I-Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

I-Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance Principe général de l’estimation

Soit une population P d’effectif N caractérisé par les statistiques m , σ ,p ou f une moyenne ,une variance et une proportion de valeur inconnu .soit X une variable aléatoire de la population P étudier par échantillonnage sur des échantillons de taille n, ce procéder permettent de calculer les paramètres suivant : la moyenne de l’échantillon m0 ou X^- , variance de l’échantillon σ échant, et la proportion p0 ces paramètres présentent une distribution d’échantillonnage.

L’estimation et le chemin inverse de l’échantillonnage permet d’obtenir les valeurs statistiques de manière approximative avec un taux de confiance des paramètres de la population inconnu m, σ et p qui obéit à une loi de distribution connue.

Estimation ponctuelle et intervalle de confiance

L’estimation d’un paramètre Ɵ est ponctuelle si une seule valeur Ɵ^, égale à la valeur prise par Ɵ pour les données observées, sert d’estimation.

L’estimation de Ɵ par intervalle de confiance si elle est définie par intervalle, appelé intervalle de confiance qui encadre le paramètre avec une probabilité égale à 1-α.( coefficient de confiance ).

Les différentes estimations sont :

Estimation ponctuelle de la moyenne

Un seul échantillon :m0=M Plusieurs échantillons µm =∑m/n Intervalle de confiance

Grande population >30 Petite population ˂30

M0-Zα^𝝈

√𝒏≤M≤ M0+Zα^𝝈

√𝒏 M0-tα^𝝈

√𝒏≤M≤ M0+tα^𝝈

√𝒏

Population N éléments

Paramètres m,σ,p de Valeur inconnue Distribution de la variable étudiée X et

lois de probabilité

Echantillon de n éléments estimation P, x̅ ,s^x et Ɵ

Echantillonnage

Estimateurs =variables aléatoires P,X̅,Sx ,R et Ɵ

Dont la loi de distribution est connue (sauf la valeur des paramètres) ou approchée Confiance dans l’estimation

Espace échantillon

Principe générale de la l’estimation

Remarque : dans la grande population la variable suit la loi normal la tale de probabilité utilisé est la table Zou l’écart réduit dans le cas de petite échantillons la table utilisé et la table de student ( le cas de lecture bien illustré dans les séance de TD).il faut aussi toujours remarquer si nous sommes dans une population a taille connu ou inconnu .

Cas de la proportion

Estimation ponctuelle de la proportion

Un seul échantillon :p0=P Plusieurs échantillons µp =∑p/n Intervalle de confiance

Grande population >30 P0-Zα√^{𝒑𝟎𝒒𝟎}

𝒏 ≤P≤ P0+Zα√^{𝒑𝟎𝒒𝟎}

𝒏

Remarque :p0=^𝑲

𝒏 q0=1-p0

La taille de la population détermine le dénominateur( n )ou( n-1).

Cas de la variance

Estimation ponctuelle de la variance S²^= ^𝒏

𝒏−𝟏𝝈^𝟐

Intervalle de confiance

𝒏−𝟏

𝒃𝜶 𝐒𝟐^ ≤S²≤ ^𝒏−𝟏

𝒂𝜶 𝐒𝟐^

Remarque : la variance n’obéit pas à la loi normale bα et aα se sont des valeurs lu sur la table de chi deux ( les cas sont bien démontré au Td)

Les valeurs bα appelé valeurs de chi -deux supérieur lus par apport à

∝

2 , d.d.l

et la valeur de aα c’est la valeur de chi -deux inférieur lus par apport à 1-α/2 , d.d.l Le test de student et khi deux associent au d.d.l =n-1

II-Test de conformité

Test de conformité est un test de comparaison des paramètres statistiques par apport à des normes ou des valeurs théoriques. Le principe générale consiste à conclure l’existence de conformité entre l’échantillon et la population P .

1-comparaison de répartition théorique à une répartition expérimentale

la répartition théorique ayant été choisie, il est naturel de se demander si elle représente bien la

répartition expérimentale, si elle lui est bien conforme .la vérification de la conformité de la répartition théorique choisie à la répartition expérimental se fait par le test de chi deux .

Test de chi deux :

le test de chi deux carré consiste à mesurer l’écart qui existe entre l’effectif observé (Oi ) et l’effectif attendu ou théorique .

Condition d’application

Le test n’est appliqué que a partir de deux observations ou plus car sur la table de probabilité le d.d.l commence par 1.

χ

=∑

𝑪𝒊 𝒌𝒊=𝟏

Oi ; l’effectif observé Ci ; l’effectif théorique =Npi

Remarque : le test de χ² est un test hypothétique commencent par H0 /H1

Les règles de décision H0 sera rejeté au profit H1 si χ² α,d.d.l≥ χ^{2 table} La lecture de la probabilité se fait p(α)=p(1-α)

Le test de χ² est appliqué pour les pourcentages aussi Les effectifs théoriques doivent être >5

Comparaison d’un pourcentage observé a un pourcentage théorique

Soit une population dans laquelle une certaine proportion des individus possèdent un caractère A .supposons que des considérations théoriques ou des résultats d’expériences ultérieurs nous conduisent à attribuer à cette proportion une valeur P0 .

Le test appliquer dans cette situation est l’écart réduit (le caractère A obéit à la loi normal cas de la grande population ) :

ƹ=Z=

√^{𝒑𝟎𝒒𝟎} 𝒏

Au seuil de signification α :

Si ƹ˂Zα la différence n’est pas significative H0 n’est pas rejeté Si Si ƹ≥Zα la différence n’est pas significative H0 est rejeté.

Remarque1 ; les effectifs np0 et nq 0 doivent être ≥5

Remarque 2 : on peut traiter le problème de comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique par le chi deux

Comparaison d’une moyenne observé a une moyenne théorique

Comme le cas de pourcentage, on applique le test de l’écart –réduit, avec les mêmes règles de décisions pour H 0(n≥30)

Ƹ=Z= ^{ǀ𝒙 ̅−𝒎ǀ}

√𝒏

III- Test d’homogénéité

Soient deux échantillons pris dans deux endroits différents, peut –on considérer que ces deux échantillons proviennent de la même population ou de deux populations différentes ?

Le principe de la comparaison consiste à estimer qu’il n’y a pas de différence significative entre les deux populations dont sont issus ces deux échantillons (hypothèse nulle) ,on cherche ensuite à vérifier au seuil de sécurité ou de confiance α si à partir de ces populations identiques on peut extraire des échantillons comme ceux qui ont été obtenus .

Test de l’écart réduit n>30

Apres la comparaisons des intervalle de confiance ( bien détaillé au séance de cours) et selon le cas obtenu on applique le test de l’ écart réduit n1 et n2 ≥30

Ƹ=

√^𝝈𝟏𝟐 𝒏𝟏+^𝝈𝟐𝟐

𝒏𝟐

Décision

Si Ƹ≥Zα alors H0 rejeté Si Ƹ˂Zα alors H0 accepté Comparaison de pourcentage

Même principe que la moyenne (comparaison des intervalles de confiance) puis le test et les mêmes règles de décision

Ƹ=

√𝒑(𝟏−𝒑)(^𝟏

𝒏𝟏+^𝟏

𝒏𝟐)

Avec p égale

p= ^{𝒏𝟏𝒑𝟏+𝒏𝟐𝒑𝟐}

𝒏𝟏+𝒏𝟐