « ennemis » de mes « amis » sont mes « ennemis ».

Les « amis » de mes « ennemis » sont mes « ennemis ».

• Les « amis » de mes « amis » sont mes « amis ».

Les « ennemis » de mes « ennemis » sont mes « amis ».

Exemples

–1,25×10=–12,5

–100×–45,478=4547,8

1000×–0,45789=–457,89 Rappels

Pour multiplier un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 … ; on décale la virgule de 1 , 2 , 3... chiffres vers la droite.

S'il n'y a pas assez de chiffres, on complète par des zéros : 1000×2,7=2 700

2/ Avec plus de facteurs

Exemples/Activité A=–2×4×–10

A=–2×–10×4 « On regroupe les facteurs de même signe entre eux » A=20×4 « On a calculé –2×–10=20 »

A=80

B=–1×2×–2×–2

B=–2×–2×–2 « On a calculé –1×2=–2 » B=4×–2 « On a calculé –2×–2=4 » B=–8

C=–1×–1×1×–1×–1×1

C=–1×–1×–1×–1×1×1 « Regrouper les nombres négatifs semble plus simple ».

C=1 est positif car –1×–1=1 .

D=–2×–5×1×–2×10

D=–2×–5×–2×1×10

D=–20×1×10 « On a calculé les trois nombres négatifs » D=–200

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Méthode pour déterminer le signe d'un produit On compte le nombre de facteurs négatifs :

• s'il est pair, le résultat est positif ;

• s'il est impair, le résultat est négatif.

Exemples

A=–2×–4×–2

A=8×–2

A=–16

B=10×–3×–2×10

B=–3×–2×10×10

B=6×100

B=600

III. Quotient de deux nombres relatifs

Activité

• D'abord un rappel sur le sens de la division...

Pour calculer 13

5 , on se pose la question suivante : « Dans 13 , combien de fois 5 ? ». Autrement dit, on cherche le ? dans 13=?×5 .

• Cette remarque va nous permettre de trouver des règles de signes pour les quotients...

–13

5 se traduit par –13=?×5 ou encore par –13=x×5. Le signe de x est le signe de −13

5 . Puisque ^x fois 5 est négatif, x est aussi négatif. Donc –13

5 =–. C'est le même raisonnement pour 13

–5 . On trouverait que 13

–5 =–. –13

–5 se traduit par –13=x×–5. ^x est forcément positif donc –13 –5 =

Propriété

Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif : –8

4=–2 ; 9÷–2=–4,5 . Le quotient de deux nombres de même signe est positif : –5

–2=2,5 ; 7,5÷10=+....

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Exemples

–7÷2=–3,5 ; 8

–16=–0,5 ; –121

–11 =11 ; 125

100=1,25 .

Quelques rappels de calcul mental

• Pour diviser par 10, 100, 1000… on décale la virgule de 1, 2, 3 chiffres vers la gauche : 568,01÷100=5,6801 ; 7,5

1000=0,0075 .

• Il faut connaître ses tables et la table de 11 : 11×2=22 ; … ; 11×10=110 ; 11×11=121 .

• 72÷9=? est équivalent à ^9×?=72 donc 72 9 =8 .

• 7,2÷9=0,8 car 72÷9=8 et 7,2 est dix fois plus petit que 72.

IV. Tableau récapitulatif

Somme − et − donne − −3−5=−8

− et  donne ...

... ça dépend : −35=2 ; 3−5=−2

 et − donne ...

 et  donne  3,55,3=8,8

Différence − et − donne ... ... ça dépend : −3−−5=−35=2 ; −5−−3=−53=−2

− et  donne − −3−5=−3−5=−8

 et − donne  3−−5=35=8

 et  donne ... ... ça dépend : 3−5=3−5=−2 ; 5−3=5−3=2

Produit − par − donne  −0,5×−0,5=0,25

− par  donne − −7×8,1=−56,7

 par − donne − 0,01×−12,5=−0,125

 par  donne  7×8=56

Quotient − par − donne  −1,5

−0,5=3

− par  donne − ^{−12÷10}^=−1,2

 par − donne − ³

−2=−1,5

 par  donne  126÷2=63

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V. Conduire un calcul

1/ Rappels : ordre de priorité

Exemples

• 9–512=9–512=16 « On effectue les calculs de la gauche vers la droite, sauf, si on voit les choses en termes de nombres relatifs ».

• 9–5×12=9–60=–51 ; 9÷2–1=4,5–1=3,5 « La multiplication est prioritaire par rapport à l'addition et la soustraction ».

• 7–21–4=7–2×–3=76=13 « On effectue en priorité les calculs entre parenthèses ».

Ordre dans les calculs prioritaires

• Calculs entre parenthèses.

• Multiplications et divisions.

• Additions et soustractions.

Exemple

A=8–27–67÷2–1 A=8–2×17÷2–1 A=8–23,5–1 A=83,5–2–1 A=11,5–3 A=8,5

Rappel : simplification d'écritures

On peut supprimer le symbole × lorsqu'il n'y a pas d'ambigüité possible. C'est le cas dans :

• 2×5–7=25–7 se dit « 2 facteur de 5–7 » ;

• 2×x=2x

• 5–7×57=5–757 se dit « 5–7 facteur de 57 » Par contre, c'est impossible pour 2×8 car 2×8≠28 !!!!!!

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VI. Remplacer dans une expression littérale

Exemple/Méthode

On considère une expression littérale A=3x−72x5. L'idée est de calculer A pour différentes valeurs de x.

• Calcule A pour x=4 . A=3×4–72×45

A=12–7×85

A=5×13 A=65

• Calcule A pour x=–3. A=3×−3–72×–35

A=–9–7×–65

A=–16×–1

A=16

Autre exemple

Calcule B=–3–5x24x pour x=–6 . B=–3–5–624×–6

B=–3–5×–4–24 B=–320–24 B=17–24 B=–7

Pour lundi 27/09

• Apporter le cahier de cours (noté sur 10)

• Contrôle toute l'heure !!!