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SOLUTION – 42. Dans R

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Academic year: 2022

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SOLUTION – 42.

Dans R3 démontrer que si A,B,C,D sont des points quelconques, on a AB2 + CD2 ≤ AC2 + BD2 + AD2 + BC2

Choisissons un repère orthonormé tel que les coordonnées du tétraèdre soient : A (0, 0, 0) B (1, 0, 0) C (a, b, 0) D (c, d, e)

D’après Pythagore, AB2 + CD2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 –2ac –2bd + 1.

AC2 + BD2 + AD2 + BC2 = 2 (a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a – c + 1).

Donc l’inégalité proposée équivaut à :

0 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – 2a – 2c + 1 + 2ac + 2bd ou encore à 0 ≤ (a+ c – 1)2 + (b + d)2 + e2

C Q F D On voit qu’il n’y a égalité que si (ADBC) dans cet ordre est un parallélogramme.

M. FERACHOGLOU propose une solution utilisant le produit scalaire.

M. BECZKOWSKI propose une solution utilisant le théorème de la médiane.

Références

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